حلول الموجات المستوية لمعادلة ديراك

في نظرية الحقل الكمومي ، تُعد حلول الموجات المستوية لمعادلة ديراك حلولًا أساسية قياسية لمعادلة ديراك ، تصف انتشار سبينورات ديراك . هذه سبينورات تصف جميع الجسيمات الأساسية المعروفة التي هي فرميونات ، باستثناء النيوترينوات على الأرجح . وهي عبارة عن توليفة معينة من سبينورات فايل ، تتحول "سبينوريًا" تحت تأثير مجموعة لورنتز . لكل قيمة زخم${\displaystyle p}$تُعرف حلول الموجات المستوية ذات الأساسات الأربعة عادةً باسم${\displaystyle u^{s}(p)}$و${\displaystyle v^{s}(p)}$، أين${\displaystyle s}$هو مؤشر دوران ، يأخذ قيمتين محتملتين لحالتي الدوران لأعلى ولأسفل.

تُعدّ سبينورات ديراك مهمة ومثيرة للاهتمام من نواحٍ عديدة. فهي، في المقام الأول، تصف جميع جسيمات الفرميون الأساسية المعروفة في الطبيعة ، بما في ذلك الإلكترون والكواركات . جبريًا، تتصرف هذه السبينورات ، بمعنى ما، كجذر تربيعي لمتجه . لا يظهر هذا بوضوح من الفحص المباشر، ولكنه أصبح جليًا تدريجيًا على مدى الستين عامًا الماضية أن تمثيلات السبينورات أساسية في الهندسة . على سبيل المثال، يمكن فعليًا بناء سبينورات وروابط سبينية على جميع مشعبات ريمان ، عبر جبر كليفورد . ^{[ 1 ]} سبينور ديراك خاص بزمكان مينكوفسكي وتحويلات لورنتز ، أما الحالة العامة فهي مشابهة تمامًا.

تُخصَّص هذه المقالة لدراسة سبينور ديراك في تمثيل ديراك . يُقابل هذا تمثيلًا مُحددًا لمصفوفات غاما ، وهو الأنسب لتوضيح حلول الطاقة الموجبة والسالبة لمعادلة ديراك. توجد تمثيلات أخرى، أبرزها التمثيل الكيرالي ، وهو الأنسب لتوضيح التناظر الكيرالي لحلول معادلة ديراك. يمكن كتابة السبينورات الكيرالية كتركيبات خطية من سبينورات ديراك المعروضة أدناه؛ وبالتالي، لا يوجد أي تغيير في المنظور فيما يتعلق بالتناظرات المنفصلة للحلول.

يركز الجزء المتبقي من هذه المقالة بشكل أساسي على جبر حلول الموجات المستوية. أما كيفية تحول سبينور ديراك تحت تأثير مجموعة لورنتز، فتُناقش في مقالة سبينور ديراك .

سبينور ديراك${\displaystyle u\left(\mathbf {p} \right)}$في فرضية الموجة المستوية$${\displaystyle \psi (x)=u\left(\mathbf {p} \right)\;e^{-ip\cdot x}}$$معادلة ديراك الحرة لسبينور ذي كتلة${\displaystyle m}$، $${\displaystyle \left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi (x)=0}$$ والتي تصبح بالوحدات الطبيعية$${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0}$$ويمكن كتابة ذلك باستخدام تدوين فاينمان المائل .$${\displaystyle \left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi (x)=0}$$

يرد أدناه شرح للمصطلحات الواردة في الفرضية .

