تحليل حدود الاحتمالية

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 20 صور
الموسوعة الحرة

تحليل حدود الاحتمالية ( PBA ) هو مجموعة من أساليب نشر عدم اليقين لإجراء حسابات نوعية وكمية في مواجهة أنواع مختلفة من عدم اليقين. يُستخدم هذا التحليل لعرض معلومات جزئية حول المتغيرات العشوائية وغيرها من الكميات من خلال تعابير رياضية. على سبيل المثال، يحسب حدودًا مؤكدة لتوزيع مجموع أو حاصل ضرب أو دالة أكثر تعقيدًا، بمعرفة حدود مؤكدة فقط لتوزيعات المدخلات. تُسمى هذه الحدود بصناديق الاحتمالية ، وهي تُقيد توزيعات الاحتمالية التراكمية (بدلاً من دوال الكثافة أو الكتلة ).

يُتيح هذا النهج التحديدي للمحللين إجراء الحسابات دون الحاجة إلى افتراضات دقيقة للغاية حول قيم المعلمات، أو التبعية بين المتغيرات، أو حتى شكل التوزيع. يُعد تحليل حدود الاحتمالية مزيجًا من أساليب تحليل الفترات القياسي ونظرية الاحتمالات الكلاسيكية . يُعطي تحليل حدود الاحتمالية نفس نتائج تحليل الفترات عندما تتوفر معلومات النطاق فقط. كما يُعطي نفس نتائج محاكاة مونت كارلو عندما تكون المعلومات وفيرة بما يكفي لتحديد توزيعات المدخلات وتبعياتها بدقة. وبالتالي، فهو تعميم لكل من تحليل الفترات ونظرية الاحتمالات.

تُوفّر الطرق المتنوعة التي يتضمنها تحليل حدود الاحتمالات خوارزميات لتقييم التعبيرات الرياضية عند وجود غموض حول قيم المدخلات، أو تبعياتها، أو حتى شكل التعبير الرياضي نفسه. تُنتج الحسابات نتائج تضمن احتواء جميع التوزيعات الممكنة لمتغير المخرجات إذا كانت مربعات الاحتمال (p-boxes) للمدخلات تحتوي أيضًا على توزيعاتها الخاصة. في بعض الحالات، يكون مربع الاحتمال المحسوب هو الأمثل، بمعنى أنه لا يمكن أن تكون الحدود أضيق من ذلك دون استبعاد بعض التوزيعات الممكنة.

عادةً ما تكون مربعات الاحتمال مجرد حدود للتوزيعات الممكنة. وغالبًا ما تشمل هذه الحدود أيضًا توزيعات غير ممكنة في حد ذاتها. على سبيل المثال، تُعدّ مجموعة التوزيعات الاحتمالية التي يمكن أن تنتج عن جمع قيم عشوائية دون افتراض الاستقلال من توزيعين (دقيقين) مجموعةً جزئيةً مناسبةً من جميع التوزيعات التي يشملها مربع الاحتمال المحسوب للمجموع. أي أن هناك توزيعات داخل مربع الاحتمال الناتج لا يمكن أن تنشأ في ظل أي تبعية بين التوزيعين المدخلين. ومع ذلك، سيحتوي مربع الاحتمال الناتج دائمًا على جميع التوزيعات الممكنة، طالما أن مربعات الاحتمال المدخلة قد احتوت على توزيعاتها الأساسية. غالبًا ما تكفي هذه الخاصية للاستخدام في تحليل المخاطر والمجالات الأخرى التي تتطلب حسابات في ظل عدم اليقين.

تاريخ تحديد احتمالية الحد

لمفهوم تحديد حدود الاحتمال تاريخ عريق في نظرية الاحتمالات . ففي عام ١٨٥٤، استخدم جورج بول مفهوم حدود الفترات للاحتمال في كتابه " قوانين الفكر" . [ ١ ] [ ٢ ] كما يعود تاريخ هذه الفكرة إلى النصف الثاني من القرن التاسع عشر، حيث وصفت المتباينة المنسوبة إلى تشيبيشيف حدود التوزيع عندما يكون متوسط ​​المتغير وتباينه فقط معروفين، بينما وجدت المتباينة ذات الصلة المنسوبة إلى ماركوف حدودًا لمتغير موجب عندما يكون المتوسط ​​فقط معروفًا. وقد استعرض كيبورغ [ ٣ ] تاريخ احتمالات الفترات وتتبع تطور الأفكار الأساسية خلال القرن العشرين، بما في ذلك المفهوم المهم للاحتمالات غير القابلة للمقارنة الذي تبناه كينز .

ومن الجدير بالذكر بشكل خاص اشتقاق فريشيه في ثلاثينيات القرن العشرين لحدود الحسابات التي تتضمن الاحتمالات الكلية دون افتراضات التبعية. وقد استمر تحديد حدود الاحتمالات حتى يومنا هذا (على سبيل المثال، نظرية والي للاحتمال غير الدقيق [ 4 ] ) .

