تمثيل فضاء الحالة

يمكن دراسة استقرار وخصائص الاستجابة الطبيعية لنظام خطي ثابت الزمن (أي نظام خطي بمصفوفات ثابتة بالنسبة للزمن) من خلال القيم الذاتية للمصفوفة.${\displaystyle \mathbf {A} }$يمكن تحديد استقرار نموذج فضاء الحالة الثابت زمنيًا من خلال النظر إلى دالة نقل النظام في شكلها المُحلل. وستبدو حينها على النحو التالي:

$${\displaystyle \mathbf {G} (s)=k{\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})(s-z_{3})}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})(s-p_{4})}}.}$$

مقام دالة التحويل يساوي متعدد الحدود المميز الذي يتم إيجاده بأخذ محدد${\displaystyle s\mathbf {I} -\mathbf {A} }$، $${\displaystyle \lambda (s)=\left|s\mathbf {I} -\mathbf {A} \right|.}$$ جذور هذه المعادلة متعددة الحدود ( القيم الذاتية ) هي أقطاب دالة نقل النظام (أي النقاط الشاذة التي تكون فيها قيمة دالة النقل غير محدودة). يمكن استخدام هذه الأقطاب لتحليل ما إذا كان النظام مستقرًا تقاربيًا أم مستقرًا هامشيًا . ثمة نهج بديل لتحديد الاستقرار، لا يتضمن حساب القيم الذاتية، وهو تحليل استقرار ليابونوف للنظام .

الأصفار الموجودة في بسط${\displaystyle \mathbf {G} (s)}$ويمكن استخدامها بالمثل لتحديد ما إذا كان النظام في طور أدنى .

قد يظل النظام مستقرًا من حيث المدخلات والمخرجات (انظر استقرار BIBO ) حتى وإن لم يكن مستقرًا داخليًا. قد يكون هذا هو الحال إذا تم إلغاء الأقطاب غير المستقرة بواسطة الأصفار (أي إذا كانت تلك النقاط الشاذة في دالة التحويل قابلة للإزالة ).

يشترط شرط قابلية التحكم في الحالة إمكانية توجيه الحالات من أي قيمة ابتدائية إلى أي قيمة نهائية خلال فترة زمنية محددة، وذلك  باستخدام مدخلات مقبولة . ويكون نموذج فضاء الحالة الخطي المستمر والثابت زمنيًا قابلاً للتحكم إذا وفقط إذا $${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}\mathbf {B} &\mathbf {A} \mathbf {B} &\mathbf {A} ^{2}\mathbf {B} &\cdots &\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \end{bmatrix}}=n,}$$ حيث يمثل rank عدد الصفوف المستقلة خطيًا في المصفوفة، وحيث n هو عدد متغيرات الحالة.

تُعدّ قابلية الملاحظة مقياسًا لمدى إمكانية استنتاج الحالات الداخلية للنظام من خلال معرفة مخرجاته الخارجية. وتُعتبر قابلية الملاحظة وقابلية التحكم للنظام متقابلتين رياضيًا (أي، كما تُتيح قابلية التحكم إمكانية توفير مدخلات تُؤدي إلى أي حالة ابتدائية وصولًا إلى أي حالة نهائية مرغوبة، تُتيح قابلية الملاحظة إمكانية توفير معلومات كافية للتنبؤ بالحالة الابتدائية للنظام من خلال معرفة مسار المخرجات).

