ترميز أينشتاين

وفقًا لهذا الاصطلاح، عندما يظهر متغير فهرس مرتين في حد واحد ولم يُعرَّف بطريقة أخرى (انظر المتغيرات الحرة والمقيدة )، فإن ذلك يعني جمع ذلك الحد على جميع قيم الفهرس. لذا، حيث يمكن أن تتراوح الفهارس على المجموعة${\displaystyle \{1,2,3\}}$، $${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}x^{i}e_{i}=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+x^{3}e_{3}}$$ يتم تبسيطها بموجب الاتفاقية إلى: $${\displaystyle y=x^{i}e_{i}}$$

لا تمثل المؤشرات العلوية أسسًا ، بل هي مؤشرات إحداثيات أو معاملات أو متجهات أساسية . أي، في هذا السياق${\displaystyle x^{2}}$ينبغي فهم ذلك على أنه المكون الثاني من${\displaystyle x}$بدلاً من مربع${\displaystyle x}$(قد يؤدي هذا أحيانًا إلى الغموض). موضع المؤشر العلوي في${\displaystyle x^{i}}$وذلك لأن الفهرس، عادةً، يظهر مرة واحدة في موضع علوي (مرتفع) ومرة ​​واحدة في موضع سفلي (منخفض) في المصطلح (انظر قسم  التطبيق أدناه). عادةً،${\displaystyle (x^{1}\ x^{2}\ x^{3})}$سيكون مكافئًا للتقليدي${\displaystyle (x\ y\ z)}$.

في النسبية العامة ، من المتعارف عليه أن

• تُستخدم الأبجدية اليونانية لتمثيل مكونات المكان والزمان، حيث تأخذ المؤشرات القيم 0 أو 1 أو 2 أو 3 (وتشمل الأحرف المستخدمة بكثرة ما يلي:${\displaystyle \mu }$،${\displaystyle \nu }$، إلخ.)،
• تُستخدم الأبجدية اللاتينية للمكونات المكانية فقط، حيث تأخذ المؤشرات القيم 1 أو 2 أو 3 (الأحرف الأكثر استخدامًا هي${\displaystyle i}$،${\displaystyle j}$...),

بشكل عام، يمكن أن تتراوح الفهارس على أي مجموعة فهرسة ، بما في ذلك مجموعة غير منتهية . يجب عدم الخلط بين هذا وبين اصطلاح مشابه من حيث الطباعة يُستخدم للتمييز بين تدوين فهرس الموتر وتدوين الفهرس المجرد المستقل عن الأساس، وهو اصطلاح وثيق الصلة ولكنه مختلف .

الفهرس الذي يتم جمعه هو فهرس جمع ، وفي هذه الحالة "${\displaystyle i}$ويُطلق عليه أيضًا اسم فهرس وهمي لأنه يمكن استبدال أي رمز به.${\displaystyle i}$"دون تغيير معنى التعبير (شريطة ألا يتعارض مع رموز الفهرسة الأخرى في نفس المصطلح).

الفهرس الذي لا يُجمع عليه يُسمى فهرسًا حرًا ، ويجب أن يظهر مرة واحدة فقط لكل حد. إذا ظهر مثل هذا الفهرس، فإنه عادةً ما يظهر أيضًا في كل حد آخر في المعادلة. مثال على الفهرس الحر هو "${\displaystyle i}$" في المعادلة${\displaystyle v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}}$وهو ما يعادل المعادلة${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$.

يمكن تطبيق ترميز أينشتاين بطرق مختلفة قليلاً. عادةً، يظهر كل فهرس مرة واحدة في موضع علوي (أُسْبَق) ومرة ​​واحدة في موضع سفلي (طُوْبِيّ) في الحد؛ ومع ذلك، يمكن تطبيق هذا الاصطلاح بشكل أعم على أي فهارس متكررة داخل الحد. ^{[ 2 ]} عند التعامل مع المتجهات المتغيرة والمتغايرة ، حيث يشير موضع الفهرس إلى نوع المتجه، تنطبق الحالة الأولى عادةً؛ إذ لا يمكن دمج المتجه المتغير إلا مع المتجه المتغاير، وهو ما يتوافق مع جمع نواتج المعاملات. من ناحية أخرى، عندما يكون هناك أساس إحداثيات ثابت (أو عند عدم مراعاة متجهات الإحداثيات)، يمكن اختيار استخدام الفهارس السفلية فقط؛ انظر القسم "  الفهارس العلوية والسفلية مقابل الفهارس السفلية فقط" أدناه.