طُوِّرت أساليب تحليل حدود الاحتمالات، التي يُمكن استخدامها بشكل روتيني في تقييمات المخاطر، في ثمانينيات القرن الماضي. وصف هايلبيرين [ 2 ] مخططًا حسابيًا لتقييد العمليات الحسابية المنطقية، مُوسِّعًا بذلك أفكار بول. كما وصف ياجر [ 5 ] الإجراءات الأساسية التي يُمكن من خلالها حساب حدود الالتفافات بافتراض الاستقلال. وفي الوقت نفسه تقريبًا، حلّ ماكاروف [ 6 ] ، وبشكل مستقل، روشندورف [ 7 ]، المشكلة التي طرحها كولموغوروف في الأصل ، والمتمثلة في كيفية إيجاد الحدود العليا والسفلى لتوزيع احتمالية مجموع متغيرات عشوائية معروفة التوزيعات الهامشية، ولكن غير معروفة التوزيع المشترك. عمّم فرانك وآخرون [ 8 ] نتيجة ماكاروف، وعبروا عنها بدلالة الاقترانات . ومنذ ذلك الحين، عُمِّمت الصيغ والخوارزميات الخاصة بالمجاميع، ووُسِّعت لتشمل الفروق، والضرب، والقسمة، وغيرها من الدوال الثنائية والأحادية، في ظل افتراضات تبعية مختلفة. [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]

التعبيرات الحسابية

تُستخدم التعبيرات الحسابية التي تتضمن عمليات مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة والقيم الصغرى والكبرى والقوى والأسس واللوغاريتمات والجذور التربيعية والقيم المطلقة، وغيرها، بشكل شائع في تحليلات المخاطر ونمذجة عدم اليقين. والالتفاف هو عملية إيجاد التوزيع الاحتمالي لمجموع متغيرات عشوائية مستقلة محددة بتوزيعات احتمالية. ويمكننا توسيع نطاق هذا المصطلح ليشمل إيجاد توزيعات دوال رياضية أخرى (مثل حاصل الضرب، والفروق، والقسمة، ودوال أكثر تعقيدًا) وافتراضات أخرى حول التبعيات بين المتغيرات. توجد خوارزميات ملائمة لحساب هذه الالتفافات المعممة في ظل مجموعة متنوعة من الافتراضات حول التبعيات بين المدخلات. [ 5 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 14 ]

التفاصيل الرياضية

يتركد{\displaystyle \mathbb {D} }يرمز إلى فضاء دوال التوزيع على الأعداد الحقيقيةR،{\displaystyle \mathbb {R} ,}أي،

د={د|د:R→[0،1]،د(x)≤د(y) للجميع x<y}.{\displaystyle \mathbb {D} =\{D|D:\mathbb {R} \to [0,1],D(x)\leq D(y){\text{ لجميع }}x<y\}.}

صندوق البريد هو خماسي

{F¯،F_،م،v،F}،{\displaystyle \left\{{\overline {F}},{\underline {F}},m,v,\mathbf {F} \right\},}

أينF¯{\displaystyle {\overline {F}}}وF_∈د{\displaystyle {\underline {F}}\in \mathbb {D} }،م{\displaystyle m}وv{\displaystyle v}هي فترات حقيقية، وF⊂د{\displaystyle \mathbf {F} \subset \mathbb {D} }تشير هذه المجموعة الخماسية إلى مجموعة دوال التوزيعF∈F⊂د{\displaystyle F\in \mathbf {F} \subset \mathbb {D} }بحيث:

∀x∈R:F¯(x)≤F(x)≤F_(x)∫RxدF(x)∈مشرط التوقع∫Rx2دF(x)-(∫RxدF(x))2∈vشرط التباين{\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in \mathbb {R} :\qquad &{\overline {F}}(x)\leq F(x)\leq {\underline {F}}(x)\\[6pt]&\int _{\mathbb {R} }xdF(x)\in m&&{\text{شرط التوقع}}\\&\int _{\mathbb {R} }x^{2}dF(x)-\left(\int _{\mathbb {R} }xdF(x)\right)^{2}\in v&&{\text{شرط التباين}}\end{aligned}}}

إذا استوفت دالة ما جميع الشروط المذكورة أعلاه، يُقال إنها تقع داخل صندوق p. في بعض الحالات، قد لا تتوفر أي معلومات حول العزوم أو عائلة التوزيع بخلاف ما هو مُشفّر في دالتي التوزيع اللتين تُشكّلان حواف صندوق p. عندئذٍ، تُمثّل المجموعة الخماسية صندوق p.{ب1،ب2،[-∞،∞]،[0،∞]،د}{\displaystyle \{B_{1},B_{2},[-\infty ,\infty ],[0,\infty ],\mathbb {D} \}}يمكن التعبير عنها بشكل أكثر اختصارًا على النحو التالي: [ B1 , B2 ] . هذا الترميز يشبه ترميز الفترات على خط الأعداد الحقيقية، باستثناء أن نقاط النهاية هي توزيعات وليست نقاطًا.

الترميزX∼F{\displaystyle X\sim F}يدل على حقيقة أنX∈R{\displaystyle X\in \mathbb {R} }هو متغير عشوائي يخضع لدالة التوزيع F ، أي

{F:R→[0،1]x↦برو(X≤x){\displaystyle {\begin{cases}F:\mathbb {R} \to [0,1]\\x\mapsto \Pr(X\leq x)\end{cases}}}

لنعمم رمز التلدة لاستخدامه مع الصناديق p. سنكتب X ~ B للدلالة على أن X متغير عشوائي دالة توزيعه غير معروفة باستثناء كونه داخل B. بالتالي، يمكن اختصار X ~ F ∈ B إلى X ~ B دون ذكر دالة التوزيع صراحةً.

