صيغ الدوران في ثلاثة أبعاد

تُسمى المجموعة الثلاثية المذكورة أعلاه من متجهات الوحدة أيضًا بالأساس . إن تحديد إحداثيات ( مكونات ) متجهات هذا الأساس في موضعه الحالي (بعد الدوران)، بدلالة محاور الإحداثيات المرجعية (غير المدورة)، يصف الدوران وصفًا كاملًا. تتكون متجهات الوحدة الثلاثة، û و v̂ و ŵ ، التي تُشكل الأساس بعد الدوران، من 3  إحداثيات لكل منها، مما ينتج عنه 9 معلمات إجمالًا  .

يمكن كتابة هذه المعاملات كعناصر لمصفوفة A من الرتبة 3 × 3 ، والتي تسمى مصفوفة الدوران . عادةً، يتم ترتيب إحداثيات كل متجه من هذه المتجهات على طول عمود من المصفوفة (مع ذلك، تجدر الإشارة إلى وجود تعريف بديل لمصفوفة الدوران وهو شائع الاستخدام، حيث يتم ترتيب إحداثيات المتجهات المحددة أعلاه حسب الصفوف ^{[ 2 ]} ). $$// }} _ {y} &{\hat {\mathbf {w}}} _ {y}\\{\hat {\mathbf {u} }}_ {z}&{\hat {\mathbf {v} }} _ {z} & {\hat {\mathbf {w} }} _ {z}\\\end{bmatrix}}}$$

عناصر مصفوفة الدوران ليست كلها مستقلة - كما تنص نظرية دوران أويلر، فإن مصفوفة الدوران لها ثلاث درجات حرية فقط.

تتمتع مصفوفة الدوران بالخصائص التالية:

• A هي مصفوفة حقيقية ومتعامدة ، وبالتالي فإن كل صف أو عمود منها يمثل متجه وحدة .
• القيم الذاتية للمصفوفة A هي$${\displaystyle \left\{1,e^{\pm i\theta }\right\}=\{1,\ \cos \theta +i\sin \theta ,\ \cos \theta -i\sin \theta \}}$$حيث i هي الوحدة التخيلية القياسية مع الخاصية i ² = −1 .
• محدد المصفوفة A هو +1، وهو ما يعادل حاصل ضرب قيمها الذاتية.
• أثر المصفوفة A هو 1 + 2 cos θ ، وهو ما يعادل مجموع قيمها الذاتية.

الزاوية θ الظاهرة في تعبير القيمة الذاتية تُطابق زاوية محور أويلر وتمثيل الزاوية. المتجه الذاتي المُقابل للقيمة الذاتية 1 هو محور أويلر المُصاحب، لأن هذا المحور هو المتجه الوحيد (غير الصفري) الذي يبقى دون تغيير عند ضربه (تدويره) بمصفوفة الدوران من اليسار.

الخصائص المذكورة أعلاه تعادل ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}|{\hat {\mathbf {u} }}|=|{\hat {\mathbf {v} }}|=|{\hat {\mathbf {w} }}|&=1\\{\hat {\mathbf {u} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}&=0\\{\hat {\mathbf {u} }}\times {\hat {\mathbf {v} }}&={\hat {\mathbf {w} }}\,,\end{محاذاة}}}$$ وهذا يعني أيضاً أن ( û ، v̂ ، ŵ ) تُشكّل أساساً متعامداً ثلاثي الأبعاد . تتضمن هذه العبارات ستة شروط (يحتوي الضرب الاتجاهي على ثلاثة منها)، مما يجعل مصفوفة الدوران بثلاث درجات حرية فقط، كما هو مطلوب.

_يمكن بسهولة دمج دورتين متتاليتين ممثلتين بالمصفوفتين A1 _و A2 كعناصر لمجموعة واحدة. $${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{total}}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}}$$ (لاحظ الترتيب، حيث يتم ضرب المتجه الذي يتم تدويره من اليمين).

