قانون تايلور

اقترح بيرسون ^{[ 20 ]} في عام 1921 المعادلة (التي درسها أيضًا نيمان ^{[ 21 ]} )

${\displaystyle s^{2}=am+bm^{2}}$

اقترح سميث في عام 1938، أثناء دراسته لمحاصيل المحاصيل، علاقة مشابهة لعلاقة تايلور. ^{[ 22 ]} وكانت هذه العلاقة

${\displaystyle \log V_{x}=\log V_{1}+b\log x\,}$

حيث V _{_x} هو تباين المحصول لقطع أرض مساحتها x وحدة، وV_₁ هو تباين المحصول لكل وحدة مساحة، و x هو مساحة قطع الأرض. الميل ( b ) هو مؤشر عدم التجانس. تتراوح قيمة b في هذه العلاقة بين 0 و1. عندما يكون المحصول مرتبطًا ارتباطًا وثيقًا، تقترب قيمة b من 0؛ وعندما يكون غير مرتبط، تقترب قيمة b من 1.

وصف كل من بليس ^{[ 23 ]} في عام 1941، وفراكر وبريشلي ^{[ 24 ]} في عام 1941، وهايمان ولو ^{[ 25 ]} في عام 1961 ما يُعرف الآن بقانون تايلور، ولكن في سياق البيانات من الأنواع الفردية.

استخدمت ورقة تايلور البحثية لعام 1961 بيانات من 24 ورقة بحثية، نُشرت بين عامي 1936 و1960، تناولت مجموعة متنوعة من البيئات البيولوجية: آفات فيروسية ، وعوالق حيوانية كبيرة ، وديدان وحشرات من نوع سيمفيليد في التربة ، وحشرات في التربة وعلى النباتات وفي الهواء، وعث على الأوراق ، وقراد على الأغنام ، وأسماك في البحر ؛ [1] تراوحت قيمة b بين 1 و3. ^{اقترح تايلور قانون} القوة كسمة عامة للتوزيع المكاني لهذه الأنواع. كما اقترح فرضية آلية لتفسير هذا القانون.

استندت المحاولات الأولية لتفسير التوزيع المكاني للحيوانات إلى مناهج مثل نماذج بارتليت السكانية العشوائية وتوزيع ذي الحدين السالب الذي قد ينتج عن عمليات الولادة والوفاة . ^{[ 26 ]} واستند تفسير تايلور إلى افتراض وجود سلوك متوازن بين الهجرة والتجمع لدى الحيوانات. ^{[ 1 ]} كانت فرضيته في البداية نوعية، ولكن مع تطورها أصبحت شبه كمية، ودُعمت بالمحاكاة. ^{[ 27 ]}

طُرحت العديد من الفرضيات البديلة لقانون القوة. اقترح هانسكي نموذج المشي العشوائي، مُعدَّلًا بالتأثير المضاعف المفترض للتكاثر. ^{[ 28 ]} تنبأ نموذج هانسكي بأن أس قانون القوة سيقتصر على نطاق ضيق حول القيمة 2، وهو ما بدا غير متسق مع العديد من القيم المُبلغ عنها. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

وضع أندرسون وآخرون نموذجًا عشوائيًا بسيطًا للولادة والوفاة والهجرة، أسفر عن دالة تباين تربيعية. ^{[ 29 ]} ردًا على هذا النموذج، جادل تايلور بأن عملية ماركوف هذه ستتنبأ بأن أس قانون القوة سيختلف اختلافًا كبيرًا بين الملاحظات المتكررة، وأن هذا التباين لم يُلاحظ. ^{[ 30 ]}

استعرضت أدريان دبليو كيمب عددًا من النماذج العشوائية المنفصلة القائمة على توزيعات ذات الحدين السالب، وتوزيع نيمان من النوع A ، وتوزيع بوليا-أيبلي، والتي يمكن، مع تعديل مناسب للمعاملات، أن تُنتج قانون قوة التباين إلى المتوسط. ^{[ 31 ]} مع ذلك، لم تُفسر كيمب معلمات نماذجها بمصطلحات آلية. وتلتها نماذج أخرى مجردة نسبيًا لقانون تايلور. ^{[ 6 ] [ 32 ]}

