نسبة مساحة السطح إلى الحجم

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 24 صور
الموسوعة الحرة
رسوم بيانية توضح العلاقة بين مساحة السطح ( A) والحجم (V) للأجسام الأفلاطونية والكرة، مبينةً أن مساحة السطح تتناقص مع ازدياد استدارة الشكل، وأن نسبة مساحة السطح إلى الحجم تتناقص مع ازدياد الحجم. وتشير نقاط تقاطع هذه الرسوم مع الخطوط المتقطعة إلى أنه عندما يزداد الحجم بمقدار 8 (2³) أضعاف، تزداد مساحة السطح بمقدار 4 (2²) أضعاف.

نسبة مساحة السطح إلى الحجم أو نسبة السطح إلى الحجم (يشار إليها بـ SA:V أو SA/V أو sa/vol ) هي النسبة بين مساحة السطح وحجم جسم أو مجموعة من الأجسام.

نسبة المساحة السطحية إلى الحجم (SA:V) مفهومٌ هام في العلوم والهندسة. تُستخدم هذه النسبة لشرح العلاقة بين البنية والوظيفة في العمليات التي تحدث عبر السطح والحجم . من الأمثلة الجيدة على هذه العمليات العمليات التي تحكمها معادلة الحرارة ، [ 1 ] أي الانتشار وانتقال الحرارة بالتوصيل الحراري . [ 2 ] تُستخدم نسبة المساحة السطحية إلى الحجم لشرح انتشار الجزيئات الصغيرة، مثل الأكسجين وثاني أكسيد الكربون ، بين الهواء والدم والخلايا، [ 3 ] وفقدان الماء من قِبل الحيوانات، [ 4 ] وتكوين البكتيريا، [ 5 ] وتنظيم درجة حرارة الكائنات الحية ، [ 6 ] وتصميم أنسجة العظام الاصطناعية، [ 7 ] والرئتين الاصطناعيتين ، [ 8 ] والعديد من التراكيب البيولوجية والتقنية الحيوية الأخرى. لمزيد من الأمثلة، انظر Glazier. [ 9 ]

تُفسَّر العلاقة بين نسبة مساحة السطح إلى الحجم (SA:V) ومعدل الانتشار أو التوصيل الحراري من منظور التدفق والسطح، مع التركيز على سطح الجسم باعتباره المكان الذي يحدث فيه الانتشار أو التوصيل الحراري. أي أنه كلما زادت نسبة SA:V، زادت مساحة السطح لكل وحدة حجم التي يمكن للمادة أن تنتشر من خلالها، وبالتالي، يكون الانتشار أو التوصيل الحراري أسرع. ويظهر تفسير مشابه في المراجع: "يشير صغر الحجم إلى نسبة كبيرة بين مساحة السطح والحجم، مما يساعد على زيادة امتصاص العناصر الغذائية عبر الغشاء البلازمي إلى أقصى حد" [ 10 ] ، وفي مراجع أخرى [ 9 ] [ 11 ] [ 12 ] .

بالنسبة لحجم معين، يكون الجسم ذو أصغر مساحة سطح (وبالتالي ذو أصغر نسبة مساحة سطح إلى حجم) هو الكرة ، وذلك نتيجة لمتباينة المحيط في ثلاثة أبعاد . في المقابل، تتمتع الأجسام ذات النتوءات الحادة الزاوية بمساحة سطح كبيرة جدًا بالنسبة لحجم معين.

للكرات الصلبة

رسم بياني لنسبة مساحة السطح إلى الحجم (SA:V) لكرة ثلاثية الأبعاد، يوضح انخفاض النسبة بشكل عكسي مع زيادة نصف قطر الكرة.

الكرة الصلبة هي جسم ثلاثي الأبعاد ، وهي الشكل الصلب المحاط بكرة . (في الهندسة، يشير مصطلح الكرة بشكل صحيح إلى السطح فقط، وبالتالي فإن الكرة تفتقر إلى الحجم في هذا السياق).