• حقل ديراك هو${\displaystyle \psi (x)}$، حقل ذو دوران نسبي 1/2 ، أو بشكل ملموس دالة على فضاء مينكوفسكي${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$بقيمة${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$، دالة متجهة مركبة ذات أربعة مكونات.
• سبينور ديراك مرتبط بموجة مستوية ذات متجه موجي${\displaystyle \mathbf {p} }$يكون${\displaystyle u\left(\mathbf {p} \right)}$، أ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$متجه ثابت بالنسبة للموقع في الزمكان ولكنه يعتمد على الزخم${\displaystyle \mathbf {p} }$.
• الضرب الداخلي في فضاء مينكوفسكي للمتجهات${\displaystyle p}$و${\displaystyle x}$يكون${\displaystyle p\cdot x\equiv p_{\mu }x^{\mu }\equiv E_{\mathbf {p} }t-\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }$.
• الزخم الرباعي للموجة المستوية هو${\textstyle p^{\mu }=\left(\pm {\sqrt {m^{2}+\mathbf {p} ^{2}}},\,\mathbf {p} \right):=\left(\pm E_{\mathbf {p} },\mathbf {p} \right)}$أين${\displaystyle \mathbf {p} }$هو أمر اعتباطي،
• في إطار مرجعي قصوري معين ، تكون الإحداثيات${\displaystyle x^{\mu }}$تُستخدم هذه الإحداثيات لتمثيل فضاء مينكوفسكي. في هذه المقالة، عندما${\displaystyle x^{\mu }}$يظهر في وسيط، وفي بعض الأحيان يتم حذف الفهرس.

يمكن كتابة سبينور ديراك لحل التردد الموجب على النحو التالي $${\displaystyle u\left(\mathbf {p} \right)={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} }{E_{\mathbf {p} }+m}}\phi \end{bmatrix}}\,,}$$ أين

• ${\displaystyle \phi }$هو دوران ثنائي عشوائي، وبشكل ملموس${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$متجه.
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$هو متجه باولي ،
• ${\displaystyle E_{\mathbf {p} }}$الجذر التربيعي الموجب${\textstyle E_{\mathbf {p} }=+{\sqrt {m^{2}+\mathbf {p} ^{2}}}}$في هذه المقالة،${\displaystyle \mathbf {p} }$أحيانًا يتم حذف الرمز السفلي وكتابة الطاقة ببساطة${\displaystyle E}$.

بالوحدات الطبيعية، عند إضافة m ^{2 إلى} p ² أو عند إضافة m إلى${\displaystyle {p\!\!\!/}}$m تعني mc بالوحدات العادية؛ وعند ^إضافة m إلى E ، فإن m تعني mc² بالوحدات العادية. وعند إضافة m إلى${\displaystyle \partial _{\mu }}$أو إلى${\displaystyle \nabla }$هذا يعني${\textstyle {\frac {mc}{\hbar }}}$(والذي يسمى طول موجة كومبتون المختزل العكسي ) بالوحدات العادية.

تأخذ معادلة ديراك الشكل التالي: $${\displaystyle \left(-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}+\beta m\right)\psi =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$$

لاستنتاج تعبير للمتجه الدوراني الرباعي ω ، يجب إعطاء المصفوفتين α و β بصيغة محددة. وتعتمد الصيغة الدقيقة التي تتخذانها على التمثيل المستخدم. في هذا المقال، نستخدم تمثيل ديراك. في هذا التمثيل، تكون المصفوفات $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\begin{bmatrix}0_{2}&{\boldsymbol {\sigma }}\\{\boldsymbol {\sigma }}&0_{2}\end{bmatrix}}\quad \quad \beta ={\begin{bmatrix}I_{2}&0_{2}\\0_{2}&-I_{2}\end{bmatrix}}}$$

ترتبط هاتان المصفوفتان من الرتبة 4×4 بمصفوفات ديراك غاما . لاحظ أن 0 ₂ هي مصفوفة الصفر من الرتبة 2×2، وأن I ₂ هي مصفوفة الوحدة من الرتبة 2×2 .