أُثيرت مخاوف إحصائية بشأن قانون تايلور، استنادًا إلى صعوبة التمييز بين قانون تايلور ووظائف التباين إلى المتوسط ​​الأخرى في البيانات الحقيقية، فضلًا عن عدم دقة أساليب الانحدار القياسية. ^{[ 33 ] [ 34 ]}

تم تطبيق قانون تايلور على بيانات السلاسل الزمنية ، وأظهر بيري، باستخدام عمليات المحاكاة، أن نظرية الفوضى يمكن أن تؤدي إلى قانون تايلور. ^{[ 35 ]}

تم تطبيق قانون تايلور على التوزيع المكاني للنباتات ^{[ 36 ]} والتجمعات البكتيرية ^{[ 37 ]} كما هو الحال مع ملاحظات فيروس نخر التبغ المذكورة سابقًا، لم تكن هذه الملاحظات متسقة مع نموذج تايلور السلوكي للحيوان.

طُبقت دالة أسية تربط التباين بالمتوسط ​​على الأنظمة غير البيئية، تحت مسمى قانون تايلور. وقد طُرحت فرضيةٌ لتفسيرٍ أعمّ لنطاق مظاهر القانون الأسي، استنادًا إلى توزيعات تويدي ^{[ 38 ]} ، وهي مجموعة من النماذج الاحتمالية التي تُعبّر عن علاقة أسية جوهرية بين التباين والمتوسط. ^{[ 11 ] [ 13 ] [ 39 ]}

طُرحت عدة فرضيات بديلة لقانون القوة. اقترح هانسكي نموذجًا للمشي العشوائي، مُعدَّلًا بالتأثير المضاعف المفترض للتكاثر. ^{[ 28 ]} تنبأ نموذج هانسكي بأن أس قانون القوة سيقتصر على نطاق ضيق حول القيمة 2، وهو ما بدا غير متسق مع العديد من القيم المُبلغ عنها. ^{[ 3 ] [ 4 ]} صاغ أندرسون وآخرون نموذجًا عشوائيًا بسيطًا للولادة والوفاة والهجرة، والذي أسفر عن دالة تباين تربيعية. ^{[ 29 ]} يُعد نموذج ليونتين كوهين للنمو ^{[ 40 ]} تفسيرًا آخر مُقترحًا . أُثيرت إمكانية أن تكون مُلاحظات قانون القوة نتاجًا رياضيًا أكثر منها عملية آلية. ^{[ 41 ]} مع ذلك، لا يُمكن تفسير أو التنبؤ بتغيرات أسس قانون تايلور المُطبق على التجمعات البيئية استنادًا إلى أسس إحصائية فقط. ^{[ 42 ]} أظهرت الأبحاث أن التباين في أسس قانون تايلور لمجتمع أسماك بحر الشمال يختلف باختلاف البيئة الخارجية، مما يشير إلى أن العمليات البيئية تحدد جزئياً على الأقل شكل قانون تايلور. ^{[ 43 ]}

في الأدبيات الفيزيائية، يُشار إلى قانون تايلور باسم قياس التذبذب . وفي محاولة أخرى لإيجاد تفسير عام لقياس التذبذب، اقترح إيسلر وآخرون عملية أطلقوا عليها اسم عدم تجانس الاصطدام، حيث ترتبط الأحداث المتكررة باصطدامات أكبر. ^{[ 44 ]} ومع ذلك، لاحظ المؤلفون في الملحق ب من مقالة إيسلر أن معادلات عدم تجانس الاصطدام أعطت نفس العلاقات الرياضية التي وُجدت مع توزيعات تويدي.

