انتشار عدم اليقين

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 148 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، يُعرف انتشار عدم اليقين بأنه تأثير عدم اليقين في المتغيرات على عدم اليقين في دالة مبنية عليها. عندما تكون المتغيرات هي قيم القياسات التجريبية، فإنها تتضمن عدم يقين ناتج عن قيود القياس (مثل دقة الجهاز )، والذي ينتشر نتيجة لتداخل المتغيرات في الدالة.

يمكن التعبير عن عدم اليقين u بعدة طرق. يُمكن تعريفه بالخطأ المطلق Δx . كما يُمكن تعريفه بالخطأ النسبي (Δx ) / x ، والذي يُكتب عادةً كنسبة مئوية. في أغلب الأحيان، يُقاس عدم اليقين في كمية ما بالانحراف المعياري σ ، وهو الجذر التربيعي الموجب للتباين . تُعبّر قيمة الكمية وخطئها حينها عن فترة x ± u . مع ذلك، فإن الطريقة الأكثر عمومية لتوصيف عدم اليقين هي تحديد توزيعه الاحتمالي . إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير معروفًا أو يُمكن افتراضه، فمن الممكن نظريًا الحصول على أي من إحصائياته. على وجه الخصوص، يُمكن اشتقاق حدود ثقة لوصف المنطقة التي يُمكن إيجاد القيمة الحقيقية للمتغير ضمنها. على سبيل المثال، حدود الثقة بنسبة 68٪ لمتغير أحادي البعد ينتمي إلى التوزيع الطبيعي هي تقريبًا ± انحراف معياري واحد σ من القيمة المركزية x ، مما يعني أن المنطقة x ± σ ستغطي القيمة الحقيقية في حوالي 68٪ من الحالات.

إذا كانت حالات عدم اليقين مترابطة ، فيجب مراعاة التباين المشترك . يمكن أن ينشأ الارتباط من مصدرين مختلفين. أولاً، قد تكون أخطاء القياس مترابطة. ثانياً، عندما تكون القيم الأساسية مترابطة عبر مجموعة سكانية، فإن حالات عدم اليقين في متوسطات المجموعة ستكون مترابطة. [ 1 ]

في سياق عام حيث تُعدّل دالة غير خطية المعاملات غير المؤكدة (سواء كانت مترابطة أم لا)، فإن الأدوات القياسية لنشر عدم اليقين واستنتاج توزيع الاحتمالات/الإحصائيات الناتجة هي تقنيات أخذ العينات من عائلة طرق مونت كارلو . [ 2 ] بالنسبة لمجموعات البيانات الكبيرة جدًا أو الدوال المعقدة، قد يكون حساب انتشار الخطأ مكلفًا للغاية، مما قد يستدعي استخدام نموذج بديل [ 3 ] أو استراتيجية الحوسبة المتوازية [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] .

في بعض الحالات الخاصة، يمكن إجراء حساب انتشار عدم اليقين من خلال إجراءات جبرية مبسطة. بعض هذه السيناريوهات موضحة أدناه.

التركيبات الخطية

يترك{وك(x1،x2،...،xن)}{\displaystyle \{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}}لتكن مجموعة من m دالة، وهي عبارة عن تركيبات خطية منن{\displaystyle n}المتغيراتx1،x2،...،xن{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}بمعاملات التجميعأك1،أك2،...،أكن،(ك=1،...،م){\displaystyle A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn},(k=1,\dots ,m)}: وك=∑أنا=1نأكأناxأنا،{\displaystyle f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i},} أو باستخدام تدوين المصفوفات، و=أx.{\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {A} \mathbf {x} .}

ولنرمز أيضًا إلى مصفوفة التباين والتباين المشترك لـ x = ( x1 , ..., xn ) بالرمز التالي :Σx{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}ولنرمز إلى القيمة المتوسطة بـμ{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}: Σx=هـ⁡[(x-μ)⊗(x-μ)]=(σ12σ12σ13⋯σ21σ22σ23⋯σ31σ32σ32⋯⋮⋮⋮⋱)=(Σ11xΣ12xΣ13x⋯Σ21xΣ22xΣ23x⋯Σ31xΣ32xΣ33x⋯⋮⋮⋮⋱).{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Sigma }}^{x}=\operatorname {E} [(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]&={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{21}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{31}^{x}&{\Sigma }_{32}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.\end{aligned}}}⊗{\displaystyle \otimes }هو المنتج الخارجي .

