طرق بدون شبكة

في مجال التحليل العددي ، تُعرف الطرق غير الشبكية بأنها تلك التي لا تتطلب اتصالاً بين عُقد نطاق المحاكاة، أي شبكة ، بل تعتمد على تفاعل كل عقدة مع جميع جيرانها. ونتيجةً لذلك، لم تعد الخصائص الشاملة الأصلية ، مثل الكتلة أو الطاقة الحركية، تُنسب إلى عناصر الشبكة، بل إلى العُقد الفردية. تُمكّن الطرق غير الشبكية من محاكاة بعض أنواع المسائل الصعبة، ولكن بتكلفة وقت حسابي وجهد برمجي إضافيين. يسمح غياب الشبكة بإجراء محاكاة لاغرانجية ، حيث تتحرك العُقد وفقًا لحقل السرعة .

تم تعريف الطرق العددية، مثل طريقة الفروق المحدودة ، وطريقة الحجم المحدود ، وطريقة العناصر المحدودة ، في الأصل على شبكات من نقاط البيانات. في هذه الشبكة، لكل نقطة عدد ثابت من الجيران المحددين مسبقًا، ويمكن استخدام هذا الترابط بين الجيران لتعريف مؤثرات رياضية مثل المشتقة . تُستخدم هذه المؤثرات بعد ذلك لبناء المعادلات المراد محاكاتها، مثل معادلات أويلر أو معادلات نافيير-ستوكس .

لكن في عمليات المحاكاة التي تتحرك فيها المادة المراد محاكاتها (كما في ديناميكا الموائع الحسابية )، أو التي قد تحدث فيها تشوهات كبيرة (كما في محاكاة المواد البلاستيكية )، يصعب الحفاظ على ترابط الشبكة دون إدخال أخطاء في المحاكاة. فإذا تشابكت الشبكة أو تدهورت أثناء المحاكاة، فقد لا تعطي المعاملات المعرفة عليها قيمًا صحيحة. يمكن إعادة إنشاء الشبكة أثناء المحاكاة (وهي عملية تُسمى إعادة التشكيل الشبكي)، ولكن هذا قد يُدخل أخطاءً أيضًا، إذ يجب ربط جميع نقاط البيانات الموجودة بمجموعة جديدة ومختلفة من نقاط البيانات. تهدف الطرق غير الشبكية إلى معالجة هذه المشكلات. كما تُفيد الطرق غير الشبكية في:

• قد تكون عمليات المحاكاة التي يتم فيها إنشاء شبكة مفيدة من هندسة جسم ثلاثي الأبعاد معقد صعبة بشكل خاص أو تتطلب مساعدة بشرية
• عمليات المحاكاة التي قد يتم فيها إنشاء أو تدمير العقد، كما هو الحال في عمليات محاكاة التكسير.
• عمليات المحاكاة التي قد تتحرك فيها هندسة المشكلة خارج نطاق التوافق مع شبكة ثابتة، كما هو الحال في عمليات محاكاة الانحناء.
• عمليات المحاكاة التي تحتوي على سلوك مادي غير خطي، أو انقطاعات، أو نقاط تفرد.

في محاكاة الفروق المحدودة التقليدية ، يكون نطاق المحاكاة أحادية البعد عبارة عن دالة ما${\displaystyle u(x,t)}$، ممثلة كشبكة من قيم البيانات${\displaystyle u_{i}^{n}}$في بعض النقاط${\displaystyle x_{i}}$، أين

${\displaystyle i=0,1,2...}$

${\displaystyle n=0,1,2...}$

${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}=h\ \forall i}$

${\displaystyle t_{n+1}-t_{n}=k\ \forall n}$

يمكننا تعريف المشتقات التي تظهر في المعادلة التي تتم محاكاتها باستخدام بعض صيغ الفروق المحدودة على هذا المجال، على سبيل المثال

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n} \over 2h}}$

و

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}={u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n} \over k}}$

ثم يمكننا استخدام هذه التعريفات لـ${\displaystyle u(x,t)}$ومشتقاتها المكانية والزمانية لكتابة المعادلة التي تتم محاكاتها في شكل الفروق المحدودة، ثم محاكاة المعادلة باستخدام إحدى طرق الفروق المحدودة العديدة .