استنتجت مجموعة أخرى من الفيزيائيين، وهم فرونتشاك وفرونتشاك، قانون تايلور للقوى لتحديد مقياس التذبذب من مبادئ الفيزياء الإحصائية في حالتي التوازن وعدم التوازن . ^{[ 45 ]} استند استنتاجهم إلى افتراضات حول كميات فيزيائية مثل الطاقة الحرة ومجال خارجي يتسبب في تكتل الكائنات الحية. مع ذلك، لم يتم بعد إثبات هذه الكميات الفيزيائية المفترضة تجريبيًا بشكل مباشر فيما يتعلق بتكتل الحيوانات أو النباتات. بعد ذلك بوقت قصير، قُدِّم تحليل لنموذج فرونتشاك وفرونتشاك أظهر أن معادلاتهم تؤدي مباشرة إلى توزيعات تويدي، وهي نتيجة تشير إلى أن فرونتشاك وفرونتشاك ربما قد قدما اشتقاقًا لأقصى إنتروبيا لهذه التوزيعات. ^{[ 14 ]}

لقد ثبت أن قانون تايلور ينطبق على الأعداد الأولية التي لا تتجاوز عددًا حقيقيًا معينًا. ^{[ 46 ]} وقد ثبتت صحة هذه النتيجة لأول 11 مليون عدد أولي. إذا كانت فرضية هاردي-ليتلوود للأعداد الأولية التوأم صحيحة، فإن هذا القانون ينطبق أيضًا على الأعداد الأولية التوأم.

الأس في قانون تايلور ثابت بتغير المقياس: إذا تغيرت وحدة القياس بمعامل ثابت${\displaystyle c}$، الأس (${\displaystyle b}$) يبقى دون تغيير.

لتوضيح ذلك، لنفرض أن y = cx . إذن

${\displaystyle \mu _{1}=\operatorname {E} (x)}$

${\displaystyle \mu _{2}=\operatorname {E} (y)=\operatorname {E} (cx)=c\operatorname {E} (x)=c\mu _{1}}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\operatorname {E} ((x-\mu _{1})^{2})}$

${\displaystyle \sigma _{2}^{2}=\operatorname {E} ((y-\mu _{2})^{2})=\operatorname {E} ((cx-c\mu _{1})^{2})=c^{2}\operatorname {E} ((x-\mu _{1})^{2})=c^{2}\sigma _{1}^{2}}$

قانون تايلور معبراً عنه بالمتغير الأصلي ( x ) هو

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=a\mu _{1}^{b}}$

وفي المتغير المعاد قياسه ( y ) يكون

${\displaystyle \sigma _{2}^{2}=c^{2}\sigma _{1}^{2}=c^{2}a\mu _{1}^{b}=c^{2-b}a(c\mu _{1})^{b}=c^{2-b}a\mu _{2}^{b}}$

هكذا،${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$لا يزال متناسبًا مع${\displaystyle \mu _{2}^{b}}$(على الرغم من أن ثابت التناسب قد تغير).

لقد ثبت أن قانون تايلور هو العلاقة الوحيدة بين المتوسط ​​والتباين التي لا تتأثر بالمقياس. ^{[ 51 ]}

اقترح راينر تحسينًا في تقدير الميل b . ^{[ 52 ]}

${\displaystyle b={\frac {f-\varphi +{\sqrt {(f-\varphi )^{2}-4r^{2}f\varphi }}}{2r{\sqrt {f}}}}}$

أين${\displaystyle r}$معامل ارتباط بيرسون بين${\displaystyle \log(s^{2})}$و ${\displaystyle \log m}$،${\displaystyle f}$هي نسبة تباينات العينة في${\displaystyle \log(s^{2})}$و${\displaystyle \log m}$و${\displaystyle \varphi }$هي نسبة الأخطاء في${\displaystyle \log(s^{2})}$و${\displaystyle \log m}$.

يفترض الانحدار الخطي العادي أن φ = ∞. وهذا يميل إلى التقليل من قيمة b لأن تقديرات كليهما   ${\displaystyle \log(s^{2})}$و${\displaystyle \log m}$عرضة للخطأ.

