نظرية متسلسلة ريمان

تُعد المتسلسلة التوافقية المتناوبة مثالاً كلاسيكياً على المتسلسلة المتقاربة شرطياً:$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$$متقاربة، بينما$$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$$هي متسلسلة توافقية عادية ، وهي متسلسلة متباعدة. على الرغم من أن المتسلسلة التوافقية المتناوبة في عرضها القياسي تتقارب إلى ln(2) ، إلا أنه يمكن ترتيب حدودها لتتقارب إلى أي عدد، أو حتى لتتباعد.

أحد الأمثلة على ذلك هو كما يلي. ابدأ بالسلسلة المكتوبة بالترتيب المعتاد، $${\displaystyle \ln(2)=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}\cdots ,}$$ وأعد ترتيب المصطلحات وتجميعها كما $${\displaystyle {\begin{aligned}&1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\=&{}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots ,\end{aligned}}}$$ حيث يكون النمط كالتالي: الحدّان الأولان هما 1 و -1/2، ومجموعهما 1/2. الحدّ التالي هو -1/4. الحدّان التاليان هما 1/3 و -1/6، ومجموعهما 1/6. الحدّ التالي هو -1/8. الحدّان التاليان هما 1/5 و -1/10، ومجموعهما 1/10. بشكل عام، بما أن كل عدد فردي يظهر مرة واحدة موجبًا، وكل عدد زوجي يظهر مرة واحدة سالبًا (نصفها كمضاعفات للعدد 4، والنصف الآخر كأعداد فردية مضاعفة)، فإن المجموع يتكون من مجموعات من ثلاثة، يمكن تبسيط كل منها على النحو التالي: $${\displaystyle \left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}\right)-{\frac {1}{4k}}=\left({\frac {1}{2(2k-1)}}\right)-{\frac {1}{4k}},\quad k=1,2,\dots .}$$ وبالتالي، يمكن كتابة السلسلة المذكورة أعلاه على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+\cdots +{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{2(2k)}}+\cdots \\={}&{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2),\end{aligned}}}$$ وهو نصف المجموع الأصلي، ولا يمكن أن يساوي المتتالية الأصلية إلا إذا كانت قيمته صفرًا. ويمكن إثبات أن هذه المتتالية أكبر من الصفر من خلال برهان نظرية لايبنتز باستخدام حقيقة أن المجموع الجزئي الثاني يساوي النصف. ^{[ 11 ]} أو بدلاً من ذلك، قيمة${\displaystyle \ln(2)}$لا يمكن أن تكون القيمة التي تتقارب إليها صفرًا. وبالتالي، يتضح أن قيمة المتتالية تعتمد على ترتيب حساب المتسلسلة.

صحيح أن التسلسل $${\displaystyle \{b_{n}\}=1,-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{6}},-{\frac {1}{8}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{10}},-{\frac {1}{12}},{\frac {1}{7}},-{\frac {1}{14}},-{\frac {1}{16}},\cdots }$$ يحتوي على جميع العناصر في التسلسل $${\displaystyle \{a_{n}\}=1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},{\frac {1}{7}},-{\frac {1}{8}},{\frac {1}{9}},-{\frac {1}{10}},{\frac {1}{11}},-{\frac {1}{12}},{\frac {1}{13}},-{\frac {1}{14}},{\frac {1}{15}},\cdots .}$$ لكن بما أن المجموع يُعرَّف على النحو التالي${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right)}$و${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}\right)}$^{[ 11 ]} يمكن أن يؤثر ترتيب الحدود على الحد.

تتمثل إحدى الطرق الفعالة لاستعادة وتعميم نتيجة القسم السابق في استخدام حقيقة أن

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over n}=\gamma +\ln n+o(1),}$

حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني ، وحيث يشير الرمز o (1) إلى كمية تعتمد على المتغير الحالي (هنا، المتغير هو n ) بطريقة تجعل هذه الكمية تؤول إلى 0 عندما يميل المتغير إلى اللانهاية. 