في هذا المثال البسيط، الخطوات (هنا الخطوة المكانية)${\displaystyle h}$والخطوة الزمنية${\displaystyle k}$) ثابتة على طول الشبكة بأكملها، وجيران الشبكة الأيسر والأيمن لقيمة البيانات عند${\displaystyle x_{i}}$القيم عند${\displaystyle x_{i-1}}$و${\displaystyle x_{i+1}}$على التوالي. عمومًا، في طريقة الفروق المحدودة، يمكن السماح ببساطة بخطوات متغيرة على طول الشبكة، ولكن يجب الحفاظ على جميع العقد الأصلية، ولا يمكنها التحرك بشكل مستقل إلا بتشويه العناصر الأصلية. إذا تغير ترتيب عقدتين فقط من بين جميع العقد، أو حتى إذا أُضيفت عقدة واحدة إلى المحاكاة أو أُزيلت منها، فإن ذلك يُحدث خللًا في الشبكة الأصلية، ولا يمكن تطبيق تقريب الفروق المحدودة البسيط.

تُعالج ديناميكا الموائع الجزيئية الملساء (SPH)، وهي إحدى أقدم الطرق غير الشبكية، هذه المشكلة من خلال التعامل مع نقاط البيانات كجسيمات فيزيائية ذات كتلة وكثافة يمكنها التحرك بمرور الوقت، وتحمل قيمة معينة.${\displaystyle u_{i}}$معهم. ثم تحدد SPH قيمة${\displaystyle u(x,t)}$بين الجزيئات بواسطة

${\displaystyle u(x,t_{n})=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}W(|x-x_{i}|)}$

أين${\displaystyle m_{i}}$كتلة الجسيم${\displaystyle i}$،${\displaystyle \rho _{i}}$هي كثافة الجسيم${\displaystyle i}$، و${\displaystyle W}$هي دالة نواة تعمل على نقاط البيانات المجاورة، وقد تم اختيارها لسلاستها وخصائصها المفيدة الأخرى. وبفضل خاصية الخطية، يمكننا كتابة المشتقة المكانية على النحو التالي:

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}{\partial W(|x-x_{i}|) \over \partial x}}$

ثم يمكننا استخدام هذه التعريفات لـ${\displaystyle u(x,t)}$ومشتقاتها المكانية لكتابة المعادلة المراد محاكاتها كمعادلة تفاضلية عادية ، ومحاكاة المعادلة باستخدام إحدى الطرق العددية العديدة . من الناحية الفيزيائية، يعني هذا حساب القوى بين الجسيمات، ثم تكامل هذه القوى مع الزمن لتحديد حركتها.

تتمثل ميزة طريقة SPH في هذه الحالة في أن الصيغ لـ${\displaystyle u(x,t)}$ومشتقاتها لا تعتمد على أي معلومات مجاورة حول الجسيمات؛ يمكنها استخدام الجسيمات بأي ترتيب، لذلك لا يهم ما إذا كانت الجسيمات تتحرك أو حتى تتبادل الأماكن.

من عيوب طريقة SPH أنها تتطلب برمجة إضافية لتحديد أقرب الجيران للجسيم. نظرًا لأن دالة النواة${\displaystyle W}$لا تُرجع هذه الطريقة نتائج غير صفرية إلا للجسيمات القريبة التي تقع ضمن ضعف "طول التنعيم" (لأننا عادةً ما نختار دوال النواة ذات الدعم المحدود )، لذا فإن حساب المجاميع المذكورة أعلاه على كل جسيم في محاكاة كبيرة يُعد مضيعة للجهد. لذلك، تتطلب محاكيات SPH عادةً بعض التعليمات البرمجية الإضافية لتسريع حساب أقرب جار.

