ميكانيكا الكم العشوائية

ميكانيكا الكم العشوائية هي إطار لوصف ديناميكيات الجسيمات الخاضعة لعمليات عشوائية داخلية، بالإضافة إلى قوى خارجية متنوعة. يوفر هذا الإطار اشتقاقًا لمعادلات الانتشار المرتبطة بهذه الجسيمات العشوائية. وتشتهر ميكانيكا الكم العشوائية باشتقاقها لمعادلة شرودنغر، المعروفة أيضًا بمعادلة كولموغوروف، لنوع معين من الانتشار المحافظ (أو الوحدوي). ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يمكن أن يستند الاشتقاق إلى تعظيم الفعل بالاقتران مع وصفة تكميم . ^{[ 2 ]} يمكن مقارنة وصفة التكميم هذه بالتكميم الكلاسيكي وصياغة التكامل المساري ، ويُشار إليها غالبًا باسم تكميم نيلسون العشوائي أو العشوائية. ^{[ 3 ]} بما أن النظرية تسمح باشتقاق معادلة شرودنغر، فقد أدت إلى ظهور التفسير العشوائي لميكانيكا الكم. وقد شكّل هذا التفسير الدافع الرئيسي لتطوير نظرية الميكانيكا العشوائية. ^{[ 1 ]}

في ثلاثينيات القرن العشرين، أدرك كلٌ من إرفين شرودنغر وراينهولد فورث وجود تشابه بين معادلات الانتشار الكلاسيكي وصيغة نظرية الكم، إلا أن أول نظرية عشوائية متماسكة نسبيًا لميكانيكا الكم طُرحت عام ١٩٤٦ على يد الفيزيائي المجري إيمري فينيس . ^{[ ٤ ] [ ٥ ] [ ٦ ] [ ٧ ]} شعر لويس دي بروي ^{[ ٨ ]} بضرورة دمج عملية عشوائية كامنة في ميكانيكا الكم لجعل الجسيمات تنتقل من موجة مرجعية إلى أخرى. ^{[ ٧ ]} تُنسب نظرية ميكانيكا الكم العشوائية إلى إدوارد نيلسون ، الذي اكتشف بشكل مستقل اشتقاقًا لمعادلة شرودنغر ضمن هذا الإطار. ^{[ ١ ] [ ٢ ]} كما طوّر هذه النظرية كلٌ من ديفيدسون، وغيرا ، وروجييرو، وبافون، وآخرون. ^{[ ٧ ]}

يُفسر التفسير العشوائي المسارات في صياغة التكامل المساري لميكانيكا الكم على أنها مسارات عينة لعملية عشوائية . ^{[ 9 ]} ويفترض هذا التفسير أن الجسيمات الكمومية تتمركز على أحد هذه المسارات، لكن لا يستطيع المراقبون التنبؤ بدقة بمكان تمركز الجسيم. والطريقة الوحيدة لتحديد موقع الجسيم هي إجراء قياس. ولا يستطيع المراقب إلا التنبؤ باحتمالات نتائج هذا القياس بناءً على قياساته السابقة ومعرفته بالقوى المؤثرة على الجسيم.

هذا التفسير معروف جيدًا في سياق الميكانيكا الإحصائية ، ^{[ 9 ]} وحركة براون على وجه الخصوص. لذا، وفقًا للتفسير العشوائي، ينبغي تفسير ميكانيكا الكم بطريقة مشابهة لحركة براون. ^{[ 1 ]} مع ذلك، في حالة حركة براون، فإن وجود مقياس احتمالي (يُسمى مقياس وينر ^{[ 10 ]} ) يُحدد التكامل المساري الإحصائي أمرٌ راسخ، ويمكن توليد هذا المقياس بواسطة عملية عشوائية تُسمى عملية وينر . ^{[ 11 ]} من ناحية أخرى، يواجه إثبات وجود مقياس احتمالي يُحدد التكامل المساري في ميكانيكا الكم صعوبات، ^{[ 12 ] [ 13 ]} وليس من المؤكد إمكانية توليد مثل هذا المقياس الاحتمالي بواسطة عملية عشوائية. الميكانيكا العشوائية هي الإطار المعني ببناء مثل هذه العمليات العشوائية التي تُولد مقياسًا احتماليًا لميكانيكا الكم.