ثم مصفوفة التباين والتباين المشتركΣو{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}دالة f معطاة بالصيغة التالية Σو=هـ⁡[(و-هـ⁡[و])⊗(و-هـ⁡[و])]=هـ⁡[أ(x-μ)⊗أ(x-μ)]=أهـ⁡[(x-μ)⊗(x-μ)]أتي=أΣxأتي.{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Sigma }}^{f}&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {f} -\operatorname {E} [\mathbf {f} ])\otimes (\mathbf {f} -\operatorname {E} [\mathbf {f} ])\right]=\operatorname {E} \left[\mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes \mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\right]\\[1ex]&=\mathbf {A} \operatorname {E} \left[(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\right]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}

في تدوين المكونات، المعادلة Σو=أΣxأتي{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }} يقرأ Σأناجو=∑كن∑لنأأناكΣكلxأجل.{\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x}A_{jl}.}

هذا هو التعبير الأكثر عمومية لانتقال الخطأ من مجموعة متغيرات إلى أخرى. عندما تكون الأخطاء في x غير مترابطة، يتبسط التعبير العام إلى Σأناجو=∑كنأأناكΣكxأجك،{\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},} أينΣكx=σxك2{\displaystyle \Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}}يمثل تباين العنصر رقم k من المتجه x . لاحظ أنه على الرغم من أن الأخطاء في x قد تكون غير مترابطة، فإن الأخطاء في f تكون مترابطة بشكل عام؛ بمعنى آخر، حتى لوΣx{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}هي مصفوفة قطرية ،Σو{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}هي بشكل عام مصفوفة كاملة.

تكون الصيغ العامة للدالة ذات القيمة العددية f أبسط قليلاً (حيث a هو متجه صف ): و=∑أنانأأناxأنا=أx،{\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax} ,}σو2=∑أنان∑جنأأناΣأناجxأج=أΣxأتي.{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.}

كل مصطلح من مصطلحات التغايرσأناج{\displaystyle \sigma _{ij}}يمكن التعبير عنها بدلالة معامل الارتباطρأناج{\displaystyle \rho _{ij}}بواسطةσأناج=ρأناجσأناσج{\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}وبالتالي، فإن التعبير البديل لتباين f هو σو2=∑أنانأأنا2σأنا2+∑أنان∑ج(ج≠أنا)نأأناأجρأناجσأناσج.{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}

في حالة عدم وجود ارتباط بين المتغيرات في x ، يتبسط الأمر أكثر إلى σو2=∑أنانأأنا2σأنا2.{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.}

في الحالة البسيطة للمعاملات والتباينات المتطابقة، نجد σو=ن|أ|σ.{\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .}

بالنسبة للمتوسط ​​الحسابي،أ=1/ن{\displaystyle a=1/n}والنتيجة هي الخطأ المعياري للمتوسط : σو=σن.{\displaystyle \sigma _{f}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}

