الموقع (الهندسة)

الموسوعة الحرة
متجه نصف القطرر→{\displaystyle {\vec {r}}}يمثل موضع نقطةP(x،y،z){\displaystyle \mathrm {P} (x,y,z)}بالنسبة إلى نقطة الأصل O. في نظام الإحداثيات الديكارتيةر→=xهـ^x+yهـ^y+zهـ^z.{\displaystyle {\vec {r}}=x\,{\hat {e}}_{x}+y\,{\hat {e}}_{y}+z\,{\hat {e}}_{z}.}

في الهندسة ، يُعرف الموضع أو متجه الموضع ، أو متجه الموقع أو متجه نصف القطر ، بأنه متجه إقليدي يُمثل نقطة P في الفضاء . يُمثل طوله المسافة بالنسبة إلى نقطة مرجعية اختيارية O ، بينما يُمثل اتجاهه التوجيه الزاوي بالنسبة لمحاور مرجعية مُعطاة. يُرمز إليه عادةً بـ x أو r أو s ، وهو يُقابل القطعة المستقيمة من O إلى P. بعبارة أخرى، هو الإزاحة أو الانتقال الذي يُحدد موقع النقطة المرجعية على P : [ 1 ]

ر=ياP→.{\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}.}

يُستخدم مصطلح متجه الموضع في الغالب في مجالات الهندسة التفاضلية والميكانيكا ، وأحيانًا في حساب المتجهات . ويُستخدم هذا المصطلح عادةً في الفضاء ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد ، ولكن يمكن تعميمه بسهولة ليشمل الفضاءات الإقليدية والفضاءات الأفينية ذات أي بُعد . [ 2 ]

الموقع النسبي

الموضع النسبي للنقطة Q بالنسبة للنقطة P هو المتجه الإقليدي الناتج عن طرح متجهي الموضع المطلق (كل منهما بالنسبة لنقطة الأصل):

Δر=s-ر=Pسؤال→،{\displaystyle \Delta \mathbf {r} =\mathbf {s} -\mathbf {r} ={\overrightarrow {PQ}},}

أينs=ياسؤال→{\displaystyle \mathbf {s} ={\overrightarrow {OQ}}}الاتجاه بين نقطتين هو موضعهما النسبي مُقاسًا كمتجه وحدة .

التعريف والتمثيل

الأبعاد الثلاثة

منحنى فضائي ثلاثي الأبعاد. يتم تحديد متجه الموضع r بواسطة قيمة عددية t . عند r = a، يكون الخط الأحمر مماسًا للمنحنى، والمستوى الأزرق عموديًا على المنحنى.

في ثلاثة أبعاد ، يمكن استخدام أي مجموعة من الإحداثيات ثلاثية الأبعاد ومتجهات الأساس المقابلة لها لتحديد موقع نقطة في الفضاء - أيهما أبسط بالنسبة للمهمة المطروحة يمكن استخدامه.

عادةً ما يتم استخدام نظام الإحداثيات الديكارتية المألوف ، أو في بعض الأحيان الإحداثيات القطبية الكروية ، أو الإحداثيات الأسطوانية :

ر(ت)≡ر(x،y،z)≡x(ت)هـ^x+y(ت)هـ^y+z(ت)هـ^z≡ر(ر،θ،ϕ)≡ر(ت)هـ^ر(θ(ت)،ϕ(ت))≡ر(ر،ϕ،z)≡ر(ت)هـ^ر(ϕ(ت))+z(ت)هـ^z،{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\phi ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\phi (t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}}

حيث يمثل t مُعاملاً ، وذلك بسبب تناظرها المستطيل أو الدائري. تُمثل هذه الإحداثيات المختلفة ومتجهات الأساس المُقابلة لها نفس متجه الموضع. يُمكن استخدام إحداثيات منحنية أكثر عمومية بدلاً من ذلك، وهي شائعة في سياقات مثل ميكانيكا الأوساط المتصلة والنسبية العامة (في الحالة الأخيرة، نحتاج إلى إحداثية زمنية إضافية).

الأبعاد n

يُتيح الجبر الخطي تجريد متجه الموضع ذي الأبعاد n . ويمكن التعبير عن متجه الموضع كتركيبة خطية من متجهات الأساس : [ 3 ] [ 4 ]

ر=∑أنا=1نxأناهـأنا=x1هـ1+x2هـ2+⋯+xنهـن.{\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}

تشكل مجموعة جميع متجهات الموضع فضاء الموضع ( فضاء متجهي عناصره متجهات الموضع)، إذ يمكن جمع المواضع ( جمع المتجهات ) وضربها في الطول ( الضرب القياسي ) للحصول على متجه موضع آخر في هذا الفضاء. مفهوم "الفضاء" بديهي، فبما أن كل متجه موضعي ( xᵢ ) ( حيث i = 1، 2، ...، n ) يمكن أن يأخذ أي قيمة، فإن مجموعة هذه القيم تحدد نقطة في الفضاء.