فيما يتعلق بالتغاير والتغاير العكسي للمتجهات ،

• تمثل المؤشرات العلوية مكونات المتجهات المتغايرة ( المتجهات )،
• تمثل المؤشرات المنخفضة مكونات المتجهات المتغيرة ( المتجهات المشتركة ).

تتحول هذه العمليات بشكل متناقض أو متناقض، على التوالي، فيما يتعلق بتغيير الأساس .

وإدراكاً لهذه الحقيقة، يستخدم الترميز التالي نفس الرمز لكل من المتجه أو المتجه المرافق ومكوناته ، كما في: $${\displaystyle {\begin{aligned}v=e_{i}v^{i}={\begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\\w=w_{i}e^{i}={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{1}\\e^{2}\\\vdots \\e^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle v}$هو المتجه و${\displaystyle v^{i}}$مكوناتها (ليس${\displaystyle i}$المتجه المتجه${\displaystyle v}$)${\displaystyle w}$هو الناقل المصاحب و${\displaystyle w_{i}}$هي مكوناته. عناصر متجه الأساس${\displaystyle e_{i}}$كل منها عبارة عن متجهات عمودية، وعناصر أساس المتجهات المرافقة${\displaystyle e^{i}}$كل منها متجهات صفية مشتركة. (انظر أيضًا §  الوصف المجرد ؛ الازدواجية ، أدناه والأمثلة )

في وجود شكل غير منحل ( تماثل)${\displaystyle V\to V^{*}}$على سبيل المثال، مقياس ريماني أو مقياس مينكوفسكي )، يمكن للمرء رفع وخفض المؤشرات .

يُعطي الأساس هذا الشكل (عبر الأساس المزدوج )، وبالتالي عند العمل على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$باستخدام مقياس إقليدي وقاعدة متعامدة ثابتة ، يكون لدى المرء خيار العمل باستخدام المؤشرات السفلية فقط.

ومع ذلك، إذا قام المرء بتغيير الإحداثيات، فإن الطريقة التي تتغير بها المعاملات تعتمد على تباين الكائن، ولا يمكن تجاهل هذا التمييز؛ انظر التغاير والتغاير العكسي للمتجهات .

في المثال أعلاه، يتم تمثيل المتجهات على النحو التالي:${\displaystyle n\times 1}$المصفوفات (متجهات الأعمدة)، بينما يتم تمثيل المتجهات المرافقة على النحو التالي:${\displaystyle 1\times n}$المصفوفات (متجهات الصفوف).

عند استخدام اصطلاح متجه العمود:

• " المؤشرات الصاعدة تتجه من الأعلى إلى الأسفل؛ والمؤشرات الهابطة تتجه من اليسار إلى اليمين."
• " الموترات المتغيرة هي متجهات صفية لها مؤشرات تقع أسفل ( co-row-below )."
• المتجهات المرافقة هي متجهات صفية:$${\displaystyle {\begin{bmatrix}w_{1}&\cdots &w_{k}\end{bmatrix}}.}$$وبالتالي، يشير الرقم الأدنى إلى العمود الذي أنت فيه.
• المتجهات المتغايرة هي متجهات عمودية:$${\displaystyle {\begin{bmatrix}v^{1}\\\vdots \\v^{k}\end{bmatrix}}}$$وبالتالي، يشير الرقم العلوي إلى الصف الذي أنت فيه.

تكمن ميزة تدوين أينشتاين في أنه يمثل الكميات الثابتة بتدوين بسيط.

في الفيزياء، يكون العدد القياسي ثابتًا تحت تحويلات الأساس. وعلى وجه الخصوص، يكون العدد القياسي اللورنتزي ثابتًا تحت تحويل لورنتز . أما الحدود الفردية في المجموع فلا تكون كذلك. فعند تغيير الأساس، تتغير مركبات المتجه بتحويل خطي موصوف بمصفوفة. وقد دفع هذا آينشتاين إلى اقتراح الاصطلاح القائل بأن المؤشرات المتكررة تعني وجوب إجراء عملية الجمع.

أما بالنسبة للمتجهات المرافقة، فإنها تتغير بواسطة المصفوفة العكسية . وقد صُمم هذا لضمان أن الدالة الخطية المرتبطة بالمتجه المرافق، وهي المجموع أعلاه، تظل هي نفسها بغض النظر عن الأساس.