إذا كان X و Y متغيرين عشوائيين مستقلين بتوزيعين F و G على التوالي، فإن X + Y = Z ~ H معطى بالعلاقة التالية:

ح(z)=∫z=x+yF(x)جي(y)دz=∫RF(x)جي(z-x)دx=F*جي.{\displaystyle H(z)=\int _{z=x+y}F(x)G(y)dz=\int _{\mathbb {R} }F(x)G(zx)dx=F*G.}

تُسمى هذه العملية بالالتفاف على F و G ، وغالبًا ما يُرمز لها بـ F*{\displaystyle *}ج . العملية المماثلة على الصناديق p هي عملية مباشرة للمجاميع. لنفترض

X∼أ=[أ1،أ2]،وY∼ب=[ب1،ب2].{\displaystyle X\sim A=[A_{1},A_{2}],\quad {\text{و}}\quad Y\sim B=[B_{1},B_{2}].}

إذا كان X و Y مستقلين عشوائيًا، فإن توزيع Z = X + Y يقع داخل صندوق p

[أ1*ب1،أ2*ب2].{\displaystyle \left[A_{1}*B_{1},A_{2}*B_{2}\right].}

إن إيجاد حدود لتوزيع المجاميع Z = X + Y دون افتراض أي علاقة بين X و Y أسهل في الواقع من حل المسألة بافتراض الاستقلال. وقد بيّن ماكاروف [ 6 ] [ 8 ] [ 9 ] ذلك.

Z∼[رشفةz=x+yالأعلى(F(x)+جي(y)-1،0)،معلوماتz=x+yمين(F(x)+جي(y)،1)]{\displaystyle Z\sim \left[\sup _{z=x+y}\max(F(x)+G(y)-1,0),\inf _{z=x+y}\min(F(x)+G(y),1)\right]}

تُستنتج هذه الحدود من حدود اقتران فريشيه-هوفدينغ . ويمكن أيضاً حل المسألة باستخدام أساليب البرمجة الرياضية . [ 13 ]

إن عملية الالتفاف في ظل الافتراض المتوسط ​​بأن X و Y لديهما تبعية إيجابية سهلة الحساب، وكذلك عملية الالتفاف في ظل الافتراضات القصوى للتبعية الإيجابية الكاملة أو السلبية الكاملة بين X و Y. [ 14 ]

يمكن اشتقاق عمليات الالتفاف المعممة لعمليات أخرى مثل الطرح والضرب والقسمة، وما إلى ذلك، باستخدام التحويلات. على سبيل المثال، يمكن تعريف طرح المربع p A − B على أنه A + (− B )، حيث يكون معكوس المربع p B = [ B 1 , B 2 ] هو [ B 2 (− x ), B 1 (− x )].

التعبيرات المنطقية

تظهر التعبيرات المنطقية أو البوليانية التي تتضمن عمليات الربط ( عمليات AND )، وعمليات الفصل ( عمليات OR )، وعمليات الفصل الحصري، والتكافؤات، والعبارات الشرطية، وما إلى ذلك ، في تحليل أشجار الأعطال وأشجار الأحداث الشائعة في تقييمات المخاطر. إذا تم تحديد احتمالات الأحداث بفترات، كما اقترح بول [ 1 ] وكينز [ 3 ] وغيرهما، فإن هذه العمليات الثنائية يسهل تقييمها. على سبيل المثال، إذا كان احتمال الحدث A يقع في الفترة P(A) = a = [0.2, 0.25]، وكان احتمال الحدث B يقع في الفترة P(B) = b = [0.1, 0.3]، فإن احتمال الربط يقع بالتأكيد في الفترة

  P(A & B) = a × b
= [0.2, 0.25] × [0.1, 0.3]
= [0.2 × 0.1، 0.25 × 0.3]
= [0.02, 0.075]

طالما يمكن افتراض أن A وB حدثان مستقلان. إذا لم يكونا مستقلين، فلا يزال بإمكاننا تحديد احتمال وقوع الحدثين معًا باستخدام متباينة فريشيه الكلاسيكية . في هذه الحالة، يمكننا على الأقل استنتاج أن احتمال وقوع الحدثين معًا A وB يقع بالتأكيد ضمن الفترة [أدخل الفترة هنا].

  P(A & B) = env(max(0, a + b −1), min( a , b ))
= env(max(0, [0.2, 0.25]+[0.1, 0.3]−1), min([0.2, 0.25], [0.1, 0.3]))
= env([max(0, 0.2+0.1–1), max(0, 0.25+0.3–1)], [min(0.2,0.1), min(0.25, 0.3)])
= env([0,0], [0.1, 0.25])
= [0, 0.25]

حيث أن env([ x 1 , x 2 ], [ y 1 , y 2 ]) هي [min( x 1 , y 1 ), max( x 2 , y 2 )]. وبالمثل، فإن احتمال الفصل يقع بالتأكيد في الفترة

  P(A v B) = a + b − a × b = 1 − (1 − a ) × (1 − b )
= 1 − (1 − [0.2, 0.25]) × (1 − [0.1, 0.3])
= 1 − [0.75, 0.8] × [0.7, 0.9]
= 1 − [0.525, 0.72]
= [0.28, 0.475]

إذا كان الحدثان A وB مستقلين. أما إذا لم يكونا مستقلين، فإن متباينة فريشيه تحدد الانفصال.