تم اقتراح امتداد لقانون تايلور من قبل فيريس وآخرون عند أخذ عينات متعددة ^{[ 53 ].}

${\displaystyle s^{2}=cn^{d}m^{b},}$

حيث يمثل s² و m التباين والمتوسط ​​على التوالي، و b و c و d ثوابت، و ⁿ عدد العينات المأخوذة. وحتى الآن، لم يتم التحقق من أن هذا التوسع المقترح قابل للتطبيق بنفس كفاءة النسخة الأصلية لقانون تايلور.

اقترح هانسكي امتدادًا لهذا القانون للعينات الصغيرة. ^{[ 54 ]} بالنسبة للعينات الصغيرة، قد يكون تباين بواسون ( P ) - وهو التباين الذي يُعزى إلى تباين أخذ العينات - كبيرًا. لنفترض أن S هو التباين الكلي، و V هو التباين البيولوجي (الحقيقي). عندئذٍ

${\displaystyle S=V+P}$

بافتراض صحة قانون تايلور، لدينا

${\displaystyle V=am^{b}}$

لأن المتوسط ​​في توزيع بواسون يساوي التباين، لدينا

${\displaystyle P=m}$

وهذا يعطينا

${\displaystyle S=V+P=am^{b}+m}$

هذا يشبه إلى حد كبير اقتراح بارليت الأصلي.

تشير قيم الميل ( ب ) التي تزيد بشكل ملحوظ عن  1 إلى تكتل الكائنات الحية.

في البيانات الموزعة وفقًا لتوزيع بواسون ، b = 1. ^{[ 30 ]} إذا كان المجتمع يتبع توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا أو توزيع جاما ، فإن b = 2.   

بالنسبة للسكان الذين يعانون من تقلبات بيئية ثابتة للفرد الواحد، يجب أن يكون لانحدار لوغاريتم (التباين) مقابل لوغاريتم (متوسط ​​الوفرة) خط مع b  =  2.

معظم المجموعات السكانية التي دُرست كان لديها قيمة b  أقل من  2 (عادةً 1.5-1.6)، ولكن سُجلت قيم تصل إلى 2. ^{[ 55 ]} وفي بعض الأحيان، سُجلت حالات بقيمة b أكبر من 2. ^{[ 3 ]} أما قيم b الأقل من 1 فهي غير شائعة، ولكن سُجلت أيضًا ( b = 0.93). ^{[ 50 ]}

لقد طُرحت فكرة أن أس القانون ( ب ) يتناسب طرديًا مع درجة التواء التوزيع الأصلي. ^{[ 56 ]} وقد وُجهت انتقادات لهذا الاقتراح، إذ يبدو أن هناك حاجة إلى مزيد من البحث. ^{[ 57 ] [ 58 ]}

لا يزال أصل الميل ( b ) في هذا الانحدار غير واضح. وقد طُرحت فرضيتان لتفسيره. تشير إحداهما إلى أن b ينشأ من سلوك النوع وهو ثابت بالنسبة له. أما الفرضية البديلة فتشير إلى أنه يعتمد على العينة المدروسة. وعلى الرغم من العدد الكبير من الدراسات التي أُجريت حول هذه الظاهرة (أكثر من 1000 دراسة)، إلا أن هذا السؤال لا يزال مطروحًا.

من المعروف أن كلاً من a و b عرضة للتغيير بسبب التشتت المرتبط بالعمر، ومعدل الوفيات، وحجم وحدة العينة. ^{[ 59 ]}

قد لا يكون هذا القانون مناسبًا إذا كانت القيم صغيرة. ولهذا السبب، اقترح هانسكي امتدادًا لقانون تايلور يُحسّن من ملاءمته عند الكثافات المنخفضة. ^{[ 54 ]}

تم اقتراح صيغة لقانون تايلور قابلة للتطبيق على البيانات الثنائية في مجموعات (مثل المربعات). ^{[ 60 ]} في التوزيع ذي الحدين، يكون التباين النظري هو

${\displaystyle {\text{var}}_{\text{bin}}=np(1-p),}$

حيث (var _bin ) هو التباين ذو الحدين، و n هو حجم العينة لكل مجموعة، و p هي نسبة الأفراد الذين لديهم سمة معينة (مثل المرض)، وهو تقدير لاحتمالية امتلاك الفرد لتلك السمة.