تُعدّ ديناميكا الموائع الجزيئية الملساء ( SPH ) من أوائل الطرق غير الشبكية ، وقد طُرحت عام 1977. ^{[ 1 ]} وكان ليبرسكي وآخرون ^{[ 2 ]} أول من طبّق هذه الطريقة في ميكانيكا المواد الصلبة. وتتمثل أبرز عيوبها في عدم دقة النتائج قرب الحدود وعدم استقرار الشد، الذي درسه سويجل لأول مرة. ^{[ 3 ]}

في تسعينيات القرن الماضي، ظهر جيل جديد من الطرق غير الشبكية القائمة على طريقة غاليركين . هذه الطريقة الأولى، المسماة طريقة العناصر المنتشرة ^{[ 4 ]} (DEM)، والتي طوّرها نيرولز وآخرون، استخدمت تقريب المربعات الصغرى المتعددة (MLS) في حل غاليركين للمعادلات التفاضلية الجزئية، مع مشتقات تقريبية لدالة MLS. بعد ذلك، طوّر بيليتشكو طريقة غاليركين الخالية من العناصر (EFG) ^{[ 5 ]} ، والتي استخدمت MLS مع مُضاعِفات لاغرانج لفرض الشروط الحدية، والتكامل العددي ذي الرتبة الأعلى في صيغته الضعيفة، والمشتقات الكاملة لتقريب MLS، مما أدى إلى دقة أفضل. في نفس الفترة تقريبًا، ظهرت طريقة جسيمات النواة المُستنسخة ^{[ 6 ]} (RKPM)، وكان التقريب مُستوحى جزئيًا من تصحيح تقدير النواة في طريقة الجسيمات الملساء (SPH): لتحقيق دقة بالقرب من الحدود، وفي التجزئات غير المنتظمة، ودقة أعلى بشكل عام. جدير بالذكر أنه في تطور موازٍ، طُوّرت طرق النقاط المادية في نفس الفترة تقريبًا ^{[ 7 ]} ، والتي توفر إمكانيات مماثلة. تُستخدم طرق النقاط المادية على نطاق واسع في صناعة السينما لمحاكاة ميكانيكا المواد الصلبة ذات التشوه الكبير، مثل الثلج في فيلم فروزن ^{[ 8 ]} . وقد طُوّرت طريقة RKPM وغيرها من الطرق غير الشبكية على نطاق واسع من قِبل تشين وليو ولي في أواخر التسعينيات لتطبيقات متنوعة وأنواع مختلفة من المسائل ^{[ 9 ]} . وخلال التسعينيات وما بعدها، طُوّرت عدة أنواع أخرى، بما في ذلك تلك المذكورة أدناه.

تُعتبر الطرق العددية التالية عمومًا ضمن فئة الطرق "غير الشبكية". وقد وردت الاختصارات بين قوسين.