  P(A v B) = env(max( a , b ), min(1, a + b ))
= env(max([0.2, 0.25], [0.1, 0.3]), min(1, [0.2, 0.25] + [0.1, 0.3]))
= env([0.2, 0.3], [0.3, 0.55])
= [0.2, 0.55].

من الممكن أيضًا حساب حدود الفترات على العطف أو الفصل في ظل افتراضات أخرى حول التبعية بين A وB. على سبيل المثال، يمكن افتراض أنهما تابعان إيجابيًا، وفي هذه الحالة، لا تكون الفترة الناتجة دقيقة مثل الإجابة بافتراض الاستقلال، ولكنها أدق من الإجابة التي تُعطيها متباينة فريشيه. تُستخدم حسابات مماثلة لوظائف منطقية أخرى مثل النفي والفصل الحصري، إلخ. عندما يصبح التعبير البولياني المراد تقييمه معقدًا، قد يكون من الضروري تقييمه باستخدام أساليب البرمجة الرياضية [ 2 ] للحصول على أفضل حدود ممكنة للتعبير. تُطرح مشكلة مماثلة في حالة المنطق الاحتمالي (انظر على سبيل المثال جيرلا 1994). إذا تم تحديد احتمالات الأحداث بواسطة توزيعات احتمالية أو مربعات احتمالية بدلاً من فترات، فيمكن إجراء حسابات مماثلة للحصول على نتائج توزيعية أو مربعات احتمالية تُحدد احتمال الحدث الأعلى.

مقارنات الحجم

احتمال أن يكون عدد غير مؤكد ممثل بصندوق احتمالي D أقل من الصفر هو الفترة Pr( D < 0) = [ F (0), F̅ (0)]، حيث F̅ (0) هو الحد الأيسر لصندوق الاحتمال D و F (0) هو حده الأيمن، وكلاهما يساوي صفرًا. يمكن بعد ذلك مقارنة عددين غير مؤكدين ممثلين بصناديق احتمالية من حيث القيمة العددية باستخدام الترميزات التالية:

أ < ب = احتمال ( أ - ب < 0)،
أ > ب = احتمال ( ب - أ < 0)،
A ≤ B = Pr( A − B ≤ 0 )، و
A ≥ B = Pr( B − A ≤ 0).

وبالتالي فإن احتمال أن تكون A أقل من B هو نفسه احتمال أن يكون الفرق بينهما أقل من الصفر، ويمكن القول أن هذا الاحتمال هو قيمة التعبير A < B.

كما هو الحال في العمليات الحسابية والمنطقية، تعتمد مقارنات المقادير هذه عمومًا على العلاقة الاحتمالية بين A و B ، وينبغي أن يعكس الطرح في الترميز هذه العلاقة. إذا كانت هذه العلاقة غير معروفة، فيمكن حساب الفرق دون أي افتراضات باستخدام عملية فريشيه.

الحساب القائم على أخذ العينات

يستخدم بعض المحللين [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] مناهج تعتمد على أخذ العينات لحساب حدود الاحتمالية، بما في ذلك محاكاة مونت كارلو ، وطرق المكعب الفائق اللاتيني ، أو أخذ العينات المهمة . لا تضمن هذه المناهج الدقة الرياضية في النتائج لأن طرق المحاكاة هذه تقريبية، على الرغم من إمكانية تحسين أدائها عمومًا ببساطة عن طريق زيادة عدد التكرارات في المحاكاة. وبالتالي، على عكس النظريات التحليلية أو الطرق القائمة على البرمجة الرياضية، لا يمكن للحسابات القائمة على أخذ العينات عادةً إنتاج حسابات مُدققة . ومع ذلك، يمكن أن تكون الطرق القائمة على أخذ العينات مفيدة جدًا في معالجة مجموعة متنوعة من المشكلات التي يصعب حلها حسابيًا تحليليًا أو حتى تحديد حدودها بدقة. ومن الأمثلة المهمة على ذلك استخدام أخذ عينات الانحراف عن كوشي لتجنب لعنة الأبعاد في نشر عدم اليقين الفاصل عبر المشكلات عالية الأبعاد. [ 21 ]

العلاقة بنهج نشر عدم اليقين الأخرى

ينتمي تحليل بايز الاحتمالي (PBA) إلى فئة من الأساليب التي تستخدم احتمالات غير دقيقة لتمثيل حالات عدم اليقين العشوائية والمعرفية في آنٍ واحد . يُعدّ تحليل بايز الاحتمالي تعميمًا لكلٍّ من تحليل الفترات والالتفاف الاحتمالي، كما هو شائع في محاكاة مونت كارلو . ويرتبط تحليل بايز الاحتمالي ارتباطًا وثيقًا بتحليل بايز القوي ، والذي يُسمى أحيانًا تحليل حساسية بايز . ويُعدّ تحليل بايز الاحتمالي بديلًا لمحاكاة مونت كارلو من الدرجة الثانية .