ويترتب على ذلك أن مجموع q من الحدود الزوجية يحقق

${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 6}+\cdots +{1 \over 2q}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln q+o(1),}$

وبأخذ الفرق، يتبين أن مجموع p من الحدود الفردية يحقق

${\displaystyle {1}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+\cdots +{1 \over 2p-1}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln p+\ln 2+o(1).}$

لنفترض أن عددين صحيحين موجبين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$معطاة، وأن إعادة ترتيب السلسلة التوافقية المتناوبة يتم عن طريق أخذ، بالترتيب،${\displaystyle a}$الحدود الموجبة من سلسلة التوافقيات المتناوبة، متبوعة بـ${\displaystyle b}$الحدود السالبة، وتكرار هذا النمط إلى ما لا نهاية (المتسلسلة المتناوبة نفسها تتوافق مع${\displaystyle a=b=1}$، المثال الوارد في القسم السابق يتوافق مع${\displaystyle a=1,b=2}$:

${\displaystyle {1}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over 2a-1}-{1 \over 2}-{1 \over 4}-\cdots -{1 \over 2b}+{1 \over 2a+1}+\cdots +{1 \over 4a-1}-{1 \over 2b+2}-\cdots }$

إذن، يحتوي المجموع الجزئي من الرتبة ( أ  + ب ) ن لهذه المتسلسلة المعاد ترتيبها على p = أ حدود فردية موجبة و q = بن حدود زوجية سالبة، وبالتالي 

${\displaystyle S_{(a+b)n}={1 \over 2}\ln p+\ln 2-{1 \over 2}\ln q+o(1)={1 \over 2}\ln \left({\frac {a}{b}}\right)+\ln 2+o(1).}$

ويترتب على ذلك أن مجموع هذه السلسلة المعاد ترتيبها هو ^{[ 12 ]}

${\displaystyle {1 \over 2}\ln \left({\frac {a}{b}}\right)+\ln 2=\ln \left(2{\sqrt {\frac {a}{b}}}\right).}$

لنفترض الآن، بشكل أعم، أن متسلسلة مُعاد ترتيبها من المتسلسلة التوافقية المتناوبة مُنظمة بطريقة تجعل النسبة p_{_n} / q _{_n} بين عدد الحدود الموجبة والسالبة في المجموع الجزئي من الرتبة n تؤول إلى حد موجب r . عندئذٍ، سيكون مجموع هذا الترتيب المُعاد ترتيبه هو

${\displaystyle \ln \left(2{\sqrt {r}}\right),}$

وهذا يفسر أنه يمكن الحصول على أي عدد حقيقي x كمجموع سلسلة معاد ترتيبها من السلسلة التوافقية المتناوبة: يكفي تكوين إعادة ترتيب تكون فيه النهاية r مساوية لـ e ^{2 x} / 4 .

وصف ريمان للنظرية وبرهانها بالكامل كما يلي: ^{[ 13 ]}

تنقسم المتسلسلات اللانهائية إلى فئتين متميزتين، وذلك بحسب ما إذا كانت تبقى متقاربة عند جعل جميع حدودها موجبة أم لا. في الفئة الأولى، يمكن إعادة ترتيب الحدود كيفما اتفق؛ أما في الفئة الثانية، فتعتمد القيمة على ترتيب الحدود. في الواقع، إذا رمزنا للحدود الموجبة لمتسلسلة من الفئة الثانية بـ a₁ , a₂ , a₃ _, ... وللحدود السالبة بـ -b₁ _{, -b₂} , -b₃ , _... ، _فمن الواضح أن مجموع a ومجموع b يجب أن يكونا لانهائيين. لأنه لو كان كلاهما محدودًا _، لظلت المتسلسلة متقاربة بعد توحيد جميع الإشارات. أما إذا كان أحدهما فقط لانهائيًا، فإن المتسلسلة ستتباعد. من الواضح الآن أنه يمكن الحصول على قيمة C معينة كيفما اتفق من خلال إعادة ترتيب الحدود بشكل مناسب. نأخذ بالتناوب الحدود الموجبة للمتسلسلة حتى يصبح المجموع أكبر من C ، ثم نأخذ الحدود السالبة حتى يصبح المجموع أصغر من C. لا يتجاوز الانحراف عن C قيمة الحد في آخر موضع تم فيه تبديل الإشارة. وبما أن العددين a و b يتناقصان إلى ما لا نهاية مع ازدياد الدليل، فإن الانحرافات عن C تتناقص أيضًا. إذا تابعنا في المتسلسلة إلى حد كافٍ، يصبح الانحراف صغيرًا جدًا، أي أن المتسلسلة تتقارب إلى C.