يكون نموذج فضاء الحالة الخطي المستمر والثابت مع الزمن قابلاً للملاحظة إذا وفقط إذا $${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}\mathbf {C} \\\mathbf {C} \mathbf {A} \\\vdots \\\mathbf {C} \mathbf {A} ^{n-1}\end{bmatrix}}=n.}$$

يمكن اشتقاق " دالة النقل " لنموذج فضاء الحالة الخطي المستمر والثابت مع الزمن بالطريقة التالية:

أولاً، بأخذ تحويل لابلاس لـ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$$

العائد $${\displaystyle s\mathbf {X} (s)-\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (s)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s).}$$ بعد ذلك، نقوم بالتبسيط لـ${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$، إعطاء $${\displaystyle (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )\mathbf {X} (s)=\mathbf {x} (0)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s)}$$ وبالتالي $${\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s).}$$

بديل عن${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$في معادلة المخرجات

$${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} \mathbf {X} (s)+\mathbf {D} \mathbf {U} (s),}$$ أعطِ $${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} ((s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s))+\mathbf {D} \mathbf {U} (s).}$$

بافتراض شروط ابتدائية صفرية${\displaystyle \mathbf {x} (0)=\mathbf {0} }$وفي نظام ذي مدخل واحد ومخرج واحد (SISO) ، تُعرَّف دالة التحويل بأنها نسبة المخرج إلى المدخل${\displaystyle G(s)=Y(s)/U(s)}$أما بالنسبة لنظام متعدد المدخلات والمخرجات (MIMO) ، فإن هذه النسبة غير مُعرَّفة. لذلك، وبافتراض شروط ابتدائية صفرية، تُشتق مصفوفة دالة التحويل من$${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)}$$

باستخدام طريقة مساواة المعاملات التي ينتج عنها

$${\displaystyle \mathbf {G} (s)=\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} .}$$

بالتالي،${\displaystyle \mathbf {G} (s)}$هي مصفوفة ذات بُعد${\displaystyle q\times p}$تحتوي هذه المصفوفة على دوال نقل لكل تركيبة من المدخلات والمخرجات. ونظرًا لبساطة هذه الصيغة المصفوفية، يُستخدم تمثيل فضاء الحالة عادةً للأنظمة متعددة المدخلات والمخرجات. وتُوفر مصفوفة نظام روزنبروك جسرًا بين تمثيل فضاء الحالة ودالة نقله .

يمكن بسهولة تحويل أي دالة نقل معينة تكون مناسبة تمامًا إلى فضاء الحالة من خلال النهج التالي (هذا المثال لنظام رباعي الأبعاد، ذو مدخل واحد ومخرج واحد):

بفرض وجود دالة تحويل، قم بتوسيعها لإظهار جميع المعاملات في كل من البسط والمقام. يجب أن ينتج عن ذلك الشكل التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} (s)&={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}\\\\&={\frac {n_{1}s^{-1}+n_{2}s^{-2}+n_{3}s^{-3}+n_{4}s^{-4}}{1+d_{1}s^{-1}+d_{2}s^{-2}+d_{3}s^{-3}+d_{4}s^{-4}}}\ .\end{aligned}}}$$

يمكن الآن إدخال المعاملات مباشرة في نموذج فضاء الحالة باتباع النهج التالي: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-d_{4}&-d_{3}&-d_{2}&-d_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$

$${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}n_{4}&n_{3}&n_{2}&n_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t).}$$

يُطلق على هذا التحقيق في فضاء الحالة اسم الشكل القانوني القابل للتحكم لأن النموذج الناتج مضمون أن يكون قابلاً للتحكم (أي، لأن التحكم يدخل في سلسلة من المكاملات، فإنه يمتلك القدرة على تحريك كل حالة).

يمكن أيضًا استخدام معاملات دالة التحويل لإنشاء نوع آخر من الأشكال القانونية $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}0&0&0&-d_{4}\\1&0&0&-d_{3}\\0&1&0&-d_{2}\\0&0&1&-d_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}n_{4}\\n_{3}\\n_{2}\\n_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t).}$$

يُطلق على هذا التحقيق في فضاء الحالة اسم الشكل القانوني القابل للملاحظة لأن النموذج الناتج مضمون أن يكون قابلاً للملاحظة (أي، لأن المخرجات تخرج من سلسلة من المكاملات، فإن لكل حالة تأثير على المخرجات).