تكمن قيمة اتفاقية أينشتاين في أنها تنطبق على فضاءات متجهة أخرى مبنية من${\displaystyle V}$باستخدام الضرب الموتري والازدواجية . على سبيل المثال ،${\displaystyle V\otimes V}$، حاصل الضرب الموتري لـ${\displaystyle V}$مع نفسه، له أساس يتكون من موترات من الشكل${\displaystyle \mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$أي موتر${\displaystyle \mathbf {T} }$في${\displaystyle V\otimes V}$يمكن كتابتها على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}.}$$

المساحة المزدوجة${\displaystyle V^{*}}$ل${\displaystyle V}$له أساس${\displaystyle \mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\dots ,\mathbf {e} ^{n}}$الذي يلتزم بالقاعدة $${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}.}$$ أين${\displaystyle \delta }$هي دلتا كرونكر . $${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W}$$ تتوافق إحداثيات الصف/العمود في المصفوفة مع المؤشرات العليا/السفلى في حاصل الضرب الموتري.

الضرب الداخلي لمتجهين هو مجموع حاصل ضرب مكوناتهما المتناظرة، مع خفض مؤشرات أحد المتجهين (انظر #رفع وخفض المؤشرات ): $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle u^{i}v^{j}=u_{j}v^{j}}$$ في حالة الأساس المتعامد ، لدينا${\displaystyle u^{j}=u_{j}}$ويتبسط التعبير إلى: $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\sum _{j}u^{j}v^{j}=u_{j}v^{j}}$$

في ثلاثة أبعاد، الضرب الاتجاهي لمتجهين بالنسبة إلى أساس متعامد موجب الاتجاه، مما يعني أن${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}}$ويمكن التعبير عنها على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{\,jk}^{i}u^{j}v^{k}\mathbf {e} _{i}}$$

هنا،${\displaystyle \varepsilon _{\,jk}^{i}=\varepsilon _{ijk}}$هو رمز ليفي-تشيفيتا . بما أن الأساس متعامد، فإن رفع الدليل${\displaystyle i}$لا يغير من قيمة${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$، عند التعامل معها كموتر.

ناتج المصفوفة${\displaystyle A_{ij}}$مع متجه عمودي${\displaystyle v_{j}}$يكون: $${\displaystyle \mathbf {u} _{i}=(\mathbf {A} \mathbf {v} )_{i}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}v_{j}}$$ ما يعادل $${\displaystyle u^{i}={A^{i}}_{j}v^{j}}$$

هذه حالة خاصة من ضرب المصفوفات.

حاصل ضرب مصفوفتين${\displaystyle A_{ij}}$و${\displaystyle B_{jk}}$يكون: $${\displaystyle \mathbf {C} _{ik}=(\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}}$$

ما يعادل $${\displaystyle {C^{i}}_{k}={A^{i}}_{j}{B^{j}}_{k}}$$

للمصفوفة المربعة${\displaystyle {A^{i}}_{j}}$، الأثر هو مجموع عناصر القطر الرئيسي، وبالتالي المجموع على فهرس مشترك${\displaystyle {A^{i}}_{i}}$.

الضرب الخارجي لمتجه العمود${\displaystyle u^{i}}$بواسطة متجه الصف${\displaystyle v_{j}}$ينتج عنه${\displaystyle m\times n}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$: $${\displaystyle {A^{i}}_{j}=u^{i}v_{j}={(uv)^{i}}_{j}}$$

منذ${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$يمثلان مؤشرين مختلفين ، ولا يوجد جمع، ولا يتم حذف المؤشرات عن طريق الضرب.

بفرض وجود موتر ، يمكن رفع أو خفض مؤشر عن طريق تقليص الموتر مع موتر القياس .${\displaystyle g_{\mu \nu }}$على سبيل المثال، أخذ الموتر${\displaystyle {T^{\alpha }}_{\beta }}$، يمكن للمرء أن يخفض المؤشر: $${\displaystyle g_{\mu \sigma }{T^{\sigma }}_{\beta }=T_{\mu \beta }}$$

أو يمكن للمرء رفع مؤشر: $${\displaystyle g^{\mu \sigma }{T_{\sigma }}^{\alpha }=T^{\mu \alpha }}$$