يمكن توضيح ذلك بمزيد من التفصيل كما يلي. ^{[ 14 ]} تذكر أن المتسلسلة المتقاربة شرطيًا من الحدود الحقيقية تحتوي على عدد لا نهائي من الحدود السالبة وعدد لا نهائي من الحدود الموجبة. أولًا، عرّف كميتين،${\displaystyle a_{n}^{+}}$و${\displaystyle a_{n}^{-}}$بواسطة:

${\displaystyle a_{n}^{+}={\begin{cases}a_{n}&{\text{if }}a_{n}\geq 0\\0&{\text{if }}a_{n}<0,\end{cases}}\qquad a_{n}^{-}={\begin{cases}0&{\text{if }}a_{n}\geq 0\\a_{n}&{\text{if }}a_{n}<0.\end{cases}}}$

أي المسلسل${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{+}}$يتضمن جميع الحدود _{الموجبة} ، مع استبدال جميع الحدود السالبة بأصفار، والمتسلسلة${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{-}}$يشمل ذلك جميع الحدود _{السالبة} ، مع استبدال جميع الحدود الموجبة بأصفار.${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$إذا كانت المتسلسلة متقاربة شرطيًا، فإن كلًا من المتسلسلتين "الموجبة" و"السالبة" تتباعدان. ليكن M أي عدد حقيقي. خذ عددًا كافيًا من الحدود الموجبة.${\displaystyle a_{n}^{+}}$بحيث يتجاوز مجموعها M. أي، ليكن p ₁ أصغر عدد صحيح موجب بحيث

${\displaystyle M<\sum _{n=1}^{p_{1}}a_{n}^{+}.}$

هذا ممكن لأن المجاميع الجزئية لـ${\displaystyle a_{n}^{+}}$تميل المسلسلات إلى${\displaystyle +\infty }$والآن، ليكن _q1 أصغر عدد صحيح موجب بحيث

${\displaystyle M>\sum _{n=1}^{p_{1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{1}}a_{n}^{-}.}$

يوجد هذا الرقم لأن المجاميع الجزئية لـ${\displaystyle a_{n}^{-}}$يميل إلى${\displaystyle -\infty }$والآن، تابع الاستقراء، مع تعريف _p2 على أنه أصغر عدد صحيح أكبر _من p1 بحيث

${\displaystyle M<\sum _{n=1}^{p_{2}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{1}}a_{n}^{-},}$

وهكذا دواليك. يمكن اعتبار النتيجة بمثابة تسلسل جديد

${\displaystyle a_{1}^{+},\ldots ,a_{p_{1}}^{+},a_{1}^{-},\ldots ,a_{q_{1}}^{-},a_{p_{1}+1}^{+},\ldots ,a_{p_{2}}^{+},a_{q_{1}+1}^{-},\ldots ,a_{q_{2}}^{-},a_{p_{2}+1}^{+},\ldots .}$

علاوة على ذلك، تتقارب المجاميع الجزئية لهذه المتتالية الجديدة إلى M. ويمكن ملاحظة ذلك من حقيقة أنه لأي i ،

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p_{i+1}-1}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-}\leq M<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

مع تحقق المتباينة الأولى نظرًا لأن p _{i +1} قد تم تعريفه على أنه أصغر عدد أكبر من p _i، مما يجعل المتباينة الثانية صحيحة؛ ونتيجة لذلك، فإن

${\displaystyle 0<\left(\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-}\right)-M\leq a_{p_{i+1}}^{+}.}$