التطبيقات

تم استخدام صناديق P وتحليل حدود الاحتمالية في العديد من التطبيقات التي تشمل العديد من التخصصات في الهندسة والعلوم البيئية، بما في ذلك:

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 بول، جورج (1854). بحث في قوانين الفكر التي تقوم عليها النظريات الرياضية للمنطق والاحتمالات . لندن: والتون ومابيرلي.
  2. 1 2 3 هايلبيرين، ثيودور (1986). منطق بول والاحتمالات . أمستردام: نورث هولاند. ISBN 978-0-444-11037-4.
  3. 1 2 كيبورغ، إتش إي، الابن (1999). الاحتمالات ذات القيم الفاصلية . وثائق SIPTA حول الاحتمالات غير الدقيقة.
  4. ↑ والي، بيتر (1991). الاستدلال الإحصائي مع الاحتمالات غير الدقيقة . لندن: تشابمان وهول. ISBN 978-0-412-28660-5.
  5. 1 2 ياجر، آر آر (1986). العمليات الحسابية وغيرها على هياكل دمبستر-شيفر. المجلة الدولية لدراسات الإنسان والآلة 25 : 357-366.
  6. 1 2 ماكاروف، جي دي (1981). تقديرات دالة التوزيع لمجموع متغيرين عشوائيين عندما تكون التوزيعات الهامشية ثابتة. نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها 26 : 803-806.
  7. ↑ روشندورف، ل. (1982). المتغيرات العشوائية ذات المجاميع القصوى. التقدم في الاحتمالات التطبيقية 14 : 623-632.
  8. 1 2 فرانك، إم جيه، آر بي نيلسن، وبي شفايتزر (1987). أفضل الحدود الممكنة لتوزيع المجموع - مسألة كولموغوروف. نظرية الاحتمالات والمجالات ذات الصلة 74 : 199-211.
  9. 1 2 3 ويليامسون، آر سي، وتي داونز (1990). الحساب الاحتمالي 1: الطرق العددية لحساب الالتفافات وحدود التبعية. المجلة الدولية للاستدلال التقريبي 4 : 89-158.
  10. 1 2 فيرسون، س.، ف. كرينوفيتش، ل. جينزبورغ، د. س. مايرز، وك. سينتز. (2003). بناء صناديق الاحتمالات وهياكل دمبستر-شافر. مؤرشف في 22 يوليو 2011 على موقع Wayback Machine . SAND2002-4015. مختبرات سانديا الوطنية، ألبوكيرك، نيو مكسيكو.
  11. ↑ بيرلينت، د. (1993). الاستدلال المُتحقق منه تلقائيًا باستخدام كل من الفترات ودوال كثافة الاحتمال. حسابات الفترات 1993 (2) : 48-70.
  12. ↑ بيرليانت، د.، ج. أندرسون، و س. غودمان-ستراوس (2008). الحساب على عائلات محدودة من التوزيعات: دليل تعليمي لخوارزمية DEnv. الصفحات 183-210 في معالجة المعرفة باستخدام الحوسبة الفاصلية والمرنة ، تحرير س. هو، ر. ب. كيرفوت، أ. دي كورفين، و ف. كرينوفيتش، سبرينغر ( ISBN 10 ... 978-1-84800-325-5).
  13. 1 2 بيرليانت، د.، وجودمان-ستراوس، س. (1998). تحديد نطاق نتائج العمليات الحسابية على المتغيرات العشوائية ذات التبعية غير المعروفة باستخدام الفترات. الحوسبة الموثوقة 4 : 147-165.
  14. 1 2 3 فيرسون، إس.، آر. نيلسن، جيه. هاجاجوس، دي. بيرلينت، جيه. زانغ، دبليو تي تاكر، إل. جينزبورغ، و دبليو إل أوبركامبف (2004). التبعية في النمذجة الاحتمالية، ونظرية دمبستر-شافر، وتحليل حدود الاحتمالية . مختبرات سانديا الوطنية، SAND2004-3072، ألبوكيرك، نيو مكسيكو.
  15. ↑ ألفاريز، د.أ.، 2006. حول حساب حدود احتمالية الأحداث باستخدام مجموعات عشوائية لانهائية. المجلة الدولية للاستدلال التقريبي 43 : 241-267.
  16. ↑ بارالدي، ب.، بوبيسكو، آي سي، زيو، إي.، 2008. التنبؤ بوقت تعطل مكون يتدهور عشوائياً باستخدام طريقة مونت كارلو الهجينة والطريقة الاحتمالية. وقائع مؤتمر IEEE الدولي حول التنبؤات وإدارة الصحة .
  17. ↑ باتارسه، أو جي، ووانغ، واي، 2008. محاكاة موثوقة مع عدم اليقين في المدخلات باستخدام نهج قائم على الفترات. وقائع مؤتمر IEEE للمحاكاة الشتوية .
  18. ↑ روي، كريستوفر جيه، ومايكل إس. بالش (2012). نهج شامل لتحديد كمية عدم اليقين مع تطبيق على دفع الفوهات فوق الصوتية. المجلة الدولية لتحديد كمية عدم اليقين 2 (4): 363-81 doi : 10.1615/Int.J.UncertaintyQuantification.2012003562 .