إن سهولة تدوير المتجهات باستخدام مصفوفة الدوران، بالإضافة إلى سهولة دمج عمليات الدوران المتتالية، تجعل مصفوفة الدوران طريقة مفيدة وشائعة لتمثيل عمليات الدوران، على الرغم من أنها أقل إيجازًا من التمثيلات الأخرى.

من نظرية أويلر للدوران، نعلم أن أي دوران يمكن التعبير عنه بدوران واحد حول محور ما. هذا المحور هو متجه الوحدة (فريد من نوعه باستثناء الإشارة) الذي يبقى ثابتًا دون تغيير بفعل الدوران. كما أن مقدار الزاوية فريد أيضًا، وتُحدد إشارتها بإشارة محور الدوران.

يمكن تمثيل المحور كمتجه وحدة ثلاثي الأبعاد$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}}$$ والزاوية بواسطة كمية قياسية θ .

بما أن المحور مُعَيَّر، فإنه يمتلك درجتي حرية فقط . وتضيف الزاوية درجة الحرية الثالثة إلى تمثيل الدوران هذا.

قد يرغب المرء في التعبير عن الدوران كمتجه دوران ، أو متجه أويلر ، وهو متجه ثلاثي الأبعاد غير معياري يحدد اتجاهه المحور، وطوله θ . $${\displaystyle \mathbf {r} =\theta {\hat {\mathbf {e} }}\,.}$$

يُعدّ متجه الدوران مفيدًا في بعض السياقات، إذ يُمثّل دورانًا ثلاثي الأبعاد بثلاث قيم قياسية فقط (مكوناته)، تُمثّل درجات الحرية الثلاث. وينطبق هذا أيضًا على التمثيلات القائمة على متواليات من ثلاث زوايا أويلر (انظر أدناه).

إذا كانت زاوية الدوران θ تساوي صفرًا، فإن المحور لا يُحدد بشكل فريد. إن دمج دورانين متتاليين، يُمثل كل منهما بمحور وزاوية أويلر، ليس بالأمر البسيط، ولا يُحقق في الواقع قانون جمع المتجهات، مما يُبين أن الدورانات المحدودة ليست متجهات بالمعنى الحقيقي. من الأفضل استخدام مصفوفة الدوران أو ترميز الكواترنيون، وحساب حاصل الضرب، ثم تحويل الناتج إلى محور وزاوية أويلر.

تعتمد فكرة دوران أويلر على تقسيم الدوران الكامل لنظام الإحداثيات إلى ثلاثة دورانات أساسية أبسط، تُسمى التبادر ، والترنح ، والدوران الذاتي ، حيث يُمثل كل منها زيادة في إحدى زوايا أويلر . لاحظ أن المصفوفة الخارجية تُمثل دورانًا حول أحد محاور الإطار المرجعي، بينما تُمثل المصفوفة الداخلية دورانًا حول أحد محاور الإطار المتحرك. أما المصفوفة الوسطى فتُمثل دورانًا حول محور وسيط يُسمى خط العقد .

مع ذلك، فإن تعريف زوايا أويلر ليس فريدًا، وتُستخدم في المراجع العلمية العديد من الاصطلاحات المختلفة. وتعتمد هذه الاصطلاحات على المحاور التي تُجرى حولها الدورانات، وعلى تسلسلها (لأن الدورانات على الكرة غير تبادلية ).

يُشار عادةً إلى الاصطلاح المُستخدم بتحديد المحاور التي تدور حولها الدورانات المتتالية (قبل تركيبها)، وذلك بالإشارة إليها بالأرقام (1، 2، 3) أو الأحرف (X، Y، Z) . تستخدم الأوساط الهندسية والروبوتية عادةً زوايا أويلر 3-1-3. لاحظ أنه بعد تركيب الدورانات المستقلة، فإنها لا تدور حول محورها. تدور المصفوفة الخارجية المصفوفتين الأخريين، تاركةً مصفوفة الدوران الثانية فوق خط العقد، والثالثة في إطار يتحرك مع الجسم. يوجد 27 تركيبة ممكنة من ثلاث دورانات أساسية (3 × 3 × 3 = 27)، ولكن 12 تركيبة فقط منها (3 × 2 × 2 = 12 ) يمكن استخدامها لتمثيل دورانات ثلاثية الأبعاد عشوائية كزوايا أويلر.  تتجنب هذه التركيبات الـ 12 الدورانات المتتالية حول المحور نفسه (مثل XXY) التي من شأنها أن تقلل من درجات الحرية التي يمكن تمثيلها.

