متجه إقليدي

في الهندسة الإقليدية الكلاسيكية (أي الهندسة التركيبية )، تم تقديم المتجهات (خلال القرن التاسع عشر) كفئات تكافؤ تحت مبدأ تساوي القوى بين أزواج النقاط المرتبة ^{[ 13 ]} ؛ حيث يكون الزوجان ( أ ، ب ) و ( ج ، د ) متساويين في القوى إذا شكلت النقاط أ ، ب ، د ، ج ، بهذا الترتيب، متوازي أضلاع . تُسمى فئة التكافؤ هذه متجهًا ، وبشكل أدق، متجهًا إقليديًا. ^{[ 14 ]} غالبًا ما يُشار إلى فئة تكافؤ ( أ ، ب ) بـ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}.}$

المتجه الإقليدي هو فئة تكافؤ من القطع المستقيمة الموجهة التي لها نفس المقدار (مثل طول القطعة المستقيمة ( أ ، ب ) ) ونفس الاتجاه (مثل الاتجاه من أ إلى ب ). ^{[ 15 ]} في الفيزياء ، تُستخدم المتجهات الإقليدية لتمثيل الكميات الفيزيائية التي لها مقدار واتجاه، ولكنها لا تقع في مكان محدد، على عكس الكميات القياسية التي ليس لها اتجاه. ^{[ 7 ]} على سبيل المثال، تُمثل السرعة والقوى والتسارع بالمتجهات.

في الهندسة الحديثة، تُعرَّف الفضاءات الإقليدية غالبًا من الجبر الخطي . وبشكل أدق، يُعرَّف الفضاء الإقليدي E بأنه مجموعة مرتبطة بفضاء جداء داخلي ذي بُعد منتهٍ على الأعداد الحقيقية.${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$وفعل جماعي للمجموعة الجمعية لـ${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$وهو حر ومتعدٍ (انظر الفضاء الأفيني لمزيد من التفاصيل حول هذا التركيب). عناصر${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$تُسمى هذه العمليات بالتحويلات . وقد ثبت أن التعريفين للفضاءات الإقليدية متكافئان، وأن فئات التكافؤ في ظل مبدأ التكافؤ يمكن تحديدها بالتحويلات.

أحيانًا، تُدرس المتجهات الإقليدية دون الرجوع إلى الفضاء الإقليدي. في هذه الحالة، يكون المتجه الإقليدي عنصرًا من فضاء متجهي معياري ذي بُعد محدود على الأعداد الحقيقية، أو، عادةً، عنصرًا من فضاء الإحداثيات الحقيقية.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مزودة بالضرب النقطي . وهذا منطقي، لأن الجمع في مثل هذا الفضاء المتجهي يؤثر بحرية وبشكل متعدٍ على الفضاء المتجهي نفسه. أي،${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هو فضاء إقليدي، مع نفسه كفضاء متجه مرتبط، والضرب النقطي كضرب داخلي.

الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$غالبًا ما يُعرَّف بأنه الفضاء الإقليدي القياسي ذو البعد n . ويستند هذا إلى حقيقة أن كل فضاء إقليدي ذي بعد n متماثل مع الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$بتعبير أدق، في فضاء إقليدي كهذا، يمكن اختيار أي نقطة O كنقطة أصل . وباستخدام عملية غرام-شميدت ، يمكن أيضًا إيجاد أساس متعامد للفضاء المتجهي المرتبط (أساس يكون فيه حاصل الضرب الداخلي لمتجهين أساسيين يساوي صفرًا إذا كانا مختلفين، وواحدًا إذا كانا متساويين). وهذا يُعرّف الإحداثيات الديكارتية لأي نقطة P في الفضاء، باعتبارها الإحداثيات على هذا الأساس للمتجه${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.}$تحدد هذه الخيارات تماثلًا للفضاء الإقليدي المعطى على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$عن طريق تعيين أي نقطة إلى مجموعة n من إحداثياتها الديكارتية، وكل متجه إلى متجه إحداثياته .