في الحركة البراونية ، من المعروف أن التقلبات الإحصائية للجسيم البراوني غالبًا ما تنتج عن تفاعله مع عدد كبير من الجسيمات المجهرية. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} في هذه الحالة، يُستخدم وصف الحركة البراونية باستخدام عملية وينر كتقريب فقط، متجاهلاً ديناميكيات الجسيمات الفردية في الخلفية. وبدلاً من ذلك، يصف تأثير هذه الجسيمات الخلفية من خلال سلوكها الإحصائي.

لا يُحدد التفسير العشوائي لميكانيكا الكم أصل التقلبات الكمومية للجسيم الكمومي. فهو يُقدم هذه التقلبات كنتيجة لقانون عشوائي جديد في الطبيعة يُسمى فرضية الخلفية. ^{[ 2 ]} يمكن تفسير هذه الفرضية على أنها تطبيق دقيق لمقولة "الله يلعب النرد"، لكنها تُبقي الباب مفتوحًا أمام إمكانية استبدال هذه اللعبة بنظرية المتغيرات الخفية، كما هو الحال في نظرية الحركة البراونية. ^{[ 18 ]}

يتناول الجزء المتبقي من هذه المقالة تعريف هذه العملية واشتقاق معادلات الانتشار المرتبطة بها. ويتم ذلك في إطار عام مع اعتبار الحركة البراونية وميكانيكا الكم حدودًا خاصة، حيث نحصل على معادلة الحرارة ومعادلة شرودنغر على التوالي . ويعتمد الاشتقاق بشكل كبير على أدوات من ميكانيكا لاغرانج وحساب التفاضل والتكامل العشوائي .

يمكن تلخيص مسلمات النظرية في شرط التكميم العشوائي الذي صاغه نيلسون. ^{[ 2 ]} بالنسبة لنظرية غير نسبية حول${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ينص هذا الشرط على ما يلي: ^{[ 19 ]}

• يتم وصف مسار الجسيم الكمومي بواسطة الإسقاط الحقيقي لشبه مارتينجال معقد :${\displaystyle X(t)={\rm {Re}}[Z(t)]}$مع${\displaystyle Z(t)=C(t)+M(t)}$، أين${\displaystyle C(t)}$هي عملية تغير محدود مستمر و${\displaystyle M(t)}$هو مارتينجال معقد ،
• يُحسّن المسار بشكل عشوائي الفعل${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L\,dt\right]}$،
• المارتينجال​${\displaystyle M(t)}$هي عملية مستمرة ذات زيادات مستقلة وعزوم محدودة . علاوة على ذلك، فإن تغيرها التربيعي محدد بعلاقة البنية.${\displaystyle d[M^{i},M^{j}]={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}\,dt}$أين${\displaystyle m}$كتلة الجسيم،${\displaystyle \hbar }$ثابت بلانك المختزل ،${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{{\rm {i}}\phi }\in \mathbb {C} }$ثابت بلا أبعاد، و${\displaystyle \delta ^{ij}}$دلتا كرونكر ، ^{[ 20 ]}
• توجد عملية معكوسة زمنياً وتخضع لنفس القوانين الديناميكية.

باستخدام التفكيك${\displaystyle Z=X+{\rm {i}}\,Y}$وحقيقة أن${\displaystyle C}$إذا كان للدالة تباين محدود، فإن التباين التربيعي لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d[X^{i},X^{j}]&d[X^{i},Y^{j}]\\d[Y^{i},X^{j}]&d[Y^{i},Y^{j}]\end{pmatrix}}={\frac {|\alpha |\,\hbar }{2\,m}}\,\delta ^{ij}\,{\begin{pmatrix}1+\cos \phi &\sin \phi \\\sin \phi &1-\cos \phi \end{pmatrix}}\,dt}$

وبالتالي، من خلال توصيف ليفي للحركة البراونية،${\displaystyle X(t)}$و${\displaystyle Y(t)}$صف عمليتين مترابطتين من عمليات وينر مع انجراف موصوف بعملية التباين المحدود${\displaystyle C(t)}$ثابت انتشار يتناسب مع${\displaystyle |\alpha |\in [0,\infty )}$وارتباط يعتمد على الزاوية${\displaystyle \phi }$تكون العمليات مترابطة إلى أقصى حد في الحد الكمي، وترتبط بـ${\displaystyle \phi \in \left\{-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right\}}$ومقابل ذلك${\displaystyle \alpha \in {\rm {i}}\times \mathbb {R} }$بينما لا توجد علاقة بينهما في حالة الحد البراوني، المرتبطة بـ${\displaystyle \phi \in \{0,\pi \}}$ومقابل ذلك${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$،