تتمثل إحدى الصعوبات المتعلقة بالبيانات الثنائية في أن المتوسط ​​والتباين، بشكل عام، لهما علاقة خاصة: فعندما تزيد النسبة المتوسطة للأفراد المصابين عن 0.5، ينخفض ​​التباين.

من المعروف الآن أن التباين المرصود (var _obs ) يتغير كدالة أسية لـ (var _bin ). ^{[ 60 ]}

لاحظ هيوز ومادن أنه إذا كان التوزيع بواسون، فإن المتوسط ​​والتباين متساويان. ^{[ 60 ]} ولأن هذا ليس هو الحال في العديد من عينات النسب المرصودة، فقد افترضا بدلاً من ذلك توزيعًا ثنائي الحد. استبدلا المتوسط ​​في قانون تايلور بتباين ثنائي الحد، ثم قارنا هذا التباين النظري بالتباين المرصود. بالنسبة لبيانات ثنائي الحد، أظهرا أن _{التباين المرصود} يساوي التباين الثنائي ، ومع التشتت الزائد، يكون التباين _{المرصود} أكبر من _{التباين} الثنائي .  

بالرموز، كان تعديل هيوز ومادن لقانون تايلور

${\displaystyle {\text{var}}_{\text{obs}}=a({\text{var}}_{\text{bin}})^{b}.}$

في الصيغة اللوغاريتمية، تكون هذه العلاقة

${\displaystyle \log({\text{var}}_{\text{obs}})=\log a+b\log({\text{var}}_{\text{bin}}).}$

يُعرف هذا الإصدار الأخير باسم قانون القوة الثنائية.

كانت إحدى الخطوات الرئيسية في اشتقاق قانون القوة الثنائي بواسطة هيوز ومادن هي الملاحظة التي توصل إليها باتيل وستيتلر ^{[ 61 ]} بأن نسبة التباين إلى المتوسط ​​المستخدمة لتقييم التشتت الزائد للقيم غير المحدودة في عينة واحدة هي في الواقع نسبة تباينين: التباين المرصود والتباين النظري لتوزيع عشوائي. بالنسبة للقيم غير المحدودة، يكون التوزيع العشوائي هو توزيع بواسون. وبالتالي، يمكن اعتبار قانون قوة تايلور لمجموعة من العينات بمثابة علاقة بين التباين المرصود وتباين بواسون.

بشكل أوسع، اعتبر مادن وهيوز ^{[ 60 ]} قانون القوة بمثابة العلاقة بين تباينين، التباين المرصود والتباين النظري لتوزيع عشوائي. في حالة البيانات الثنائية، يكون التوزيع العشوائي هو التوزيع ذو الحدين (وليس توزيع بواسون). وبالتالي، يُعد قانون تايلور للقوة وقانون القوة الثنائي حالتين خاصتين من علاقات قانون القوة العامة في حالة عدم التجانس.

عندما يكون كل من a و b مساويًا لـ 1، يُشير ذلك إلى نمط مكاني عشوائي صغير النطاق، ويُمكن وصفه على أفضل وجه بالتوزيع ذي الحدين. عندما يكون b = 1 و a > 1، يحدث تشتت زائد (تجمع صغير النطاق). عندما يكون b  >  1، تتغير درجة التجمع بتغير p . وقد أظهر توريتشيك وآخرون ^{[ 62 ]} أن قانون القوة الثنائي يصف العديد من مجموعات البيانات في علم أمراض النبات. بشكل عام، يكون b أكبر من 1 وأقل من  2.

