معادلة فوكر-بلانك

في الميكانيكا الإحصائية ونظرية المعلومات ، تُعدّ معادلة فوكر-بلانك معادلة تفاضلية جزئية تصف التطور الزمني لدالة كثافة الاحتمال لموقع أو سرعة جسيم تحت تأثير قوى السحب والقوى العشوائية، كما هو الحال في الحركة البراونية . ويمكن تعميم هذه المعادلة لتشمل متغيرات أخرى قابلة للرصد. ^{[ 1 ]} ولمعادلة فوكر-بلانك تطبيقات متعددة في نظرية المعلومات، ونظرية الرسوم البيانية ، وعلم البيانات ، والتمويل، والاقتصاد، وغيرها.

سُميت هذه المعادلة نسبةً إلى أدريان فوكر وماكس بلانك ، اللذين وصفاها عامي 1914 و1917 على التوالي. ^{[ 2 ] [ 3 ]} وتُعرف أيضًا باسم معادلة كولموغوروف الأمامية ، نسبةً إلى أندريه كولموغوروف ، الذي اكتشفها بشكل مستقل عام 1931. ^{[ 4 ]} وعند تطبيقها على توزيعات مواقع الجسيمات، تُعرف باسم معادلة سمولوشوفسكي (نسبةً إلى ماريان سمولوشوفسكي )، ^{[ 5 ]} وفي هذا السياق تُكافئ معادلة الحمل الحراري والانتشار . وعند تطبيقها على توزيعات مواقع الجسيمات وزخمها، تُعرف باسم معادلة كلاين-كرامرز . أما حالة انعدام الانتشار فتُعرف باسم معادلة الاستمرارية . وتُشتق معادلة فوكر - بلانك من المعادلة الرئيسية من خلال توسيع كرامرز-مويال . ^{[ 6 ]}

أُجري أول اشتقاق مجهري متسق لمعادلة فوكر-بلانك في المخطط الواحد للميكانيكا الكلاسيكية والكمية بواسطة نيكولاي بوغوليوبوف ونيكولاي كريلوف . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

في بُعد مكاني واحد x ، بالنسبة لعملية إيتو مدفوعة بعملية وينر القياسية${\displaystyle W_{t}}$ويتم وصفها بواسطة المعادلة التفاضلية العشوائية (SDE) $${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}}$$

مع الانجراف${\displaystyle \mu (X_{t},t)}$ومعامل الانتشار​${\displaystyle D(X_{t},t)=\sigma ^{2}(X_{t},t)/2}$معادلة فوكر-بلانك لكثافة الاحتمال${\displaystyle p(x,t)}$المتغير العشوائي${\displaystyle X_{t}}$هو ^{[ 9 ]}

تُستخدم معادلة فوكر-بلانك في المسائل التي يكون فيها التوزيع الأولي معروفًا. أما إذا كانت النقطة النهائية ثابتة، فيمكن استخدام صيغة فاينمان-كاك لحساب القيم المتوقعة، مثل متوسط ​​أزمنة المرور الأول، وهي نتيجة لمعادلة كولموغوروف العكسية. وإذا كانت المسألة هي معرفة التوزيع في أزمنة سابقة، انطلاقًا من توزيع معروف في أزمنة لاحقة، فيمكن بناء معادلة فوكر-بلانك عكسية الزمن. ^{[ 11 ]}

يمكن إعادة كتابة العملية العشوائية المحددة أعلاه بمعنى إيتو ضمن اتفاقية ستراتونوفيتش كمعادلة تفاضلية عشوائية ستراتونوفيتش: $${\displaystyle dX_{t}=\left[\mu (X_{t},t)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X_{t}}}D(X_{t},t)\right]\,dt+{\sqrt {2D(X_{t},t)}}\circ dW_{t}.}$$ يتضمن هذا النموذج حدًا إضافيًا للانحراف الناتج عن الضوضاء بسبب تأثيرات تدرج الانتشار إذا كانت الضوضاء تعتمد على الحالة. ويُستخدم هذا النموذج غالبًا في التطبيقات الفيزيائية. ومن المعروف أن أي حل لمعادلة ستراتونوفيتش التفاضلية العشوائية هو حل لمعادلة إيتو التفاضلية العشوائية.