لذلك، لا تُعبّر زوايا أويلر أبدًا بدلالة الإطار الخارجي، أو بدلالة إطار الجسم المتحرك المُدار، بل بمزيج منهما. وتُستخدم اصطلاحات أخرى (مثل مصفوفة الدوران أو الكواترنيونات ) لتجنب هذه المشكلة.

في مجال الطيران ، يتم التعبير عن اتجاه الطائرة عادةً بزوايا تايت -برايان الجوهرية وفقًا لاتفاقية z - y ′- x ″ ، والتي تسمى الاتجاه والارتفاع والميل (أو بشكل مرادف، الانعراج والميل والدوران ) .

أثبتت الكواترنيونات ، التي تشكل فضاء متجه رباعي الأبعاد ، فائدتها الكبيرة في تمثيل الدوران نظرًا لعدة مزايا مقارنة بالتمثيلات الأخرى المذكورة في هذه المقالة.

يُكتب تمثيل الدوران باستخدام الكواترنيون على شكل متجه (كواترنيون معياري): $${\displaystyle {\hat {\mathbf {q}}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}}$$

يخزن التعريف أعلاه الكواترنيون كمصفوفة وفقًا للاتفاقية المستخدمة في (Wertz 1980) و(Markley 2003). ويُعرّف تعريف بديل، مستخدم على سبيل المثال في (Coutsias 1999) و(Schmidt 2001)، الحد "القياسي" على أنه العنصر الأول من الكواترنيون، مع إزاحة العناصر الأخرى بمقدار خانة واحدة إلى الأسفل.

من حيث محور أويلر $${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}}$$

ويتم التعبير عن مكونات هذا المتجه بزاوية θ على النحو التالي:$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&=e_{x}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&=e_{y}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&=e_{z}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$$

يُظهر الفحص أن معلمات الكواترنيون تخضع للقيد التالي: $${\displaystyle q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}=1}$$

يُطلق على الحد الأخير (في تعريفنا) غالبًا اسم الحد القياسي، والذي يعود أصله إلى الأعداد الرباعية عند فهمه على أنه الامتداد الرياضي للأعداد المركبة، ويكتب على النحو التالي: $${\displaystyle a+bi+cj+dk\qquad {\text{with }}a,b,c,d\in \mathbb {R} }$$ حيث تمثل { i , j , k } الأعداد المركبة الفائقة التي تحقق $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}i^{2}&=&j^{2}&=&k^{2}&=&-1\\ij&=&-ji&=&k&&\\jk&=&-kj&=&i&&\\ki&=&-ik&=&j&&\end{array}}}$$

يُجرى ضرب الكواترنيونات، المستخدم لتحديد دوران مركب ، بنفس طريقة ضرب الأعداد المركبة ، باستثناء أنه يجب مراعاة ترتيب العناصر، لأن الضرب ليس عملية تبديلية. ويمكننا كتابة ضرب الكواترنيونات في صيغة المصفوفات على النحو التالي: $${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}\otimes \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}&-q_{j}&\;\;\,q_{i}\\-q_{k}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{i}&\;\;\,q_{j}\\\;\;\,q_{j}&-q_{i}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}\\-q_{i}&-q_{j}&-q_{k}&\;\;\,q_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\tilde {q}}_{i}\\{\tilde {q}}_{j}\\{\tilde {q}}_{k}\\{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{j}&\;\;\,{\tilde {q}}_{i}\\\;\;\,{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&-{\tilde {q}}_{i}&\;\;\,{\tilde {q}}_{j}\\-{\tilde {q}}_{j}&\;\;\,{\tilde {q}}_{i}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&\;\;\,{\tilde {q}}_{k}\\-{\tilde {q}}_{i}&-{\tilde {q}}_{j}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}}$$

