تعريف الأعداد الطبيعية من منظور نظرية المجموعات

في نظرية المجموعات ، تم اقتراح عدة طرق لبناء الأعداد الطبيعية . وتشمل هذه الطرق التمثيل عبر ترتيبات فون نيومان ، المستخدمة بشكل شائع في نظرية المجموعات البديهية ، ونظام قائم على التساوي في العدد اقترحه جوتلوب فريجه وبرتراند راسل .

في نظرية زيرميلو-فرانكل (ZF) للمجموعات ، تُعرَّف الأعداد الطبيعية بشكل تكراري بجعل 0 = {} المجموعة الفارغة ، و n + 1 (دالة الخلف) = n ∪ { n } لكل n . وبالتالي ، n = {0, 1, …, n − 1} لكل عدد طبيعي n . يتميز هذا التعريف بأن n مجموعة تحتوي على n عنصرًا. ومن أوائل الأعداد التي عُرِّفت بهذه الطريقة: ( غولدري، 1996 ).

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}0&{}=\{\}&&{}=\varnothing ,\\1&{}=\{0\}&&{}=\{\varnothing \},\\2&{}=\{0,1\}&&{}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\\3&{}=\{0,1,2\}&&{}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}.\end{alignedat}}}$

تُعرَّف المجموعة N من الأعداد الطبيعية في هذا النظام بأنها أصغر مجموعة تحتوي على الصفر ومغلقة تحت دالة الخلف S المعرفة بالعلاقة S ( n ) = n ∪ { n } . ويُعدّ التركيب ⟨N , 0, S⟩ نموذجًا لبديهيات بيانو ( غولدري، 1996 ) . ويُكافئ وجود المجموعة N بديهية اللانهاية في نظرية مجموعات ZF.

تُشكّل المجموعة N وعناصرها، عند بنائها بهذه الطريقة، جزءًا أوليًا من  الأعداد الترتيبية لفون نيومان. ويشير دبليو في أو كواين إلى هذه المجموعات باسم "المجموعات المضادة". ^{[ 1 ]}

اقترح كلٌّ من غوتلوب فريجه وبرتراند راسل تعريف العدد الطبيعي n بأنه مجموعة جميع المجموعات التي تحتوي على n عنصرًا. وبشكلٍ أدق، يُعدّ العدد الطبيعي فئة تكافؤ للمجموعات المنتهية وفقًا لعلاقة التكافؤ في العدد . قد يبدو هذا التعريف دائريًا، ولكنه ليس كذلك، لأن التكافؤ في العدد يُمكن تعريفه بطرقٍ بديلة، على سبيل المثال بالقول إن مجموعتين متساويتان في العدد إذا أمكن وضعهما في تناظرٍ أحادي - وهذا ما يُعرف أحيانًا بمبدأ هيوم .

يصلح هذا التعريف في نظرية الأنواع ، وفي نظريات المجموعات المنبثقة عنها، مثل الأسس الجديدة والأنظمة ذات الصلة. إلا أنه لا يصلح في نظرية المجموعات البديهية ZFC ولا في بعض الأنظمة ذات الصلة، لأن فئات التكافؤ في هذه الأنظمة، تحت مبدأ التكافؤ العددي، هي فئات حقيقية وليست مجموعات. مع ذلك، يمكن تعريف الأعداد الأصلية في ZF باستخدام حيلة سكوت .

لتمكين الأعداد الطبيعية من تكوين مجموعة، تُستبدل الفئات متساوية العدد بمجموعات خاصة تُسمى الأعداد الأصلية . وأبسط طريقة لتقديم الأعداد الأصلية هي إضافة مفهوم أولي، Card()، وبديهية العدد الأصلي إلى نظرية مجموعات ZF (بدون بديهية الاختيار). ^{[ 2 ]}

بديهية العددية: تكون المجموعتان A و B متساويتين في العدد إذا وفقط إذا كان Card(A) = Card(B)

التعريف: مجموع الأعداد الأصلية K و L مثل K = Card(A) و L = Card(B) حيث تكون المجموعتان A و B منفصلتين، هو Card (A ∪ B).

يتم تعريف المجموعة المنتهية بشكل مستقل عن الأعداد الطبيعية: ^{[ 3 ]}

التعريف: تكون المجموعة منتهية إذا وفقط إذا كان لأي عائلة غير فارغة من مجموعاتها الجزئية عنصر أدنى لترتيب الاحتواء.

التعريف: العدد الأصلي n هو عدد طبيعي إذا وفقط إذا وُجدت مجموعة منتهية يكون العدد الأصلي فيها هو n.

0 = البطاقة (∅)

1 = البطاقة ({A}) = البطاقة ({∅})

التعريف: العدد الذي يلي العدد الأصلي K هو العدد الأصلي K + 1

نظرية: الأعداد الطبيعية تحقق بديهيات بيانو

استنتج ويليام س. هاتشر (1982) بديهيات بيانو من عدة أنظمة تأسيسية، بما في ذلك نظرية ZFC ونظرية الفئات ، ومن نظام كتاب فريجه " القواعد الأساسية للحساب" باستخدام الترميز الحديث والاستنتاج الطبيعي . وقد أثبتت مفارقة راسل عدم اتساق هذا النظام، لكن جورج بولوس (1998) وديفيد ج. أندرسون وإدوارد زالتا (2004) بيّنوا كيفية إصلاحه.

• ترميز أكرمان
• أسس الرياضيات
• أسس جديدة
• تطبيق الرياضيات في نظرية المجموعات

• Anderson, DJ, and Edward Zalta , 2004, “Frege, Boolos, and Logical Objects,” Journal of Philosophical Logic 33 : 1–26.
• جورج بولوس ، 1998. المنطق، المنطق، والمنطق .
• جولدري، ديريك (1996). نظرية المجموعات الكلاسيكية . تشابمان وهول .
• فرانكل، أبراهام (1968) [1953]. نظرية المجموعات المجردة (  الطبعة الرابعة). أمستردام: نورث هولاند.
• هاتشر، ويليام س.، 1982. الأسس المنطقية للرياضيات . بيرغامون. في هذا النص، يشير الحرف S إلى بديهيات بيانو.
• هولمز، راندال، 1998. نظرية المجموعات الأولية مع المجموعة الشاملة . أكاديميا-برويلانت. وقد وافق الناشر مشكورًا على السماح بنشر هذه المقدمة لـ NFU ​​عبر الإنترنت. جميع الحقوق محفوظة.
• سوبس، باتريك (1972) [1960]. نظرية المجموعات البديهية . دوفر.

• موسوعة ستانفورد للفلسفة :
  • أسس كواين الجديدة - بقلم توماس فورستر.
  • نظريات المجموعات البديهية البديلة - بقلم راندال هولمز.
• ماكغواير، غاري، " ما هي الأعداد الطبيعية؟ "
• راندال هولمز: الصفحة الرئيسية لمؤسسة نيو فاونديشنز.