التركيبات غير الخطية

عندما تكون f مجموعة من التراكيب غير الخطية للمتغيرات x ، يمكن إجراء عملية نشر الفترات لحساب الفترات التي تحتوي على جميع القيم المتسقة للمتغيرات. في المنهج الاحتمالي، يجب عادةً تقريب الدالة f إلى متسلسلة تايلور من الدرجة الأولى ، مع أنه في بعض الحالات، يمكن اشتقاق صيغ دقيقة لا تعتمد على هذه المتسلسلة، كما هو الحال بالنسبة للتباين الدقيق للمنتجات. [ 7 ] وتكون متسلسلة تايلور كما يلي: وك≈وك0+∑أنان∂وك∂xأناxأنا{\displaystyle f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}} أين∂وك/∂xأنا{\displaystyle \partial f_{k}/\partial x_{i}}يرمز إلى المشتقة الجزئية للدالة f k بالنسبة للمتغير i ، محسوبة عند متوسط ​​قيمة جميع مكونات المتجه x . أو بصيغة المصفوفة ، و≈و0+جx{\displaystyle \mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,} حيث J هي مصفوفة جاكوبي . بما أن f₀ ثابت ، فإنه لا يُساهم في الخطأ على f. لذلك، يتبع انتشار الخطأ الحالة الخطية المذكورة أعلاه، ولكن باستبدال المعاملات الخطية، Aₖᵢ و Aₖᵢⱼ ، بالمشتقات الجزئية.∂وك∂xأنا{\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}}و∂وك∂xج{\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}في تدوين المصفوفات، [ 8 ]Σو=جΣxج⊤.{\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.}

أي أن مصفوفة جاكوبي للدالة تُستخدم لتحويل صفوف وأعمدة مصفوفة التباين والتباين المشترك للمتغير. لاحظ أن هذا يُكافئ التعبير المصفوفي للحالة الخطية معج=أ{\displaystyle \mathrm {J=A} }.

تبسيط

إن إهمال الارتباطات أو افتراض المتغيرات المستقلة يؤدي إلى صيغة شائعة بين المهندسين والعلماء التجريبيين لحساب انتشار الخطأ، وهي صيغة التباين: [ 9 ]sو=(∂و∂x)2sx2+(∂و∂y)2sy2+(∂و∂z)2sz2+⋯{\displaystyle s_{f}={\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}s_{x}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}s_{y}^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}s_{z}^{2}+\cdots }}} أينsو{\displaystyle s_{f}}يمثل الانحراف المعياري للدالةو{\displaystyle f}،sx{\displaystyle s_{x}}يمثل الانحراف المعياري لـx{\displaystyle x}،sy{\displaystyle s_{y}}يمثل الانحراف المعياري لـy{\displaystyle y}وهكذا دواليك.

تعتمد هذه الصيغة على الخصائص الخطية لتدرجو{\displaystyle f}وبالتالي، فهو تقدير جيد للانحراف المعياري لـو{\displaystyle f}طالماsx،sy،sz،...{\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }صغيرة بما يكفي. على وجه التحديد، التقريب الخطي لـو{\displaystyle f}يجب أن يكون قريبًا منو{\displaystyle f}داخل حي نصف قطرهsx،sy،sz،...{\displaystyle s_{x},s_{y},s_{z},\ldots }[ 10 ]​

مثال

أي دالة قابلة للتفاضل غير خطية ،و(أ،ب){\displaystyle f(a,b)}، من متغيرين،أ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}، ويمكن توسيعها لتصبح و≈و0+∂و∂أأ+∂و∂بب.{\displaystyle f\approx f^{0}+{\frac {\partial f}{\partial a}}a+{\frac {\partial f}{\partial b}}b.} إذا أخذنا التباين على كلا الجانبين واستخدمنا الصيغة [ 11 ] لتباين توليفة خطية من المتغيرات متغير⁡(أX+بY)=أ2متغير⁡(X)+ب2متغير⁡(Y)+2أبكوف⁡(X،Y)،{\displaystyle \operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)+2ab\operatorname {Cov} (X,Y),} ثم نحصل على σو2≈|∂و∂أ|2σأ2+|∂و∂ب|2σب2+2∂و∂أ∂و∂بσأب،{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left|{\frac {\partial f}{\partial a}}\right|^{2}\sigma _{a}^{2}+\left|{\frac {\partial f}{\partial b}}\right|^{2}\sigma _{b}^{2}+2{\frac {\partial f}{\partial a}}{\frac {\partial f}{\partial b}}\sigma _{ab},} أينσو{\displaystyle \sigma _{f}}يمثل الانحراف المعياري للدالةو{\displaystyle f}،σأ{\displaystyle \sigma _{a}}هو الانحراف المعياري لـأ{\displaystyle a}،σب{\displaystyle \sigma _{b}}هو الانحراف المعياري لـب{\displaystyle b}وσأب=σأσبρأب{\displaystyle \sigma _{ab}=\sigma _{a}\sigma _{b}\rho _{ab}}هو التباين المشترك بينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}.

