ميكانيكا الإحصاء الكمي

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 21 صور
الموسوعة الحرة

الميكانيكا الإحصائية الكمومية هي تطبيق الميكانيكا الإحصائية على الأنظمة الكمومية . وتعتمد على بناء مصفوفات الكثافة التي تصف الأنظمة الكمومية في حالة التوازن الحراري . وتشمل تطبيقاتها دراسة مجموعات الجسيمات المتطابقة ، مما يوفر نظرية تفسر ظواهر مثل الموصلية الفائقة والميوعة الفائقة .

مصفوفات الكثافة، والقيم المتوقعة، والإنتروبيا

في ميكانيكا الكم، تُحسب احتمالات نتائج التجارب التي تُجرى على نظام ما من الحالة الكمومية التي تصف ذلك النظام. يرتبط كل نظام فيزيائي بفضاء متجهي ، أو تحديدًا بفضاء هيلبرت . قد يكون بُعد فضاء هيلبرت لانهائيًا، كما هو الحال في فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي على خط مستقيم، والذي يُستخدم لتعريف فيزياء الكم لدرجة حرية متصلة. أو قد يكون فضاء هيلبرت محدود الأبعاد، كما هو الحال في درجات حرية الدوران المغزلي . مُؤثر الكثافة، وهو التمثيل الرياضي للحالة الكمومية، هو مُؤثر شبه موجب ، ذاتي الترافق، أثره واحد ، يعمل على فضاء هيلبرت للنظام. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] يُعرف مُؤثر الكثافة الذي يُمثل إسقاطًا من الرتبة 1 بالحالة الكمومية النقية ، وتُصنف جميع الحالات الكمومية غير النقية على أنها مختلطة . [ 4 ] تُعرف الحالات النقية أيضًا باسم الدوال الموجية . إنّ إسناد حالة نقية لنظام كمومي يستلزم اليقين بشأن نتيجة قياس ما على ذلك النظام. فضاء الحالة لنظام كمومي هو مجموعة جميع الحالات، النقية والمختلطة، التي يمكن إسنادها إليه. بالنسبة لأي نظام، فإنّ فضاء الحالة هو مجموعة محدبة : يمكن كتابة أي حالة مختلطة كمزيج محدب من الحالات النقية، وإن لم يكن ذلك بطريقة فريدة . [ 5 ]

يُعد الكيوبت مثالًا نموذجيًا على فضاء هيلبرت ذي الأبعاد المحدودة ، وهو نظام كمومي يكون فضاء هيلبرت الخاص به ثنائي الأبعاد. ويمكن كتابة أي حالة لكيوبت كمزيج خطي من مصفوفات باولي ، التي تُشكل أساسًا لـ2×2{\displaystyle 2\times 2}المصفوفات ذاتية الترافق: [ 6 ]ρ=12(أنا+رxσx+رyσy+رzσz)،{\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),} حيث الأعداد الحقيقية(رx،رy،رz){\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}هي إحداثيات نقطة داخل كرة الوحدة و σx=(0110)،σy=(0-أناأنا0)،σz=(100-1).{\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}

في الاحتمالات والإحصاء الكلاسيكيين، القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي هي متوسط ​​القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير، مُرجّحة باحتمالات تلك النتائج. المفهوم المقابل في الفيزياء الكمومية هو القيمة المتوقعة لكمية قابلة للرصد . تُمثَّل الكميات القابلة للقياس فيزيائيًا رياضيًا بمؤثرات ذاتية الترافق تعمل على فضاء هيلبرت المرتبط بنظام كمومي. القيمة المتوقعة لكمية قابلة للرصد هي حاصل الضرب الداخلي لهيلبرت-شميدت للمؤثر الذي يُمثل تلك الكمية ومؤثر الكثافة: [ 7 ]⟨أ⟩=tr⁡(أρ).{\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (A\rho ).}

إنتروبيا فون نيومان ، نسبةً إلى جون فون نيومان ، تُحدد مدى اختلاط حالة ما. [ 8 ] وهي تُوسّع مفهوم إنتروبيا جيبس ​​من الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية إلى الميكانيكا الإحصائية الكمومية، وتُعدّ النظير الكمومي لإنتروبيا شانون من نظرية المعلومات الكلاسيكية . بالنسبة لنظام ميكانيكي كمومي موصوف بمصفوفة الكثافة ρ ، فإن إنتروبيا فون نيومان هي [ 9 ]S=-tr⁡(ρln⁡ρ)،{\displaystyle S=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ),} أينtr{\displaystyle \operatorname {tr} }يشير إلى الأثر وln{\displaystyle \operatorname {ln} }يرمز إلى النسخة المصفوفية للوغاريتم الطبيعي . إذا كُتبت مصفوفة الكثافة ρ في أساس متجهاتها الذاتية|1⟩،|2⟩،|3⟩،...{\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots }مثل ρ=∑جηج|ج⟩⟨ج|،{\displaystyle \rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|,} إذن فإن إنتروبيا فون نيومان هي ببساطة S=-∑جηجln⁡ηج.{\displaystyle S=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.} في هذا الشكل، يمكن اعتبار S بمثابة إنتروبيا شانون للقيم الذاتية، مع إعادة تفسيرها على أنها احتمالات. [ 10 ]