• ديناميكا الموائع الجزيئية الملساء (SPH) (1977)
• طريقة العناصر المنتشرة (DEM) (1992)
• ديناميكيات الجسيمات المبددة (DPD) (1992)
• طريقة غاليركين الخالية من العناصر (EFG / EFGM) (1994)
• طريقة الجسيمات ذات النواة المتكررة (RKPM) (1995)
• طريقة النقطة المحدودة (FPM) (1996)
• طريقة مجموعة النقاط المحدودة (FPM) (1998)
• إتش بي كلاودز
• طريقة العناصر الطبيعية (NEM)
• طريقة النقطة المادية (MPM)
• طريقة بيتروف غاليركين المحلية غير الشبكية (MLPG) (1998) ^{[ 10 ]}
• صياغة الشبكة الخالية من الإجهاد المعمم (GSMF) (2016) ^{[ 11 ]}
• الجسيم المتحرك شبه الضمني (MPS)
• طريقة الفروق المحدودة المعممة (GFDM) ^{[ 12 ] [ 13 ]}
• الجسيمات داخل الخلية (PIC)
• طريقة العناصر المحدودة للجسيمات المتحركة (MPFEM)
• طريقة السحابة المحدودة (FCM)
• طريقة العقدة الحدودية (BNM)
• طريقة كريجينج المتحركة بدون شبكة (MK)
• طريقة السحابة الحدودية (BCM)
• طريقة الحلول الأساسية (MFS)
• طريقة المحلول الخاص (MPS)
• طريقة الكرات المحدودة (MFS)
• طريقة الدوامة المنفصلة (DVM)
• طريقة جسيم النواة المتكررة (RKPM) (1995) ^{[ 14 ]}
• طريقة الجسيمات ذات النواة المعاد إنتاجها المعممة / التدرج (2011) ^{[ 15 ]}
• طريقة الكتلة المحدودة (FMM) (2000) ^{[ 16 ]}
• طريقة الاستيفاء النقطي المُنعّم (S-PIM) (2005). ^{[ 17 ]}
• طريقة الاستيفاء النقطي الشعاعي المحلي غير الشبكي (RPIM). ^{[ 17 ]}
• طريقة التجميع باستخدام الدوال الأساسية الشعاعية المحلية (LRBFCM) ^{[ 18 ]}
• طريقة نطاقات الدوامات اللزجة (VVD)
• طريقة تكسير الجسيمات (CPM) (2004)
• طريقة المربعات الصغرى المنفصلة بدون شبكة (DLSM) (2006)
• طريقة الجسيمات المغمورة (IPM) (2006)
• طريقة النقل الأمثل بدون شبكة (OTM) (2010) ^{[ 19 ]}
• طريقة الاستبدال المتكرر (RRM) (2012) ^{[ 20 ]}
• طريقة معادلة التكامل الأساسية الشعاعية ^{[ 21 ]}
• طريقة التجميع المربع الأدنى بدون شبكة (2001) ^{[ 22 ]}
• طريقة الدوال الأساسية الأسية (EBFs) (2010) ^{[ 23 ]}

الطرق ذات الصلة:

• طريقة المربعات الصغرى المتحركة (MLS) - توفر طريقة تقريب عامة لمجموعة عشوائية من العقد
• طرق تجزئة الوحدة (PoUM) – توفر صيغة تقريبية عامة تُستخدم في بعض الطرق غير الشبكية
• طريقة المزج المستمر (إثراء وربط العناصر المحدودة وطرق الشبكة غير الشبكية) - انظر Huerta & Fernández-Méndez (2000)
• طريقة العناصر المحدودة الموسعة (XFEM) ، وطريقة العناصر المحدودة المعممة (GFEM) - وهما نوعان من طريقة العناصر المحدودة (FEM) يجمعان بعض الجوانب غير الشبكية.
• طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة (S-FEM) (2007)
• طريقة التنعيم بالتدرج (GSM) (2008)
• تطوير جيل العقدة الأمامية (AFN) ^{[ 24 ]}
• أقصى إنتروبيا محلية (LME) - انظر Arroyo & Ortiz (2006)
• طريقة التجميع الخالية من الشبكة المكانية والزمانية (STMCM) - انظر Netuzhylov (2008) ، Netuzhylov & Zilian (2009)
• طريقة العناصر المحدودة للواجهة الخالية من الشبكة (MIFEM) (2015) - طريقة هجينة للعناصر المحدودة الخالية من الشبكة للمحاكاة العددية لتحول الطور ومشاكل التدفق متعدد الأطوار ^{[ 25 ]}