  19. ↑ تشانغ، هـ.، مولين، ر.ل.، مهنا، ر.ل. (2010). طرق مونت كارلو الفاصلية لموثوقية الهياكل. السلامة الهيكلية 32 : 183-190.
  20. ↑ تشانغ، هـ.، داي، هـ.، بير، م.، وانغ، و. (2012). تحليل الموثوقية الهيكلية على أساس العينات الصغيرة: طريقة شبه مونت كارلو الفاصلية. أنظمة ميكانيكية ومعالجة الإشارات 37 (1-2): 137-151 doi : 10.1016/j.ymssp.2012.03.001 .
  21. ↑ تريجو، ر.، كرينوفيتش، ف. (2001). تقديرات الخطأ للقياسات غير المباشرة: الخوارزميات العشوائية مقابل الخوارزميات الحتمية لبرامج "الصندوق الأسود" . دليل الحوسبة العشوائية ، س. راجاسيكاران، ب. باردالوس، ج. ريف، وج. روليم (محررون)، كلوير، 673-729.
  22. ↑ أوغينباو، جيه إم، وباريديس، سي جيه جيه (2007). تحليل حدود الاحتمالية كنهج عام لتحليل الحساسية في اتخاذ القرارات في ظل عدم اليقين. مؤرشف بتاريخ 21-03-2012 في أرشيف الإنترنت . مجلة معاملات جمعية مهندسي السيارات لعام 2007، مجلة سيارات الركاب: الأنظمة الميكانيكية، (القسم 6) 116 : 1325-1339، جمعية مهندسي السيارات الدولية، وارينديل، بنسلفانيا.
  23. ↑ فلاندر، ل.، و. ديكسون، م. ماكبرايد، وم. بورغمان. (2012). تسهيل الحكم الخبير على المخاطر البيئية: الحصول على البيانات غير الدقيقة وتحليلها. المجلة الدولية لتقييم وإدارة المخاطر 16 : 199-212.
  24. ↑ فاسيل، ماسيميليانو؛ تارديولي، كيارا؛ مينيسكي، إدموندو؛ سومرر، ليوبولد؛ ماكجينتي، بيتر (2018). "حول استخدام كثيرات الحدود الموجبة لتقدير التوقعات العليا والدنيا في ديناميكيات المدارات". في: فاسيل، ماسيميليانو؛ مينيسكي، إ.؛ سومرر، ل.؛ ماكجينتي، ب. (محررون). المؤتمر الختامي لـ Stardust . وقائع الفيزياء الفلكية وعلوم الفضاء. المجلد 52. تشام: دار نشر سبرينغر الدولية. الصفحات 99-107. doi : 10.1007/978-3-319-69956-1_6 . ISBN   978-3-319-69956-1.
  25. ↑ غراسا مارتو، سيمو؛ فاسيل، ماسيميليانو؛ إيبينوي، ريتشارد (2019). تحسين المسار القوي متعدد الأهداف في ظل عدم اليقين المعرفي وعدم الدقة . المؤتمر الدولي السبعون للملاحة الفضائية.
  26. ↑ غريكو، كريستيان؛ كامبانيولا، ستيفانو؛ فاسيل، ماسيميليانو (2022). "تصميم مسار فضائي قوي باستخدام التحكم الأمثل القائم على الاعتقاد" . مجلة التوجيه والتحكم والديناميكا . 45 (6): 1060-1077 . doi : 10.2514/1.G005704 . ISSN 0731-5090 – عبر AIAA. 
  27. ↑ غريكو، كريستيان؛ فاسيل، ماسيميليانو (2022). "مرشح الجسيمات البايزي القوي لتتبع الأجسام الفضائية في ظل عدم يقين شديد" . مجلة التوجيه والتحكم والديناميكا . 45 (3): 481-498 . doi : 10.2514/1.G006157 . ISSN 1533-3884 . 
  28. ↑ أوبيرغوجنبرغر، م.، ج. كينغ، وب. شميلزر (2007). أساليب الاحتمالية غير الدقيقة لتحليل الحساسية في الهندسة . وقائع الندوة الدولية الخامسة حول الاحتمالية غير الدقيقة: النظريات والتطبيقات ، براغ، جمهورية التشيك.
  29. ↑ روزيل، دانيال جيه، وشيلدون جيه ريفن (2012). مخاطر تلوث المياه المرتبطة باستخراج الغاز الطبيعي من تكوين مارسيلاس الصخري. تحليل المخاطر 32 : 1382-1393.
  30. ↑ ديكسون، دبليو جيه (2007). استخدام تحليل حدود الاحتمالية لتوصيف ونشر عدم اليقين في توزيعات حساسية الأنواع . سلسلة التقارير الفنية رقم 163 ، معهد آرثر رايلا للأبحاث البيئية، قسم الاستدامة والبيئة. هايدلبرغ، فيكتوريا، أستراليا.
  31. ↑ إنسزر، جيه إيه، واي لين، إس فيرسون، جي إف كورليس، وإم إيه ستادثير (2011). تحليل حدود الاحتمالية لنماذج العمليات الديناميكية غير الخطية. مجلة AIChE 57 : 404-422.
  32. ↑ إنسزر، جوشوا آلان، (2010). تحليل حدود الاحتمالية المُتحقق منها للأنظمة الديناميكية غير الخطية. أطروحة دكتوراه، جامعة نوتردام.
  33. ↑ نونغ، أ.، وك. كريشنان (2007). تقدير عامل التباين الحركي الدوائي بين الأفراد للمواد الكيميائية العضوية المتطايرة المستنشقة باستخدام نهج حدود الاحتمالية. علم السموم التنظيمي وعلم الأدوية 48 : 93-101.