في الحالة الخاصة التيو=أب{\displaystyle f=ab}،∂و∂أ=ب{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial a}}=b}،∂و∂ب=أ{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial b}}=a}. ثم σو2≈ب2σأ2+أ2σب2+2أبσأب{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx b^{2}\sigma _{a}^{2}+a^{2}\sigma _{b}^{2}+2ab\,\sigma _{ab}} أو (σوو)2≈(σأأ)2+(σبب)2+2(σأأ)(σبب)ρأب{\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}+2\left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)\rho _{ab}} أينρأب{\displaystyle \rho _{ab}}هل العلاقة بينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}.

عندما تكون المتغيراتأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}غير مترابطة،ρأب=0{\displaystyle \rho _{ab}=0}. ثم (σوو)2≈(σأأ)2+(σبب)2.{\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{b}}{b}}\right)^{2}.}

تحذيرات وتنبيهات

تتأثر تقديرات الخطأ للدوال غير الخطية بالتحيز نتيجة استخدام متسلسلة منقوصة. ويعتمد مدى هذا التحيز على طبيعة الدالة. فعلى سبيل المثال، يزداد التحيز في الخطأ المحسوب لـ log(1+ x ) مع ازدياد قيمة x ، لأن التوسيع إلى x لا يمثل تقريبًا جيدًا إلا عندما تكون x قريبة من الصفر.

بالنسبة للوظائف غير الخطية للغاية، توجد خمس فئات من الأساليب الاحتمالية لنشر عدم اليقين؛ [ 12 ] انظر تحديد كمية عدم اليقين لمزيد من التفاصيل.

المقلوب والمقلوب المزاح

في الحالة الخاصة للمعكوس أو المقلوب1/ب{\displaystyle 1/B}، أينب=شمال(0،1){\displaystyle B=N(0,1)}إذا اتبعت التوزيع الطبيعي القياسي ، فإن التوزيع الناتج هو توزيع طبيعي قياسي معكوس، ولا يوجد تباين قابل للتحديد. [ 13 ]

ومع ذلك، في الحالة الأكثر عمومية لدالة متبادلة مُزاحة1/(ص-ب){\displaystyle 1/(p-B)}لب=شمال(μ،σ){\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}إذا اتبعت التوزيع الطبيعي العام، فإن إحصاءات المتوسط ​​والتباين موجودة بمعنى القيمة الرئيسية ، إذا كان الفرق بين القطبينص{\displaystyle p}والمتوسطμ{\displaystyle \mu }ذات قيمة حقيقية. [ 14 ]

النسب

تُعد النسب أيضاً إشكالية؛ إذ توجد تقريبات طبيعية في ظل ظروف معينة.

أمثلة على الصيغ

يُظهر هذا الجدول التباينات والانحرافات المعيارية للدوال البسيطة للمتغيرات الحقيقيةأ،ب{\displaystyle A,B}مع الانحرافات المعياريةσأ،σب،{\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},}التغايرσأب=ρأبσأσب،{\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B},}والارتباطρأب.{\displaystyle \rho _{AB}.}المعاملات ذات القيم الحقيقيةأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}يُفترض أن تكون معروفة بدقة (حتمية)، أيσأ=σب=0.{\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0.}

في الأعمدة اليمنى من الجدول،أ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}هي القيم المتوقعة ، وو{\displaystyle f}هي قيمة الدالة المحسوبة عند تلك القيم.

