نسبة بواسون

في علم المواد وميكانيكا المواد الصلبة ، نسبة بواسون (الرمز: ν ( nu )) هي مقياس لتأثير بواسون ، تشوه (تمدد أو انكماش) ​​مادة في اتجاهات عمودية على الاتجاه المحدد للتحميل . قيمة نسبة بواسون هي السالب لنسبة الانفعال المستعرض إلى الانفعال المحوري . بالنسبة للقيم الصغيرة لهذه التغييرات، ν هي مقدار الاستطالة المستعرضة مقسومة على مقدار الضغط المحوري . تتراوح قيم نسبة بواسون لمعظم المواد بين 0.0 و 0.5. بالنسبة للمواد اللينة، ^[1] مثل المطاط، حيث يكون معامل الحجم أعلى بكثير من معامل القص، تكون نسبة بواسون قريبة من 0.5. بالنسبة لرغوة البوليمر ذات الخلايا المفتوحة، تكون نسبة بواسون قريبة من الصفر، حيث تميل الخلايا إلى الانهيار عند الضغط. تحتوي العديد من المواد الصلبة النموذجية على نسب بواسون في نطاق 0.2 إلى 0.3. تمت تسمية النسبة على اسم عالم الرياضيات والفيزياء الفرنسي سيميون بواسون .

نسبة بواسون هي مقياس لتأثير بواسون، وهي الظاهرة التي تميل فيها المادة إلى التمدد في اتجاهات عمودية على اتجاه الضغط. وعلى العكس من ذلك، إذا تم تمديد المادة بدلاً من ضغطها، فإنها تميل عادةً إلى الانكماش في الاتجاهات العرضية لاتجاه التمدد. ومن الملاحظات الشائعة أنه عندما يتم تمديد شريط مطاطي، فإنه يصبح أرق بشكل ملحوظ. مرة أخرى، ستكون نسبة بواسون هي نسبة الانكماش النسبي إلى التمدد النسبي وسيكون لها نفس القيمة المذكورة أعلاه. في بعض الحالات النادرة ^[2] ، سوف تنكمش المادة بالفعل في الاتجاه العرضي عند ضغطها (أو تتمدد عند تمديدها) مما سيؤدي إلى قيمة سلبية لنسبة بواسون.

يجب أن تكون نسبة بواسون لمادة مرنة خطية مستقرة ومتساوية الخواص بين -1.0 و +0.5 بسبب متطلبات معامل يونج ومعامل القص ومعامل الحجم ليكون لها قيم موجبة. ^[3] تتراوح قيم نسبة بواسون لمعظم المواد بين 0.0 و 0.5. مادة متساوية الخواص غير قابلة للضغط تمامًا ومشوهة مرنًا عند إجهادات صغيرة سيكون لها نسبة بواسون 0.5 بالضبط. تظهر معظم أنواع الفولاذ والبوليمرات الصلبة عند استخدامها ضمن حدود تصميمها (قبل الخضوع ) قيمًا تبلغ حوالي 0.3، وتزداد إلى 0.5 للتشوه بعد الخضوع والذي يحدث إلى حد كبير عند حجم ثابت. ^[4] تبلغ نسبة بواسون للمطاط ما يقرب من 0.5. تقترب نسبة بواسون للفلين من 0، مما يُظهر تمددًا جانبيًا ضئيلًا جدًا عند الضغط والزجاج بين 0.18 و 0.30. يمكن لبعض المواد، مثل بعض رغاوي البوليمر، وطيات الأوريجامي، ^{[5] [6]} وبعض الخلايا أن تظهر نسبة بواسون سلبية، ويشار إليها باسم المواد الأوكسيتيكية . إذا تم تمديد هذه المواد الأوكسيتيكية في اتجاه واحد، فإنها تصبح أكثر سمكًا في الاتجاه العمودي. على النقيض من ذلك، يمكن لبعض المواد المتباينة الخواص ، مثل الأنابيب النانوية الكربونية ، ومواد الصفائح المطوية القائمة على الزجزاج، ^{[7] [8]} والمواد فوق الأوكسيتيكية على شكل قرص العسل ^[9] على سبيل المثال لا الحصر، أن تظهر نسبة بواسون واحدة أو أكثر أعلى من 0.5 في اتجاهات معينة.