الخطوة التالية هي البحث عن حلول من الشكل التالي $${\displaystyle \psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} \right)},}$$ وفي الوقت نفسه تقسيم ω إلى اثنين من ثنائيات الدوران: $${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,.}$$

توفر دوال ديراك مجموعة كاملة ومتعامدة من حلول معادلة ديراك . ^{[ 2 ] [ 3 ]} ويمكن إثبات ذلك بسهولة بكتابة الدوال في إطار السكون ، حيث يصبح هذا واضحًا، ثم تحويلها إلى إطار إحداثيات لورنتز عشوائي. في إطار السكون، حيث ينعدم الزخم الثلاثي:${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {0} ,}$يمكن تعريف أربعة أنواع من السبينورات $${\displaystyle u^{(1)}\left(\mathbf {0} \right)={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad u^{(2)}\left(\mathbf {0} \right)={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(1)}\left(\mathbf {0} \right)={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(2)}\left(\mathbf {0} \right)={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$$

تقديم تدوين فاينمان المائل$${\displaystyle {p\!\!\!/}=\gamma ^{\mu }p_{\mu }}$$

يمكن كتابة السبينورات المعززة على النحو التالي $${\displaystyle u^{(s)}\left(\mathbf {p} \right)={\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}u^{(s)}\left(\mathbf {0} \right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi ^{(s)}\\{\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} }{E+m}}\phi ^{(s)}\end{bmatrix}}}$$ و $${\displaystyle v^{(s)}\left(\mathbf {p} \right)={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}v^{(s)}\left(\mathbf {0} \right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} }{E+m}}\chi ^{(s)}\\\chi ^{(s)}\end{bmatrix}}}$$

تُعرَّف السبينورات المترافقة على النحو التالي:${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$والتي يمكن إثبات أنها تحل معادلة ديراك المترافقة $${\displaystyle {\overline {\psi }}(i{\partial \!\!\!/}+m)=0}$$

مع افتراض أن المشتقة تعمل باتجاه اليسار. وتكون الدوال الدورانية المترافقة هي $${\displaystyle {\overline {u}}^{(s)}\left(\mathbf {p} \right)={\overline {u}}^{(s)}\left(\mathbf {0} \right){\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}$$ و $${\displaystyle {\overline {v}}^{(s)}\left(\mathbf {p} \right)={\overline {v}}^{(s)}\left(\mathbf {0} \right){\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}$$

إن عملية التوحيد المختارة هنا تجعل الثابت القياسي${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi }$إنها ثابتة بالفعل في جميع إطارات لورنتز. وهذا يعني تحديدًا $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=\delta _{ab}&{\overline {u}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=0\\{\overline {v}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=-\delta _{ab}&{\overline {v}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=0\end{aligned}}}$$

أربعة دوارات إطار الراحة${\displaystyle u^{(s)}\left(\mathbf {0} \right),}$${\displaystyle \;v^{(s)}\left(\mathbf {0} \right)}$تشير هذه النتائج إلى وجود أربعة حلول حقيقية ومختلفة ومستقلة خطيًا لمعادلة ديراك. ويمكن توضيح كونها حلولًا بالفعل من خلال ملاحظة أن معادلة ديراك، عند كتابتها في فضاء الزخم، تأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle ({p\!\!\!/}-m)u^{(s)}\left(\mathbf {p} \right)=0}$$ و $${\displaystyle ({p\!\!\!/}+m)v^{(s)}\left(\mathbf {p} \right)=0}$$