وظيفةالتباينالانحراف المعياري
و=أأ{\displaystyle f=aA\,}σو2=أ2σأ2{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}}σو=|أ|σأ{\displaystyle \sigma _{f}=|a|\sigma _{A}}
و=أ+ب{\displaystyle f=A+B}σو2=σأ2+σب2+2σأب{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}}σو=σأ2+σب2+2σأب{\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+2\sigma _{AB}}}}
و=أ-ب{\displaystyle f=A-B}σو2=σأ2+σب2-2σأب{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}σو=σأ2+σب2-2σأب{\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2\sigma _{AB}}}}
و=أأ+بب{\displaystyle f=aA+bB}σو2=أ2σأ2+ب2σب2+2أبσأب{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}σو=أ2σأ2+ب2σب2+2أبσأب{\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}+2ab\,\sigma _{AB}}}}
و=أأ-بب{\displaystyle f=aA-bB}σو2=أ2σأ2+ب2σب2-2أبσأب{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}σو=أ2σأ2+ب2σب2-2أبσأب{\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {a^{2}\sigma _{A}^{2}+b^{2}\sigma _{B}^{2}-2ab\,\sigma _{AB}}}}
و=أب{\displaystyle f=AB}σو2≈و2[(σأأ)2+(σبب)2+2σأبأب]{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}[ 15 ] [ 16 ]σو≈|و|(σأأ)2+(σبب)2+2σأبأب{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}
و=أب{\displaystyle f={\frac {A}{B}}}σو2≈و2[(σأأ)2+(σبب)2-2σأبأب]{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}\right]}[ 17 ]σو≈|و|(σأأ)2+(σبب)2-2σأبأب{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}-2{\frac {\sigma _{AB}}{AB}}}}}
و=أأ+ب{\displaystyle f={\frac {A}{A+B}}}σو2≈و2(أ+ب)2(ب2أ2σأ2+σب2-2بأσأب){\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx {\frac {f^{2}}{\left(A+B\right)^{2}}}\left({\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}\right)}σو≈|وأ+ب|ب2أ2σأ2+σب2-2بأσأب{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{\frac {f}{A+B}}\right|{\sqrt {{\frac {B^{2}}{A^{2}}}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}-2{\frac {B}{A}}\sigma _{AB}}}}
و=أأب{\displaystyle f=aA^{b}}σو2≈(أبأب-1σأ)2=(وبσأأ)2{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right)^{2}=\left({\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right)^{2}}σو≈|أبأب-1σأ|=|وبσأأ|{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|{a}{b}{A}^{b-1}{\sigma _{A}}\right|=\left|{\frac {{f}{b}{\sigma _{A}}}{A}}\right|}
و=أln⁡(بأ){\displaystyle f=a\ln(bA)}σو2≈(أσأأ)2{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}}[ 18 ]σو≈|أσأأ|{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A}}\right|}
و=أسجل10⁡(بأ){\displaystyle f=a\log _{10}(bA)}σو2≈(أσأأln⁡(10))2{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left(a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right)^{2}}[ 18 ]σو≈|أσأأln⁡(10)|{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|a{\frac {\sigma _{A}}{A\ln(10)}}\right|}
و=أهـبأ{\displaystyle f=ae^{bA}}σو2≈و2(بσأ)2{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left(b\sigma _{A}\right)^{2}}[ 19 ]σو≈|و||(بσأ)|{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|\left(b\sigma _{A}\right)\right|}
و=أبأ{\displaystyle f=a^{bA}}σو2≈و2(بln⁡(أ)σأ)2{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}(b\ln(a)\sigma _{A})^{2}}σو≈|و||بln⁡(أ)σأ|{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|\left|b\ln(a)\sigma _{A}\right|}
و=أالخطيئة⁡(بأ){\displaystyle f=a\sin(bA)}σو2≈[أبكوس⁡(بأ)σأ]2{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\cos(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}σو≈|أبكوس⁡(بأ)σأ|{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\cos(bA)\sigma _{A}\right|}
و=أكوس⁡(بأ){\displaystyle f=a\cos \left(bA\right)\,}σو2≈[أبالخطيئة⁡(بأ)σأ]2{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sin(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}σو≈|أبالخطيئة⁡(بأ)σأ|{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sin(bA)\sigma _{A}\right|}
و=ألون برونزي⁡(بأ){\displaystyle f=a\tan \left(bA\right)\,}σو2≈[أبثانية2⁡(بأ)σأ]2{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left[ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right]^{2}}σو≈|أبثانية2⁡(بأ)σأ|{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|ab\sec ^{2}(bA)\sigma _{A}\right|}
و=أب{\displaystyle f=A^{B}}σو2≈و2[(بأσأ)2+(ln⁡(أ)σب)2+2بln⁡(أ)أσأب]{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx f^{2}\left[\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}\right]}σو≈|و|(بأσأ)2+(ln⁡(أ)σب)2+2بln⁡(أ)أσأب{\displaystyle \sigma _{f}\approx \left|f\right|{\sqrt {\left({\frac {B}{A}}\sigma _{A}\right)^{2}+\left(\ln(A)\sigma _{B}\right)^{2}+2{\frac {B\ln(A)}{A}}\sigma _{AB}}}}
و=أأ2±بب2{\displaystyle f={\sqrt {aA^{2}\pm bB^{2}}}}σو2≈(أو)2أ2σأ2+(بو)2ب2σب2±2أبأبو2σأب{\displaystyle \sigma _{f}^{2}\approx \left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}σو≈(أو)2أ2σأ2+(بو)2ب2σب2±2أبأبو2σأب{\displaystyle \sigma _{f}\approx {\sqrt {\left({\frac {A}{f}}\right)^{2}a^{2}\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {B}{f}}\right)^{2}b^{2}\sigma _{B}^{2}\pm 2ab{\frac {AB}{f^{2}}}\,\sigma _{AB}}}}