بافتراض أن المادة ممتدة أو مضغوطة في اتجاه واحد فقط ( المحور x في الرسم البياني أدناه):

${\displaystyle \nu =-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {trans} }}{d\varepsilon _{\mathrm {axial} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {y} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}=- {\frac {d\varepsilon _{\mathrm {z} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }} }}$

أين

• ν هي نسبة بواسون الناتجة،
• ε _trans هو إجهاد عرضي
• ε _{المحوري} هو الانفعال المحوري

والإجهاد الإيجابي يشير إلى الامتداد والإجهاد السلبي يشير إلى الانكماش.

بالنسبة للمكعب الممتد في اتجاه x (انظر الشكل 1) مع زيادة في الطول بمقدار Δ L في اتجاه x ، وانخفاض في الطول بمقدار Δ L ′ في اتجاهي y و z ، يتم إعطاء الانفعالات القطرية اللانهائية في الصغر بواسطة

${\displaystyle d\varepsilon _{x}={\frac {dx}{x}},\qquad d\varepsilon _{y}={\frac {dy}{y}},\qquad d\varepsilon _{ ض} = {\frac {dz}{z}}.}$

إذا كانت نسبة بواسون ثابتة من خلال التشوه، فإن دمج هذه التعبيرات واستخدام تعريف نسبة بواسون يعطي

${\displaystyle -\nu \int _{L}^{L+\Delta L}{\frac {dx}{x}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dy} {y}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dz}{z}}.}$

بالحل والرفع إلى الأس، تكون العلاقة بين Δ L و Δ L ′ هي:

${\displaystyle \left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{-\nu }=1+{\frac {\Delta L'}{L}}.}$

بالنسبة للقيم الصغيرة جدًا لـ Δ L و Δ L ′ ، يعطي التقريب من الدرجة الأولى:

${\displaystyle \nu \approx -{\frac {\Delta L'}{\Delta L}}.}$

التغير النسبي في الحجمΔV​/الخامسيمكن الآن حساب مساحة المكعب بسبب تمدد المادة. بما أن V = L ³ و

${\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)\left(L+\Delta L'\right)^{2}}$

يمكن للمرء أن يستنتج

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)\left(1+{\frac {\Delta L'}{L}}\right)^{2}-1}$

باستخدام العلاقة المشتقة أعلاه بين Δ L و Δ L ′ :

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{1-2\nu }-1}$

وبالنسبة للقيم الصغيرة جدًا لـ Δ L و Δ L ′ ، فإن التقريب من الدرجة الأولى يعطي:

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}\approx (1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}}$

بالنسبة للمواد المتجانسة يمكننا استخدام علاقة لاميه ^[10]

${\displaystyle \nu \approx {\frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}}$

حيث K هو معامل الحجم و E هو معامل يونج .

إذا تعرض قضيب بقطر (أو عرض أو سمك) d وطول L لشد بحيث يتغير طوله بمقدار Δ L فإن قطره d سيتغير بمقدار:

${\displaystyle {\frac {\Delta d}{d}}=-\nu {\frac {\Delta L}{L}}}$

الصيغة أعلاه صحيحة فقط في حالة التشوهات الصغيرة؛ إذا كانت التشوهات كبيرة، فيمكن استخدام الصيغة التالية (الأكثر دقة):

${\displaystyle \Delta d=-d\left(1-{\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)}^{-\nu }\right)}$

أين

• د هو القطر الأصلي
• Δ d هو تغير قطر القضيب
• ν هي نسبة بواسون
• L هو الطول الأصلي قبل التمدد
• Δ L هو تغير الطول.

