الكرة (الرياضيات)

في الرياضيات ، الكرة هي الشكل الصلب المحاط بالكرة ؛ وتسمى أيضًا بالكرة الصلبة . ^{[ 1 ]} قد تكون كرة مغلقة (بما في ذلك نقاط الحدود التي تشكل الكرة) أو كرة مفتوحة (باستثناء تلك النقاط).

لا تقتصر هذه المفاهيم على الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد فحسب، بل تشمل أيضًا الأبعاد الأدنى والأعلى، والفضاءات المترية عمومًا. تُسمى الكرة في فضاء ذي n بُعدًا بالكرة الفائقة أو الكرة n ، وهي محاطة بكرة فائقة أو كرة ( n -1 ) . على سبيل المثال، الكرة في المستوى الإقليدي هي نفسها القرص ، أي المنطقة المستوية المحاطة بدائرة . في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، تُعتبر الكرة هي المنطقة الفضائية المحاطة بكرة ثنائية الأبعاد . أما في الفضاء أحادي البعد ، فالكرة هي قطعة مستقيمة .

في سياقات أخرى، مثل الهندسة الإقليدية والاستخدام غير الرسمي، يُستخدم مصطلح "الكرة" أحيانًا بمعنى "الكرة" . في مجال الطوبولوجيا، الشكل المغلق${\displaystyle n}$غالباً ما يُشار إلى الكرة ذات الأبعاد n بـ${\displaystyle B^{n}}$أو${\displaystyle D^{n}}$بينما مفتوح${\displaystyle n}$الكرة ذات الأبعاد هي${\displaystyle \operatorname {int} B^{n}}$أو${\displaystyle \operatorname {int} D^{n}}$.

في الفضاء الإقليدي ذي البعد n ، تُعرَّف الكرة المفتوحة ذات البعد n ونصف قطرها r ومركزها x بأنها مجموعة جميع النقاط التي تبعد مسافة أقل من r عن x . أما الكرة المغلقة ذات البعد n ونصف قطرها r فهي مجموعة جميع النقاط التي تبعد مسافة أقل من أو تساوي r عن x .

في الفضاء الإقليدي ذي البعد n ، تكون كل كرة محاطة بكرة فائقة . الكرة عبارة عن فترة محدودة عندما n = 1 ، وقرص محاط بدائرة عندما n = 2 ، وكرة عندما n = 3 .

ليكن ( M , d ) فضاءً متريًا ، أي مجموعة M ذات دالة قياس (دالة مسافة) d ، وليكن${\displaystyle r}$ليكن عددًا حقيقيًا موجبًا. تُعرَّف الكرة المفتوحة (المترية) ذات نصف القطر r والمتمركزة عند النقطة p في M ، والتي يُرمز إليها عادةً بـ B _r ( p ) أو B ( p ; r ) ، بنفس طريقة تعريف الكرة الإقليدية، على أنها مجموعة النقاط في M التي تبعد مسافة أقل من r عن p . $${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\}.}$$

الكرة المغلقة (المترية)، والتي يُشار إليها أحيانًا بـ B _r [ p ] أو B [ p ; r ] ، تُعرَّف أيضًا بأنها مجموعة النقاط التي تبعد مسافة أقل من أو تساوي r عن النقطة p . $${\displaystyle B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.}$$

على وجه الخصوص، تشمل الكرة (سواء كانت مفتوحة أو مغلقة) دائمًا النقطة p نفسها، لأن التعريف يتطلب أن يكون نصف القطر r أكبر من الصفر . الكرة الوحدوية (سواء كانت مفتوحة أو مغلقة) هي كرة نصف قطرها 1.

لا يشترط أن تكون الكرة في فضاء متري عام كروية. على سبيل المثال، الكرة في فضاء الإحداثيات الحقيقية، وفقًا لمسافة تشيبيشيف، هي مكعب فائق ، والكرة، وفقًا لمسافة التاكسيكاب، هي متعدد السطوح متقاطع . كما لا يشترط أن تكون الكرة المغلقة متراصة . على سبيل المثال، الكرة المغلقة في أي فضاء متجهي معياري لا نهائي الأبعاد لا تكون متراصة أبدًا. مع ذلك، ستكون الكرة في أي فضاء متجهي معياري محدبة دائمًا ، نتيجةً لمتباينة المثلث.

تكون المجموعة الجزئية من الفضاء المتري محدودة إذا كانت محتواة في كرة ما. وتكون المجموعة محدودة كليًا إذا كانت، لأي نصف قطر موجب، مغطاة بعدد محدود من الكرات التي لها نفس نصف القطر.