بالنسبة للكرة ثلاثية الأبعاد العادية، يمكن حساب نسبة مساحة السطح إلى الحجم باستخدام المعادلات القياسية للسطح والحجم، وهي على التوالي:Sأ=4πر2{\displaystyle SA=4\pi {r^{2}}}وV=(4/3)πر3{\displaystyle V=(4/3)\pi {r^{3}}}في حالة الوحدة التي يكون فيها r = 1، فإن نسبة المساحة السطحية إلى الحجم (SA:V) تساوي 3. أما في الحالة العامة، فإن نسبة المساحة السطحية إلى الحجم تساوي 3/ r ، في علاقة عكسية مع نصف القطر - إذا تضاعف نصف القطر، فإن نسبة المساحة السطحية إلى الحجم تساوي النصف (انظر الشكل).

للكرات ذات الأبعاد n

توجد الكرات في أي بُعد، وتُسمى عمومًا بالكرات ذات البعد n أو الكرات الفائقة ، حيث n هو عدد الأبعاد. ويمكن تعميم المنطق نفسه على الكرات ذات البعد n باستخدام المعادلات العامة للحجم ومساحة السطح، وهي:

V=رنπن/2Γ(1+ن/2){\displaystyle V={\frac {r^{n}\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}}
Sأ=نرن-1πن/2Γ(1+ن/2){\displaystyle SA={\frac {nr^{n-1}\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+{n/2})}}}

إذن النسبة تساويSأ/V=نر-1{\displaystyle SA/V=nr^{-1}}وبالتالي، فإن نفس العلاقة الخطية بين المساحة والحجم تنطبق على أي عدد من الأبعاد (انظر الشكل): مضاعفة نصف القطر دائمًا ما يقلل النسبة إلى النصف.

الأبعاد والوحدات

نسبة مساحة السطح إلى الحجم لها بُعد فيزيائي هو مقلوب الطول (L⁻¹ ) ، ولذلك تُعبّر عنها بوحدات مقلوب المتر (m⁻¹ ) أو مضاعفاته وأجزائه . على سبيل المثال، مكعب طول ضلعه 1 سم ستكون مساحة سطحه 6 سم² وحجمه 1 سم³ . وبالتالي، فإن نسبة مساحة السطح إلى الحجم لهذا المكعب هي 6 سم² .   

SA:V=6 سم21 سم3=6 سم-1{\displaystyle {\mbox{SA:V}}={\frac {6~{\mbox{cm}}^{2}}{1~{\mbox{cm}}^{3}}}=6~{\mbox{cm}}^{-1}}.

بالنسبة لشكل معين، تتناسب نسبة مساحة السطح إلى الحجم عكسيًا مع الحجم. فالمكعب  الذي طول ضلعه 2 سم تكون نسبة مساحة السطح إلى الحجم فيه 3  سم⁻¹ ، أي نصف نسبة مساحة السطح إلى الحجم في مكعب  طول ضلعه 1 سم. وعلى العكس، يتطلب الحفاظ على نسبة مساحة السطح إلى الحجم مع زيادة الحجم تغيير الشكل إلى شكل أقل تماسكًا .

التطبيقات

الكيمياء الفيزيائية

تتفاعل المواد ذات النسبة العالية بين مساحة السطح والحجم (مثل المواد ذات القطر الصغير جدًا، أو المسامية العالية ، أو غير المتراصة ) بمعدلات أسرع بكثير من المواد المتجانسة، نظرًا لتوافر مساحة سطح أكبر للتفاعل. ومن الأمثلة على ذلك غبار الحبوب: فبينما لا تُعد الحبوب قابلة للاشتعال عادةً، فإن غبارها قابل للانفجار . ويذوب الملح المطحون ناعمًا بسرعة أكبر بكثير من الملح الخشن.