بما أن مفهوم القوة في الفيزياء له اتجاه ومقدار، فيمكن اعتباره متجهًا. على سبيل المثال، لنفترض قوة F مقدارها 15 نيوتن باتجاه اليمين . إذا كان المحور الموجب متجهًا أيضًا نحو اليمين، فإن F يُمثَّل بالمتجه 15  نيوتن، وإذا كان متجهها الموجب متجهًا نحو اليسار، فإن متجه F هو -15  نيوتن. في كلتا الحالتين، مقدار المتجه هو 15 نيوتن  . وبالمثل، فإن التمثيل المتجهي للإزاحة Δs التي مقدارها 4 أمتار سيكون إما 4 أمتار  أو -4  أمتار، حسب اتجاهها، ومقدارها سيكون 4  أمتار في كلتا الحالتين.

تُعدّ المتجهات أساسية في العلوم الفيزيائية. يُمكن استخدامها لتمثيل أي كمية لها مقدار واتجاه، وتخضع لقواعد جمع المتجهات. مثال على ذلك السرعة ، التي يُطلق على مقدارها اسم السرعة . على سبيل المثال، يُمكن تمثيل السرعة 5 أمتار في الثانية لأعلى بالمتجه (0، 5) (في بُعدين، حيث يُمثّل المحور y الموجب اتجاه "أعلى"). ومن الكميات الأخرى التي يُمكن تمثيلها بمتجه القوة ، لأنها لها مقدار واتجاه وتخضع لقواعد جمع المتجهات. ^{[ 7 ]} كما تصف المتجهات العديد من الكميات الفيزيائية الأخرى، مثل الإزاحة الخطية، والتسارع الخطي، والتسارع الزاوي ، والزخم الخطي ، والزخم الزاوي . تُمثَّل متجهات فيزيائية أخرى، مثل المجال الكهربائي والمغناطيسي ، كنظام من المتجهات عند كل نقطة في الفضاء الفيزيائي؛ أي حقل متجهي . من أمثلة الكميات التي لها مقدار واتجاه، ولكنها لا تخضع لقواعد جمع المتجهات، الإزاحة الزاوية والتيار الكهربائي. وبالتالي، فهي ليست متجهات.

في نظام الإحداثيات الديكارتية ، يمكن تمثيل متجه مقيد بتحديد إحداثيات نقطتي بدايته ونهايته. على سبيل المثال، تحدد النقطتان A = (1, 0, 0) و B = (0, 1, 0) في الفضاء المتجه المقيد.${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$يشير من النقطة x = 1 على المحور x إلى النقطة y = 1 على المحور y .

في الإحداثيات الديكارتية، يمكن تصور المتجه الحر بدلالة متجه مقيد مناظر له، حيث تكون نقطة بدايته عند نقطة الأصل O = (0, 0, 0) . ويُحدد هذا المتجه بإحداثيات نقطة نهاية المتجه المقيد. وبالتالي، فإن المتجه الحر المُمثل بالنقطة (1, 0, 0) هو متجه طوله وحدة واحدة، ويتجه على طول محور السينات الموجب .

يُتيح هذا التمثيل الإحداثي للمتجهات الحرة التعبير عن خصائصها الجبرية بطريقة عددية ملائمة. على سبيل المثال، مجموع المتجهين (الحرين) (1، 2، 3) و(-2، 0، 4) هو المتجه (الحري). $${\displaystyle (1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7)\,.}$$

في السياقات الهندسية والفيزيائية، يُمكن أحيانًا ربط الطول أو المقدار والاتجاه بالمتجهات بطريقة طبيعية. إضافةً إلى ذلك، يرتبط مفهوم الاتجاه ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الزاوية بين متجهين. إذا عُرِّف الضرب القياسي لمتجهين - وهو حاصل ضرب عددي لمتجهين - فإنه يُمكن أيضًا تعريف الطول؛ إذ يُعطي الضرب القياسي توصيفًا جبريًا مناسبًا لكلٍّ من الزاوية (وهي دالة للضرب القياسي بين أي متجهين غير صفريين) والطول (الجذر التربيعي للضرب القياسي لمتجه في نفسه). في ثلاثة أبعاد، يُمكن كذلك تعريف الضرب الاتجاهي ، الذي يُوفر توصيفًا جبريًا لمساحة واتجاه متوازي الأضلاع المُحدد بمتجهين (يُستخدمان كضلعين لمتوازي الأضلاع). في أي بُعد (وخاصة الأبعاد الأعلى)، من الممكن تعريف الضرب الخارجي ، والذي (من بين أمور أخرى) يوفر توصيفًا جبريًا للمساحة والاتجاه في الفضاء لمتوازي السطوح ذي الأبعاد n المحدد بواسطة n متجهات.