استُخدم مصطلح التكميم العشوائي لوصف عملية التكميم هذه في سبعينيات القرن العشرين. ^{[ 21 ]} أما اليوم، فيُشير مصطلح التكميم العشوائي بشكل أكثر شيوعًا إلى إطار عمل طوره باريسي وو في عام 1981. ونتيجةً لذلك، يُشار أحيانًا إلى عملية التكميم المُطورة في الميكانيكا العشوائية باسم تكميم نيلسون العشوائي أو التكميم العشوائي. ^{[ 3 ]}

العملية العشوائية${\displaystyle Z(t)}$من شبه المؤكد أنها غير قابلة للتفاضل في أي مكان، بحيث تكون السرعة${\displaystyle {\dot {Z}}(t)={\frac {dZ(t)}{dt}}}$إن مسار العملية غير محدد بدقة. ومع ذلك، توجد حقول سرعة، تُعرَّف باستخدام التوقعات الشرطية. ويتم تحديدها بواسطة

${\displaystyle w_{+}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {Z(t+dt)-Z(t)}{dt}}\,{\Big |}\,X(t)=x\right],}$

${\displaystyle w_{-}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {Z(t)-Z(t-dt)}{dt}}\,{\Big |}\,X(t)=x\right],}$ويمكن ربطها بتكامل إيتو على طول العملية${\displaystyle Z(t)}$بما أن العملية غير قابلة للتفاضل، فإن هذه السرعات، بشكل عام، لا تتساوى. والتفسير الفيزيائي لهذه الحقيقة هو كما يلي: في أي لحظة${\displaystyle t}$يتعرض الجسيم لقوة عشوائية تغير سرعته بشكل فوري من${\displaystyle w_{-}}$ل${\displaystyle w_{+}}$بما أن حقلي السرعة غير متساويين، فلا يوجد مفهوم فريد للسرعة لهذه العملية.${\displaystyle Z(t)}$في الواقع، أي سرعة معطاة بواسطة

${\displaystyle w_{a}=a\ w_{+}+(1-a)\ w_{-}}$

مع${\displaystyle a\in [0,1]}$يمثل هذا خيارًا صحيحًا لسرعة العملية${\displaystyle Z(t)}$وينطبق هذا بشكل خاص على الحالة الخاصة.${\displaystyle a={\frac {1}{2}}}$يرمز إليه بـ${\displaystyle w_{\circ }={\frac {w_{+}+w_{-}}{2}}}$، والذي يمكن ربطه بتكامل ستراتونوفيتش على طول${\displaystyle Z(t)}$.

منذ${\displaystyle Z(t)}$إذا كان له تغير تربيعي غير معدوم ، فيمكن أيضًا تعريف حقول سرعة من الدرجة الثانية معطاة بواسطة

${\displaystyle w_{2,+}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {[Z(t+dt)-Z(t)]\otimes [Z(t+dt)-Z(t)]}{dt}}\ {\Big |}\ X(t)=x\right],}$

${\displaystyle w_{2,-}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {[Z(t)-Z(t-dt)]\otimes [Z(t)-Z(t-dt)]}{dt}}\ {\Big |}\ X(t)=x\right].}$

تفرض فرضية انعكاس الزمن علاقة بين هذين المجالين بحيث${\displaystyle w_{2,\pm }=\pm \,w_{2}}$علاوة على ذلك، باستخدام علاقة البنية التي يتم من خلالها تحديد التغير التربيعي، نجد أن${\displaystyle w_{2}^{ij}(x,t)={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}}$ويترتب على ذلك أنه في صيغة ستراتونوفيتش، يتلاشى الجزء من الدرجة الثانية للسرعة، أي${\displaystyle w_{2,\circ }=0}$.

