الحركة (الهندسة)

في الهندسة ، الحركة هي تحويل متساوي القياس في فضاء متري . على سبيل المثال، المستوى المزود بمقياس المسافة الإقليدية هو فضاء متري تكون فيه أي عملية ربط بين الأشكال المتطابقة حركة. ^{[ 1 ]}

يمكن تقسيم الحركات إلى حركات مباشرة (تُعرف أيضًا بالحركات الصحيحة أو الصلبة) وحركات غير مباشرة (أو غير صحيحة). تشمل الحركات المباشرة الانتقالات والدورانات ، التي تحافظ على اتجاه الشكل الكيرالي . أما الحركات غير المباشرة فتشمل الانعكاسات ، والانعكاسات الانزلاقية ، والدورانات غير الصحيحة ، التي تعكس اتجاه الشكل الكيرالي. يُعرّف بعض علماء الهندسة الحركة بحيث تكون الحركات المباشرة فقط هي الحركات .

بشكل أعم، يُعدّ مصطلح الحركة مرادفًا للقياس المتساوي الشامل في الهندسة المترية، ^{[ 2 ]} بما في ذلك الهندسة الإهليلجية والهندسة الزائدية . وفي الحالة الأخيرة، تُوفّر الحركات الزائدية مدخلاً إلى هذا الموضوع للمبتدئين.

في الهندسة التفاضلية ، يُطلق على التشاكل التفاضلي اسم الحركة إذا كان يُحدث تماثلًا بين الفضاء المماسي عند نقطة متعددة الشعب والفضاء المماسي عند صورة تلك النقطة. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

بالنظر إلى شكل هندسي، تُشكّل مجموعة الحركات زمرةً تحت تركيب التطبيقات. وتُعرف هذه الزمرة بخصائصها. على سبيل المثال، تُعرف الزمرة الإقليدية بزمرة الإزاحات العمودية . في المستوى، تكون الحركة الإقليدية المباشرة إما إزاحةً أو دورانًا ، بينما في الفضاء ، يمكن التعبير عن كل حركة إقليدية مباشرة كإزاحة لولبية وفقًا لنظرية تشالس . عندما يكون الفضاء الأساسي متعدد الشعب الريماني ، تكون زمرة الحركات زمرة لي . علاوة على ذلك، يكون لمتعدد الشعب انحناء ثابت إذا وفقط إذا كان لكل زوج من النقاط ولكل تماثل قياس، توجد حركة تنقل إحدى النقطتين إلى الأخرى بحيث تُنتج هذه الحركة التماثل القياس. ^{[ 5 ]}

طُرحت فكرة مجموعة الحركات في النسبية الخاصة على أنها حركات لورنتزية. على سبيل المثال، وُضعت أفكار أساسية لمستوى يتميز بالشكل التربيعي.${\displaystyle \ x^{2}-y^{2}\ }$في المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . ^{[ 6 ]} تم وصف حركات فضاء مينكوفسكي بواسطة سيرجي نوفيكوف في عام 2006: ^{[ 7 ]}

يُعبَّر عن المبدأ الفيزيائي لثبات سرعة الضوء من خلال اشتراط أن يكون الانتقال من إطار مرجعي قصوري إلى آخر محددًا بحركة فضاء مينكوفسكي، أي بتحويل

${\displaystyle \phi :R^{1,3}\mapsto R^{1,3}}$

الحفاظ على فترات الزمكان. هذا يعني أن

${\displaystyle \langle \phi (x)-\phi (y),\ \phi (x)-\phi (y)\rangle \ =\ \langle xy,\ xy\rangle }$

لكل زوج من النقاط x و y في R ^1,3 .

قدّم ابن الهيثم (965-1039) تقديرًا مبكرًا لدور الحركة في الهندسة . يستخدم كتابه "الفضاء وطبيعته" ^{[ 8 ]} مقارنات أبعاد جسم متحرك لتحديد فراغ الفضاء التخيلي. وقد انتقد عمر الخيام هذا الرأي ، مشيرًا إلى أن أرسطو قد أدان استخدام الحركة في الهندسة. ^{[ 9 ]}

في القرن التاسع عشر، أصبح فيليكس كلاين من دعاة نظرية الزمر كوسيلة لتصنيف الأشكال الهندسية وفقًا لـ"زمر حركتها". اقترح استخدام زمر التناظر في برنامج إرلانجن ، وهو اقتراح لاقى رواجًا واسعًا. لاحظ أن كل تطابق إقليدي هو تحويل تآلفي ، وأن كل تحويل من هذه التحويلات هو تحويل إسقاطي ؛ وبالتالي، فإن زمرة التحويلات الإسقاطية تحتوي على زمرة التحويلات التآلفية، التي بدورها تحتوي على زمرة التطابقات الإقليدية. يُركز مصطلح " الحركة" ، وهو أقصر من "التحويل" ، بشكل أكبر على الصفات: الإسقاطية، والتآلفية، والإقليدية. وهكذا اتسع نطاق المصطلح، حتى أنه "في علم الطوبولوجيا ، الحركات المسموح بها هي تشوهات مستمرة قابلة للعكس يمكن تسميتها بالحركات المرنة". ^{[ 10 ]}