بالنسبة للمتغيرات غير المرتبطة (ρأب=0{\displaystyle \rho _{AB}=0}،σأب=0{\displaystyle \sigma _{AB}=0}يمكن اشتقاق تعابير الدوال الأكثر تعقيدًا من خلال دمج الدوال الأبسط. على سبيل المثال، ينتج عن الضرب المتكرر، بافتراض عدم وجود ارتباط، و=أبج;(σوو)2≈(σأأ)2+(σبب)2+(σجج)2.{\displaystyle f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.}

في هذه الحالةو=أب{\displaystyle f=AB}لدينا أيضًا تعبير غودمان [ 7 ] للتباين الدقيق: في حالة عدم وجود ارتباط، يكون V⁡[XY]=هـ⁡[X]2V⁡[Y]+هـ⁡[Y]2V⁡[X]+V⁡[X]V⁡[Y]،{\displaystyle \operatorname {V} [XY]=\operatorname {E} [X]^{2}\operatorname {V} [Y]+\operatorname {E} [Y]^{2}\operatorname {V} [X]+\operatorname {V} [X]\operatorname {V} [Y],} وبالتالي لدينا σو2=أ2σب2+ب2σأ2+σأ2σب2.{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}.} يمثل الحد الأخير تصحيحًا طفيفًا للصيغة المعتادة، كما يتضح من قسمة كلا الطرفين علىو2=أ2ب2{\displaystyle f^{2}=A^{2}B^{2}}. (σوو)2=(σأأ)2+(σبب)2+(σأσبأب)2.{\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}=\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{A}\sigma _{B}}{AB}}\right)^{2}.}

تأثير الارتباط على الاختلافات

إذا لم يكن المتغيران A و B مرتبطين، فإن الفرق بينهما A − B سيكون له تباين أكبر من أي منهما على حدة. ويزداد الارتباط الإيجابي (ρأب→1{\displaystyle \rho _{AB}\to 1}سيؤدي الارتباط السلبي إلى تقليل تباين الفرق، ويتقارب إلى تباين صفري بالنسبة للمتغيرات المرتبطة ارتباطًا تامًا ولها نفس التباين . من ناحية أخرى، فإن الارتباط السلبي (ρأب→-1{\displaystyle \rho _{AB}\to -1}) سيزيد من تباين الفرق، مقارنة بالحالة غير المرتبطة.