تم اختبار مدى ملاءمة هذا القانون من خلال عمليات المحاكاة. ^{[ 63 ]} تشير هذه النتائج إلى أنه بدلاً من خط انحدار واحد لمجموعة البيانات، قد يكون الانحدار القطاعي نموذجًا أفضل للتوزيعات العشوائية الحقيقية. ومع ذلك، لا يحدث هذا التجزئة إلا لمسافات انتشار قصيرة جدًا وأحجام مربعات كبيرة. ^{[ 62 ]} ويحدث الانقطاع في الخط فقط عند قيمة p قريبة جدًا من الصفر.

تم اقتراح توسيع لهذا القانون. ^{[ 64 ]} الصيغة الأصلية لهذا القانون متناظرة، ولكن يمكن توسيعها إلى صيغة غير متناظرة. ^{[ 64 ]} باستخدام المحاكاة، تتوافق الصيغة المتناظرة مع البيانات عندما يكون هناك ارتباط إيجابي بين حالة المرض لدى الجيران. أما عندما يكون هناك ارتباط سلبي بين احتمالية إصابة الجيران، فإن الصيغة غير المتناظرة تكون أكثر ملاءمة للبيانات.

وقد تم التوصية بذلك بناءً على دراسات المحاكاة ^{[ 65 ]} في التطبيقات التي تختبر صحة قانون تايلور على عينة بيانات:

(1) أن يكون العدد الإجمالي للكائنات الحية المدروسة أكبر من 15 (2) أن يكون الحد الأدنى لعدد مجموعات الكائنات الحية المدروسة أكبر من 5 (3) أن يختلف كثافة الكائنات الحية بمقدار رتبتين على الأقل ضمن العينة

يُفترض عادةً (مبدئيًا على الأقل) أن توزيع السكان عشوائي في البيئة. إذا كان توزيع السكان عشوائيًا، فإن متوسطهم ( م ) وتباينهم ( س² ) متساويان، ونسبة العينات التي تحتوي على فرد واحد على الأقل ( ع ⁾ هي

${\displaystyle p=1-e^{-m}}$

عند مقارنة نوع ذي نمط توزيع متكتل بنوع آخر ذي توزيع عشوائي بكثافة إجمالية متساوية، ستكون قيمة p أقل بالنسبة للنوع ذي نمط التوزيع المتكتل. وعلى العكس، عند مقارنة نوع ذي توزيع منتظم بنوع آخر ذي توزيع عشوائي بكثافة إجمالية متساوية، ستكون قيمة p أكبر بالنسبة للنوع ذي التوزيع العشوائي. ويمكن اختبار ذلك بيانيًا برسم p مقابل m .

قام ويلسون وروم بتطوير نموذج ذي الحدين الذي يتضمن قانون تايلور. ^{[ 66 ]} العلاقة الأساسية هي

${\displaystyle p=1-e^{-m\log(s^{2}/m)(s^{2}/m-1)^{-1}}}$

حيث يتم أخذ اللوغاريتم للأساس e .

وبدمج قانون تايلور، تصبح هذه العلاقة

${\displaystyle p=1-e^{-m\log(am^{b-1})(am^{b-1}-1)^{-1}}}$

معامل التشتت المشترك ( k ) لتوزيع ذي الحدين السالب هو

${\displaystyle k={\frac {m^{2}}{s^{2}-m}}}$

أين${\displaystyle m}$هو متوسط ​​العينة و${\displaystyle s^{2}}$يمثل التباين. ^{[ 67 ]} إذا كانت قيمة 1/ k أكبر من الصفر، يُعتبر المجتمع متجمعًا؛ وإذا كانت 1/ k تساوي الصفر ( s² = m )، يُعتبر المجتمع موزعًا توزيعًا عشوائيًا (بواسون)؛ وإذا كانت 1/ k أقل من الصفر ^، يُعتبر المجتمع موزعًا توزيعًا منتظمًا. لا يمكن التعليق على التوزيع إذا كانت k تساوي الصفر.

قدم ويلسون وروم، بافتراض أن قانون تايلور ينطبق على السكان، مقدرًا بديلًا لـ k : ^{[ 66 ]}

${\displaystyle k={\frac {m}{am^{b-1}-1}}}$

حيث أن a و b هما الثوابت من قانون تايلور.