يمكن اعتبار معادلة الانجراف الصفري مع الانتشار الثابت نموذجًا للحركة البراونية الكلاسيكية : $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=D_{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[p(x,t)\right].}$$

يحتوي هذا النموذج على طيف حلول منفصل إذا تمت إضافة شرط الحدود الثابتة لـ${\displaystyle \{0\leq x\leq L\}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}p(0,t)&=p(L,t)=0,\\p(x,0)&=p_{0}(x).\end{aligned}}}$$

لقد تم إثبات ^{[ 12 ]} أنه في هذه الحالة، يسمح الطيف التحليلي للحلول باستنتاج علاقة عدم اليقين المحلية لحجم طور الإحداثيات والسرعة: $${\displaystyle \Delta x\,\Delta v\geq D_{0}.}$$ هنا${\displaystyle D_{0}}$هي القيمة الدنيا لطيف الانتشار المقابل${\displaystyle D_{j}}$، بينما${\displaystyle \Delta x}$و${\displaystyle \Delta v}$يمثل عدم اليقين في تعريف الإحداثيات والسرعة.

وبشكل أعم، إذا

$${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\,d\mathbf {W} _{t},}$$

أين${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$و${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)}$هي متجهات ذات أبعاد N ، ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)}$هو${\displaystyle N\times M}$المصفوفة و${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$هي عملية وينر قياسية ذات أبعاد M ، كثافة الاحتمال${\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)}$ل${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$يحقق معادلة فوكر-بلانك

مع متجه الانجراف${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{N})}$وموتر الانتشار${\textstyle \mathbf {D} ={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma \sigma }}^{\mathsf {T}}}$، أي$${\displaystyle D_{ij}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t).}$$

إذا تم النظر في استخدام معادلة ستراتونوفيتش التفاضلية العشوائية بدلاً من معادلة إيتو التفاضلية العشوائية ،

$${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\circ d\mathbf {W} _{t},}$$

ستكون معادلة فوكر-بلانك على النحو التالي: ^{[ 10 ] : 129}

$${\displaystyle {\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left\{\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]\right\}}$$

بشكل عام، تُعد معادلات فوكر-بلانك حالة خاصة من معادلة كولموغوروف الأمامية العامة

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\mathcal {A}}^{*}\rho }$$

حيث المؤثر الخطي${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$^{[ 13 ]} هو المرافق الهيرميتي للمولد المتناهي الصغر لعملية ماركوف .

لنفترض وجود جسيم براوني ذي تخميد زائد تحت تأثير قوة خارجية${\displaystyle F(r)}$[ ^{15 ]​}$${\displaystyle m{\ddot {r}}=-\gamma {\dot {r}}+F(r)+\sigma \xi (t)}$$ حيث${\displaystyle m{\ddot {r}}}$هذا المصطلح ضئيل (بمعنى "مُخمّد بشدة"). وبالتالي، فهو مجرد${\displaystyle \gamma \,dr=F(r)\,dt+\sigma \,dW_{t}}$معادلة فوكر-بلانك لهذه الجسيمات هي معادلة سمولوشوفسكي للانتشار: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}P(r,t\mid r_{0},t_{0})=\nabla \cdot \left[D\left(\nabla -\beta F(r)\right)P(r,t\mid r_{0},t_{0})\right]}$$ أين${\displaystyle D}$هو ثابت الانتشار و${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$تكمن أهمية هذه المعادلة في أنها تسمح بإدراج تأثير درجة الحرارة على نظام الجسيمات وثابت الانتشار المعتمد على المكان.

اشتقاق معادلة سمولوشوفسكي من معادلة فوكر-بلانك

بدءًا من معادلة لانجفين لجسيم براوني في مجال خارجي${\displaystyle F(r)}$، أين${\displaystyle \gamma }$هو مصطلح الاحتكاك،${\displaystyle \xi }$هي قوة متذبذبة تؤثر على الجسيم، و${\displaystyle \sigma }$هي سعة التذبذب.

$${\displaystyle m{\ddot {r}}=-\gamma {\dot {r}}+F(r)+\sigma \xi (t)}$$

عند التوازن، تكون قوة الاحتكاك أكبر بكثير من قوة القصور الذاتي.${\displaystyle \left\vert \gamma {\dot {r}}\right\vert \gg \left\vert m{\ddot {r}}\right\vert }$وبالتالي، تصبح معادلة لانجفين كما يلي:

$${\displaystyle \gamma {\dot {r}}=F(r)+\sigma \xi (t),}$$

مما ينتج عنه معادلة فوكر-بلانك التالية،

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}P(r,t\mid r_{0},t_{0})=\left(\nabla ^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}-\nabla \cdot {\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t\mid r_{0},t_{0}).}$$

بإعادة ترتيب معادلة فوكر-بلانك،

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

أين${\displaystyle D={\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}}$لاحظ أن معامل الانتشار قد لا يكون بالضرورة مستقلاً مكانياً إذا${\displaystyle \sigma }$أو${\displaystyle \gamma }$تعتمد على الموقع المكاني.