بُعد فضاء الموضع هو n (ويُرمز له أيضًا بـ dim ( R ) = n ). إحداثيات المتجه r بالنسبة لمتجهات الأساس eᵢ هي xᵢ . يُشكل متجه الإحداثيات متجه الإحداثيات أو المجموعة n ( x₁ , x₂ , … , xₙ ) .

يمكن تحديد كل إحداثي x i بعدد من المعاملات t . معامل واحد x i ( t ) يصف مسارًا منحنيًا أحادي البعد، ومعاملان x i ( t 1 , t 2 ) يصفان سطحًا منحنيًا ثنائي الأبعاد، وثلاثة معاملات x i ( t 1 , t 2 , t 3 ) تصف حجمًا منحنيًا ثلاثي الأبعاد للفضاء، وهكذا.

الامتداد الخطي لمجموعة الأساس B = { e 1 , e 2 , …, e n } يساوي فضاء الموضع R ، ويرمز له بـ span( B ) = R .

التطبيقات

الهندسة التفاضلية

تُستخدم حقول متجه الموضع لوصف المنحنيات الفضائية المستمرة والقابلة للتفاضل، وفي هذه الحالة لا يلزم أن يكون المعامل المستقل هو الوقت، ولكن يمكن أن يكون (على سبيل المثال) طول قوس المنحنى.

الميكانيكا

في أي معادلة حركة ، يكون متجه الموضع r ( t ) هو الكمية الأكثر طلبًا عادةً لأن هذه الدالة تحدد حركة الجسيم (أي كتلة نقطية ) - موقعه بالنسبة لنظام إحداثيات معين في وقت ما t .

لتعريف الحركة من حيث الموضع، يمكن تحديد كل إحداثية بواسطة الوقت؛ نظرًا لأن كل قيمة متتالية للوقت تتوافق مع سلسلة من المواقع المكانية المتتالية التي تحددها الإحداثيات، فإن حد الاستمرارية للعديد من المواقع المتتالية هو المسار الذي يتتبعه الجسيم.

في حالة البعد الواحد، يكون للموضع مركبة واحدة فقط، لذا فهو يتحول فعليًا إلى إحداثية قياسية. يمكن أن تكون، على سبيل المثال، متجهًا في اتجاه المحور السيني (x) ، أو في الاتجاه القطري (r) . تتضمن الرموز المكافئة ما يلي:

x≡x≡x(ت)،ر≡ر(ت)،s≡s(ت).{\displaystyle \mathbf {x} \equiv x\equiv x(t),\quad r\equiv r(t),\quad s\equiv s(t).}

المشتقات

الكميات الحركية لجسيم كلاسيكي: الكتلة m ، الموضع r ، السرعة v ، التسارع a    

بالنسبة لمتجه الموضع r الذي هو دالة للزمن t ، يمكن حساب المشتقات الزمنية بالنسبة إلى t . لهذه المشتقات فائدة شائعة في دراسة علم الحركة ، ونظرية التحكم ، والهندسة ، وغيرها من العلوم.

سرعة
v=دردت،{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}},}
حيث يمثل d r إزاحة صغيرة للغاية (متجه) .
تسريع
أ=دvدت=د2ردت2.{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}.}
هَزَّة
ج=دأدت=د2vدت2=د3ردت3.{\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}.}

تُستخدم هذه الأسماء للمشتقات الأولى والثانية والثالثة للموضع بشكل شائع في علم الحركة الأساسي. [ 5 ] وبالمثل، يمكن حساب المشتقات ذات الرتب الأعلى بطريقة مماثلة. ويمكن لدراسة هذه المشتقات ذات الرتب الأعلى تحسين تقريبات دالة الإزاحة الأصلية. وتُعدّ هذه الحدود ذات الرتب الأعلى ضرورية لتمثيل دالة الإزاحة بدقة كمجموع متتالية لانهائية ، مما يُتيح استخدام العديد من التقنيات التحليلية في الهندسة والفيزياء.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يُستخدممصطلح الإزاحة بشكل أساسي في الميكانيكا، بينما يُستخدم مصطلح الانتقال في الهندسة.
  2. ↑ كيلر، إف جيه، جيتيس، دبليو إي وآخرون (1993)، ص 28-29.
  3. ↑ رايلي، ك. ف.؛ هوبسون، م. ب.؛ بينس، س. ج. (2010). الأساليب الرياضية للفيزياء والهندسة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-86153-3.
  4. ^ ليبشوتز، إس. ليبسون، م. (2009). الجبر الخطي . ماكجرو هيل. رقم ISBN 978-0-07-154352-1.
  5. ↑ ستيوارت، جيمس (2001). "§2.8. المشتقة كدالة". حساب التفاضل والتكامل ( الطبعة الثانية). بروكس/كول. ISBN  0-534-37718-1.

مراجع

  • كيلر، إف جيه، جيتيز، دبليو إي وآخرون (1993). "الفيزياء: الكلاسيكية والحديثة" الطبعة الثانية. دار نشر ماكجرو هيل.
  • شعار ويكيميديا ​​كومنزالوسائط المتعلقة بالموقع (الهندسة) على ويكيميديا ​​كومنز