القيمة سلبية لأنها تتناقص مع زيادة الطول

بالنسبة لمادة خطية متساوية الخواص تخضع فقط لقوى ضغط (أي قوى عمودية)، فإن تشوه المادة في اتجاه محور واحد سيؤدي إلى تشوه المادة على طول المحور الآخر في ثلاثة أبعاد. وبالتالي، من الممكن تعميم قانون هوك (للقوى الانضغاطية) في ثلاثة أبعاد:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{xx}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{xx}-\nu \left(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{yy}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{yy}-\nu \left(\sigma _{zz}+\sigma _{xx}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{zz}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{zz}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}\right)\right]\end{aligned}}}$^{[ بحاجة لمصدر ]}

أين:

• ε _xx و ε _yy و ε _zz هي إجهادات في اتجاه x و y و z
• σ _xx و σ _yy و σ _zz هي إجهادات في اتجاه x و y و z
• E هو معامل يونج (نفس الشيء في جميع الاتجاهات للمواد المتجانسة)
• ν هي نسبة بواسون (نفس الشيء في جميع الاتجاهات للمواد المتجانسة)

يمكن تلخيص كل هذه المعادلات على النحو التالي:

${\displaystyle \varepsilon _{ii}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ii}(1+\nu )-\nu \sum _{k}\sigma _{kk} \يمين]}$

في الحالة الأكثر عمومية، سوف تنطبق أيضًا إجهادات القص تمامًا مثل الإجهادات العادية، ويتم التعميم الكامل لقانون هوك بواسطة:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sum _{k} \سيجما _ {كك}\يمين]}$

حيث δ _ij هي دلتا كرونيكر . عادةً ما يتم اعتماد صيغة أينشتاين :

${\displaystyle \sigma _{kk}\equiv \sum _{l}\delta _{kl}\sigma _{kl}}$

لكتابة المعادلة ببساطة على النحو التالي:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk} \يمين]}$

بالنسبة للمواد المتباينة الخواص، تعتمد نسبة بواسون على اتجاه الامتداد والتشوه العرضي

${\displaystyle {\begin{align}\nu (\mathbf {n} ,\mathbf {m})&=-E\left(\mathbf {n} \right)s_{ij\alpha \beta}n_{i }n_{j}m_{\alpha}m_{\beta}\\[4px]E^{-1}(\mathbf {n})&=s_{ij\alpha \beta}n_{i}n_{j }n_ {\alpha} n_ {\beta}\end{محاذاة}}}$

هنا ν هي نسبة بواسون، وE هي معامل يونج ، وn هو متجه وحدة موجه على طول اتجاه الامتداد، و m هو متجه وحدة موجه عموديًا على اتجاه الامتداد. تحتوي نسبة بواسون على عدد مختلف من الاتجاهات الخاصة اعتمادًا على نوع التباين. ^{[11] [12]}

تتميز المواد المتعامدة الخواص بثلاثة مستويات متعامدة متبادلة من التماثل في خصائصها المادية. ومن الأمثلة على ذلك الخشب، الذي يكون أكثر صلابة (وقوة) على طول الحبوب، وأقل صلابة في الاتجاهات الأخرى.

ومن ثم يمكن التعبير عن قانون هوك في شكل مصفوفة على النحو التالي ^{[13] [14]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

أين

• E _i هو معامل يونج على طول المحور i
• G _ij هو معامل القص في الاتجاه j على المستوى الذي يكون عموديه في الاتجاه i
• ν _ij هي نسبة بواسون التي تتوافق مع الانكماش في الاتجاه j عندما يتم تطبيق امتداد في الاتجاه i .

تختلف نسبة بواسون لمادة متعامدة في كل اتجاه ( x و y و z ). ومع ذلك، فإن تماثل موتر الإجهاد والانفعال يعني أن نسب بواسون الستة في المعادلة ليست مستقلة. هناك تسع خصائص مستقلة فقط للمواد: ثلاث وحدات مرونة وثلاث وحدات قص وثلاث نسب بواسون. يمكن الحصول على نسب بواسون الثلاث المتبقية من العلاقات

${\displaystyle {\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}}$

من العلاقات أعلاه يمكننا أن نرى أنه إذا كانت E _x > E _y فإن ν _xy > ν _yx . تسمى النسبة الأكبر (في هذه الحالة ν _xy ) بنسبة بواسون الكبرى بينما تسمى النسبة الأصغر (في هذه الحالة ν _yx ) بنسبة بواسون الصغرى . يمكننا إيجاد علاقات مماثلة بين نسب بواسون الأخرى.