على سبيل المثال، فإن عملية الطرح الذاتي f = A − A لها تباين يساوي صفرًاσو2=0{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=0}فقط إذا كان المتغير مرتبطًا ذاتيًا بشكل كامل (ρأ=1{\displaystyle \rho _{A}=1}). إذا كانت A غير مرتبطة،ρأ=0،{\displaystyle \rho _{A}=0,}عندئذٍ يكون تباين الناتج ضعف تباين المدخلات.σو2=2σأ2.{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=2\sigma _{A}^{2}.}وإذا كانت A مرتبطة عكسياً تماماً،ρأ=-1،{\displaystyle \rho _{A}=-1,}ثم يتضاعف تباين المدخلات أربع مرات في المخرجات،σو2=4σأ2{\displaystyle \sigma _{f}^{2}=4\sigma _{A}^{2}}(يلاحظ1-ρأ=2{\displaystyle 1-\rho _{A}=2}(لـ f = aA − aA في الجدول أعلاه).

أمثلة على الحسابات

دالة الظل العكسي

يمكننا حساب انتشار عدم اليقين لدالة الظل العكسي كمثال على استخدام المشتقات الجزئية لنشر الخطأ.

يُعرِّف و(x)=دالة الظل العكسي⁡(x)،{\displaystyle f(x)=\arctan(x),} أينΔx{\displaystyle \Delta _{x}}يمثل عدم اليقين المطلق في قياسنا لـ x . مشتقة f ( x ) بالنسبة إلى x هي دودx=11+x2.{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}

لذلك، فإن عدم اليقين المنتشر لدينا هو Δو≈Δx1+x2،{\displaystyle \Delta _{f}\approx {\frac {\Delta _{x}}{1+x^{2}}},} أينΔو{\displaystyle \Delta _{f}}هو عدم اليقين المطلق المنتشر.

قياس المقاومة

يتمثل أحد التطبيقات العملية في تجربة يتم فيها قياس التيار ، I ، والجهد ، V ، على مقاوم من أجل تحديد المقاومة ، R ، باستخدام قانون أوم ، R = V / I.

بالنظر إلى المتغيرات المقاسة مع عدم اليقين، I ± σ I و V ± σ V ، وبإهمال ارتباطها المحتمل، فإن عدم اليقين في الكمية المحسوبة، σ R ، هو:

σR≈σV2(1أنا)2+σأنا2(-Vأنا2)2=R(σVV)2+(σأناأنا)2.{\displaystyle \sigma _{R}\approx {\sqrt {\sigma _{V}^{2}\left({\frac {1}{I}}\right)^{2}+\sigma _{I}^{2}\left({\frac {-V}{I^{2}}}\right)^{2}}}=R{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{V}}{V}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{I}}{I}}\right)^{2}}}.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كيرشنر، جيمس. "مجموعة أدوات تحليل البيانات رقم 5: تحليل عدم اليقين وانتشار الخطأ" (ملف PDF) . مختبر بيركلي لعلم الزلازل . جامعة كاليفورنيا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 أبريل 2016 .
  2. ↑ كروس، د.ب.؛ تايمر، ت.؛ بوتيف، ز.إ. (2011). دليل طرق مونت كارلو . جون وايلي وأولاده.
  3. ↑ رانفتل، ساشا؛ فون دير ليندن، فولفغانغ (13 نوفمبر 2021). "التحليل البديل البايزي وانتشار عدم اليقين" . منتدى العلوم الفيزيائية . 3 (1): 6. arXiv : 2101.04038 . doi : 10.3390/psf2021003006 . ISSN 2673-9984 . 
  4. ↑ أتاناسوفا، إي.؛ غوروف، ت.؛ كاراييفانوفا، أ.؛ إيفانوفسكا، س.؛ دورتشوفا، م.؛ ديميتروف، د. (2016). "حول مناهج التوازي لبنية Intel MIC". وقائع مؤتمر AIP . 1773 (1): 070001. Bibcode : 2016AIPC.1773g0001A . doi : 10.1063/1.4964983 .
  5. ↑ كونها الابن، أ.؛ ناصر، ر.؛ سامبايو، ر.؛ لوبيز، هـ.؛ بريتمان، ك. (2014). "تحديد عدم اليقين باستخدام طريقة مونت كارلو في بيئة الحوسبة السحابية". مجلة اتصالات فيزياء الحاسوب . 185 (5): 1355-1363 . arXiv : 2105.09512 . Bibcode : 2014CoPhC.185.1355C . doi : 10.1016/j.cpc.2014.01.006 . S2CID 32376269 . 
  6. ↑ لين، ي.؛ وانغ، ف.؛ ليو، ب. (2018). "مولدات الأرقام العشوائية لمحاكاة مونت كارلو المتوازية واسعة النطاق على FPGA". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 360 : 93-103 . Bibcode : 2018JCoPh.360...93L . doi : 10.1016/j.jcp.2018.01.029 .
  7. 1 2 غودمان، ليو (1960). "حول التباين الدقيق للمنتجات". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 55 (292): 708-713 . doi : 10.2307/2281592 . JSTOR 2281592 . 
  8. ↑ أوتشوا1، بنيامين؛ بيلونجي، سيرج "نشر التغاير للمطابقة الموجهة" مؤرشف في 20 يوليو 2011 على موقع Wayback Machine
  9. ↑ كو، هـ. هـ. (أكتوبر 1966). "ملاحظات حول استخدام صيغ انتشار الخطأ" . مجلة البحوث التابعة للمكتب الوطني للمعايير . 70C (4): 262. doi : 10.6028/jres.070c.025 . ISSN 0022-4316 . تاريخ الاسترجاع: 3 أكتوبر 2012 . 
  10. ↑ كليفورد، أ.أ. (1973). تحليل الخطأ متعدد المتغيرات: دليل لانتشار الخطأ وحسابه في الأنظمة متعددة المعاملات . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0470160558.
  11. ↑ سوتش، جورام (2020-07-07). "تباين التركيبة الخطية لمتغيرين عشوائيين" . كتاب البراهين الإحصائية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-01-2022 .
  12. ↑ لي، ش.هـ؛ تشين، و. (2009). "دراسة مقارنة لأساليب نشر عدم اليقين لمسائل الصندوق الأسود". التحسين الهيكلي ومتعدد التخصصات . 37 (3): 239-253 . doi : 10.1007/s00158-008-0234-7 . S2CID 119988015 . 
  13. ↑ جونسون، نورمان ل.؛ كوتز، صموئيل؛ بالاكريشنان، ناراياناسوامي (1994). التوزيعات أحادية المتغير المستمرة، المجلد 1. وايلي. ص 171. ISBN  0-471-58495-9.
  14. ↑ ليكومت، كريستوف (مايو 2013). "الإحصاءات الدقيقة للأنظمة ذات الشكوك: نظرية تحليلية للأنظمة الديناميكية العشوائية من الرتبة الأولى". مجلة الصوت والاهتزاز . 332 (11): 2750-2776 . Bibcode : 2013JSV...332.2750L . doi : 10.1016/j.jsv.2012.12.009 .
  15. ↑ "ملخص انتشار الأخطاء" (ملف PDF) . صفحة 2. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 13 ديسمبر 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 أبريل 2016 . 
  16. ↑ "انتشار عدم اليقين من خلال العمليات الرياضية" (ملف PDF) . ص 5. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2016-04-04 . 
  17. ↑ "استراتيجيات تقدير التباين" (ملف PDF) . ص 37. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-01-2013 . 
  18. 1 2 هاريس، دانيال سي. (2003)، التحليل الكيميائي الكمي ( الطبعة السادسة)، ماكميلان، ص 56، ISBN   978-0-7167-4464-1
  19. ↑ "دليل انتشار الأخطاء" (ملف PDF) . كلية فوتهيل . 9 أكتوبر 2009. تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 مارس 2012 .

للمزيد من القراءة