ويعود ذلك إلى $${\displaystyle {p\!\!\!/}{p\!\!\!/}=p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}}$$ والذي يتبع بدوره من علاقات التبادل المضاد لمصفوفات جاما : $${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }}$$ مع${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$الموتر المتري في الفضاء المسطح (في الفضاء المنحني، يمكن اعتبار مصفوفات غاما نوعًا من الأطر المتعددة ، على الرغم من أن هذا خارج نطاق هذه المقالة). ولعل من المفيد الإشارة إلى أن معادلة ديراك، المكتوبة في إطار السكون، تأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle \left(\gamma ^{0}-1\right)u^{(s)}\left(\mathbf {0} \right)=0}$$ و $${\displaystyle \left(\gamma ^{0}+1\right)v^{(s)}\left(\mathbf {0} \right)=0}$$ بحيث يمكن تفسير متجهات الدوران في إطار السكون بشكل صحيح كحلول لمعادلة ديراك. يوجد هنا أربع معادلات، وليس ثماني. على الرغم من أن متجهات الدوران الرباعية تُكتب على شكل أربعة أعداد مركبة، مما يوحي بوجود ثمانية متغيرات حقيقية، إلا أن أربعة منها فقط تتمتع بالاستقلال الديناميكي؛ أما الأربعة الأخرى فليس لها دلالة ويمكن دائمًا إلغاؤها باستخدام المعاملات. أي، يمكن للمرء أن يأخذ كل متجه من المتجهات الأربعة...${\displaystyle u^{(s)}\left(\mathbf {0} \right),}$${\displaystyle \;v^{(s)}\left(\mathbf {0} \right)}$واضرب كل منها في طور عالمي مميز${\displaystyle e^{i\eta }.}$لا تُغيّر هذه المرحلة شيئًا؛ إذ يُمكن تفسيرها كنوع من حرية القياس الشاملة. هذا لا يعني أن "المراحل لا تُهم"، فهي بالطبع تُهم؛ إذ يجب كتابة معادلة ديراك بصيغة مركبة، وترتبط المراحل بالكهرومغناطيسية. بل إن للمراحل دلالة فيزيائية، كما يُشير تأثير أهارونوف-بوم : فمجال ديراك، المرتبط بالكهرومغناطيسية، هو حزمة ألياف U(1) ( حزمة الدائرة )، ويُبرهن تأثير أهارونوف-بوم على تجانس تلك الحزمة. كل هذا لا يُؤثر بشكل مباشر على حساب عدد المكونات المُميزة لمجال ديراك. في أي سياق، لا يوجد سوى أربعة مكونات حقيقية ومُميزة.

باختيار مناسب لمصفوفات غاما، يُمكن كتابة معادلة ديراك بصيغة حقيقية بحتة، بحيث لا يكون لها سوى حلول حقيقية: وهي معادلة ماجورانا . مع ذلك، لا يوجد لها سوى حلين مستقلين خطيًا. لا يرتبط هذان الحلان بالكهرومغناطيسية؛ فهما يصفان جسيمًا ضخمًا متعادلًا كهربائيًا ذو لف مغزلي 1/2. من الواضح أن الارتباط بالكهرومغناطيسية يُضاعف عدد الحلول. وهذا منطقي بالطبع: فالارتباط بالكهرومغناطيسية يتطلب تحويل مجال حقيقي إلى مجال مركب. ببذل بعض الجهد، يُمكن تفسير معادلة ديراك على أنها معادلة ماجورانا "المركبة". يُمكن إثبات ذلك بسهولة في سياق هندسي عام، خارج نطاق هذه المقالة.

من المتعارف عليه تعريف زوج من مصفوفات الإسقاط.${\displaystyle \Lambda _{+}}$و${\displaystyle \Lambda _{-}}$، والتي تُسقط حالات الطاقة الذاتية الموجبة والسالبة. وبالنظر إلى إطار إحداثيات لورنتز ثابت (أي زخم ثابت)، فإن هذه هي $${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{+}(p)=\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}\otimes {\bar {u}}_{p}^{(s)}}&={\frac {{p\!\!\!/}+m}{2m}}\\\Lambda _{-}(p)=-\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}\otimes {\bar {v}}_{p}^{(s)}}&={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{2m}}\end{aligned}}}$$

هاتان مصفوفتان من الرتبة 4×4. مجموعهما يساوي مصفوفة الوحدة . $${\displaystyle \Lambda _{+}(p)+\Lambda _{-}(p)=I}$$ متعامدة $${\displaystyle \Lambda _{+}(p)\Lambda _{-}(p)=\Lambda _{-}(p)\Lambda _{+}(p)=0}$$ وهي متماثلة$${\displaystyle \Lambda _{\pm }(p)\Lambda _{\pm }(p)=\Lambda _{\pm }(p)}$$

من المفيد ملاحظة أثرهم: $${\displaystyle \operatorname {tr} \Lambda _{\pm }(p)=2}$$

لاحظ أن الأثر وخصائص التعامد تظل قائمة بغض النظر عن إطار لورنتز؛ هذه هي المتغيرات المشتركة للورنتز.