يُرمز إلى الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من السرعات بـ

${\displaystyle v={\rm {Re}}(w)\qquad {\rm {and}}\qquad u={\rm {Im}}(w)\,.}$

باستخدام وجود حقول السرعة هذه، يمكن تعريف عمليات السرعة بشكل رسمي${\displaystyle W_{\pm }(t)}$بواسطة إيتو المتكاملة${\displaystyle \int W_{\pm }(t)\ dt=\int d_{\pm }Z(t)}$وبالمثل، يمكن تعريف عملية ما بشكل رسمي${\displaystyle W_{\circ }(t)}$بواسطة تكامل ستراتونوفيتش${\displaystyle \int W_{\circ }(t)\ dt=\int d_{\circ }Z(t)}$وعملية سرعة من الدرجة الثانية${\displaystyle W_{2}(t)}$بواسطة تكامل ستيلتجس${\displaystyle \int W_{2}(t)\ dt=\int d[Z,Z](t)}$باستخدام علاقة البنية، نجد أن عملية السرعة من الدرجة الثانية معطاة بـ${\displaystyle W_{2}^{ij}(t)={\frac {\alpha \ \hbar }{m}}\ \delta ^{ij}}$ومع ذلك، فإن العمليات${\displaystyle W_{\pm }(t)}$و${\displaystyle W_{\circ }(t)}$ليست محددة جيدًا: اللحظات الأولى موجودة ويتم تحديدها بواسطة${\displaystyle \mathbb {E} [W_{\pm }(t)\ |\ X(t)]=w_{\pm }(X(t),t)}$لكن العزوم التربيعية تتباعد، أي${\displaystyle \mathbb {E} [||W_{\pm }(t)||^{2}\ |\ X(t)]=\infty }$التفسير الفيزيائي لهذا التباين هو أنه في تمثيل الموضع يكون الموضع معروفًا بدقة، لكن السرعة لديها عدم يقين لا نهائي.

ينص شرط التكميم العشوائي على أن المسار العشوائي يجب أن يحقق أقصى قيمة لفعل عشوائي${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L\,dt\right]}$، لكنه لا يحدد لاغرانجيان العشوائي${\displaystyle L}$يمكن الحصول على هذه الدالة اللاغرانجية من دالة لاغرانجية كلاسيكية باستخدام إجراء قياسي. هنا، نعتبر دالة لاغرانجية كلاسيكية على الشكل التالي:

${\displaystyle L(x,v,t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+q\,A_{i}(x,t)\,v^{i}-{\mathfrak {U}}(x,t).}$

هنا،${\displaystyle (x,v)}$هي إحداثيات في فضاء الطور ( حزمة المماس )،${\displaystyle \delta _{ij}}$دالة كرونكر دلتا تصف المقياس على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$،${\displaystyle m}$يرمز إلى كتلة الجسيم،${\displaystyle q}$الشحنة تحت الجهد الشعاعي${\displaystyle A}$، و${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$هو جهد قياسي. علاوة على ذلك، يُفترض استخدام اصطلاح جمع أينشتاين .

من الخصائص المهمة لهذا اللاغرانجي مبدأ ثبات القياس . ويمكن توضيح ذلك بتعريف فعل جديد.${\displaystyle {\tilde {S}}}$من خلال إضافة حد مشتق كلي إلى الفعل الأصلي، بحيث

${\displaystyle {\tilde {S}}[x(t)]=S[x(t)]+\int dF(x,t)=\int \left[{\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+qA_{i}v^{i}-{\mathfrak {U}}+\partial _{t}F+v^{i}\partial _{i}F\right]dt=\int \left[{\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+q{\tilde {A}}_{i}v^{i}-{\tilde {\mathfrak {U}}}\right]dt,}$

أين${\displaystyle {\tilde {A}}_{i}=A_{i}+q^{-1}\partial _{i}F}$و${\displaystyle {\tilde {\mathfrak {U}}}={\mathfrak {U}}-\partial _{t}F}$وبالتالي، بما أن الديناميكيات لا تتأثر بإضافة مشتقة كلية إلى الفعل، فإن الفعل يظل ثابتًا بالنسبة للمقياس في ظل إعادة تعريف الكمونات المذكورة أعلاه لدالة قابلة للتفاضل بشكل عشوائي${\displaystyle F}$.

