Representation ring

In mathematics, especially in the area of algebra known as representation theory, the representation ring (or Green ring after J. A. Green) of a group is a ring formed from all the (isomorphism classes of the) finite-dimensional linear representations of the group. Elements of the representation ring are sometimes called virtual representations.^[1] For a given group, the ring will depend on the base field of the representations. The case of complex coefficients is the most developed, but the case of algebraically closed fields of characteristicp where the Sylow p-subgroups are cyclic is also theoretically approachable.

Given a group G and a field F, the elements of its representation ringR_F(G) are the formal differences of isomorphism classes of finite-dimensional F-representations of G. For the ring structure, addition is given by the direct sum of representations, and multiplication by their tensor product over F. When F is omitted from the notation, as in R(G), then F is implicitly taken to be the field of complex numbers.

The representation ring of G is the Grothendieck ring of the category of finite-dimensional representations of G.

• For the complex representations of the cyclic group of ordern, the representation ring R_C(C_n) is isomorphic to Z[X]/(Xⁿ − 1), where X corresponds to the complex representation sending a generator of the group to a primitiventh root of unity.
• More generally, the complex representation ring of a finiteabelian group may be identified with the group ring of the character group.
• بالنسبة للتمثيلات العقلانية للمجموعة الدورية من الرتبة 3، فإن حلقة التمثيل R _Q (C ₃ ) متماثلة مع Z [ X ]/( X ²  − X − 2 )، حيث X يتوافق مع التمثيل العقلاني غير القابل للاختزال ذي البعد 2.   
• بالنسبة للتمثيلات المعيارية للمجموعة الدورية من الرتبة 3 على حقل F ذي خاصية 3، فإن حلقة التمثيل R _F ( C ₃ ) متماثلة مع Z [ X , Y ]/( X ²  − Y − 1, XY − 2 Y , Y ² − 3 Y ).       
• حلقة التمثيل المستمر R (S1 ⁾ لمجموعة الدائرة متماثلة مع Z [ X , X ^-1 ]. حلقة التمثيلات الحقيقية هي الحلقة الفرعية من R ( G ) للعناصر الثابتة بواسطة الانعكاس على R ( G ) المعطى بواسطة X ↦ X ^-1 .
• الحلقة R _C ( S ₃ ) للمجموعة المتناظرة من الدرجة الثالثة متماثلة مع Z [ X , Y ]/( XY  − Y , X ² − 1, Y ² − X − Y − 1 )، حيث X هو التمثيل المتناوب أحادي البعد و Y هو التمثيل غير القابل للاختزال ثنائي الأبعاد لـ S ₃ .         

أي تمثيل عقدي محدود الأبعاد ρ لمجموعة G يُعرّف دالة χ: G →${\displaystyle \mathbb {C} }$باستخدام الصيغة χ( g ) = tr(ρ( g )). تُسمى هذه الدالة دالة فئة ، أي أنها ثابتة على كل فئة اقتران في G. نرمز إلى حلقة دوال الفئات ذات القيم المركبة بـ C ( G ). يُعطي التطبيق الذي يُرسل فئات التشاكل للتمثيلات إلى خصائصها تشاكلاً R ( G ) → C ( G )، وعندما تكون G منتهية، يكون هذا التشاكل أحاديًا ، بحيث يمكن تعريف R ( G ) كحلقة جزئية من C ( G ).

في حالة الزمر المنتهية، يمتد هذا التشاكل الحلقي R ( G ) → C ( G ) إلى تشاكل جبري ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {Z} }}$R ( G ) → C ( G ). بما أن فئات التشاكل للتمثيلات غير القابلة للاختزال لمجموعة منتهية تشكل أساسًا لـ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {Z} }}$بينما تشكل الدوال المميزة لفئات الترافق أساسًا لـ C ( G )، فإن R ( G ) تُظهر أن المجموعة المنتهية تحتوي على عدد من فئات التشاكل للتمثيلات غير القابلة للاختزال يساوي عدد فئات الترافق لديها. ^{[ 2 ]}

بالنسبة لزمرة لي متصلة ومتراصة ، فإن R ( G ) متماثلة مع الحلقة الفرعية من R ( T ) (حيث T عبارة عن طارة عظمى) التي تتكون من دوال الفئة الثابتة تحت تأثير زمرة ويل (أتياه وهيرزبروش، 1961). للاطلاع على زمرة لي المتراصة العامة ، انظر سيغال (1968).

بفرض تمثيل للرسم البياني G وعدد طبيعي n ، يمكننا تكوين القوة الخارجية النونية لهذا التمثيل، والتي هي بدورها تمثيل للرسم البياني G. وهذا يُنشئ عملية λ ⁿ : R ( G ) → R ( G ). وباستخدام هذه العمليات، يصبح R ( G ) حلقة λ . 

عمليات آدمز على حلقة التمثيل R ( G ) هي دوال Ψ ^k تتميز بتأثيرها على الأحرف χ:

${\displaystyle \Psi ^{k}\chi (g)=\chi (g^{k})\ .}$

العمليات Ψ ^k هي تشاكلات حلقية من R ( G ) إلى نفسها، وعلى تمثيلات ρ ذات البعد d

${\displaystyle \Psi ^{k}(\rho )=N_{k}(\Lambda ^{1}\rho ,\Lambda ^{2}\rho ,\ldots ,\Lambda ^{d}\rho )\ }$

حيث أن Λ ⁱ ρ هي القوى الخارجية لـ ρ و N _k هو مجموع القوة k معبر عنه كدالة للدوال المتناظرة الأولية d للمتغيرات d .

• أتيياه، مايكل ف .؛ هيرزبروش، فريدريش (1961)، "حزم المتجهات والفضاءات المتجانسة"، وقائع ندوة الرياضيات البحتة، المجلد الثالث  ، الجمعية الرياضية الأمريكية، الصفحات 7-38 ، doi : 10.1090/pspum/003/0139181 ، ISBN  9780821814031، MR 0139181 ، Zbl 0108.17705  {{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
• بروكر، ثيودور. توم ديك، تامو (1985)، تمثيلات مجموعات الكذب المدمجة ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد.  98، نيويورك، برلين، هايدلبرغ، طوكيو: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 0-387-13678-9, السيد 1410059 , أو سي إل سي 11210736 , زبل 0581.22009   
• سيغال، غرايم (1968)، "حلقة تمثيل زمرة لي المدمجة" ، منشورات الرياضيات، المعهد العالي للدراسات الرياضية ، 34 : 113-128 ، doi : 10.1007/BF02684592 ، MR 0248277 ، S2CID 55847918 ، Zbl 0209.06203   .
• سنايث، ف.ب. (1994)، الاستقراء الصريح لبراور: مع تطبيقات في الجبر ونظرية الأعداد ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  40، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 0-521-46015-8، Zbl 0991.20005