في الفضاء شبه الإقليدي ، يمكن أن يكون مربع طول المتجه موجبًا أو سالبًا أو صفرًا. ومن الأمثلة المهمة على ذلك فضاء مينكوفسكي (الذي يُعدّ مهمًا لفهمنا للنسبية الخاصة ).

مع ذلك، ليس من الممكن أو المرغوب فيه دائمًا تحديد طول المتجه. هذا النوع الأكثر عمومية من المتجهات المكانية هو موضوع فضاءات المتجهات (للمتجهات الحرة) والفضاءات الأفينية (للمتجهات المقيدة، حيث يُمثل كل متجه بزوج مرتب من "النقاط"). أحد الأمثلة الفيزيائية يأتي من الديناميكا الحرارية ، حيث يمكن اعتبار العديد من الكميات المهمة متجهات في فضاء لا يتضمن مفهوم الطول أو الزاوية. ^{[ 16 ]}

في الفيزياء، كما في الرياضيات، يُعرَّف المتجه غالبًا بمجموعة من المركبات، أو قائمة من الأرقام، التي تعمل كمعاملات قياسية لمجموعة من متجهات الأساس . عند تحويل الأساس، مثلاً بالدوران أو التمدد، فإن مركبات أي متجه بالنسبة لهذا الأساس تتحول أيضًا في الاتجاه المعاكس. المتجه نفسه لم يتغير، لكن الأساس تغير، لذا يجب أن تتغير مركبات المتجه للتعويض. يُسمى المتجه متغايرًا أو متغايرًا عكسيًا ، اعتمادًا على كيفية ارتباط تحويل مركبات المتجه بتحويل الأساس. بشكل عام، المتجهات المتغايرة عكسيًا هي "متجهات منتظمة" بوحدات المسافة (مثل الإزاحة)، أو المسافة مضروبة في وحدة أخرى (مثل السرعة أو التسارع)؛ أما المتجهات المتغايرة، فلها وحدات مقلوب المسافة مثل التدرج . إذا غيّرنا الوحدات (وهي حالة خاصة من تغيير الأساس ) من المتر إلى المليمتر، بمعامل قياس 1/1000، فإن إزاحة 1  متر تصبح 1000 مليمتر - وهو تغيير متغاير في القيمة العددية. في المقابل، يصبح  تدرج 1 كلفن /متر 0.001 كلفن/مليمتر - وهو تغيير متغاير في القيمة (للمزيد، انظر التغاير والتغاير العكسي للمتجهات ). الموترات نوع آخر من الكميات التي تتصرف بهذه الطريقة؛ والمتجه هو أحد أنواع الموترات .  

في الرياضيات البحتة ، يُعرَّف المتجه بأنه أي عنصر من عناصر فضاء متجهي على حقل ما ، وغالبًا ما يُمثَّل بمتجه إحداثي . تُعدّ المتجهات الموصوفة في هذه المقالة حالة خاصة جدًا من هذا التعريف العام، لأنها متغيرة عكسيًا بالنسبة للفضاء المحيط. يُجسّد التغير العكسي الحدس الفيزيائي الكامن وراء فكرة أن للمتجه "مقدارًا واتجاهًا".

كما هو موضح أعلاه ، يُوصف المتجه عادةً بمجموعة من مركباته التي تُشكّل المتجه المُعطى. وعادةً ما تكون هذه المركبات هي إسقاطات المتجه على مجموعة من محاور مرجعية متعامدة (متجهات أساسية). ويُقال إن المتجه مُحلّل أو مُفكّك بالنسبة لتلك المجموعة.

إن تحليل أو تفكيك ^{[ 17 ]} المتجه إلى مكوناته ليس فريدًا، لأنه يعتمد على اختيار المحاور التي يتم إسقاط المتجه عليها.

علاوة على ذلك، فإن استخدام متجهات الوحدة الديكارتية مثل${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$لا يُشترط استخدام أساس معين لتمثيل المتجه. يمكن أيضًا التعبير عن المتجهات بدلالة أساس اعتباطي، بما في ذلك متجهات الوحدة لنظام إحداثيات أسطواني (${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}},\mathbf {\hat {z}} }$) أو نظام الإحداثيات الكروية (${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ,{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$). الخياران الأخيران أكثر ملاءمة لحل المشكلات التي تمتلك تناظرًا أسطوانيًا أو كرويًا، على التوالي.