تتمتع المواد المتجانسة عرضيًا بمستوى تجانس تكون فيه الخواص المرنة متجانسة الخواص. وإذا افترضنا أن هذا المستوى من التجانس هو المستوى yz ، فإن قانون هوك يأخذ الشكل ^[15]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {yz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {zx}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

حيث استخدمنا المستوى yz من الخواص المتساوية لتقليل عدد الثوابت، أي،

${\displaystyle E_{y}=E_{z},\qquad \nu _{xy}=\nu _{xz},\qquad \nu _{yx}=\nu _{zx}.}$.

يشير تناسق موتر الإجهاد والانفعال إلى أن

${\displaystyle {\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}={\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}},\qquad \nu _{yz}=\nu _{zy}.}$

وهذا يترك لنا ستة ثوابت مستقلة وهي E _Ex و E _y و G _xy و G _yz و ν _xy و ν _yz . ومع ذلك، فإن التماثل المستعرض يؤدي إلى قيد آخر بين G _yz و E _y و ν _yz وهو

${\displaystyle G_{yz}={\frac {E_{y}}{2\left(1+\nu _{yz}\right)}}.}$

لذلك، هناك خمس خصائص مستقلة للمواد المرنة، اثنتان منها هما نسب بواسون. بالنسبة لمستوى التناظر المفترض، فإن النسبة الأكبر بين ν _xy و ν _yx هي نسبة بواسون الكبرى. وتكون نسب بواسون الكبرى والصغرى الأخرى متساوية.

مادة	نسبة بواسون
ممحاة	0.4999 [17]
ذهب	0.42–0.44
طين مشبع	0.40–0.49
المغنيسيوم	0.252–0.289
التيتانيوم	0.265–0.34
نحاس	0.33
سبيكة الألومنيوم	0.32
فخار	0.30–0.45
الفولاذ المقاوم للصدأ	0.30–0.31
فُولاَذ	0.27–0.30
الحديد الزهر	0.21–0.26
رمل	0.20–0.455
أسمنت	0.1–0.2
زجاج	0.18–0.3
نظارات معدنية	0.276–0.409 [18]
رغوة	0.10–0.50
الفلين	0.0

مادة	مستوى التماثل	ن س ص	ن ي اكس	ن ييز	ن زي	ن زكس	ن xz
نواة قرص العسل من نومكس	xy ، شريط في اتجاه x	0.49	0.69	0.01	2.75	3.88	0.01
راتينج إيبوكسي من الألياف الزجاجية	س ص	0.29	0.32	0.06	0.06	0.32

تُظهر بعض المواد المعروفة بالمواد الأوكسيتيكية نسبة بواسون سلبية. عند تعرضها لإجهاد موجب في محور طولي، فإن الإجهاد العرضي في المادة سيكون موجبًا في الواقع (أي أنه سيزيد من مساحة المقطع العرضي). بالنسبة لهذه المواد، يكون ذلك عادةً بسبب الروابط الجزيئية ذات التوجه الفريد والمفصلية. لكي تتمدد هذه الروابط في الاتجاه الطولي، يجب أن "تنفتح" المفصلات في الاتجاه العرضي، مما يُظهر إجهادًا موجبًا بشكل فعال. ^[19] يمكن أيضًا القيام بذلك بطريقة منظمة ويؤدي إلى جوانب جديدة في تصميم المواد كما هو الحال بالنسبة للمواد الميكانيكية الفائقة .

أظهرت الدراسات أن بعض أنواع الأخشاب الصلبة تظهر نسبة بواسون سلبية حصريًا أثناء اختبار الزحف بالضغط . ^{[20] [21]} في البداية، يظهر اختبار الزحف بالضغط نسب بواسون موجبة، لكنه ينخفض ​​تدريجيًا حتى يصل إلى قيم سلبية. وبالتالي، يُظهر هذا أيضًا أن نسبة بواسون للخشب تعتمد على الوقت أثناء التحميل المستمر، مما يعني أن الانفعال في الاتجاه المحوري والعرضي لا يزداد بنفس المعدل.