بعد ذلك، يُعطى العدد الإجمالي للجسيمات في أي حجم معين بالصيغة التالية:

$${\displaystyle N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int _{V}drP(r,t\mid r_{0},t_{0})}$$

لذلك، يمكن تحديد تدفق الجسيمات عن طريق أخذ المشتق الزمني لعدد الجسيمات في حجم معين، وتعويض معادلة فوكر-بلانك، ثم تطبيق نظرية جاوس .

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int _{V}dV\,\nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t\mid r_{0},t_{0})=\int _{\partial V}\,d\mathbf {a} \cdot j(r,t\mid r_{0},t_{0})}$$

$${\displaystyle j(r,t\mid r_{0},t_{0})=\left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t\mid r_{0},t_{0})}$$

في حالة التوازن، يُفترض أن التدفق يؤول إلى الصفر. لذلك، يمكن تطبيق إحصاءات بولتزمان لحساب احتمالية وجود جسيم في موقع معين عند التوازن، حيث${\displaystyle F(r)=-\nabla U(r)}$هي قوة محافظة واحتمالية وجود الجسيم في حالة${\displaystyle r}$يُعطى على النحو التالي${\displaystyle P(r,t\mid r_{0},t_{0})={\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}}$.

$${\displaystyle j(r,t\mid r_{0},t_{0})=\left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right){\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}=0}$$

$${\displaystyle \Rightarrow \nabla D=F(r)\left({\frac {1}{\gamma }}-D\beta \right)}$$

هذه العلاقة هي تجسيد لنظرية التذبذب والتبدد . الآن بتطبيق${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$ل${\displaystyle DP(r,t|r_{0},t_{0})}$وباستخدام نظرية التذبذب والتبدد،

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \nabla DP(r,t\mid r_{0},t_{0})&=\nabla \cdot D\nabla P(r,t\mid r_{0},t_{0})+\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0})\nabla D\\&=\nabla \cdot D\nabla P(r,t\mid r_{0},t_{0})+\nabla \cdot P(r,t\mid r_{0},t_{0}){\frac {F(r)}{\gamma }}-\nabla \cdot P(r,t\mid r_{0},t_{0})D\beta F(r)\end{aligned}}}$$

إعادة الترتيب،

$${\displaystyle \Rightarrow \nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t\mid r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t\mid r_{0},t_{0})}$$

وبالتالي، تصبح معادلة فوكر-بلانك معادلة سمولوشوفسكي. $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}P(r,t\mid r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t\mid r_{0},t_{0})}$$

لقوة عشوائية${\displaystyle F(r)}$.

تتبع الحركة البراونية معادلة لانجفين ، التي يمكن حلها للعديد من القوى العشوائية المختلفة مع حساب متوسط ​​النتائج ( المجموعة الكنسية في الديناميكا الجزيئية ). ومع ذلك، بدلاً من هذا النهج المكثف حسابيًا، يمكن استخدام معادلة فوكر-بلانك والنظر في الاحتمالية${\displaystyle p(\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} }$ للجسيم الذي يمتلك سرعة في الفترة${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} )}$عندما يبدأ حركته بـ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$في الوقت  0.

نظرًا لكونها معادلة تفاضلية جزئية ، لا يمكن حل معادلة فوكر-بلانك تحليليًا إلا في حالات خاصة. يسمح التناظر الشكلي بين معادلة فوكر-بلانك ومعادلة شرودنغر باستخدام تقنيات المؤثرات المتقدمة المعروفة من ميكانيكا الكم لحلها في عدد من الحالات. علاوة على ذلك، في حالة الديناميكيات ذات التخميد الزائد، عندما تحتوي معادلة فوكر-بلانك على مشتقات جزئية ثانية بالنسبة لجميع المتغيرات المكانية، يمكن كتابة المعادلة على شكل معادلة رئيسية يسهل حلها عدديًا. ^{[ 19 ]} في العديد من التطبيقات، يقتصر الاهتمام على توزيع الاحتمالية في الحالة المستقرة.${\displaystyle p_{0}(x)}$والتي يمكن العثور عليها من${\textstyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=0}$يمكن اختزال حساب متوسط ​​أوقات المرور الأولى واحتمالات الانقسام إلى حل معادلة تفاضلية عادية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمعادلة فوكر-بلانك.