تتمثل المجالات الرئيسية للتطور في الطرق غير الشبكية في معالجة مشكلات تطبيق الشروط الحدية الأساسية، والتكامل العددي، والتلامس والتشوهات الكبيرة. ^{[ 26 ]} يتطلب الشكل الضعيف الشائع تطبيقًا قويًا للشروط الحدية الأساسية، إلا أن الطرق غير الشبكية تفتقر عمومًا إلى خاصية دلتا كرونكر . وهذا يجعل تطبيق الشروط الحدية الأساسية أمرًا معقدًا، بل وأكثر صعوبة من طريقة العناصر المحدودة ، حيث يمكن تطبيقها مباشرةً. وقد طُوّرت تقنيات للتغلب على هذه الصعوبة وتطبيق الشروط بقوة. كما طُوّرت عدة طرق لتطبيق الشروط الحدية الأساسية بشكل ضعيف ، بما في ذلك مُضاعِفات لاغرانج ، وطريقة نيتشه، وطريقة الجزاء.

فيما يخص التكامل العددي ، يُفضّل عمومًا التكامل العقدي لما يوفره من بساطة وكفاءة، ولأنه يُبقي الطريقة غير الشبكية خالية من أي شبكة (على عكس استخدام تكامل جاوس العددي الذي يتطلب شبكة لتوليد نقاط وأوزان التكامل). مع ذلك، يُعاني التكامل العقدي من عدم استقرار عددي نتيجة التقليل من تقدير طاقة الانفعال المرتبطة بأنماط الموجات القصيرة، ^{[ 27 ]} كما يُنتج نتائج غير دقيقة وغير متقاربة بسبب نقص التكامل في الشكل الضعيف. ^{[ 28 ]} ومن أهم التطورات في التكامل العددي تطوير التكامل العقدي المتوافق المُستقر (SCNI) الذي يُوفر طريقة تكامل عقدي لا تُعاني من أي من هاتين المشكلتين. ^{[ 28 ]} تعتمد هذه الطريقة على تنعيم الانفعال الذي يُحقق اختبار الرقعة من الدرجة الأولى . مع ذلك، تبيّن لاحقًا أن أنماط الطاقة المنخفضة لا تزال موجودة في SCNI، فتم تطوير طرق استقرار إضافية. طُبقت هذه الطريقة على مجموعة متنوعة من المشكلات، بما في ذلك الصفائح الرقيقة والسميكة، وميكانيكا المسام، والمشكلات التي يهيمن عليها الحمل الحراري، وغيرها. ^{[ 26 ]} ومؤخرًا، طُوّر إطار عمل لاجتياز اختبارات الرقع ذات الرتبة العشوائية، استنادًا إلى طريقة بيتروف-غاليركين . ^{[ 29 ]}