قد تظهر الوسائط ذات البنية الدقيقة الهندسية نسبة بواسون سلبية. في حالة بسيطة، يتم الحصول على خاصية التكاثف عن طريق إزالة المادة وإنشاء وسائط مسامية دورية. ^[22] يمكن أن تصل الشبكات إلى قيم أقل من نسبة بواسون، ^[23] والتي يمكن أن تكون قريبة بشكل غير محدد من القيمة الحدية -1 في الحالة المتساوية الخواص. ^[24]

أكثر من ثلاثمائة مادة بلورية لها نسبة بواسون سلبية. ^{[25] [26] [27]} على سبيل المثال، Li، Na، K، Cu، Rb، Ag، Fe، Ni، Co، Cs، Au، Be، Ca، Zn Sr، Sb، MoS2 _وغيرها .

عند الانفعالات المحدودة ، لا يتم وصف العلاقة بين الانفعالات العرضية والمحورية ε _trans و ε _axial بشكل جيد عادةً بواسطة نسبة بواسون. في الواقع، غالبًا ما تُعتبر نسبة بواسون دالة للانفعال المطبق في نظام الانفعال الكبير. في مثل هذه الحالات، يتم استبدال نسبة بواسون بدالة بواسون، والتي يوجد لها العديد من التعريفات المتنافسة. ^[28] عند تعريف الامتداد العرضي λ _trans = ε _trans + 1 والامتداد المحوري λ _axial = ε _axial + 1 ، حيث يكون الامتداد العرضي دالة للامتداد المحوري، فإن أكثرها شيوعًا هي وظائف هنكي وبيوت وجرين وألمنسي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu ^{\text{Hencky}}&=-{\frac {\ln \lambda _{\text{trans}}}{\ln \lambda _{\text{axial}}}}\\[6pt]\nu ^{\text{Biot}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}}{\lambda _{\text{axial}}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Green}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}^{2}}{\lambda _{\text{axial}}^{2}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Almansi}}&={\frac {\lambda _{\text{trans}}^{-2}-1}{1-\lambda _{\text{axial}}^{-2}}}\end{aligned}}}$

أحد المجالات التي يكون فيها تأثير بواسون مؤثرًا بشكل كبير هو تدفق الأنابيب المضغوطة. عندما يكون الهواء أو السائل داخل الأنبوب تحت ضغط شديد فإنه يمارس قوة موحدة على الجزء الداخلي من الأنبوب، مما يؤدي إلى إجهاد حلقي داخل مادة الأنبوب. وبسبب تأثير بواسون، فإن هذا الإجهاد الحلقي سوف يتسبب في زيادة قطر الأنبوب وانخفاض طوله قليلاً. يمكن أن يكون لانخفاض الطول، على وجه الخصوص، تأثير ملحوظ على وصلات الأنابيب، حيث يتراكم التأثير لكل قسم من الأنبوب متصل على التوالي. قد يتم سحب المفصل المقيد بعيدًا أو يكون عرضة للفشل. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

مجال آخر لتطبيق تأثير بواسون هو في مجال الجيولوجيا البنيوية . فالصخور، مثل معظم المواد، تخضع لتأثير بواسون أثناء تعرضها للإجهاد. وفي مقياس زمني جيولوجي، يمكن للتآكل المفرط أو الترسيب لقشرة الأرض أن يخلق أو يزيل إجهادات رأسية كبيرة على الصخور الأساسية. وسوف تتمدد هذه الصخور أو تنكمش في الاتجاه الرأسي كنتيجة مباشرة للإجهاد المطبق، كما أنها ستتشوه في الاتجاه الأفقي نتيجة لتأثير بواسون. ويمكن أن يؤثر هذا التغيير في الإجهاد في الاتجاه الأفقي على المفاصل والإجهادات الخاملة في الصخور أو يشكلها. ^[29]

على الرغم من أن الفلين تم اختياره تاريخيًا لإغلاق زجاجة النبيذ لأسباب أخرى (بما في ذلك طبيعته الخاملة، وعدم نفاذيته، ومرونته، وقدرته على الإغلاق، والمرونة)، ^[30] فإن نسبة بواسون صفرية للفلين توفر ميزة أخرى. عندما يتم إدخال الفلين في الزجاجة، فإن الجزء العلوي الذي لم يتم إدخاله بعد لا يتمدد في القطر لأنه مضغوط محوريًا. تنشأ القوة اللازمة لإدخال الفلين في الزجاجة فقط من الاحتكاك بين الفلين والزجاجة بسبب الضغط الشعاعي للفلين. إذا كانت السدادة مصنوعة من المطاط، على سبيل المثال، (بنسبة بواسون تبلغ حوالي +0.5)، فستكون هناك قوة إضافية كبيرة نسبيًا مطلوبة للتغلب على التمدد الشعاعي للجزء العلوي من السدادة المطاطية.