في مجال التمويل الرياضي لنمذجة تقلبات الخيارات عبر التقلبات المحلية ، يواجه المرء مشكلة اشتقاق معامل الانتشار.${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$يتوافق ذلك مع دالة كثافة احتمالية مستمدة من أسعار خيارات السوق. وبالتالي، فإن المسألة هي عكس معادلة فوكر-بلانك: بمعرفة دالة الكثافة f(x,t) للخيار الأساسي X المستنتجة من سوق الخيارات، يهدف المرء إلى إيجاد التقلب المحلي.${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$يتوافق هذا مع f . هذه مسألة عكسية تم حلها بشكل عام بواسطة دوبير (1994، 1997) بحل غير بارامتري. ^{[ 20 ] [ 21 ]} يقترح بريغو وميركوريو (2002، 2003) حلاً في شكل بارامتري عبر تقلب محلي معين.${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$يتوافق ذلك مع حل معادلة فوكر-بلانك المُعطى بنموذج خليط . ^{[ 22 ] [ 23 ]} تتوفر معلومات إضافية أيضًا في فينغلر (2008)، ^{[ 24 ]} وجاثيرال (2008)، ^{[ 25 ]} وموسيلا وروتكوفسكي (2008). ^{[ 26 ]}

كل معادلة فوكر-بلانك تُكافئ تكامل مسار . ويُعدّ صياغة تكامل المسار نقطة انطلاق ممتازة لتطبيق أساليب نظرية المجال. ^{[ 27 ]} ويُستخدم هذا، على سبيل المثال، في الديناميكا الحرجة .

يمكن اشتقاق التكامل المساري بطريقة مشابهة لما هو عليه في ميكانيكا الكم. الاشتقاق لمعادلة فوكر-بلانك ذات متغير واحد${\displaystyle x}$كما يلي. ابدأ بإدخال دالة دلتا ثم قم بالتكامل بالتجزئة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}p{\left(x',t\right)}&=-{\frac {\partial }{\partial x'}}\left[D_{1}(x',t)p(x',t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {x'}^{2}}}\left[D_{2}(x',t)p(x',t)\right]\\[1ex]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\left[\left(D_{1}{\left(x,t\right)}{\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}{\left(x,t\right)}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)\delta {\left(x'-x\right)}\right]p(x,t).\end{aligned}}}$$

ال${\displaystyle x}$- لا تؤثر المشتقات هنا إلا على${\displaystyle \delta }$-وظيفة، غير مفعلة${\displaystyle p(x,t)}$. قم بإجراء التكامل على مدى فترة زمنية${\displaystyle \varepsilon }$،

$${\displaystyle p(x',t{+}\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\,dx\left[\left(1+\varepsilon D_{1}(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}+\varepsilon D_{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)\delta (x'-x)\right]p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).}$$

أدخل تكامل فورييه

$${\displaystyle \delta {\left(x'-x\right)}=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}e^{{\tilde {x}}{\left(x-x'\right)}}}$$

لـ${\displaystyle \delta }$-وظيفة،

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(x',t+\varepsilon )&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}\left(1+\varepsilon \left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)e^{{\tilde {x}}(x-x')}p(x,t)+O(\varepsilon ^{2})\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}\exp \left(\varepsilon \left[-{\tilde {x}}{\frac {(x'-x)}{\varepsilon }}+{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).\end{aligned}}}$$

تعبر هذه المعادلة عن${\displaystyle p(x',t{+}\varepsilon )}$كوظيفة من${\displaystyle p(x,t)}$التكرار${\displaystyle (t'-t)/\varepsilon }$مرات وأداء الحد${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$يعطي مسارًا متكاملًا مع الفعل

$${\displaystyle S=\int dt\left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)-{\tilde {x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}\right].}$$

المتغيرات${\displaystyle {\tilde {x}}}$مرافق لـ${\displaystyle x}$وتسمى "متغيرات الاستجابة". ^{[ 28 ]}

على الرغم من تكافؤهما شكليًا، إلا أنه يمكن حل مسائل مختلفة بسهولة أكبر باستخدام معادلة فوكر-بلانك أو صيغة التكامل المساري. فعلى سبيل المثال، يمكن الحصول على توزيع التوازن بشكل مباشر من معادلة فوكر-بلانك.

• فرانك، تيل دانيال (2005). معادلات فوكر-بلانك غير الخطية: الأساسيات والتطبيقات . سلسلة سبرينغر في علم التآزر. سبرينغر. ISBN 3-540-21264-7.
• غاردينر، كريسبين (2009). الأساليب العشوائية (  الطبعة الرابعة). سبرينغر. ISBN 978-3-540-70712-7.
• بافليوتيس، غريغوريوس أ. (2014). العمليات العشوائية وتطبيقاتها: عمليات الانتشار، معادلات فوكر-بلانك ولانجفين . سلسلة نصوص سبرينغر في الرياضيات التطبيقية. سبرينغر. ISBN 978-1-4939-1322-0.
• ريسكن، هانز (1996). معادلة فوكر-بلانك: طرق الحل والتطبيقات . سلسلة سبرينغر في علم التآزر (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 3-540-61530-X.