توفر نسبة مساحة السطح إلى الحجم العالية "قوة دافعة" قوية لتسريع العمليات الديناميكية الحرارية التي تقلل من الطاقة الحرة . [ 13 ]

علم الأحياء

تزيد الخلايا المبطنة للأمعاء الدقيقة من مساحة السطح التي يمكنها من خلالها امتصاص العناصر الغذائية بفضل طبقة من الزغيبات الدقيقة الشبيهة بالخصلات .

تؤثر نسبة مساحة سطح الخلايا والكائنات الحية إلى حجمها تأثيراً بالغاً على بيولوجيتها ، بما في ذلك وظائفها الحيوية وسلوكها . فعلى سبيل المثال، تمتلك العديد من الكائنات الدقيقة المائية مساحة سطح أكبر لزيادة مقاومتها للماء، مما يقلل من معدل غرقها ويسمح لها بالبقاء قريبة من السطح باستهلاك طاقة أقل.

زيادة نسبة مساحة السطح إلى الحجم تعني أيضاً زيادة التعرض للبيئة. توفر الزوائد المتفرعة بدقة لدى الكائنات التي تتغذى بالترشيح، مثل الكريل، مساحة سطح كبيرة لتصفية الماء بحثاً عن الغذاء. [ 14 ]

تحتوي الأعضاء الفردية، مثل الرئة، على تفرعات داخلية عديدة تزيد من مساحة سطحها؛ ففي حالة الرئة، يدعم السطح الكبير عملية تبادل الغازات، حيث ينقل الأكسجين إلى الدم ويطلق ثاني أكسيد الكربون منه. [ 15 ] [ 16 ] وبالمثل، يتميز الأمعاء الدقيقة بسطح داخلي دقيق التجعّد، مما يسمح للجسم بامتصاص العناصر الغذائية بكفاءة. [ 17 ]

يمكن للخلايا أن تحقق نسبة عالية بين مساحة السطح والحجم من خلال سطح متعرج بشكل معقد، مثل الزغيبات الدقيقة التي تبطن الأمعاء الدقيقة . [ 18 ]

قد تؤدي زيادة مساحة السطح أيضًا إلى مشاكل بيولوجية. فزيادة التلامس مع البيئة عبر سطح الخلية أو العضو (مقارنةً بحجمه) تزيد من فقدان الماء والمواد المذابة. كما أن ارتفاع نسبة مساحة السطح إلى الحجم يُسبب مشاكل في تنظيم درجة الحرارة في البيئات غير الملائمة.

تؤدي نسب مساحة السطح إلى الحجم للكائنات الحية ذات الأحجام المختلفة أيضًا إلى بعض القواعد البيولوجية مثل قاعدة ألين ، وقاعدة بيرغمان [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] ، والضخامة الحرارية . [ 22 ]

انتشر الحريق

في سياق حرائق الغابات ، تُعدّ نسبة مساحة سطح الوقود الصلب إلى حجمه مقياسًا هامًا. يرتبط سلوك انتشار الحريق غالبًا بنسبة مساحة سطح الوقود إلى حجمه (مثل الأوراق والأغصان). كلما ارتفعت هذه النسبة، زادت سرعة استجابة الجسيمات للتغيرات في الظروف البيئية، كدرجة الحرارة أو الرطوبة. كما ترتبط القيم الأعلى بفترات اشتعال أقصر للوقود، وبالتالي معدلات انتشار أسرع للحريق.