بما أن الطرف الأيمن يتقارب إلى الصفر نتيجةً لفرضية التقارب الشرطي، فإن هذا يُظهر أن _{المجموع} الجزئي رقم ( pi _{+ 1} + qi ) للمتتالية الجديدة يتقارب إلى M مع ازدياد i . وبالمثل، فإن المجموع الجزئي رقم ( pi _{+ 1} + qi _{+ 1 )} يتقارب أيضًا إلى M. وبما أن قيم المجاميع الجزئية من الرتبة ( pi _{+ 1} + qi ₊ 1) ، و ( pi _{+ 1} + qi ₊ 2) ، ...، و ₍ pi + _{1 +} qi + ₁ - 1) تقع بين قيم المجموعين الجزئيين رقم ( pi _{+ 1} + qi ₎ و ( pi _{+ 1} + qi _{+ 1} ) ، فإنه يترتب على ذلك أن متتالية المجاميع الجزئية بأكملها تتقارب إلى M.

يظهر كل عنصر في المتتالية الأصلية a _n في هذه المتتالية الجديدة التي تتقارب مجاميعها الجزئية إلى M. أما عناصر المتتالية الأصلية التي تساوي صفرًا، فتظهر مرتين في المتتالية الجديدة (مرة في المتتالية "الموجبة" ومرة ​​في المتتالية "السالبة")، ويمكن حذف كل ظهور ثانٍ من هذا النوع، دون أن يؤثر ذلك على المجموع بأي شكل من الأشكال. وبالتالي، فإن المتتالية الجديدة هي تبديل للمتتالية الأصلية.

يترك${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$لتكن متسلسلة متقاربة شرطيًا. فيما يلي برهان على وجود إعادة ترتيب لهذه المتسلسلة تؤول إلى${\displaystyle \infty }$(يمكن استخدام حجة مماثلة لإظهار ذلك)${\displaystyle -\infty }$ويمكن تحقيق ذلك أيضاً).

لا يحتاج البرهان المذكور أعلاه لصياغة ريمان الأصلية إلا إلى تعديل بحيث يتم اختيار p _{i +1} كأصغر عدد صحيح أكبر من p _i بحيث

${\displaystyle i+1<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

وباختيار q _{i +1} كأصغر عدد صحيح أكبر من q _i بحيث

${\displaystyle i+1>\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}.}$

إن اختيار i + 1 على الجانب الأيسر غير مهم، إذ يمكن استبداله بأي متتالية تتزايد إلى ما لا نهاية.${\displaystyle a_{n}^{-}}$يتقارب إلى الصفر مع ازدياد قيمة n ، وبالنسبة لقيم i الكبيرة بما فيه الكفاية ، يوجد

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}>i,}$

وهذا يثبت (تمامًا كما هو الحال مع تحليل التقارب أعلاه) أن سلسلة المجاميع الجزئية للسلسلة الجديدة تتباعد إلى ما لا نهاية.

لا يلزم سوى تعديل البرهان أعلاه بحيث يتم اختيار p _{i +1} كأصغر عدد صحيح أكبر من p _i بحيث

${\displaystyle 1<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

وباختيار q _{i +1} كأصغر عدد صحيح أكبر من q _i بحيث

${\displaystyle -1>\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}.}$

وهذا يوضح بشكل مباشر أن سلسلة المجاميع الجزئية تحتوي على عدد لا نهائي من المدخلات الأكبر من 1، وأيضًا عدد لا نهائي من المدخلات الأقل من -1 ، بحيث لا يمكن أن تتقارب سلسلة المجاميع الجزئية.

بالنظر إلى متسلسلة لانهائية${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},...)}$، يمكننا اعتبار مجموعة من "النقاط الثابتة"${\displaystyle I\subset \mathbb {N} }$ودراسة الأعداد الحقيقية التي يمكن أن يكون مجموعها في المتسلسلة إذا سُمح لنا فقط بتبديل المؤشرات في${\displaystyle I}$أي أننا نسمح$${\displaystyle S(a,I)=\left\{\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{\pi (n)}:\pi {\text{ is a permutation on }}\mathbb {N} ,{\text{ such that }}\forall n\not \in I,\pi (n)=n,{\text{ and the summation converges.}}\right\}}$$باستخدام هذه الرموز، لدينا:

• لو${\displaystyle I\mathbin {\triangle } I'}$إذا كانت محدودة،${\displaystyle S(a,I)=S(a,I')}$. هنا${\displaystyle \triangle }$يعني الفرق المتناظر .
• لو${\displaystyle I\subset I'}$ثم${\displaystyle S(a,I)\subset S(a,I')}$.
• إذا كانت المتسلسلة مجموعًا متقاربًا تقاربًا مطلقًا، فإن${\displaystyle S(a,I)=\left\{\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\right\}}$لأي${\displaystyle I}$.
• إذا كانت المتسلسلة عبارة عن مجموع متقارب شرطيًا، فبموجب نظرية ريمان للمتسلسلات،${\displaystyle S(a,\mathbb {N} )=[-\infty ,+\infty ]}$.

أثبت سيربينسكي أنه بإعادة ترتيب الحدود الموجبة فقط، يمكن الحصول على متسلسلة تتقارب إلى أي قيمة محددة أقل من أو تساوي مجموع المتسلسلة الأصلية، ولكن لا يمكن الوصول إلى قيم أكبر بشكل عام. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} أي، ليكن${\displaystyle a}$إذا كان مجموعًا متقاربًا شرطيًا،${\displaystyle S(a,\{n\in \mathbb {N} :a_{n}>0\})}$يتضمن${\displaystyle \left[-\infty ,\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\right]}$لكن لا يوجد ما يضمن احتواءه على أي رقم آخر.

وبشكل أعم، دع${\displaystyle J}$أن يكون مثالاً يحتذى به${\displaystyle \mathbb {N} }$ثم يمكننا تعريف${\displaystyle S(a,J)=\cup _{I\in J}S(a,I)}$.

يترك${\displaystyle J_{d}}$لتكن مجموعة جميع مجموعات الكثافة الصفرية التقاربية${\displaystyle I\subset \mathbb {N} }$، إنه،${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|[0,n]\cap I|}{n}}=0}$من الواضح أن${\displaystyle J_{d}}$هو مثال لـ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

رسم تخطيطي للإثبات: معطى${\displaystyle a}$، مجموع متقارب شرطيًا، قم بإنشاء بعض${\displaystyle I\in J_{d}}$بحيث${\displaystyle \sum _{n\in I}a_{n}}$و${\displaystyle \sum _{n\not \in I}a_{n}}$كلاهما متقاربان شرطيًا. ثم، بإعادة الترتيب${\displaystyle \sum _{n\in I}a_{n}}$يكفي للتقارب إلى أي عدد في${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$.

أثبت فيليبوف وسزوكا أن المثل العليا الأخرى تتمتع بهذه الخاصية أيضًا. ^{[ 19 ]}

بافتراض وجود متسلسلة متقاربة${\textstyle \sum a_{n}}$بالنسبة للأعداد المركبة ، يمكن أن تحدث عدة حالات عند النظر في مجموعة المجاميع الممكنة لجميع المتسلسلات${\textstyle \sum a_{\sigma (n)}}$تم الحصول عليها عن طريق إعادة ترتيب (تبديل) حدود تلك السلسلة:

• المسلسل${\textstyle \sum a_{n}}$قد تتقارب بشكل غير مشروط؛ ثم تتقارب جميع المتسلسلات المعاد ترتيبها، ويكون لها نفس المجموع: مجموعة مجاميع المتسلسلات المعاد ترتيبها تختزل إلى نقطة واحدة؛
• المسلسل${\textstyle \sum a_{n}}$قد لا تتقارب بشكل مطلق؛ إذا كانت S تشير إلى مجموعة مجاميع تلك المتسلسلات المعاد ترتيبها التي تتقارب، فإن المجموعة S إما أن تكون خطًا L في المستوى المركب C ، على الشكل التالي: $${\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbb {R} \},\quad a,b\in \mathbb {C} ,\ b\neq 0,}$$أو أن المجموعة S هي المستوى المركب C بأكمله . 

وبشكل أكثر عمومية، بالنظر إلى سلسلة متقاربة من المتجهات في فضاء متجه حقيقي محدود الأبعاد E ، فإن مجموعة مجاميع السلاسل المعاد ترتيبها المتقاربة هي فضاء فرعي أفيني من E.