يمكن أن تُشكّل الكرات المفتوحة في الفضاء المتري أساسًا ، مما يُضفي على هذا الفضاء طوبولوجيا ، حيث تمثل المجموعات المفتوحة جميع الاتحادات الممكنة للكرات المفتوحة. تُسمى هذه الطوبولوجيا على الفضاء المتري بالطوبولوجيا المُستحثة بواسطة المقياس d .

يترك${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}}$يشير إلى إغلاق الكرة المفتوحة${\displaystyle B_{r}(p)}$في هذه البنية الطوبولوجية. بينما يكون الأمر دائمًا هو أن${\displaystyle B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p],}$ليس الأمر كذلك دائماً${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p].}$على سبيل المثال، في الفضاء المتري${\displaystyle X}$باستخدام المقياس المنفصل ، يكون لدينا${\displaystyle {\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}}$لكن${\displaystyle B_{1}[p]=X}$لأي${\displaystyle p\in X.}$

أي فضاء متجهي معياري V بمعيار${\displaystyle \|\cdot \|}$وهو أيضًا فضاء متري ذو مقياس${\displaystyle d(x,y)=\|xy\|.}$ في مثل هذه المساحات، كرة عشوائية${\displaystyle B_{r}(y)}$من النقاط${\displaystyle x}$حول نقطة${\displaystyle y}$بمسافة أقل من${\displaystyle r}$يمكن اعتبارها نسخة مصغرة (بواسطة${\displaystyle r}$) وترجم (بواسطة${\displaystyle y}$) نسخة من كرة الوحدة${\displaystyle B_{1}(0).}$هذه الكرات "المتمركزة" مع${\displaystyle y=0}$يُشار إليها بـ${\displaystyle B(r).}$

تُعد الكرات الإقليدية التي نوقشت سابقًا مثالًا على الكرات في فضاء متجه معياري.

يمكن الحديث عن الكرات في أي فضاء طوبولوجي X ، ليس بالضرورة أن يكون مستحثًا بواسطة مقياس. الكرة الطوبولوجية (المفتوحة أو المغلقة) ذات البعد n في X هي أي مجموعة جزئية من X متماثلة طوبولوجيًا مع كرة إقليدية (مفتوحة أو مغلقة) ذات البعد n . تُعد الكرات الطوبولوجية ذات البعد n مهمة في الطوبولوجيا التوافقية ، باعتبارها اللبنات الأساسية للمجمعات الخلوية .

أي كرة طوبولوجية مفتوحة من ^الرتبة n متماثلة طوبولوجيًا مع الفضاء الديكارتي Rⁿ ومع المكعب المفتوح ذي الوحدة n (المكعب الفائق) (0, 1) ^ⁿ ⊆ Rⁿ . أي كرة طوبولوجية مغلقة من الرتبة ⁿ متماثلة طوبولوجيًا مع المكعب المغلق من الرتبة n [0, 1] ^ⁿ .

تكون الكرة ذات البعد n متماثلة طوبولوجيًا مع الكرة ذات البعد m إذا وفقط إذا كان n = m . يمكن تصنيف التشاكلات بين الكرة المفتوحة ذات البعد n، B، و Rⁿ إلى فئتين ^، يمكن تحديدهما بالاتجاهين الطوبولوجيين المحتملين لـ B. 

لا يشترط أن تكون الكرة الطوبولوجية ذات البعد n ناعمة ؛ وإذا كانت ناعمة، فلا يشترط أن تكون متماثلة شكليًا مع الكرة الإقليدية ذات البعد n .

يمكن تحديد عدد من المناطق الخاصة للكرة:

• غطاء ، محدد بمستوى واحد
• قطاع ، محدد بحدود مخروطية رأسها في مركز الكرة
• قطعة ، محددة بزوج من المستويات المتوازية
• غلاف ، محصور بين كرتين متحدتي المركز بنصف قطرين مختلفين
• إسفين ، محصور بين مستويين يمران عبر مركز الكرة وسطح الكرة

• سميث، دي جيه؛ فامانامورثي، إم كيه (1989). "ما أصغر كرة وحدة؟". مجلة الرياضيات . 62 (2): 101-107 . doi : 10.1080/0025570x.1989.11977419 . JSTOR 2690391 . 
• داوكر، جيه إس (1996). "شروط روبن على الكرة الإقليدية". الجاذبية الكلاسيكية والكمية . 13 (4): 585-610 . arXiv : hep-th/9506042 . Bibcode : 1996CQGra..13..585D . doi : 10.1088/0264-9381/13/4/003 . S2CID 119438515 . 
• غروبر، بيتر م. (1982). "التماثلات في فضاء الأجسام المحدبة الموجودة في كرة إقليدية". مجلة إسرائيل للرياضيات . 42 (4): 277-283 . doi : 10.1007/BF02761407 . S2CID 119483499 .