جونز ^{[ 68 ]} باستخدام التقدير لـ k أعلاه جنبًا إلى جنب مع العلاقة التي طورها ويلسون وروم لاحتمالية العثور على عينة تحتوي على فرد واحد على الأقل ^{[ 66 ].}

${\displaystyle p=1-e^{-m\log(am^{b-1})(am^{b-1}-1)^{-1}}}$

استنتج جونز مُقدِّرًا لاحتمالية احتواء عينة ما على x فردًا لكل وحدة معاينة. صيغة جونز هي:

${\displaystyle P(x)=P(x-1){\frac {k+x-1}{x}}{\frac {mk^{-1}}{mk^{-1}-1}}}$

حيث P ( x ) هي احتمالية العثور على x فردًا لكل وحدة عينة، ويتم تقدير k من معادلة ويلسون وروم، و m هو متوسط ​​العينة. يتم تقدير احتمالية العثور على صفر من الأفراد P (0) باستخدام التوزيع ذي الحدين السالب.

${\displaystyle P(0)=\left(1+{\frac {m}{k}}\right)^{-k}}$

يقدم جونز أيضًا فترات ثقة لهذه الاحتمالات.

${\displaystyle \mathrm {CI} =t\left({\frac {P(x)(1-P(x))}{N}}\right)^{1/2}}$

حيث CI هي فترة الثقة، و t هي القيمة الحرجة المأخوذة من توزيع t و N هو إجمالي حجم العينة.

اقترح كاتز عائلة من التوزيعات ( عائلة كاتز ) ذات معلَمين ( w1 ، w2 ). ^{[ 69 ]} تشمل هذه العائلة من التوزيعات توزيعات برنولي ، والهندسية _، وباسكال _، وبواسون كحالات خاصة. متوسط ​​وتباين توزيع كاتز هما

${\displaystyle m={\frac {w_{1}}{1-w_{2}}}}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {w_{1}}{(1-w_{2})^{2}}}}$

حيث m هو المتوسط ​​و s² هو تباين العينة. يمكن تقدير المعلمات باستخدام طريقة العزوم، ومنها ^لدينا

${\displaystyle {\frac {w_{1}}{1-w_{2}}}=m}$

${\displaystyle {\frac {w_{2}}{1-w_{2}}}={\frac {s^{2}-m}{m}}}$

بالنسبة لتوزيع بواسون، _فإن w₂ = 0 و w₁ = λ _هو معلمة توزيع بواسون. تُعرف هذه العائلة من التوزيعات أحيانًا باسم عائلة توزيعات بانجر.

ترتبط عائلة كاتز بعائلة توزيعات سوندت-جويل: ^{[ 70 ]}

${\displaystyle p_{n}=\left(a+{\frac {b}{n}}\right)p_{n-1}}$

الأعضاء الوحيدون في عائلة Sundt-Jewel هم توزيعات Poisson و binomial و negative binomial (Pascal) و extended truncated negative binomial و logarimic series .

إذا كان التوزيع السكاني يتبع توزيع كاتز، فإن معاملات قانون تايلور هي

${\displaystyle a=-\log(1-w_{2})}$

${\displaystyle b=1}$

كما قدم كاتز اختبارًا إحصائيًا ^{[ 69 ]}

${\displaystyle J_{n}={\sqrt {\frac {n}{2}}}{\frac {s^{2}-m}{m}}}$

حيث J n هي إحصائية الاختبار، وs 2 هي تباين العينة، وm هو متوسط ​​العينة، و n هو حجم العينة. تتوزع J n  توزيعًا طبيعيًا تقاربيًا بمتوسط ​​صفر وتباين يساوي واحدًا. إذا كانت العينة موزعة توزيع بواسون، فإن J n = 0؛ وتشير قيم J n < 0 و> 0 إلى تشتت ناقص وتشتت زائد على التوالي. غالبًا ما ينتج التشتت الزائد عن عدم التجانس الكامن - أي وجود مجموعات فرعية متعددة داخل المجتمع الذي سُحبت منه العينة.