لإنشاء لاغرانجي عشوائي يُطابق هذا اللاغرانجي الكلاسيكي، يجب البحث عن امتداد أدنى للاغرانجي المذكور أعلاه يحافظ على ثبات القياس هذا. ^{[ 22 ]} في صياغة ستراتونوفيتش للنظرية، يمكن القيام بذلك مباشرةً، لأن المؤثر التفاضلي في صياغة ستراتونوفيتش يُعطى بواسطة

${\displaystyle \int d_{\circ }F(x,t)=\int \left(\partial _{t}F+v_{\circ }^{i}\partial _{i}F\right)dt\,.}$

لذلك، يمكن الحصول على لاغرانجيان ستراتونوفيتش عن طريق استبدال السرعة الكلاسيكية${\displaystyle v}$بواسطة السرعة المركبة${\displaystyle w_{\circ }}$بحيث

${\displaystyle L_{\circ }(x,w_{\circ },t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}w_{\circ }^{i}w_{\circ }^{j}+qA_{i}w_{\circ }^{i}-{\mathfrak {U}}\,.}$

في صيغة إيتو، تصبح الأمور أكثر تعقيداً، حيث يتم إعطاء المشتقة الكلية بواسطة ليمّة إيتو :${\displaystyle \int d_{\pm }F(x,t)=\int \left(\partial _{t}F+v_{\pm }^{i}\partial _{i}F\pm {\frac {1}{2}}v_{2}^{ij}\partial _{j}\partial _{i}F\right)dt\,.}$

بسبب وجود حد المشتقة من الرتبة الثانية، ينكسر ثبات القياس. ومع ذلك، يمكن استعادة هذا الثبات بإضافة مشتقة الكمون الشعاعي إلى لاغرانجيان. وبالتالي، يُعطى لاغرانجيان العشوائي بلاغرانجيان على الصورة التالية:

${\displaystyle L_{\pm }(x,w_{\pm },w_{2},t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}w_{\pm }^{i}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}w_{\pm }^{i}\pm {\frac {q}{2}}\partial _{j}A_{i}w_{2}^{ij}-{\mathfrak {U}}\,.}$

يمكن تعريف الفعل العشوائي باستخدام لاغرانجيان ستراتونوفيتش، وهو يساوي الفعل المحدد بواسطة لاغرانجيان إيتو حتى حد متباعد: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle S=\mathbb {E} \left[\int L_{\circ }\,dt\right]=\mathbb {E} \left[\int L_{\pm }dt\right]\pm \mathbb {E} \left[\int L_{\infty }dt\right]\,.}$

يمكن حساب الحد المتباعد ويُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int L_{\infty }dt\right]={\frac {m}{2}}\oint _{\gamma }{\frac {\delta _{ij}w_{2}^{ij}}{t}}dt=\alpha \,\hbar \,\pi \,{\rm {i}}\,\sum _{i=1}^{n}k_{i},}$

أين${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$هي أرقام متعرجة تحسب مدى تعرج المسار${\displaystyle \gamma (t)}$حول العمود عند${\displaystyle t=0}$[ ^{23 ]​}

بما أن الحد المتباعد ثابت، فإنه لا يُسهم في معادلات الحركة. ولهذا السبب، تم إهمال هذا الحد في الدراسات المبكرة للميكانيكا العشوائية. ^{[ 2 ]} مع ذلك، عند إهمال هذا الحد، لا تستطيع الميكانيكا العشوائية تفسير ظهور الأطياف المنفصلة في ميكانيكا الكم. تُعرف هذه المشكلة بنقد والستروم، ^{[ 24 ] [ 25 ]} ويمكن حلها من خلال مراعاة الحد المتباعد بشكل صحيح.

يوجد أيضًا صياغة هاميلتونية للميكانيكا العشوائية. ^{[ 22 ] [ 26 ]} وهي تبدأ من تعريف الزخم الكنسي:

${\displaystyle p_{\circ ,i}={\frac {\partial L_{\circ }}{\partial w_{\circ }^{i}}}=m\,\delta _{ij}w_{\circ }^{j}+q\,A_{i}\,,}$

${\displaystyle p_{\pm ,i}={\frac {\partial L_{\pm }}{\partial w_{\pm }^{i}}}=m\,\delta _{ij}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}\,.}$

يمكن بعد ذلك الحصول على الهاميلتوني في صيغة ستراتونوفيتش عن طريق تحويل ليجندر من الدرجة الأولى :

${\displaystyle H_{\circ }(x,p_{\circ },t)=p_{\circ ,i}v_{\circ }^{i}-L(x,v_{\circ },t)\,.}$

من ناحية أخرى، في صياغة إيتو، يتم الحصول على الهاميلتوني من خلال تحويل ليجندر من الدرجة الثانية: ^{[ 27 ]}