تبريد الكواكب

قد يتطور جسم من مواد جليدية أو صخرية في الفضاء الخارجي، إذا استطاع توليد حرارة كافية والاحتفاظ بها، إلى باطن متمايز ويُغير سطحه من خلال النشاط البركاني أو التكتوني. وتعتمد المدة التي يستطيع خلالها جسم كوكبي الحفاظ على نشاط يُغير سطحه على مدى قدرته على الاحتفاظ بالحرارة، وهذا يتحكم فيه نسبة مساحة سطحه إلى حجمه. بالنسبة لكوكب فيستا (نصف قطره 263  كم)، كانت النسبة عالية جدًا لدرجة أن علماء الفلك فوجئوا باكتشاف تمايزه ونشاطه البركاني لفترة وجيزة. أما القمر وعطارد والمريخ ، فيبلغ نصف قطرها بضعة آلاف من الكيلومترات؛ وقد احتفظت جميعها بالحرارة بشكل كافٍ لتتمايز تمامًا، على الرغم من أنها أصبحت باردة جدًا بعد مليار عام تقريبًا بحيث لم تعد تُظهر سوى نشاط بركاني محدود النطاق ونادر. ومع ذلك، أعلنت وكالة ناسا في أبريل 2019 عن رصد "زلزال مريخي" تم قياسه في 6 أبريل 2019 بواسطة مركبة الهبوط "إنسايت" التابعة لناسا. [ 23 ] يتميز كل من كوكب الزهرة والأرض (نصف قطرهما أكبر من 6000 كم) بنسبة مساحة سطح إلى حجم منخفضة بما يكفي (نصف مساحة سطح المريخ تقريبًا، وأقل بكثير من جميع الأجرام الصخرية الأخرى المعروفة)، مما يجعل فقدان الحرارة فيهما ضئيلاً . [ 24 ] 

أمثلة رياضية

شكلصورةالطول المميزأ{\displaystyle a}نسبة مساحة السطح إلى الحجمنسبة المساحة السطحية إلى الحجم لوحدة الحجم
رباعي الأوجهحافة66أ≈14.697أ{\displaystyle {\frac {6{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {14.697}{a}}}7.21
مكعبحافة6أ{\displaystyle {\frac {6}{a}}}6
المجسم الثمانيحافة36أ≈7.348أ{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {7.348}{a}}}5.72
مجسم ذو اثني عشر وجهًاحافة1225+105(15+75)أ≈2.694أ{\displaystyle {\frac {12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{(15+7{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {2.694}{a}}}5.31
كبسولةنصف القطر (R)125أ{\displaystyle {\frac {12}{5a}}}5.251
المجسم العشري الوجوهحافة123(3+5)أ≈3.970أ{\displaystyle {\frac {12{\sqrt {3}}}{(3+{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {3.970}{a}}}5.148
جسم كروينصف القطر3أ{\displaystyle {\frac {3}{a}}}4.83598
أمثلة على مكعبات بأحجام مختلفة
جانب المكعبالجانب الثانيمساحة وجه واحد6 × الجانب 2مساحة المكعب بأكمله (6 أوجه)الجانب 3مقدارنسبة مساحة السطح إلى الحجم
22×246×2×2242×2×283:1
44×4166×4×4964×4×4643:2
66×6366×6×62166×6×62163:3
88×8646×8×83848×8×85123:4
1212×121446×12×1286412×12×1217283:6
2020×204006×20×20240020×20×2080003:10
5050×5025006×50×501500050×50×50125,0003:25
10001000×1000مليون6×1000×10006,000,0001000×1000×10001,000,000,0003:500