_{لذا ،} فإن دمج دورتين متتاليتين باستخدام الكواترنيون بسيط تمامًا مثل استخدام مصفوفة الدوران. تمامًا كما يتم دمج مصفوفتي دوران متتاليتين، _A1 متبوعة بـ A2، على النحو التالي :$${\displaystyle \mathbf {A} _{3}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1},}$$ يمكننا تمثيل ذلك باستخدام معلمات الكواترنيون بطريقة موجزة مماثلة: $${\displaystyle \mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{2}\otimes \mathbf {q} _{1}}$$

تعتبر الكواترنيونات طريقة شائعة جدًا لتمثيل المعاملات نظرًا للخصائص التالية:

• أكثر إيجازًا من تمثيل المصفوفة وأقل عرضة لأخطاء التقريب
• لا يتضمن التعبير عن مصفوفة الدوران بدلالة معاملات الكواترنيون أي دوال مثلثية.
• من السهل دمج دورتين فرديتين ممثلتين على شكل رباعيات باستخدام حاصل ضرب الرباعيات

كما هو الحال مع مصفوفات الدوران، يجب أحيانًا إعادة تطبيع الكواترنيونات بسبب أخطاء التقريب، لضمان مطابقتها لدورانات صحيحة. مع ذلك، فإن التكلفة الحسابية لإعادة تطبيع الكواترنيون أقل بكثير من تكلفة تطبيع مصفوفة 3 × 3 .

تُجسّد الكواترنيونات أيضًا خاصية الدوران الدوراني في ثلاثة أبعاد. بالنسبة لجسم ثلاثي الأبعاد متصل بمحيطه (الثابت) بواسطة خيوط أو أشرطة مرتخية، يمكن فك تشابك هذه الخيوط أو الأشرطة بعد دورتين كاملتين حول محور ثابت من حالة أولية غير متشابكة. جبريًا، يتغير الكواترنيون الذي يصف هذا الدوران من قيمة قياسية +1 (في البداية)، مرورًا بقيم (قياسية + متجه زائف) إلى قيمة قياسية -1 (عند دورة كاملة واحدة)، ثم مرورًا بقيم (قياسية + متجه زائف) عائدًا إلى قيمة قياسية +1 (عند دورتين كاملتين). تتكرر هذه الدورة كل دورتين. بعد 2n دورة (عدد صحيح n > 0 )، ودون أي محاولات فك تشابك وسيطة، يمكن فك تشابك الخيوط/الأشرطة جزئيًا إلى حالة 2( n - 1) دورة مع كل تطبيق لنفس الإجراء المستخدم في فك التشابك من دورتين إلى صفر دورة. بتطبيق الإجراء نفسه n مرة، سيعود جسم متشابك 2n مرة إلى حالته الأصلية غير المتشابكة أو حالته الصفرية. كما تزيل عملية فك التشابك أي التواء ناتج عن الدوران حول الخيوط/الأشرطة نفسها. ويمكن استخدام نماذج ميكانيكية ثلاثية الأبعاد بسيطة لتوضيح هذه الحقائق.

يمكن التعبير عن متجه رودريغز (يسمى أحيانًا متجه جيبس ، مع إحداثيات تسمى معلمات رودريغز ) ^{[ 3 ] [ 4 ]} بدلالة محور وزاوية الدوران على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {g} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{2}}}$$

هذا التمثيل هو نظير ذو أبعاد أعلى للإسقاط الغنوموني ، حيث يقوم برسم وحدات الكواترنيون من كرة ثلاثية الأبعاد على المستوى الفائق ثلاثي الأبعاد ذي المتجهات النقية .

يوجد انقطاع عند 180 درجة ( π راديان): عندما يؤول أي متجه دوران r إلى زاوية π راديان، فإن مماسه يؤول إلى اللانهاية.