إن اختيار الأساس لا يؤثر على خصائص المتجه أو سلوكه تحت التحويلات.

يمكن أيضًا تحليل المتجه باستخدام متجهات أساسية "غير ثابتة" تغير اتجاهها بتغير الزمان أو المكان. على سبيل المثال، يمكن تحليل متجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام محورين، أحدهما عمودي على السطح والآخر مماس له (انظر الشكل). علاوة على ذلك، يرتبط المركبان القطري والمماسي للمتجه بنصف قطر دوران الجسم . المركب القطري موازٍ لنصف القطر، بينما المركب المماسي متعامد معه . ^{[ 18 ]}

في هذه الحالات، يمكن تحليل كل مكون بدوره بالنسبة لنظام إحداثيات ثابت أو مجموعة أساسية (على سبيل المثال، نظام إحداثيات عالمي ، أو إطار مرجعي بالقصور الذاتي ).

يُقال إن متجهين متساويان إذا كان لهما نفس المقدار والاتجاه. أو بعبارة أخرى، يكونان متساويين إذا كانت إحداثياتهما متساوية. لذا، فإن متجهين $${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$ و $${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$ متساويان إذا $${\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.\,}$$

يكون المتجهان متعاكسين إذا كان لهما نفس المقدار ولكن اتجاههما متعاكس ؛ ^{[ 19 ]} لذا فإن المتجهين

$${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

و

$${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

تكون متقابلة إذا

$${\displaystyle a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}.\,}$$

يكون المتجهان متساويي الاتجاه (أو متماثلي الاتجاه ) إذا كان لهما نفس الاتجاه ولكن ليس بالضرورة نفس المقدار. ^{[ 19 ]} يكون المتجهان متوازيين إذا كان لهما نفس الاتجاه أو اتجاهان متعاكسان، ولكن ليس بالضرورة نفس المقدار؛ ويكون المتجهان متعاكسين إذا كان لهما اتجاهان متعاكسان تمامًا، ولكن ليس بالضرورة نفس المقدار. ^{[ أ ]}

يمكن تعريف مجموع المتجهين a و b على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$ يُطلق على المتجه الناتج أحيانًا اسم المتجه الناتج لـ a و b .

يمكن تمثيل عملية الجمع بيانيًا بوضع ذيل السهم b عند رأس السهم a ، ثم رسم سهم من ذيل a إلى رأس b . يمثل السهم الجديد المرسوم المتجه a + b ، كما هو موضح أدناه: ^{[ 7 ]}

تُسمى طريقة الجمع هذه أحيانًا بقاعدة متوازي الأضلاع، لأن a و b يُشكلان ضلعين من أضلاع متوازي الأضلاع ، و a + b هو أحد قطريه. إذا كان a و b متجهين مقيدين لهما نفس نقطة الأساس، فإن هذه النقطة ستكون أيضًا نقطة أساس a + b . يمكن التحقق هندسيًا من أن a + b = b + a و ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

الفرق بين a و b هو

$${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

يمكن تمثيل طرح متجهين هندسيًا كما يلي: لطرح b من a ، ضع طرفي المتجهين a و b في نقطة واحدة، ثم ارسم سهمًا من رأس b إلى رأس a . يمثل هذا السهم الجديد المتجه (-b) + a ، حيث (-b) هو معكوس b ، كما هو موضح في الرسم. وبالتالي، فإن (-b) + a = a − b .

يمكن أيضًا ضرب المتجه، أو إعادة قياسه ، بأي عدد حقيقي r . في سياق الجبر المتجهي التقليدي ، تُسمى هذه الأعداد الحقيقية غالبًا بالأعداد القياسية (من كلمة scale ) لتمييزها عن المتجهات. تُسمى عملية ضرب المتجه في عدد قياسي بالضرب القياسي . المتجه الناتج هو

$${\displaystyle r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

بشكل بديهي، يؤدي الضرب في عدد قياسي r إلى تمديد متجه بمعامل r . هندسياً، يمكن تصور ذلك (على الأقل في حالة كون r عددًا صحيحًا) على أنه وضع r نسخة من المتجه في خط مستقيم حيث تكون نقطة نهاية أحد المتجهات هي نقطة بداية المتجه التالي.