يحوّل اقتران الشحنة المغزل ذي الطاقة الموجبة إلى المغزل ذي الطاقة السالبة. اقتران الشحنة هو عملية تحويل (انعكاس ) .${\displaystyle \psi \mapsto \psi _{c}}$بصيغة صريحة $${\displaystyle \psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}}$$ أين${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$يشير إلى عملية النقل،${\displaystyle C}$هي مصفوفة 4×4، و${\displaystyle \eta }$هو عامل طور اعتباطي ،${\displaystyle \eta ^{*}\eta =1.}$تستنتج المقالة المتعلقة بترافق الشحنة الشكل المذكور أعلاه، وتوضح سبب كون كلمة "شحنة" هي الكلمة المناسبة للاستخدام: إذ يمكن تفسيرها على أنها الشحنة الكهربائية . في تمثيل ديراك لمصفوفات غاما ، فإن المصفوفة${\displaystyle C}$يمكن كتابتها على النحو التالي $${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma _{2}\\-i\sigma _{2}&0\end{pmatrix}}}$$ وبالتالي، حل ذو طاقة موجبة (مع حذف رمز الدوران العلوي لتجنب الإفراط في الترميز) $${\displaystyle \psi ^{(+)}=u\left(\mathbf {p} \right)e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} }{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}}$$ يتم نقلها إلى مرافقها الشحني $${\displaystyle \psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}i\sigma _{2}{\frac {{\boldsymbol {\sigma }}^{*}\cdot \mathbf {p} }{E+m}}\phi ^{*}\\-i\sigma _{2}\phi ^{*}\end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$$ لاحظ وجود مركبات معقدة مترافقة شاذة. يمكن دمج هذه المركبات مع المركبات المتطابقة. $${\displaystyle \sigma _{2}\left({\boldsymbol {\sigma }}^{*}\cdot \mathbf {k} \right)\sigma _{2}=-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {k} }$$ للحصول على $${\displaystyle \psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} }{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$$ مع كون الدوران المزدوج $${\displaystyle \chi =-i\sigma _{2}\phi ^{*}}$$ بما أن هذا الشكل يُطابق تمامًا شكل حل الطاقة السالبة، يتضح أن اقتران الشحنة يُبدّل حلول الجسيم والجسيم المضاد. لاحظ أنه لا تنعكس الطاقة فحسب، بل ينعكس الزخم أيضًا. يتحول الدوران لأعلى إلى دوران لأسفل. ويمكن إثبات أن التكافؤ ينعكس أيضًا . إن اقتران الشحنة هو في جوهره اقتران بين سبينور ديراك و"نقيضه تمامًا".

في التمثيل الكيرالي (أو تمثيل ويل ) لـ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$يمكن تمثيل فضاء حل معادلة ديراك بواسطة سبينورات معقدة ثنائية المكونات${\displaystyle \xi _{s}}$و${\displaystyle \eta _{s}}$. غالبًا ما تُكتب حلول سبينور ديراك العامة في هذا التمثيل على النحو التالي ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle u_{s}(p)={\begin{pmatrix}{\sqrt {p\cdot \sigma }}\,\xi _{s}\\{\sqrt {p\cdot {\bar {\sigma }}}}\,\xi _{s}\end{pmatrix}},\quad \quad v_{s}(p)={\begin{pmatrix}{\sqrt {p\cdot \sigma }}\,\eta _{s}\\-{\sqrt {p\cdot {\bar {\sigma }}}}\,\eta _{s}\end{pmatrix}},}$