في تمثيل رودريغز، يكون للدوران g متبوعًا بدوران f شكل تركيب الدوران البسيط

اليوم، الطريقة الأكثر مباشرة لإثبات هذه الصيغة هي في التمثيل الثنائي (الصادق) ، حيث g = n̂ tan a ، إلخ.

تتطابق الخصائص التوافقية لاشتقاق مصفوفة باولي المذكورة آنفًا مع اشتقاق الكواترنيون المكافئ أدناه. أنشئ كواترنيونًا مرتبطًا بدوران مكاني R كما يلي: $${\displaystyle S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .}$$ ثم يكون تركيب الدوران R _B مع R _A هو الدوران R _C = R _B R _A ، حيث يتم تحديد محور الدوران وزاويته من خلال حاصل ضرب الكواترنيونات. $${\displaystyle A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{and}}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} ,}$$ إنه $${\displaystyle C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \right).}$$

قم بتوسيع هذا المنتج الرباعي إلى $${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} \right).}$$

اقسم طرفي هذه المعادلة على المتطابقة الناتجة عن المعادلة السابقة، $${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,}$$ وتقييم

هذه صيغة رودريغز لمحور الدوران المركب، مُعرَّفة بدلالة محاور الدورانين المكونين له. وقد اشتق هذه الصيغة عام ١٨٤٠ (انظر الصفحة ٤٠٨). ^{[ ٣ ]} تشكل محاور الدوران الثلاثة A و B و C مثلثًا كرويًا، وتُحدد زوايا الدوران الزوايا الثنائية بين المستويين المُشكَّلين من أضلاع هذا المثلث.

يُطلق على الإسقاط المجسم لوحدة رباعية على المستوى الفائق التخيلي البحت اسم متجه الدوران المطابق ، مع إحداثيات تسمى أحيانًا معلمات رودريغز المعدلة (MRPs).

يمكن التعبير عن متجه الدوران المطابق بدلالة محور أويلر والزاوية بواسطة $${\displaystyle \mathbf {p} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{4}}\,.}$$ يمكن التعبير عن MRPs بدلالة مكونات رباعي الوحدة الذي يمثل نفس الدوران مثل $${\displaystyle p_{x,y,z}={\frac {q_{i,j,k}}{1+q_{r}}}\,.}$$

ينتج عن الإسقاط المجسم للرباعي المقابل −q متجه دوران توافقي مختلف p ^s عن إسقاط الرباعي الأصلي q . وبمقارنة المكونات ، نحصل على أن $${\displaystyle p_{x,y,z}^{s}={\frac {-q_{i,j,k}}{1-q_{r}}}={\frac {-p_{x,y,z}}{\mathbf {p} ^{2}}}\,.}$$ والجدير بالذكر أنه إذا كان أحد هذه المتجهات يقع داخل الكرة الثلاثية الأبعاد، فإن الآخر سيقع خارجها.

باستخدام نفس الترميز المذكور أعلاه، يتم الحصول على الكواترنيون الوحدوي من خلال:

${\displaystyle s={\frac {2}{1+\lVert \mathbf {p} \rVert ^{2}}},\qquad {\begin{cases}q_{r}&=s-1,\\q_{i}&=s\,p_{x},\\q_{j}&=s\,p_{y},\\q_{k}&=s\,p_{z}.\end{cases}}}$

انظر التعريف في موقع Wolfram Mathworld .

يمكن كتابة الدورانات النشطة لمتجه ثلاثي الأبعاد p في الفضاء الإقليدي حول محور n بزاوية η بسهولة بدلالة الضرب النقطي والضرب الاتجاهي كما يلي:

$${\displaystyle \mathbf {p} '=p_{\parallel }\mathbf {n} +\cos {\eta }\,\mathbf {p} _{\perp }+\sin {\eta }\,\mathbf {p} \wedge \mathbf {n} }$$ حيث $${\displaystyle p_{\parallel }=\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} }$$ يمثل المكون الطولي لـ p على طول n ، والذي يُعطى بواسطة الضرب النقطي . $${\displaystyle \mathbf {p} _{\perp }=\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$ يمثل المكون العرضي لـ p بالنسبة إلى n ، و $${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {n} }$$

هو حاصل الضرب الاتجاهي لـ p مع n .