يدرك معظم ميكانيكي السيارات أنه من الصعب سحب خرطوم مطاطي (مثل خرطوم سائل التبريد) من أنبوب معدني، حيث يتسبب شد السحب في انكماش قطر الخرطوم، مما يمسك بالجزء السفلي بإحكام. (هذا هو نفس التأثير كما هو موضح في مصيدة الأصابع الصينية ). يمكن دفع الخراطيم بسهولة أكبر من الأجزاء السفلية بدلاً من ذلك باستخدام شفرة مسطحة عريضة.

• المرونة الخطية
• قانون هوك
• تقنية إثارة النبضات
• مادة متعامدة
• معامل القص
• معامل يونغ
• معامل التمدد الحراري

• معنى نسبة بواسون
• المواد ذات نسبة بواسون السالبة
• المزيد عن المواد ذات نسبة بواسون السالبة (الأوكسيتيك) أرشيف 2018-02-08 على موقع واي باك مشين

صيغ التحويل
المواد المرنة الخطية المتجانسة المتساوية الخواص لها خصائص مرنة يتم تحديدها بشكل فريد من خلال أي وحدتين مرنتين من بين هذه المواد؛ وبالتالي، بالنظر إلى أي وحدتين مرنتين، يمكن حساب أي وحدة مرنة أخرى وفقًا لهذه الصيغ، وذلك لكل من المواد ثلاثية الأبعاد (الجزء الأول من الجدول) والمواد ثنائية الأبعاد (الجزء الثاني).
صيغ ثلاثية الأبعاد	${\displaystyle K=\,}$	${\displaystyle E=\,}$	${\displaystyle \lambda =\,}$	${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle \nu =\,}$	${\displaystyle M=\,}$	ملحوظات
${\displaystyle (K,\,E)}$			${\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$
${\displaystyle (K,\,\lambda )}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle 3K-2\lambda \,}$
${\displaystyle (K,\,G)}$		${\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}$
${\displaystyle (K,\,\nu )}$		${\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}$
${\displaystyle (K,\,M)}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3(M-K)}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{3K+M}}}$
${\displaystyle (E,\,\lambda )}$	${\displaystyle {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}}$			${\displaystyle {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +R}{2}}}$	${\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}$
${\displaystyle (E,\,G)}$	${\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$		${\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}$
${\displaystyle (E,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$
${\displaystyle (E,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {3M-E+S}{6}}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-E+S}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3M+E-S}{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-M+S}{4M}}}$		${\displaystyle S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}}$ هناك حلين صحيحين. علامة الجمع تؤدي إلى .${\displaystyle \nu \geq 0}$ علامة الطرح تؤدي إلى .${\displaystyle \nu \leq 0}$
${\displaystyle (\lambda ,\,G)}$	${\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}$			${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\displaystyle \lambda +2G\,}$
${\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}$	لا يمكن استخدامها عندما${\displaystyle \nu =0\Leftrightarrow \lambda =0}$
${\displaystyle (\lambda ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda }{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-\lambda }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}}$
${\displaystyle (G,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$			${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}$
${\displaystyle (G,\,M)}$	${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}$	${\displaystyle M-2G\,}$		${\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$
${\displaystyle (\nu ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M\nu }{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}}$
صيغ ثنائية الأبعاد	${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle E_{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle G_{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D} }=\,}$	ملحوظات
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })}$			${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })}$		${\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}$
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}$		${\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}$		${\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}$
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$		${\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}$
${\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}$	${\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}$			${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,}$
${\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	لا يمكن استخدامها عندما${\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0}$
${\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle 2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}$			${\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}$	${\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,}$		${\displaystyle {\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}}$