${\displaystyle H_{\pm }(x,p^{\pm },\partial p^{\pm },t)=p_{i}^{\pm }w_{\pm }^{i}\pm {\frac {1}{2}}w_{2}^{ij}\partial p_{ij}^{\pm }-L(x,w_{\pm },w_{2},t)\,.}$

يمكن إيجاد القيمة القصوى للفعل العشوائي، مما يؤدي إلى صيغة عشوائية لمعادلات أويلر-لاغرانج . في صياغة ستراتونوفيتش، تُعطى هذه المعادلات بواسطة

${\displaystyle \int d_{\circ }\left({\frac {\partial L_{\circ }}{\partial w_{\circ }^{i}}}\right)=\int \left({\frac {\partial L_{\circ }}{\partial x^{i}}}\right)dt\,.}$

بالنسبة للدالة اللاغرانجية، التي نوقشت في القسم السابق، يؤدي هذا إلى معادلة تفاضلية عشوائية من الدرجة الثانية على النحو التالي وفقًا لمعنى ستراتونوفيتش :

${\displaystyle m\,\delta _{ij}\,d_{\circ }^{2}Z^{j}(t)=q\,F_{ij}(X(t),t)\,d_{\circ }Z^{j}(t)\,dt-q\,\partial _{t}A_{i}(X(t),t)\,dt^{2}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}(X(t),t)\,dt^{2}\,,}$

حيث تُعطى شدة المجال بواسطة${\displaystyle F_{ij}:=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}}$. هذه المعادلة بمثابة نسخة عشوائية من قانون نيوتن الثاني .

في صيغة إيتو، تُعطى معادلات أويلر-لاغرانج العشوائية على النحو التالي

${\displaystyle \int d_{\pm }\left({\frac {\partial L_{\pm }}{\partial w_{\pm }^{i}}}\right)=\int \left({\frac {\partial L_{\pm }}{\partial x^{i}}}\right)dt\,.}$

يؤدي هذا إلى معادلة تفاضلية عشوائية من الدرجة الثانية بالمعنى الذي وضعه إيتو ، معطاة بصيغة عشوائية لقانون نيوتن الثاني على النحو التالي:

${\displaystyle m\,\delta _{ij}\,d_{\pm }^{2}Z^{j}(t)=q\,F_{ij}(X(t),t)\,d_{\pm }Z^{j}(t)\,dt\pm {\frac {\alpha \,\hbar \,q}{2\,m}}\,\delta ^{jk}\,\partial _{k}F_{ij}(X(t),t)\,dt^{2}-q\,\partial _{t}A_{i}(X(t),t)\,dt^{2}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}(X(t),t)\,dt^{2}\,.}$

يمكن أيضًا الحصول على معادلات الحركة في تعميم عشوائي لصياغة هاميلتون-جاكوبي للميكانيكا الكلاسيكية. في هذه الحالة، يبدأ المرء بتعريف دالة هاميلتون الرئيسية. بالنسبة لدالة لاغرانج${\displaystyle L_{+}}$تُعرَّف هذه الدالة على النحو التالي:

${\displaystyle S_{+}(x,t;x_{f},t_{f}):=-\mathbb {E} \left[\int _{t}^{t_{f}}L_{+}(X(s),W_{+}(s),W_{2}(s),s)\,ds\,{\Big |}\,X(t)=x,X(t_{f})=x_{f}\right],}$

حيث يُفترض أن العملية${\displaystyle \{X(s):s\in [t,t_{f}]\}}$تخضع لمعادلات أويلر-لاغرانج العشوائية. وبالمثل، بالنسبة للدالة اللاغرانجية${\displaystyle L_{-}}$تُعرَّف دالة هاميلتون الرئيسية على النحو التالي:

${\displaystyle S_{-}(x,t;x_{0},t_{0}):=\mathbb {E} \left[\int _{t_{0}}^{t}L_{-}(X(s),W_{-}(s),W_{2}(s),s)\,ds\,{\Big |}\,X(t)=x,X(t_{0})=x_{0}\right],}$

حيث يُفترض أن العملية${\displaystyle \{X(s):s\in [t_{0},t]\}}$تخضع لمعادلات أويلر-لاغرانج العشوائية. ونظرًا للجزء المتباعد من الفعل، تخضع هذه الدوال الرئيسية لعلاقة التكافؤ.