  34. ^ Guyonnet، D.، F. Blanchard، C. Harpet، Y. Ménard، B. Côme and C. Baudrit (2005). مشروع IREA – سمة عدم اليقين في تقييم مخاطر التعرض، الملحق ب، كاس «المياه الجوفية». Rapport BRGM/RP-54099-FR، مكتب البحوث الجيولوجية والتعدين، فرنسا. أرشفة 2012-03-11 في آلة Wayback.
  35. ↑ فيتز، توماس؛ تونون، فولفيو (2008). "حدود الاحتمالية لأنظمة السلاسل ذات المتغيرات المقيدة بمجموعات من مقاييس الاحتمالية". المجلة الدولية للموثوقية والسلامة . 2 (4): 309. doi : 10.1504/IJRS.2008.022079 .
  36. 1 2 أوغستسون، أ.، م. فيليبسون، ت. أوبيرغ، ب. بيرغباك (2011). تغير المناخ - عامل عدم يقين في تحليل مخاطر الأراضي الملوثة. مجلة علوم البيئة الشاملة 409 : 4693-4700.
  37. ↑ بودريت، سي.، دي. غيونيه، إتش. بارودي، إس. دينيس، وبي. بيغاسات (2005). تقييم تعرض الأطفال للرصاص في موقع صناعي مهجور تابع لمصنع حديد: تحليل عدم اليقين . المؤتمر الدولي التاسع لمركز أبحاث الحديد والتكنولوجيا (FZK/TNO) حول التربة الملوثة – ConSoil2005، بوردو، فرنسا ، الصفحات 1071-1080.
  38. ↑ ديكسون، دبليو جيه (2007). انتشار عدم اليقين في نماذج مخاطر الملوحة على مستوى السكان . تقرير فني، سلسلة التقارير الفنية رقم 164 ، معهد آرثر رايلا للأبحاث البيئية، هايدلبرغ، فيكتوريا، أستراليا
  39. ↑ كارانكي، د. ر.، هـ. س. كوشواها، أ. ك. فيرما، وس. أجيت. (2009). تحليل عدم اليقين القائم على نهج حدود الاحتمالية (p-box) في تقييم السلامة الاحتمالية. تحليل المخاطر 29 : 662-75.
  40. ↑ ساندر، ب.، ب. بيرغباك، وت. أوبيرغ (2006). الأرقام غير المؤكدة وعدم اليقين في اختيار توزيعات المدخلات - عواقب على التقييم الاحتمالي لمخاطر الأراضي الملوثة. تحليل المخاطر 26 : 1363-1375.
  41. ↑ مينري، جي جي، جي جي جاكانجيلو، إل آي بودن، دي جيه فورهيس، و دبليو هيجر-بيرنايز (2009). تحليل حساسية اختبار السلامة المباشر القائم على الضغط للأغشية المستخدمة في معالجة مياه الشرب. العلوم والتكنولوجيا البيئية 43 (24): 9419-9424.
  42. ↑ ريغان، إتش إم، بي إي سامبل، وإس فيرسون (2002). مقارنة بين الحساب الحتمي والاحتمالي لمستويات الفرز البيئي للتربة. علم السموم البيئية والكيمياء 21: 882-890.
  43. ↑ وكالة حماية البيئة الأمريكية (المنطقة الأولى)، موقع جنرال إلكتريك/نهر هوساتونيك في نيو إنجلاند
  44. ↑ مور، دواين آر جيه؛ بريتون، روجر إل؛ ديلونج، تود آر؛ فيرسون، سكوت؛ لورتي، جون بي؛ ماكدونالد، درو بي؛ ماكغراث، ريتشارد؛ باوليسز، أندريه؛ سفيرسكي، سوزان سي؛ تيد، آر سكوت؛ طومسون، رايان بي؛ ويتفيلد أسلوند، ميليسا (2016). "تقييم المخاطر البيئية لحيوان المنك والزباب قصير الذيل المعرض لمركبات ثنائي الفينيل متعدد الكلور والديوكسينات والفيورانات في منطقة نهر هوساتونيك". التقييم والإدارة البيئية المتكاملة . 12 (1): 174-184 . Bibcode : 2016IEAM...12..174M . doi : 10.1002/ieam.1661 . PMID 25976918 . 
  45. ↑ وكالة حماية البيئة الأمريكية (برنامج الصندوق الاستئماني للمنطقة 6)، تحقيق معالجة مصب نهر كالكسيو ، مؤرشف في 20 يناير 2011، على موقع Wayback Machine
  46. ↑ روي، سي جيه، وبالش، إم إس (2012). منهج شامل لتحديد كمية عدم اليقين مع تطبيق على دفع الفوهات فوق الصوتية . المجلة الدولية لتحديد كمية عدم اليقين 2 : 363-381. doi : 10.1615/Int.J.UncertaintyQuantification.2012003562 .
  47. ↑ أوبركامبف، دبليو إل، وسي جيه روي. (2010). التحقق والتدقيق في الحوسبة العلمية . مطبعة جامعة كامبريدج.
  48. ↑ ريغان، إتش إم، بي كيه هوب، وإس فيرسون (2002). تحليل وتصوير عدم اليقين في نموذج التعرض لشبكة الغذاء. تقييم المخاطر البشرية والبيئية 8 : 1757-1777.