تُظهر الصيغة أعلاه أن المركبة الطولية لـ p تبقى ثابتة، بينما يدور الجزء العرضي من p في المستوى العمودي على n . يمتد هذا المستوى بواسطة الجزء العرضي من p نفسه واتجاه عمودي على كل من p و n . يمكن تحديد الدوران مباشرةً في المعادلة على أنه دوران ثنائي الأبعاد بزاوية η .

يمكن وصف الدوران السلبي بنفس الصيغة، ولكن بإشارة معكوسة إما لـ η أو n .

يمكن استخراج زوايا أويلر ( φ ، θ ، ψ ) من مصفوفة الدوران A عن طريق فحص مصفوفة الدوران في شكل تحليلي.

إذا لم تكن زاوية أويلر θ من مضاعفات π ، فيمكن حساب محور أويلر ê والزاوية θ من عناصر مصفوفة الدوران A على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\arccos {\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}}\\e_{1}&={\frac {A_{32}-A_{23}}{2\sin \theta }}\\e_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2\sin \theta }}\\e_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2\sin \theta }}\end{aligned}}}$$

أو يمكن استخدام الطريقة التالية:

يُنتج تحليل القيم الذاتية لمصفوفة الدوران القيم الذاتية 1 و cos θ ± i sin θ . محور أويلر هو المتجه الذاتي المقابل للقيمة الذاتية 1، ويمكن حساب θ من القيم الذاتية المتبقية.

يمكن أيضًا إيجاد محور أويلر باستخدام تحليل القيم المفردة لأنه المتجه المعياري الذي يمتد على الفضاء الصفري للمصفوفة I − A.

ولتحويلها في الاتجاه الآخر، يمكن حساب مصفوفة الدوران المقابلة لمحور أويلر ê والزاوية θ وفقًا لصيغة دوران رودريغز (مع تعديل مناسب ) على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} _{3}\cos \theta +(1-\cos \theta ){\hat {\mathbf {e} }}{\hat {\mathbf {e} }}^{\mathsf {T}}+\left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }\sin \theta }$$

مع I ₃ مصفوفة الوحدة 3 × 3 ، و $${\displaystyle \left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-e_{3}&e_{2}\\e_{3}&0&-e_{1}\\-e_{2}&e_{1}&0\end{bmatrix}}}$$

هي مصفوفة الضرب الاتجاهي .

ويتوسع هذا ليشمل: $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{11}&=(1-\cos \theta )e_{1}^{2}+\cos \theta \\A_{12}&=(1-\cos \theta )e_{1}e_{2}-e_{3}\sin \theta \\A_{13}&=(1-\cos \theta )e_{1}e_{3}+e_{2}\sin \theta \\A_{21}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{1}+e_{3}\sin \theta \\A_{22}&=(1-\cos \theta )e_{2}^{2}+\cos \theta \\A_{23}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{3}-e_{1}\sin \theta \\A_{31}&=(1-\cos \theta )e_{3}e_{1}-e_{2}\sin \theta \\A_{32}&=(1-\cos \theta )e_{3}e_{2}+e_{1}\sin \theta \\A_{33}&=(1-\cos \theta )e_{3}^{2}+\cos \theta \end{aligned}}}$$

عند حساب الكواترنيون من مصفوفة الدوران، يكون هناك غموض في الإشارة، لأن q و − q يمثلان نفس الدوران.