إذا كانت قيمة r سالبة، فإن المتجه يغير اتجاهه: إذ ينقلب بزاوية 180°. فيما يلي مثالان ( r = -1 و r = 2):

الضرب القياسي توزيعي على جمع المتجهات بالمعنى التالي: r ( a + b ) = ra + rb لجميع المتجهات a و b وجميع القيم القياسية r . ويمكن أيضاً إثبات أن a − b = a + (−1) b .

يُشار إلى طول أو مقدار أو معيار المتجه a بواسطة ‖ a ‖ أو بشكل أقل شيوعًا، | a |، والتي لا ينبغي الخلط بينها وبين القيمة المطلقة (معيار قياسي).

يمكن حساب طول المتجه a باستخدام المعيار الإقليدي ،

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},}$$

وهذا نتيجة لنظرية فيثاغورس لأن متجهات الأساس e ₁ و e ₂ و e ₃ هي متجهات وحدة متعامدة.

وهذا يساوي الجذر التربيعي للضرب النقطي ، الذي تمت مناقشته أدناه، للمتجه مع نفسه:

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.}$$

متجه الوحدة

متجه الوحدة هو أي متجه طوله واحد؛ وعادةً ما تُستخدم متجهات الوحدة للإشارة إلى الاتجاه. يمكن قسمة متجه ذي طول عشوائي على طوله لإنشاء متجه وحدة. ^{[ 15 ]} يُعرف هذا بتطبيع المتجه. غالبًا ما يُشار إلى متجه الوحدة بعلامة القبعة (#) كما في â .

لتطبيع متجه a = ( a1 _, a2 _, a3 ₎ ، قم بضرب المتجه في مقلوب طوله ‖a‖ . أي :

$${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}}$$

يُرمز إلى الضرب القياسي لمتجهين a و b (ويسمى أحيانًا الضرب الداخلي ، أو الضرب القياسي نظرًا لأن نتيجته كمية قياسية ) بالرمز a  ∙ b، ويُعرف على النحو التالي: 

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$

حيث θ هي قياس الزاوية بين a و b ( انظر الدالة المثلثية لشرح جيب التمام). هندسياً، هذا يعني أنه يتم رسم a و b من نقطة بداية مشتركة، ثم يتم ضرب طول a بطول مركبة b التي تشير في نفس اتجاه a .

يمكن تعريف الضرب النقطي أيضًا بأنه مجموع حاصل ضرب مكونات كل متجه كما يلي:

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}$$

الضرب الاتجاهي (ويُسمى أيضًا الضرب المتجهي أو الضرب الخارجي ) له معنى فقط في ثلاثة أو سبعة أبعاد. ويختلف الضرب الاتجاهي عن الضرب القياسي بشكل أساسي في أن ناتج الضرب الاتجاهي لمتجهين هو متجه. ويُرمز للضرب الاتجاهي بـ a  × b ، وهو متجه عمودي على كل من a و b ، ويُعرَّف على النحو التالي: 

$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n} }$$

حيث θ هي قياس الزاوية بين a و b ، و n هو متجه وحدة عمودي على كل من a و b، مما يُكمل نظامًا يمينيًا . شرط اليمينية ضروري لوجود متجهي وحدة عموديين على كل من a و b ، وهما n و (− n ).

يُعرَّف الضرب الاتجاهي a  × b بحيث يصبح كل من a و b و a × b نظامًا يمينيًا (مع أن a و b ليسا بالضرورة متعامدين ). هذه هي قاعدة اليد اليمنى .   

يمكن تفسير طول a  × b على أنه مساحة متوازي الأضلاع الذي يكون a و b هما ضلعيه. 

يمكن كتابة الضرب الاتجاهي على النحو التالي: $${\displaystyle {\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\mathbf {e} }_{3}.}$$

بالنسبة للاختيارات العشوائية للتوجه المكاني (أي السماح بأنظمة الإحداثيات اليسرى واليمنى) فإن الضرب الاتجاهي لمتجهين هو متجه زائف بدلاً من متجه (انظر أدناه).