يمكن أيضاً تحقيق دوال التحويل التي تكون مناسبة فقط (وليست مناسبة تماماً ) بسهولة تامة. يكمن السر هنا في فصل دالة التحويل إلى جزأين: جزء مناسب تماماً وجزء ثابت. $${\displaystyle \mathbf {G} (s)=\mathbf {G} _{\mathrm {SP} }(s)+\mathbf {G} (\infty ).}$$

يمكن بعد ذلك تحويل دالة النقل الصحيحة تمامًا إلى تمثيل قياسي في فضاء الحالة باستخدام التقنيات الموضحة أعلاه. ويكون تمثيل فضاء الحالة للثابت بديهيًا.${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {G} (\infty )\mathbf {u} (t)}$. معًا نحصل بعد ذلك على تحقيق فضاء الحالة مع المصفوفات A و B و C التي يتم تحديدها بواسطة الجزء المناسب تمامًا، والمصفوفة D التي يتم تحديدها بواسطة الثابت.

إليك مثال لتوضيح الأمور قليلاً: $${\displaystyle \mathbf {G} (s)={\frac {s^{2}+3s+3}{s^{2}+2s+1}}={\frac {s+2}{s^{2}+2s+1}}+1}$$ مما ينتج عنه التحقيق القابل للتحكم التالي $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}-2&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$ لاحظ كيف يعتمد الناتج أيضًا بشكل مباشر على المدخلات. ويعود ذلك إلى${\displaystyle \mathbf {G} (\infty )}$ثابت في دالة التحويل.

تتمثل إحدى الطرق الشائعة للتغذية الراجعة في ضرب المخرجات بمصفوفة K وتعيين هذه المصفوفة كمدخل للنظام:${\displaystyle \mathbf {u} (t)=K\mathbf {y} (t)}$بما أن قيم K غير مقيدة، يمكن بسهولة عكس قيمها في حالة التغذية الراجعة السلبية . إن وجود علامة السالب (الرمز الشائع) هو مجرد رمز، ولا يؤثر غيابها على النتائج النهائية.

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$$

يصبح

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+BK\mathbf {y} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+DK\mathbf {y} (t)}$$

حل معادلة المخرجات لـ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$وبالتعويض في معادلة الحالة ينتج عنه

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I-DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)}$$

تكمن ميزة هذا في إمكانية التحكم في القيم الذاتية للمصفوفة A عن طريق ضبط قيمة K بشكل مناسب من خلال تحليل القيم الذاتية للمصفوفة A.${\displaystyle \left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)}$يفترض هذا أن النظام ذو الحلقة المغلقة قابل للتحكم أو أن القيم الذاتية غير المستقرة لـ A يمكن جعلها مستقرة من خلال الاختيار المناسب لـ K.

بالإضافة إلى التغذية الراجعة، هناك مدخلات أخرى،${\displaystyle r(t)}$، ويمكن إضافتها بحيث${\displaystyle \mathbf {u} (t)=-K\mathbf {y} (t)+\mathbf {r} (t)}$.

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$$

يصبح

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)-BK\mathbf {y} (t)+B\mathbf {r} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)-DK\mathbf {y} (t)+D\mathbf {r} (t)}$$

حل معادلة المخرجات لـ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$وبالتعويض في معادلة الحالة ينتج عنه

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BK\left(I+DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)+B\left(I-K\left(I+DK\right)^{-1}D\right)\mathbf {r} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I+DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)+\left(I+DK\right)^{-1}D\mathbf {r} (t)}$$

إحدى التبسيطات الشائعة لهذا النظام هي حذف D ، مما يقلل المعادلات إلى

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BKC\right)\mathbf {x} (t)+B\mathbf {r} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)}$$