إحدى طرق حساب الكواتيرنيون $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}}$$ من مصفوفة الدوران A يكون كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{r}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}+A_{22}+A_{33}}}\\q_{i}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{32}-A_{23}\right)\\q_{j}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{13}-A_{31}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{21}-A_{12}\right)\end{aligned}}}$$

توجد ثلاث طرق أخرى مكافئة رياضياً لحساب قيمة q . ويمكن تقليل الخطأ العددي بتجنب الحالات التي يكون فيها المقام قريباً من الصفر. إحدى هذه الطرق الثلاث الأخرى تبدو كما يلي: ^{[ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}-A_{22}-A_{33}}}\\q_{j}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{12}+A_{21}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{13}+A_{31}\right)\\q_{r}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{32}-A_{23}\right)\end{aligned}}}$$

يمكن حساب مصفوفة الدوران المقابلة للرباعي q على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {A} =\left(q_{r}^{2}-{\check {\mathbf {q} }}^{\mathsf {T}}{\check {\mathbf {q} }}\right)\mathbf {I} _{3}+2{\check {\mathbf {q} }}{\check {\mathbf {q} }}^{\mathsf {T}}+2q_{r}\mathbf {\mathcal {Q}} }$$ أين $${\displaystyle {\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,,\quad \mathbf {\mathcal {Q}} ={\begin{bmatrix}0&-q_{k}&q_{j}\\q_{k}&0&-q_{i}\\-q_{j}&q_{i}&0\end{bmatrix}}}$$ مما يعطي $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2q_{j}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r}\right)&1-2q_{i}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)&1-2q_{i}^{2}-2q_{j}^{2}\end{bmatrix}}}$$

أو ما يعادل ذلك $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1+2q_{i}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r}\right)&-1+2q_{j}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)&-1+2q_{k}^{2}+2q_{r}^{2}\end{bmatrix}}}$$

يُطلق على هذا اسم صيغة أويلر-رودريغز لمصفوفة التحويل${\displaystyle \mathbf {A} }$

بفرض محور أويلر ê والزاوية θ ، فإن الكواتيرنيون $${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,}$$

يمكن حسابها بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}&={\hat {e}}_{1}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&={\hat {e}}_{2}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&={\hat {e}}_{3}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}$$

بمعرفة الكواترنيون الدوراني q ، عرّف $${\displaystyle {\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,.}$$ثم يمكن حساب محور أويلر ê والزاوية θ بواسطة$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {e} }}&={\frac {\check {\mathbf {q} }}{\left\|{\check {\mathbf {q} }}\right\|}}\\\theta &=2\arccos q_{r}\end{aligned}}}$$

متجه السرعة الزاوية $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}}$$ يمكن استخراجها من المشتق الزمني لمصفوفة الدوران ⁠ d A / d t ⁠ من خلال العلاقة التالية: $${\displaystyle [{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{bmatrix}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}$$

تم اقتباس الاشتقاق من Ioffe ^{[ 8 ]} على النحو التالي:

لأي متجه r ₀ ، ضع في اعتبارك r ( t ) = A ( t ) r ₀ وقم بتفاضله: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {r} _{0}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)\mathrm {r} (t)}$$

مشتقة المتجه هي السرعة الخطية لرأسه. بما أن A مصفوفة دوران، فإن طول r ( t ) يساوي دائمًا طول r₀ _، وبالتالي لا يتغير مع الزمن. لذلك، عندما يدور r ( t ) ، يتحرك رأسه على طول دائرة، وتكون سرعته الخطية مماسية للدائرة؛ أي عمودية دائمًا على r ( t ) . في هذه الحالة تحديدًا، تكون العلاقة بين متجه السرعة الخطية ومتجه السرعة الزاوية كما يلي: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)=[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }\mathbf {r} (t)}$$ (انظر الحركة الدائرية والضرب الاتجاهي ).

بسبب خاصية التعدي للمعادلات المذكورة أعلاه، $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {r} (t)=[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }\mathbf {r} (t)}$$

وهذا يعني $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)=[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }}$$

متجه السرعة الزاوية $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}}$$ يمكن الحصول عليها من مشتق الكواترنيون ⁠ d q / d t ⁠ على النحو التالي: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}=2{\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}{\tilde {\mathbf {q} }}}$$ حيث q̃ هو المرافق (المعكوس) لـ q .

وعلى العكس من ذلك، فإن مشتقة الكواترنيون هي $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0\\\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}\mathbf {q} \,.}$$