إنّ الضرب الثلاثي القياسي (ويُسمى أيضًا الضرب الصندوقي أو الضرب الثلاثي المختلط ) ليس في الحقيقة عاملًا جديدًا، بل هو طريقة لتطبيق عاملي الضرب الآخرين على ثلاثة متجهات. يُرمز للضرب الثلاثي القياسي أحيانًا بالرمز ( أ ب ج ) ويُعرّف كما يلي:

$${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$$

له ثلاثة استخدامات رئيسية. أولًا، القيمة المطلقة لحاصل ضرب المضلعات هي حجم متوازي السطوح الذي تُحدد أضلاعه بواسطة المتجهات الثلاثة. ثانيًا، يكون حاصل الضرب الثلاثي القياسي صفرًا إذا وفقط إذا كانت المتجهات الثلاثة مرتبطة خطيًا ، ويمكن إثبات ذلك بسهولة بالنظر إلى أنه لكي لا تُشكل المتجهات الثلاثة حجمًا، يجب أن تقع جميعها في نفس المستوى. ثالثًا، يكون حاصل ضرب المضلعات موجبًا إذا وفقط إذا كانت المتجهات الثلاثة a و b و c متجهات يمينية.

في المكونات ( بالنسبة إلى أساس متعامد يميني )، إذا اعتبرنا المتجهات الثلاثة بمثابة صفوف (أو أعمدة، ولكن بنفس الترتيب)، فإن الضرب الثلاثي القياسي هو ببساطة محدد المصفوفة 3×3 التي تحتوي على المتجهات الثلاثة كصفوف. $${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}}$$

يكون حاصل الضرب الثلاثي القياسي خطيًا في جميع عناصره الثلاثة ومتناظرًا عكسيًا بالمعنى التالي: $${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \ \mathbf {a} \ \mathbf {b} )=(\mathbf {b} \ \mathbf {c} \ \mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \ \mathbf {c} \ \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \ \mathbf {a} \ \mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \ \mathbf {b} \ \mathbf {a} ).}$$

تناولت جميع الأمثلة السابقة متجهات مُعبَّر عنها بدلالة الأساس نفسه، وهو الأساس e { e1 , e2 , e3 }. مع ذلك، يمكن التعبير عن متجه بدلالة أي عدد من الأسس المختلفة التي لا يشترط _{أن تكون} متوازية، ويبقى المتجه نفسه. في الأساس e ، يُعبَّر عن المتجه a ، بحسب التعريف، على النحو التالي _:

$${\displaystyle \mathbf {a} =p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3}.}$$

المكونات العددية في أساس e هي، بحسب التعريف،

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1},\\q&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2},\\r&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}$$

في أساس متعامد آخر n = { n ₁ , n ₂ , n ₃ } غير متوافق بالضرورة مع e ، يُعبَّر عن المتجه a على النحو التالي

$${\displaystyle \mathbf {a} =u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3}}$$

والمكونات العددية في الأساس n هي، بحسب التعريف،

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

ترتبط قيم p و q و r و u و v و w بمتجهات الوحدة بحيث يكون مجموع المتجهات الناتج هو نفس المتجه الفيزيائي a في كلتا الحالتين. من الشائع مصادفة متجهات معروفة بدلالة قواعد مختلفة (على سبيل المثال، قاعدة ثابتة للأرض وقاعدة أخرى ثابتة لمركبة متحركة). في مثل هذه الحالة، من الضروري تطوير طريقة للتحويل بين القواعد حتى يمكن إجراء عمليات المتجهات الأساسية مثل الجمع والطرح. إحدى طرق التعبير عن u و v و w بدلالة p و q و r هي استخدام مصفوفات عمودية مع مصفوفة جيب تمام الاتجاه التي تحتوي على المعلومات التي تربط بين القاعدتين. يمكن تكوين مثل هذا التعبير عن طريق استبدال المعادلات المذكورة أعلاه لتكوين

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

توزيع عملية الضرب النقطي يعطي

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{1}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{2}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{3}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{3}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

استبدال كل عملية ضرب نقطية بكمية قياسية فريدة يعطي

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=c_{11}p+c_{12}q+c_{13}r,\\v&=c_{21}p+c_{22}q+c_{23}r,\\w&=c_{31}p+c_{32}q+c_{33}r,\end{aligned}}}$$

ويمكن التعبير عن هذه المعادلات كمعادلة مصفوفة واحدة

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}.}$$

تربط هذه المعادلة المصفوفية المكونات العددية للمتجه a في الأساس n ( u و v و w ) بتلك الموجودة في الأساس e ( p و q و r ). كل عنصر من عناصر المصفوفة c _jk هو جيب تمام الزاوية الذي يربط n _j بـ e _k . ^{[ 20 ]} يشير مصطلح جيب تمام الزاوية إلى جيب تمام الزاوية بين متجهي وحدة، وهو يساوي أيضًا حاصل ضربهما القياسي . ^{[ 20 ]} لذلك،