النظام الخطي الكلاسيكي هو نظام حركة جسم في بُعد واحد (مثل عربة). قوانين نيوتن للحركة لجسم يتحرك أفقيًا على مستوى ومثبت بجدار بواسطة نابض:

$${\displaystyle m{\ddot {y}}(t)=u(t)-b{\dot {y}}(t)-ky(t)}$$

أين

• ${\displaystyle y(t)}$هو الموقع؛${\displaystyle {\dot {y}}(t)}$هي السرعة؛${\displaystyle {\ddot {y}}(t)}$التسارع
• ${\displaystyle u(t)}$هي قوة مطبقة
• ${\displaystyle b}$معامل الاحتكاك اللزج
• ${\displaystyle k}$ثابت الزنبرك
• ${\displaystyle m}$كتلة الجسم

ستصبح معادلة الحالة حينها

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}(t)\\{\dot {\mathbf {x} }}_{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}(t)\\\mathbf {x} _{2}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {x_{1}} (t)\\\mathbf {x_{2}} (t)\end{matrix}}\right]}$$

أين

• ${\displaystyle x_{1}(t)}$يمثل موضع الجسم
• ${\displaystyle x_{2}(t)={\dot {x}}_{1}(t)}$هي سرعة الجسم
• ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)={\ddot {x}}_{1}(t)}$هو تسارع الجسم
• الناتج${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$هو موضع الجسم

ثم يصبح اختبار قابلية التحكم

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{m}}\\{\frac {1}{m}}&-{\frac {b}{m^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

والتي تتمتع برتبة كاملة للجميع${\displaystyle b}$و${\displaystyle m}$وهذا يعني أنه إذا كانت الحالة الأولية للنظام معروفة (${\displaystyle y(t)}$،${\displaystyle {\dot {y}}(t)}$،${\displaystyle {\ddot {y}}(t)}$), وإذا كان${\displaystyle b}$و${\displaystyle m}$إذا كانت ثوابت، فهناك قوة${\displaystyle u}$وهذا من شأنه أن ينقل العربة إلى أي موضع آخر في النظام.

ثم يصبح اختبار قابلية الملاحظة

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\\CA\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$

والذي يتمتع أيضاً برتبة كاملة. لذلك، فإن هذا النظام قابل للتحكم والمراقبة.

النظام غير الخطي الكلاسيكي هو بندول بسيط غير مُجبر

$${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}(t)=-m\ell g\sin \theta (t)-k\ell {\dot {\theta }}(t)}$$

أين

• ${\displaystyle \theta (t)}$هي زاوية البندول بالنسبة لاتجاه الجاذبية
• ${\displaystyle m}$كتلة البندول (يفترض أن كتلة قضيب البندول تساوي صفرًا)
• ${\displaystyle g}$هو التسارع الجاذبي
• ${\displaystyle k}$معامل الاحتكاك عند نقطة الارتكاز
• ${\displaystyle \ell }$يمثل نصف قطر البندول (إلى مركز ثقل الكتلة)${\displaystyle m}$)

وتكون معادلات الحالة بعد ذلك

$${\displaystyle {\dot {x}}_{1}(t)=x_{2}(t)}$$$${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)=-{\frac {g}{\ell }}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m\ell }}{x_{2}}(t)}$$

أين

• ${\displaystyle x_{1}(t)=\theta (t)}$هي زاوية البندول
• ${\displaystyle x_{2}(t)={\dot {x}}_{1}(t)}$هي السرعة الدورانية للبندول
• ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}={\ddot {x}}_{1}}$يمثل التسارع الدوراني للبندول

بدلاً من ذلك، يمكن كتابة معادلة الحالة بالشكل العام

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\end{bmatrix}}=\mathbf {f} (t,x(t))={\begin{bmatrix}x_{2}(t)\\-{\frac {g}{\ell }}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m\ell }}{x_{2}}(t)\end{bmatrix}}.}$$

تكون نقاط التوازن / الاستقرار لنظام ما عندما${\displaystyle {\dot {x}}=0}$وبالتالي فإن نقاط توازن البندول هي تلك التي تحقق

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n\pi \\0\end{bmatrix}}}$$

بالنسبة للأعداد الصحيحة n .