  49. ↑ فيرسون، إس.، وتاكر، دبليو تي (2004). موثوقية تحليلات المخاطر للمياه الجوفية الملوثة. نمذجة وإدارة جودة المياه الجوفية في ظل عدم اليقين ، حرره إس. ميشرا، الجمعية الأمريكية للمهندسين المدنيين، ريستون، فيرجينيا.
  50. ↑ كريسبو، لويس ج.؛ كيني، شون ب.؛ جيسي، دانيال ب. (2013). "تحليل موثوقية الأنظمة متعددة الحدود الخاضعة لعدم اليقين في صندوق p". أنظمة ميكانيكية ومعالجة الإشارات . 37 ( 1-2 ): 121-136 . Bibcode : 2013MSSP...37..121C . doi : 10.1016/j.ymssp.2012.08.012 .
  51. ↑ فيرسون، سكوت؛ بورغمان، مارك أ. (1995). "الارتباطات، وحدود التبعية، ومخاطر الانقراض" . الحفاظ البيولوجي . 73 (2): 101-105 . Bibcode : 1995BCons..73..101F . doi : 10.1016/0006-3207(95)90031-4 .
  52. ↑ فيرسون، س.، دي آر جيه مور، بي جيه فان دن برينك، تي إل إستس، ك. غالاغر، آر. أوكونور، وإف. فيردونك. (2010). تحليلات تحديد نطاق عدم اليقين. الصفحات 89-122 في كتاب تطبيق تحليل عدم اليقين على المخاطر البيئية للمبيدات ، تحرير دبليو جيه وارين-هيكس وإيه. هارت. دار نشر سي آر سي، بوكا راتون، فلوريدا.
  53. ↑ كريغلر، إي.، وهيلد، إتش. (2005). استخدام دوال الاعتقاد لتقدير تغير المناخ المستقبلي . المجلة الدولية للاستدلال التقريبي 39 : 185-209.
  54. ↑ كريجلر، إي. (2005). تحليل الاحتمالات غير الدقيق للتقييم المتكامل لتغير المناخ ، أطروحة دكتوراه، جامعة بوتسدام، ألمانيا.
  55. ↑ باتارسه، أو جي واي، (2010). نهج قائم على الفترات لنمذجة عدم اليقين في المدخلات في محاكاة الأحداث المنفصلة . أطروحة دكتوراه، جامعة سنترال فلوريدا.
  56. ↑ غولدواسير، ل.، ل. غينزبورغ، وس. فيرسون (2000). التباين وخطأ القياس في تحليل مخاطر الانقراض: البومة المرقطة الشمالية في شبه جزيرة أولمبيك. الصفحات 169-187 في الأساليب الكمية لعلم الأحياء الحفظي ، حرره س. فيرسون وم. بورغمان، سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك.
  57. ↑ هايز، كيه آر (2011). عدم اليقين وأساليب تحليل عدم اليقين: قضايا في نمذجة المخاطر الكمية والنوعية مع تطبيق على تقييم مخاطر الاستيراد، مشروع ACERA (0705) . رقم التقرير: EP102467، CSIRO ، هوبارت، أستراليا.
  58. ↑ تشانغ، هـ.، آر إل مولين، وآر إل مهنا (2010). تحليل العناصر المحدودة الهيكلية باستخدام احتمالات غير دقيقة بناءً على تمثيل صندوق p . وقائع ورشة العمل الدولية الرابعة حول الحوسبة الهندسية الموثوقة (REC 2010).
  59. ↑ تشانغ، هـ.، ر. مولين، ر. مهنا (2012). تحليل السلامة الهيكلية باستخدام صناديق الاحتمالات . المجلة الدولية للموثوقية والسلامة 6 : 110-129.
  60. ↑ باتيلي، إي؛ دي أنجيليس، إم (2015). "نهج أخذ العينات الخطية لتحليل الحالات القصوى في وجود عدم يقين عشوائي ومعرفي". سلامة وموثوقية الأنظمة الهندسية المعقدة . ص 2585-2593 . ISBN  978-1-138-02879-1.
  61. ↑ ميهل، كريستوفر هـ. (2013). "صناديق P لتحليل عدم اليقين في التكلفة". أنظمة ميكانيكية ومعالجة الإشارات . 37 ( 1-2 ): 253-263 . Bibcode : 2013MSSP...37..253M . doi : 10.1016/j.ymssp.2012.03.014 .
  62. ↑ سينتز، ك.، و س. فيرسون (2011). تحليل الحدود الاحتمالية في تحديد كمية الهوامش وعدم اليقين. هندسة الموثوقية وسلامة النظام 96 : 1126-1136.

مراجع إضافية

  • برنارديني، ألبرتو؛ تونون، فولفيو (2010). تحديد عدم اليقين في الهندسة المدنية: الخلفية النظرية . برلين: سبرينغر. ISBN 978-3-642-11189-1.
  • فيرسون، سكوت (2002). برنامج RAMAS Risk Calc 4.0  : تقييم المخاطر باستخدام الأرقام غير المؤكدة . بوكا راتون، فلوريدا: دار لويس للنشر. ISBN 978-1-56670-576-9.
  • جيرلا، ج. (1994). "الاستدلالات في منطق الاحتمالات". الذكاء الاصطناعي . 70 ( 1-2 ): 33-52 . doi : 10.1016/0004-3702(94)90102-3 .
  • أوبركامبف، ويليام ل.؛ روي، كريستوفر ج. (2010). التحقق والتدقيق في الحوسبة العلمية . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-11360-1.