انظر أيضاً

مراجع

محدد
  1. ↑ بلانينشيتش، غورازد؛ فولمر، مايكل (20 فبراير 2008). "نسبة السطح إلى الحجم في الفيزياء الحرارية: من فيزياء مكعبات الجبن إلى استقلاب الحيوانات" . المجلة الأوروبية للفيزياء . 29 (2): 369-384 . Bibcode : 2008EJPh...29..369P . doi : 10.1088/0143-0807/29/2/017 . S2CID 55488270. تاريخ الاسترجاع: 9 يوليو 2021 . 
  2. ↑ بلانينشيتش، غورازد (2008). "نسبة السطح إلى الحجم في الفيزياء الحرارية: من فيزياء مكعبات الجبن إلى استقلاب الحيوانات" . المجلة الأوروبية للفيزياء . 29 (2): 369-384 . Bibcode : 2008EJPh...29..369P . doi : 10.1088/0143-0807/29/2/017 . S2CID 55488270 . 
  3. ↑ ويليامز، بيتر؛ وارويك، روجر؛ دايسون، ماري؛ بانيستر، لورانس هـ. (2005). تشريح غراي ( الطبعة 39). تشرشل ليفينغستون. الصفحات 1278-1282 .  
  4. ↑ جيريمي م. هوارد؛ هانا-بيث ​​غريفيس؛ ويستندورف، راشيل؛ ويليامز، جيسون ب. (2019). "تأثير الحجم والعوامل غير الحيوية على فقدان الماء عبر الجلد" . مجلة التقدم في تعليم علم وظائف الأعضاء . 44 (3): 387-393 . doi : 10.1152/advan.00152.2019 . PMID 32628526 . 
  5. ↑ هاريس، لي ك.؛ ثيريوت، جولي أ. (2018). "نسبة مساحة السطح إلى الحجم: متغير طبيعي لتكوين البكتيريا" . اتجاهات في علم الأحياء الدقيقة . 26 (10): 815-832 . doi : 10.1016/j.tim.2018.04.008 . PMC 6150810. PMID 29843923 .  
  6. ↑ لو، جيديون ن. (1993). علم البيئة الفسيولوجية للحيوان . مجموعة لونجمان للنشر.
  7. ↑ نغوين، ثانه دان؛ أولوفيمي إي.، كادري؛ فاسيليوس آي.، سيكافيتساس؛ فورونوف، رومان إس. (2019). "الهياكل ذات نسبة مساحة السطح إلى الحجم العالية والمزروعة تحت تروية سريعة التدفق تؤدي إلى توصيل مثالي للأكسجين إلى الخلايا في أنسجة العظام الاصطناعية" . العلوم التطبيقية . 9 (11): 2381. doi : 10.3390/app9112381 .
  8. ↑ ج. ك. لي؛ هـ. هـ. كونغ؛ ل. ف. موكروس (2008). "تقنيات القنوات الدقيقة للرئتين الاصطناعيتين: (1) النظرية" . مجلة ASAIO . 54 (4): 372-382 . doi : 10.1097/MAT.0b013e31817ed9e1 . PMID 18645354. S2CID 19505655 .  
  9. 1 2 جلازيير، دوغلاس س. (2010). " تفسير موحد للتنوع في قياسات التمثيل الغذائي لدى الحيوانات والنباتات" . المراجعات البيولوجية . 85 (1): 111-138 . doi : 10.1111/j.1469-185X.2009.00095.x . PMID 19895606. S2CID 28572410 .  
  10. ↑ ألبرتس، بروس (2002). "تنوع الجينومات وشجرة الحياة". البيولوجيا الجزيئية للخلية، الطبعة الرابعة . نيويورك: جارلاند ساينس. ISBN 0-8153-3218-1رقم الكتاب المعياري الدولي ( ISBN) 0-8153-4072-9.
  11. ↑ آدم، جون (2020-01-01). "ما هو مؤشر كروية الشكل؟ ترشيد مساحة السطح والحجم" . معلم الرياضيات في فرجينيا . 46 (2).
  12. ↑ أوكي، جوردان ج. (مارس 2013). "نماذج عامة لأطياف استراتيجيات قياس مساحة سطح الخلايا والكائنات الحية: الفركتالية، والاختلاف الهندسي، والاستيعاب الداخلي". المجلة الأمريكية لعلم الطبيعة . 181 (3): 421-439 . Bibcode : 2013ANat..181..421O . doi : 10.1086/669150 . ISSN 1537-5323 . PMID 23448890. S2CID 23434720 .   