أين${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),~{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})}$هي متجهات باولي الرباعية و${\displaystyle {\sqrt {\cdot }}}$يرمز إلى الجذر التربيعي للمصفوفة الهرميتية . في العديد من الحسابات العملية، من الملائم اختيار${\displaystyle \mathbf {p} }$على طول${\displaystyle z}$المحور. مع هذا الاختيار، تُقرأ الانقباضات على النحو التالي

${\displaystyle p\cdot \sigma \equiv p_{\mu }\sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}E-p_{z}&0\\0&E+p_{z}\end{pmatrix}},\quad p\cdot {\bar {\sigma }}\equiv p_{\mu }{\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}E+p_{z}&0\\0&E-p_{z}\end{pmatrix}}.}$

بما أن المصفوفات قطرية، فإن جذورها التربيعية هي

${\displaystyle {\sqrt {p_{\mu }\sigma ^{\mu }}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {E-p_{z}}}&0\\0&{\sqrt {E+p_{z}}}\end{pmatrix}},\quad {\sqrt {p_{\mu }{\bar {\sigma }}^{\mu }}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {E+p_{z}}}&0\\0&{\sqrt {E-p_{z}}}\end{pmatrix}}.}$

الخيار الأنسب للموجات الدورانية ثنائية المكونات هو:

${\displaystyle \xi _{+{\frac {1}{2}}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\eta _{+{\frac {1}{2}}}\quad \quad \xi _{-{\frac {1}{2}}}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}=\eta _{-{\frac {1}{2}}}.}$

ثم تأخذ الحلول الأربعة المستقلة الأشكال الصريحة

${\displaystyle u_{+{\frac {1}{2}}}(p_{z})={\begin{pmatrix}{\sqrt {E-p_{z}}}\,\\0\\{\sqrt {E+p_{z}}}\,\\0\end{pmatrix}},\quad u_{-{\frac {1}{2}}}(p_{z})={\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {E+p_{z}}}\,\\0\\{\sqrt {E-p_{z}}}\,\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle v_{+{\frac {1}{2}}}(p_{z})={\begin{pmatrix}{\sqrt {E-p_{z}}}\,\\0\\-{\sqrt {E+p_{z}}}\,\\0\end{pmatrix}},\quad v_{-{\frac {1}{2}}}(p_{z})={\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {E+p_{z}}}\,\\0\\-{\sqrt {E-p_{z}}}\,\end{pmatrix}}.}$

شروط التطبيع التقليدية لهذه السبينورات هي

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u}}_{s}(p)u_{s'}(p)&=2m\delta _{ss'}&{\overline {u}}_{s}(p)v_{s'}(p)&=0\\{\overline {v}}_{s}(p)v_{s'}(p)&=-2m\delta _{ss'}&{\overline {v}}_{s}(p)u_{s'}(p)&=0\end{aligned}}}$

بينما علاقات الاكتمال (مجموع الدوران) هي

${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \sum _{s}\displaystyle u_{s}(p){\overline {u}}_{s}(p)&={p\!\!\!/}+m\\\textstyle \sum _{s}\displaystyle v_{s}(p){\overline {v}}_{s}(p)&={p\!\!\!/}-m.\end{aligned}}}$

• معادلة ديراك
• معادلة ويل
• معادلة ماجورانا
• أساس الحلزونية
• Spin(1,3) ، الغطاء المزدوج لـ SO(1,3) بواسطة مجموعة الدوران

• أيتشيسون، آي جيه آر؛ إيه جيه جي هاي (سبتمبر 2002). نظريات القياس في فيزياء الجسيمات (الطبعة الثالثة) . منشورات معهد الفيزياء. رقم ISBN 0-7503-0864-8.
• ميلر، ديفيد (2008). "ميكانيكا الكم النسبية" (ملف PDF) . الصفحات 26-37 . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 19 ديسمبر 2020. تاريخ الاسترجاع: 3 ديسمبر 2009 .