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{11}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{12}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{13}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{21}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{22}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{23}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{31}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{32}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{33}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$$

بالإشارة إلى e1 _و e2 _و e3 كأساس e، وإلى n1 و _n2 و _n3 كأساس n _، تُعرف المصفوفة التي تحتوي على جميع عناصر c jk _باسم " مصفوفة التحويل من e إلى n "، أو " _مصفوفة الدوران من e إلى n " (لأنها تُمثل دوران متجه من أساس إلى آخر)، أو "مصفوفة جيب التمام الاتجاهي من e إلى n " [ ^{20 ] (} لأنها تحتوي على جيوب تمام اتجاهية). من خصائص مصفوفة الدوران أن معكوسها يساوي منقولها . وهذا يعني أن "مصفوفة الدوران من e إلى n " هي منقولة "مصفوفة الدوران من n إلى e ".

خصائص مصفوفة جيب التمام الاتجاهية، C هي: ^{[ 21 ]}

• المحدد يساوي واحدًا، |C| = 1؛
• المعكوس يساوي المنقول؛
• الصفوف والأعمدة عبارة عن متجهات وحدة متعامدة، وبالتالي فإن حاصل ضربها النقطي يساوي صفرًا.

تتمثل ميزة هذه الطريقة في أنه يمكن عادةً الحصول على مصفوفة جيب التمام الاتجاهية بشكل مستقل باستخدام زوايا أويلر أو الكواترنيون لربط قاعدتي المتجه، لذلك يمكن إجراء تحويلات الأساس مباشرة، دون الحاجة إلى حساب جميع الضرب النقطي الموصوف أعلاه.

بتطبيق عدة عمليات ضرب مصفوفات متتالية، يمكن التعبير عن أي متجه في أي أساس طالما أن مجموعة جيوب التمام الاتجاهية التي تربط بين الأسس المتتالية معروفة. ^{[ 20 ]}

باستثناء الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي، فإن الصيغ المذكورة أعلاه قابلة للتعميم على بعدين وأبعاد أعلى. على سبيل المثال، يمكن تعميم عملية الجمع على بعدين كما يلي: $${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2},}$$ وفي أربعة أبعاد كما $${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}+a_{4}{\mathbf {e} }_{4})&+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}+b_{4}{\mathbf {e} }_{4})=\\(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}&+(a_{3}+b_{3}){\mathbf {e} }_{3}+(a_{4}+b_{4}){\mathbf {e} }_{4}.\end{aligned}}}$$

لا يمكن تعميم الضرب الاتجاهي بسهولة إلى أبعاد أخرى، على الرغم من أن الضرب الخارجي المرتبط به ارتباطًا وثيقًا يمكن تعميمه ، والذي ينتج عنه متجه ثنائي . في بعدين، يكون هذا ببساطة كمية شبه قياسية.$${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.}$$

إن الضرب الاتجاهي ذو الأبعاد السبعة يشبه الضرب الاتجاهي في أن نتيجته عبارة عن متجه متعامد مع الوسيطين؛ ومع ذلك، لا توجد طريقة طبيعية لاختيار أحد هذه المنتجات الممكنة.

في فضاءات المتجهات المجردة، يعتمد طول السهم على مقياس لا بُعدي . فإذا كان يُمثل، على سبيل المثال، قوة، فإن "المقياس" يكون ذا بُعد فيزيائي هو الطول/القوة. وبالتالي، عادةً ما يكون هناك اتساق في المقياس بين الكميات ذات البُعد نفسه، ولكن بخلاف ذلك، قد تختلف نسب المقياس؛ فعلى سبيل المثال، إذا مُثِّل كل من "1 نيوتن" و"5 أمتار" بسهم طوله 2 سم، فإن المقياسين هما 1 متر: 50 نيوتن و1: 250 على التوالي. ولا يُمثل تساوي طول المتجهات ذات الأبعاد المختلفة أي دلالة خاصة ما لم يكن هناك ثابت تناسب متأصل في النظام الذي يُمثله الرسم التخطيطي. كما أن طول متجه الوحدة (ذي بُعد الطول، وليس الطول/القوة، وما إلى ذلك) ليس له دلالة ثابتة بغض النظر عن نظام الإحداثيات. 