يهدف أحد التطورات الحديثة في أساليب التحليل غير الشبكي إلى تطوير أدوات حسابية لأتمتة عمليات النمذجة والمحاكاة. ويتحقق ذلك من خلال ما يُعرف بصيغة الضعف الضعيف المُضعف (W2) القائمة على نظرية فضاء G. ^{[ 30 ] [ 31 ]} تُتيح صيغة W2 إمكانية صياغة نماذج "مرنة" متنوعة (بشكل موحد) تعمل بكفاءة مع الشبكات المثلثية. ونظرًا لإمكانية توليد شبكة مثلثية تلقائيًا، يصبح إعادة تشكيل الشبكة أسهل بكثير، مما يُتيح أتمتة عمليات النمذجة والمحاكاة. إضافةً إلى ذلك، يُمكن جعل نماذج W2 مرنة بدرجة كافية (بشكل موحد) لإنتاج حلول ذات حدود عليا (لمسائل القيادة بالقوة). وبالاقتران مع النماذج الصلبة (مثل نماذج العناصر المحدودة المتوافقة تمامًا)، يُمكن تحديد حدود الحل بسهولة من كلا الجانبين. وهذا يُتيح تقدير الخطأ بسهولة للمسائل المعقدة عمومًا، طالما أمكن توليد شبكة مثلثية. ومن الأمثلة النموذجية على نماذج W2 طريقة الاستيفاء النقطي المُنعّم (S-PIM). ^{[ 17 ]} يمكن أن يكون نموذج S-PIM قائمًا على العقد (يُعرف باسم NS-PIM أو LC-PIM)، ^{[ 32 ]} أو قائمًا على الحواف (ES-PIM)، ^{[ 33 ]} أو قائمًا على الخلايا (CS-PIM). ^{[ 34 ]} طُوِّر نموذج NS-PIM باستخدام تقنية SCNI. ^{[ 28 ]} ثم اكتُشف أن NS-PIM قادر على إنتاج حلول الحد الأعلى دون تقييد الحجم. ^{[ 35 ]} وُجد أن ES-PIM متفوق من حيث الدقة، بينما يتصرف CS-PIM بين NS-PIM وES-PIM. علاوة على ذلك، تسمح صيغ W2 باستخدام دوال الأساس متعددة الحدود والشعاعية في إنشاء دوال الشكل (فهي تستوعب دوال الإزاحة غير المتصلة، طالما أنها في فضاء G1)، مما يفتح آفاقًا أوسع للتطويرات المستقبلية. أدت صياغة W2 أيضًا إلى تطوير دمج تقنيات الشبكة غير الشبكية مع تقنيات العناصر المحدودة المتطورة، وأصبح بالإمكان الآن استخدام شبكة مثلثية بدقة فائقة ونعومة مطلوبة. ومن الأمثلة النموذجية على هذه الصياغات ما يُعرف بطريقة العناصر المحدودة المُنعّمة (S-FEM). ^{[ 36 ]} تُعدّ S-FEM النسخة الخطية من S-PIM، ولكنها تتمتع بمعظم خصائص S-PIM، وهي أبسط بكثير.

يسود اعتقادٌ عام بأن الطرق غير الشبكية أغلى بكثير من نظيراتها القائمة على طريقة العناصر المحدودة. إلا أن دراسة حديثة وجدت أن بعض الطرق غير الشبكية، مثل S-PIM وS-FEM، قد تكون أسرع بكثير من نظيراتها القائمة على طريقة العناصر المحدودة. ^{[ 17 ] [ 36 ]}

تُعدّ طريقتَا S-PIM وS-FEM فعّالتين في حلّ مسائل ميكانيكا المواد الصلبة. أما في مسائل ديناميكا الموائع الحسابية (CFD)، فيمكن تبسيط الصياغة باستخدام الصياغة القوية. وقد طُوّرت مؤخرًا طريقةٌ جديدةٌ تُسمى طريقة التنعيم بالتدرج (GSM) لمسائل ديناميكا الموائع الحسابية، حيث تُطبّق فكرة التنعيم بالتدرج بصيغة قوية. ^{[ 37 ] [ 38 ]} تُشبه طريقة التنعيم بالتدرج طريقة الحجم المحدود (FVM)، ولكنها تستخدم عمليات التنعيم بالتدرج حصريًا بطريقة متداخلة، وهي طريقة عددية عامة للمعادلات التفاضلية الجزئية.

تم اقتراح التكامل العقدي كتقنية لاستخدام العناصر المحدودة لمحاكاة سلوك الشبكة غير المتصلة. ومع ذلك، فإن العقبة التي يجب التغلب عليها في استخدام العناصر المتكاملة عقديًا هي أن الكميات عند النقاط العقدية غير متصلة، وأن العقد مشتركة بين عناصر متعددة.

• ميكانيكا الأوساط المتصلة
• طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة
• شوفان لي
• شكل ضعيف مُضعَّف
• طريقة العناصر الحدية
• طريقة الحدود المغمورة
• رمز الاستنسل
• طريقة الجسيمات

• مدونة USACM حول الطرق غير الشبكية