  13. ↑ ويتينغهام، م. (مايو 1989). "الكيمياء الأساسية للمواد الصلبة، أنتوني ر. ويست، جون وايلي وأولاده، نيويورك (1988)، 415 صفحة، 13.95 جنيهًا إسترلينيًا (32.95 دولارًا أمريكيًا)" . أيونيات الحالة الصلبة . 34 (3): 213. doi : 10.1016/0167-2738(89)90043-x . ISSN 0167-2738 . 
  14. ↑ كيلز، يو.: السباحة والتغذية لدى كريل القطب الجنوبي، Euphausia superba - بعض الخصائص الديناميكية والطاقية المتميزة - بعض التفاصيل المورفولوجية الفريدة . في Berichte zur Polarforschung ، معهد ألفريد فيجنر للأبحاث القطبية والبحرية ، العدد الخاص 4 (1983): "حول بيولوجيا كريل Euphausia superba "، وقائع ندوة وتقرير مجموعة علم بيئة الكريل، المحرر إس بي شناك، 130-155 وصورة صفحة العنوان.
  15. ↑ تورتورا، جيرارد جيه؛ أناغنوستاكوس، نيكولاس ب. (1987). مبادئ التشريح وعلم وظائف الأعضاء ( الطبعة الخامسة). نيويورك: هاربر آند رو، ناشرون. الصفحات 556-582 . ISBN   978-0-06-350729-6.
  16. ↑ ويليامز، بيتر ل؛ وارويك، روجر؛ دايسون، ماري؛ بانيستر، لورانس هـ. (1989). تشريح غراي (الطبعة السابعة والثلاثون ). إدنبرة: تشرشل ليفينغستون. الصفحات 1278-1282 . ISBN   0443-041776.
  17. ↑ رومر، ألفريد شيروود؛ بارسونز، توماس س. (1977). جسم الفقاريات . فيلادلفيا، بنسلفانيا: هولت-سوندرز إنترناشونال. ص 349-353 . ISBN  978-0-03-910284-5.
  18. ↑ كراوس، ج. ويليام (يوليو 2005). علم الأنسجة البشرية الأساسي لكراوس لطلاب الطب . دار النشر العالمية. ص 37 وما يليها. ISBN  978-1-58112-468-2تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 نوفمبر 2010 .
  19. ↑ ميري، س.؛ دايان، ت. (2003-03-20). "حول صحة قاعدة بيرغمان". مجلة الجغرافيا الحيوية . 30 (3): 331-351 . Bibcode : 2003JBiog..30..331M . doi : 10.1046/j.1365-2699.2003.00837.x . S2CID 11954818 . 
  20. ↑ أشتون، كايل ج.؛ تريسي، مارك س.؛ كويروز، آلان دي (أكتوبر 2000). "هل قاعدة بيرغمان صالحة للثدييات؟". عالم الطبيعة الأمريكي . 156 (4): 390-415 . Bibcode : 2000ANat..156..390A . doi : 10.1086/303400 . JSTOR 10.1086/303400 . PMID 29592141. S2CID 205983729 .   
  21. ↑ ميليان، فيرجيني؛ ليونز، إس. كاثلين؛ أولسون، لينك؛ وآخرون . (23 مايو 2006). "التنوع البيئي في سياق تغير المناخ العالمي: إعادة النظر في القواعد". رسائل علم البيئة . 9 (7): 853-869 . Bibcode : 2006EcolL...9..853M . doi : 10.1111/j.1461-0248.2006.00928.x . PMID 16796576 .  
  22. ↑ فيتزباتريك، كاتي (2005). "العملاقة الحرارية" . كلية ديفيدسون . تم الاسترجاع في 21-12-2011 .{{cite web}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
  23. ↑ "زلزال المريخ! مركبة الهبوط "إنسايت" التابعة لناسا تشعر بأول هزة أرضية على الكوكب الأحمر" . Space.com . 23 أبريل 2019.
  24. ↑ "نسخة مؤرشفة" (PDF) . مؤرشفة من الأصل (PDF) بتاريخ 13 يونيو 2018. تم الاطلاع عليها بتاريخ 22 أغسطس 2018 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title ( link )