تتلاشى إنتروبيا فون نيومان عندماρ{\displaystyle \rho }هي حالة نقية. في صورة كرة بلوخ، يحدث هذا عندما تكون النقطة(رx،رy،رz){\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}تقع على سطح كرة الوحدة. تصل إنتروبيا فون نيومان إلى أقصى قيمة لها عندماρ{\displaystyle \rho }هي الحالة المختلطة القصوى ، والتي تُعطى في حالة الكيوبت بواسطةرx=رy=رz=0{\displaystyle r_{x}=r_{y}=r_{z}=0}[ 11 ]​

تُستخدم إنتروبيا فون نيومان والكميات المستندة إليها على نطاق واسع في دراسة التشابك الكمي . [ 12 ]

المجموعات الديناميكية الحرارية

كانونيكال

لنفترض مجموعة من الأنظمة الموصوفة بدالة هاميلتونية H ذات طاقة متوسطة E. إذا كانت H تمتلك طيفًا نقطيًا بحتًا والقيم الذاتيةهـن{\displaystyle E_{n}}إذا انتقل H إلى + ∞ بسرعة كافية، فسيكون e − r H عاملًا من فئة الأثر غير السالب لكل r موجب .

يتم وصف المجموعة الكنسية (أو أحيانًا مجموعة جيبس ​​الكنسية ) بواسطة الحالة [ 13 ]ρ=هـ-βحTr⁡(هـ-βح)،{\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta H}}{\operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{-\beta H})}},} حيث β هي قيمة تجعل متوسط ​​الطاقة للمجموعة يحقق الشرط التالي: Tr⁡(ρح)=هـ{\displaystyle \operatorname {Tr} (\rho H)=E} و Tr⁡(هـ-βح)=∑نهـ-βهـن=Z(β).{\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{-\beta H})=\sum _{n}\mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}=Z(\beta ).}

يُطلق على هذا اسم دالة التوزيع ؛ وهي النسخة الكمومية من دالة التوزيع المتعارف عليها في الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية. احتمال أن يكون نظامٌ مُختارٌ عشوائيًا من المجموعة في حالةٍ تُقابل قيمة الطاقة الذاتيةهـم{\displaystyle E_{m}}يكون

P(هـم)=هـ-βهـم∑نهـ-βهـن.{\displaystyle {\mathcal {P}}(E_{m})={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}}{\sum _{n}\mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}}}.}

تعمل مجموعة جيبس ​​الكنسية على زيادة إنتروبيا فون نيومان للحالة بشرط أن يكون متوسط ​​الطاقة ثابتًا. [ 14 ]

القانون الكنسي الكبير

بالنسبة للأنظمة المفتوحة حيث قد تتقلب طاقة وعدد الجسيمات، يتم وصف النظام بواسطة المجموعة الكنسية الكبرى ، والتي يتم وصفها بواسطة مصفوفة الكثافة [ 15 ].ρ=هـβ(∑أناμأناشمالأنا-ح)Tr⁡(هـβ(∑أناμأناشمالأنا-ح)).{\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)}}{\operatorname {Tr} \left(\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)}\right)}}.} هنا، تمثل N1 و N2 و ... معاملات عدد الجسيمات لأنواع الجسيمات المختلفة التي يتم تبادلها مع الخزان. وعلى عكس المجموعة الكنسية، تتضمن مصفوفة الكثافة هذه مجموعًا على حالات ذات قيم N مختلفة .

دالة التقسيم الكبرى هي [ 16 ]Z(β،μ1،μ2،⋯)=Tr⁡(هـβ(∑أناμأناشمالأنا-ح)){\displaystyle {\mathcal {Z}}(\beta ,\mu _{1},\mu _{2},\cdots )=\operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)})}

تعمل مصفوفات الكثافة من هذا الشكل على زيادة الإنتروبيا إلى أقصى حد مع مراعاة القيود التي تنص على أن كل من متوسط ​​الطاقة ومتوسط ​​عدد الجسيمات ثابتان. [ 17 ]