${\displaystyle {\tilde {S}}_{\pm }\equiv S_{\pm }\;{\rm {if}}\;\exists k\in \mathbb {Z} ^{n},\;{\rm {such\,that}}\;{\tilde {S}}_{\pm }=S_{\pm }\pm \alpha \,\pi \,{\rm {i}}\,\hbar \,\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,.}$

عن طريق تغيير الدوال الرئيسية بالنسبة للنقطة${\displaystyle (x,t)}$يتم إيجاد معادلات هاميلتون-جاكوبي. وهي معطاة بواسطة

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}S_{\pm }(x,t)&=p_{i}^{\pm }(x,t)\,,\\{\frac {\partial }{\partial t}}S_{\pm }(x,t)&=-H_{\pm }(x,p_{\pm }(x,t),\partial p_{\pm }(x,t),t)\,.\end{cases}}}$

لاحظ أن هذه المعادلات تبدو مماثلة للحالة الكلاسيكية. مع ذلك، يُحسب الهاميلتوني في معادلة هاميلتون-جاكوبي الثانية باستخدام تحويل ليجندر من الرتبة الثانية. علاوة على ذلك، ونظرًا للجزء المتباعد من الفعل، توجد معادلة هاميلتون-جاكوبي ثالثة، تأخذ شكل قيد تكاملي غير تافه.

${\displaystyle \oint \left(p_{i}^{\pm }\,v_{\pm }^{i}\pm {\frac {1}{2}}v_{2}^{ij}\,\partial _{i}p_{j}\right)dt=\pm \alpha \,\hbar \,\pi \,{\rm {i}}\,\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,.}$

بالنسبة للدالة اللاغرانجية المعطاة، فإن أول معادلتين من معادلات هاميلتون-جاكوبي تعطيان

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{i}S&=m\,\delta _{ij}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}\,,\\\partial _{t}S&=-{\frac {m}{2}}\,\delta _{ij}w_{\pm }^{i}w_{\pm }^{j}\mp {\frac {m}{2}}\,\delta _{ij}w_{2}^{ik}\partial _{k}w_{\pm }^{j}-{\mathfrak {U}}\,.\end{cases}}}$

يمكن دمج هاتين المعادلتين، مما ينتج عنه

${\displaystyle \left[m\,\delta _{ij}\left(\partial _{t}+w_{\pm }^{k}\partial _{k}\pm {\frac {1}{2}}\,w_{2}^{kl}\partial _{l}\partial _{k}\right)-q\,F_{ij}\right]w_{\pm }^{j}=\pm {\frac {q}{2}}\,w_{2}^{jk}\partial _{k}F_{ij}-q\,\partial _{t}A_{i}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}\,.}$

باستخدام ذلك${\displaystyle w_{2}^{ij}={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}}$، هذه المعادلة، الخاضعة لشرط التكامل والشرط الابتدائي${\displaystyle w_{+}(x,t_{0})=w_{0}(x)}$أو حالة نهائية${\displaystyle w_{-}(x,t_{f})=w_{f}(x)}$يمكن حلها لـ${\displaystyle w_{\pm }(x,t)}$ويمكن بعد ذلك إدخال الحل في معادلة إيتو.

${\displaystyle {\begin{cases}d_{\pm }Z^{i}(t)&=w_{\pm }^{i}(x,t)\,dt+dM^{i}(t)\,,\\d[M^{i},M^{j}](t)&={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\delta ^{ij}\,dt\,,\end{cases}}}$

والتي يمكن حلها في هذه العملية${\displaystyle \{Z(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$وبالتالي، عندما تكون الحالة الأولية${\displaystyle X(t_{0})=x_{0}}$(للمعادلة الموجهة المستقبلية التي تحمل علامة${\displaystyle +}$) أو حالة نهائية${\displaystyle X(t_{f})=x_{f}}$(للمعادلة الموجهة الماضية التي تحمل علامة${\displaystyle -}$إذا تم تحديد ) ، فسيتم العثور على عملية عشوائية فريدة${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$وهذا يصف مسار الجسيم.

تتمثل النتيجة الرئيسية للميكانيكا العشوائية لنيلسون في أنها تستنتج معادلة شرودنغر من العملية العشوائية المفترضة. وفي هذا الاشتقاق، تُستخدم معادلات هاميلتون-جاكوبي.