يُعنى علم الحركة بتحويل الحركة الفيزيائية إلى تعبير رياضي. وغالبًا ما يُمكن كتابة هذا التحويل باستخدام الجبر المتجهي والتحويل الخطي. ومن الأمثلة البسيطة على ذلك، كتابة الدوران كعملية ضرب أعداد مركبة .${\displaystyle z\mapsto \أوميغا z\ }$أين${\displaystyle \ \omega =\cos \theta +i\sin \theta ,\quad i^{2}=-1}$يتم تحقيق الدوران في الفضاء باستخدام الكواترنيونات ، وتحويلات لورنتز للزمكان باستخدام الكواترنيونات الثنائية . في أوائل القرن العشرين، تم دراسة أنظمة الأعداد فائقة التعقيد . لاحقًا، أدت مجموعات التشاكل الذاتي الخاصة بها إلى ظهور مجموعات استثنائية مثل G2 .

في تسعينيات القرن التاسع عشر، كان علماء المنطق يُختزلون المفاهيم الأولية للهندسة التركيبية إلى الحد الأدنى المطلق. استخدم جوزيبي بيانو وماريو بييري مصطلح " الحركة" للدلالة على تطابق أزواج النقاط. احتفى أليساندرو بادوا باختزال المفاهيم الأولية إلى مجرد نقطة وحركة في تقريره المقدم إلى المؤتمر الدولي للفلسفة عام 1900. في هذا المؤتمر، تعرّف برتراند راسل على المنطق القاري من خلال بيانو. في كتابه "مبادئ الرياضيات " (1903)، اعتبر راسل الحركة تماثلًا إقليديًا يحافظ على الاتجاه . ^{[ 11 ]}

في عام 1914، استخدم دي إم واي سومرفيل فكرة الحركة الهندسية لتأسيس فكرة المسافة في الهندسة الزائدية عندما كتب كتابه " عناصر الهندسة غير الإقليدية" . ^{[ 12 ]} ويشرح قائلاً:

لا يُقصد بالحركة أو الإزاحة، بالمعنى العام، تغيير موضع نقطة واحدة أو أي شكل محدود، بل إزاحة الفضاء بأكمله، أو المستوى بأكمله إذا اقتصرنا على بُعدين. الحركة هي تحويل يُغيّر كل نقطة P إلى نقطة أخرى P ′ بحيث تبقى المسافات والزوايا ثابتة.

يقدم لازلو ريدي بديهيات الحركة: ^{[ 13 ]}

1. أي حركة هي عبارة عن إسقاط واحد لواحد للفضاء R على نفسه بحيث يتم تحويل كل ثلاث نقاط على خط إلى (ثلاث) نقاط على خط.
2. إن التطابق التام للفضاء R هو حركة.
3. ناتج حركتين هو حركة واحدة.
4. إن عكس حركة ما هو حركة بحد ذاتها.
5. إذا كان لدينا مستويان A و A'، وخطان g و g'، ونقطتان P و P' بحيث تقع P على g، و g على A، و P' على g'، و g' على A'، فإنه يوجد تحويل حركة من A إلى A'، ومن g إلى g'، ومن P إلى P'.
6. يوجد مستوى A، وخط g، ونقطة P بحيث تكون P على g و g على A، ثم توجد أربع حركات تقوم بتحويل A و g و P إلى نفسها، على التوالي، ولا يمكن أن يكون لأكثر من حركتين من هذه الحركات كل نقطة من g كنقطة ثابتة، بينما توجد واحدة منها (أي التطابق) التي تكون كل نقطة من A ثابتة فيها.
7. توجد ثلاث نقاط A و B و P على الخط g بحيث تكون P بين A و B، ولكل نقطة C (لا تساوي P) بين A و B توجد نقطة D بين C و P لا يمكن إيجاد حركة لها مع اعتبار P نقطة ثابتة بحيث يتم تحويل C إلى نقطة تقع بين D و P.

تشير البديهيات من 2 إلى 4 إلى أن الحركات تشكل مجموعة .

تعني البديهية الخامسة أن مجموعة الحركات توفر تأثيرات جماعية على R تكون متعدية، بحيث توجد حركة تربط كل خط بكل خط.

• تريستان نيدهام (1997) التحليل البصري المركب ، الحركة الإقليدية ص 34، الحركة المباشرة ص 36، الحركة المعاكسة ص 36، الحركة الكروية ص 279، الحركة الزائدية ص 306، مطبعة كلارندون ، رقم ISBN 0-19-853447-7.
• مايلز ريد وبالاز سزيندروي (2005) الهندسة والطوبولوجيا ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 0-521-61325-6، MR 2194744 . 

• الحركة. إي. بي. إيغوروف (المؤلف الأصلي)، موسوعة الرياضيات .
• مجموعة من الحركات. إي. بي. إيغوروف (المؤلف الأصلي)، موسوعة الرياضيات .