الجسيمات المتطابقة والإحصاء الكمي

في ميكانيكا الكم، تُعرف الجسيمات غير القابلة للتمييز (وتُسمى أيضًا الجسيمات المتطابقة أو غير القابلة للتفريق ) بأنها جسيمات لا يمكن تمييزها عن بعضها البعض، حتى من حيث المبدأ. تشمل أنواع الجسيمات المتطابقة، على سبيل المثال لا الحصر، الجسيمات الأولية (مثل الإلكترونات )، والجسيمات دون الذرية المركبة (مثل نوى الذرات )، بالإضافة إلى الذرات والجزيئات . على الرغم من أن جميع الجسيمات غير القابلة للتمييز المعروفة موجودة فقط على المستوى الكمي، إلا أنه لا توجد قائمة شاملة لجميع أنواع الجسيمات الممكنة، ولا يوجد حد واضح لتطبيقها، كما هو الحال في الإحصاء الكمي . وقد ناقشها لأول مرة فيرنر هايزنبرغ وبول ديراك عام 1926. [ 18 ]

توجد فئتان رئيسيتان من الجسيمات المتطابقة: البوزونات ، التي تُوصف بحالات كمومية متناظرة عند التبادل، والفيرميونات ، التي تُوصف بحالات غير متناظرة. [ 19 ] من أمثلة البوزونات: الفوتونات ، والغلوونات ، والفونونات ، ونوى الهيليوم-4 ، وجميع الميزونات . ومن أمثلة الفيرميونات: الإلكترونات ، والنيوترينوات ، والكواركات ، والبروتونات ، والنيوترونات ، ونوى الهيليوم-3 .

إن حقيقة إمكانية تطابق الجسيمات لها تبعات مهمة في الميكانيكا الإحصائية، إذ تُظهر الجسيمات المتطابقة سلوكًا إحصائيًا مختلفًا بشكل ملحوظ عن الجسيمات القابلة للتمييز. [ 20 ] تُعد نظرية الإحصاء الكمي للبوزونات نقطة انطلاق لفهم الموائع الفائقة ، [ 21 ] كما أن الإحصاء الكمي ضروري أيضًا لتفسير ظاهرة الموصلية الفائقة . [ 22 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ فانو، يو. (1957). "وصف الحالات في ميكانيكا الكم باستخدام مصفوفة الكثافة وتقنيات المؤثرات". مراجعات الفيزياء الحديثة . 29 (1): 74-93 . Bibcode : 1957RvMP...29...74F . doi : 10.1103/RevModPhys.29.74 .
  2. ↑ هوليفو 2001 ، ص. 1، 15.
  3. ↑ هول، برايان سي. (2013). "الأنظمة والأنظمة الفرعية، الجسيمات المتعددة". نظرية الكم للرياضيين . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 267. سبرينغر. الصفحات 419-440 . doi : 10.1007/978-1-4614-7116-5_19 . ISBN   978-1-4614-7115-8.
  4. ↑ كاردار 2007 ، ص 172.
  5. ↑ كيركباتريك، ك. أ. (فبراير 2006). "نظرية شرودنغر-هـ. ج. و.". رسائل أسس الفيزياء . 19 (1): 95-102 . arXiv : quant-ph/0305068 . Bibcode : 2006FoPhL..19...95K . doi : 10.1007/s10702-006-1852-1 . ISSN 0894-9875 . 
  6. ^ وايلد 2017 ، ص. 126؛ زويباخ 2022 ، §22.2.
  7. ^ هوليفو 2001 ، ص. 17؛ بيريز 1993 ، ص 64، 73؛ كاردار 2007 ، ص. 172.
  8. ↑ هوليفو 2001 ، ص 15.
  9. ^ بينجتسون وجيكوفسكي 2017 ، ص. 355؛ بيريز 1993 ، ص. 264.
  10. ^ بينجتسون وجيكوفسكي 2017 ، ص. 360؛ بيريز 1993 ، ص. 264.
  11. ^ ريفل وبولاك 2011 ، الصفحات من 216 إلى 217؛ زويباخ 2022 ، §22.2.
  12. ^ نيلسن وتشوانغ 2010 ، ص. 700.
  13. ^ هوانغ 1987 ، ص. 177؛ بيريز 1993 ، ص. 266؛ كاردار 2007 ، ص. 174.
  14. ↑ بيريز 1993 ، ص 267.
  15. ↑ كاردار 2007 ، ص 174.
  16. ^ هوانغ 1987 ، ص. 178؛ كادانوف وبيم 2018 ، الصفحات من 2 إلى 3؛ كاردار 2007 ، ص. 174.
  17. ^ رايشل 2016 ، ص 184-185.
  18. ↑ غوتفريد، كورت (2011). "بام ديراك واكتشاف ميكانيكا الكم" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 79 (3): 2، 10. arXiv : 1006.4610 . Bibcode : 2011AmJPh..79..261G . doi : 10.1119/1.3536639 . S2CID 18229595 . 
  19. ^ هوانغ 1987 ، ص. 179؛ كادانوف وبيم 2018 ، ص. 2؛ كاردار 2007 ، ص. 182.
  20. ^ هوانغ 1987 ، ص 179 – 189 ؛ كادانوف 2000 ، ص 187 – 192.
  21. ^ كاردار 2007 ، ص 200-202.
  22. ^ رايشل 2016 ، ص 114-115 ، 184.

للمزيد من القراءة