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}S_{\pm }(x,t)&=p_{i}^{\pm }(x,t)\\{\frac {\partial }{\partial t}}S_{\pm }(x,t)&=-H_{\pm }(x,p_{\pm }(x,t),\partial p_{\pm }(x,t),t)\end{cases}}}$

يتم دمجها، بحيث نحصل على المعادلة

${\displaystyle 2\,m\left(\partial _{t}S_{\pm }+{\mathfrak {U}}\right)+\delta ^{ij}\left(\partial _{i}S_{\pm }\partial _{j}S_{\pm }\pm \alpha \,\hbar \,\partial _{j}\partial _{i}S_{\pm }-2\,q\,A_{i}\partial _{j}S_{\pm }\mp \alpha \,\hbar \,q\,\partial _{j}A_{i}+q^{2}\,A_{i}A_{j}\right)=0\,.}$

بعد ذلك، يتم تعريف الدالة الموجية

${\displaystyle \Psi _{\pm }(x,t)=\exp \left(\pm {\frac {S_{\pm }(x,t)}{\alpha \,\hbar }}\right).}$

بما أن الدوال الرئيسية لهاملتون متعددة القيم، فإن الدوال الموجية تخضع لعلاقات التكافؤ.

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{+}\equiv \Psi _{+}\quad {\rm {if}}\quad {\tilde {\Psi }}_{+}=\pm \Psi _{+}\qquad {\rm {and}}\qquad {\tilde {\Psi }}_{-}\equiv \Psi _{-}\quad {\rm {if}}\quad {\tilde {\Psi }}_{-}=\pm \Psi _{-}\,.}$

علاوة على ذلك، تخضع الدوال الموجية لمعادلات الانتشار المعقدة

${\displaystyle -\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{+}=\left[{\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+q\,A_{i}\right)\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+q\,A_{j}\right)+{\mathfrak {U}}\right]\Psi _{+}\,,}$

${\displaystyle \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{-}=\left[{\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+q\,A_{i}\right)\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+q\,A_{j}\right)+{\mathfrak {U}}\right]\Psi _{-}\,.}$

وبالتالي، لأي عملية تحقق مسلمات الميكانيكا العشوائية، يمكن بناء دالة موجية تخضع لمعادلات الانتشار هذه. وبفضل علاقات التكافؤ على دالة هاميلتون الرئيسية، فإن العكس صحيح أيضًا: لأي حل لمعادلات الانتشار المعقدة هذه، يمكن بناء عملية عشوائية.${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$هذا حلٌّ لمسلمات الميكانيكا العشوائية. وقد تم التوصل إلى نتيجة مماثلة من خلال نظرية فاينمان-كاك .

وأخيرًا، يمكن للمرء أن يبني دالة كثافة احتمالية

${\displaystyle \rho _{\pm }(x,t):={\frac {|\Psi _{\pm }(x,t)|^{2}}{\int |\Psi _{\pm }(y,t)|^{2}d^{n}y}}\,,}$

والتي تصف احتمالات الانتقال للعملية${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$وبشكل أدق،${\displaystyle \rho _{+}}$يصف احتمالية التواجد في الحالة${\displaystyle (x,t)}$بافتراض أن النظام ينتهي في الحالة${\displaystyle (x_{f},t_{f})}$لذلك، فإن معادلة الانتشار لـ${\displaystyle \Psi _{+}}$يمكن تفسيرها على أنها معادلة كولموغوروف العكسية للعملية${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$. بصورة مماثلة، ${\displaystyle \rho _{-}}$يصف احتمالية التواجد في الحالة${\displaystyle (x,t)}$بافتراض أن النظام ينتهي في الحالة${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$، عندما يتم تطويرها عكسيًا في الزمن. لذلك، فإن معادلة الانتشار لـ${\displaystyle \Psi _{-}}$يمكن تفسيرها على أنها معادلة كولموغوروف العكسية للعملية${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$عندما يتطور نحو الماضي. بعكس اتجاه الزمن، يجد المرء أن${\displaystyle \rho _{-}}$يصف احتمالية التواجد في الحالة${\displaystyle (x,t)}$بافتراض أن النظام يبدأ في الحالة${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$، عندما يتطور مع مرور الوقت. وبالتالي، فإن معادلة الانتشار لـ${\displaystyle \Psi _{-}}$ويمكن تفسيرها أيضًا على أنها معادلة كولموغوروف الأمامية للعملية${\displaystyle \{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}}$عندما يتطور نحو المستقبل.