في كثير من الأحيان، في مجالات الفيزياء والرياضيات، يتطور المتجه مع الزمن، أي أنه يعتمد على متغير زمني t . على سبيل المثال، إذا كان r يمثل متجه موضع جسيم، فإن r ( t ) يعطي تمثيلاً بارامترياً لمسار الجسيم. يمكن اشتقاق وتكامل الدوال المتجهة عن طريق اشتقاق أو تكامل مركبات المتجه، وتظل العديد من القواعد المألوفة من حساب التفاضل والتكامل سارية على مشتقة وتكامل الدوال المتجهة.

يمكن تمثيل موضع النقطة x = ( x1, x2, x3 ) في _الفضاء ثلاثي _{الأبعاد} كمتجه موضع تكون نقطة الأصل هي نقطة الأساس _.$${\displaystyle {\mathbf {x} }=x_{1}{\mathbf {e} }_{1}+x_{2}{\mathbf {e} }_{2}+x_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}$$ متجه الموضع له أبعاد طولها .

_{بفرض وجود} نقطتين x = ( x1 , x2 , _x3 ) و y = ( y1 , y2 , _{y3 ) ، فإن} إزاحتهما عبارة عن متجه .$${\displaystyle {\mathbf {y} }-{\mathbf {x} }=(y_{1}-x_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(y_{2}-x_{2}){\mathbf {e} }_{2}+(y_{3}-x_{3}){\mathbf {e} }_{3}.}$$ يحدد هذا المتجه موضع y بالنسبة إلى x . ويعطي طول هذا المتجه المسافة المستقيمة من x إلى y . للإزاحة أبعاد الطول.

سرعة v لنقطة أو جسيم هي كمية متجهة، وطولها يحدد مقدار السرعة . عند ثبات السرعة ، يكون الموضع عند الزمن t هو$${\displaystyle {\mathbf {x} }_{t}=t{\mathbf {v} }+{\mathbf {x} }_{0},}$$ حيث x₀ هو الموضع عند الزمن t = 0. السرعة هي المشتق الزمني للموضع. أبعادها هي الطول/الزمن _.

التسارع a لنقطة ما هو متجه يمثل المشتق الزمني للسرعة. أبعاده هي الطول/الزمن ² .

القوة كمية متجهة أبعادها الكتلة × الطول / الزمن ² (نيوتن متر /ثانية ^مربعة )، وقانون نيوتن الثاني هو الضرب القياسي $${\displaystyle {\mathbf {F} }=m{\mathbf {a} }}$$

الشغل هو حاصل الضرب النقطي للقوة والإزاحة$${\displaystyle W={\mathbf {F} }\cdot ({\mathbf {x} }_{2}-{\mathbf {x} }_{1}).}$$

• أبوستول، توم (1967). حساب التفاضل والتكامل . المجلد  1: حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد مع مقدمة في الجبر الخطي. وايلي. ISBN 978-0-471-00005-1.
• أبوستول، توم (1969). حساب التفاضل والتكامل . المجلد  2: حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والجبر الخطي مع التطبيقات. وايلي. ISBN 978-0-471-00007-5.
• هاينبوكيل، جيه إتش (2001)، مقدمة في حساب الموترات وميكانيكا الأوساط المتصلة ، دار ترافورد للنشر، رقم ISBN 1-55369-133-4.
• إيتو، كيوسي (1993)، القاموس الموسوعي للرياضيات (الطبعة الثانية  )، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، ISBN 978-0-262-59020-4.
• إيفانوف، أ.ب. (2001) [1994]، "المتجه" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS.
• كين، توماس ر.؛ ليفينسون، ديفيد أ. (1996)، ديناميكيات الإنترنت ، صني فيل، كاليفورنيا: ديناميكيات الإنترنت.
• لانغ، سيرج (1986). مقدمة في الجبر الخطي (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 0-387-96205-0.
• بيدو، دانيال (1988). الهندسة: دورة شاملة . دوفر. ISBN 0-486-65812-0.

• أريس، ر. (1990). المتجهات، الموترات، والمعادلات الأساسية لميكانيكا الموائع . دوفر. ISBN 978-0-486-66110-0.
• فاينمان، ريتشارد ؛ لايتون، ر.؛ ساندز، م. (2005). "الفصل 11". محاضرات فاينمان في الفيزياء . المجلد  الأول (الطبعة الثانية  ). أديسون ويسلي. ISBN 978-0-8053-9046-9.