ترتبط هذه الإحصائية بإحصائية نيمان-سكوت

${\displaystyle NS={\sqrt {\frac {n-1}{2}}}\left({\frac {s^{2}}{m}}-1\right)}$

والذي من المعروف أنه طبيعي تقاربياً وإحصائية مربع كاي الشرطية (اختبار تشتت بواسون)

${\displaystyle T={\frac {(n-1)s^{2}}{m}}}$

والذي من المعروف أنه يمتلك توزيع كاي تربيع تقاربي مع n − 1 درجة حرية عندما يكون التوزيع السكاني بواسون.

إذا كان عدد السكان يخضع لقانون تايلور،

${\displaystyle J_{n}={\sqrt {\frac {n}{2}}}(am^{b-1}-1)}$

إذا افترضنا تطبيق قانون تايلور، فمن الممكن تحديد متوسط ​​الوقت اللازم للانقراض المحلي. يفترض هذا النموذج مسارًا عشوائيًا بسيطًا مع مرور الوقت، وغياب تنظيم السكان المعتمد على الكثافة. ^{[ 71 ]}

يترك${\displaystyle N_{t+1}=rN_{t}}$حيث N _{t +1} و N _t هما حجم السكان في الوقت t  +  1 و t على التوالي، و r هو معامل يساوي الزيادة (أو النقصان) السنوي في عدد السكان.

${\displaystyle \operatorname {var} (r)=s^{2}\log r}$

أين${\displaystyle {\text{var}}(r)}$هو تباين${\displaystyle r}$.

يترك${\displaystyle K}$يمكن اعتبارها مقياسًا لوفرة الأنواع (الكائنات الحية لكل وحدة مساحة). ثم

${\displaystyle T_{E}={\frac {2\log N}{\operatorname {Var} (r)}}\left(\log K-{\frac {\log N}{2}}\right)}$

حيث يمثل T _E متوسط ​​الوقت اللازم للانقراض المحلي.

احتمالية الانقراض بحلول الوقت t هي

${\displaystyle P(t)=1-e^{t/T_{E}}}$

إذا كان توزيع السكان لوغاريتميًا طبيعيًا، فإن المتوسط ​​التوافقي لحجم السكان ( H ) يرتبط بالمتوسط ​​الحسابي ( m ) ^{[ 72 ].}

${\displaystyle H=m-am^{b-1}}$

بما أن H يجب أن تكون أكبر من 0 لكي يستمر السكان، فإن إعادة الترتيب ينتج عنه

${\displaystyle m>a^{1/(2-b)}}$

هو الحد الأدنى لحجم السكان اللازم لبقاء النوع.

يبدو أن افتراض التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ينطبق على حوالي نصف عينة مكونة من 544 نوعًا. ^{[ 73 ]} مما يشير إلى أنه على الأقل افتراض معقول.

تُعرَّف درجة الدقة ( D ) بأنها s / m ، حيث s هو الانحراف المعياري و m هو المتوسط. تُعرف درجة الدقة في سياقات أخرى بمعامل التباين . في أبحاث علم البيئة، يُوصى بأن تكون D ضمن النطاق 10-25%. ^{[ 74 ]} تُعد درجة الدقة المطلوبة مهمة في تقدير حجم العينة اللازم عندما يرغب الباحث في اختبار ما إذا كان قانون تايلور ينطبق على البيانات. تم تقدير حجم العينة المطلوب لعدد من التوزيعات البسيطة، ولكن عندما يكون توزيع المجتمع غير معروف أو لا يمكن افتراضه، قد يلزم استخدام صيغ أكثر تعقيدًا لتحديد حجم العينة المطلوب.

عندما يكون توزيع المجتمع الإحصائي توزيع بواسون، فإن حجم العينة ( ن ) المطلوب هو

${\displaystyle n={\frac {(t/D)^{2}}{m}}}$

حيث t هو المستوى الحرج لتوزيع t للخطأ من النوع 1 مع درجات الحرية التي تم حساب المتوسط ​​( m ) بها.

إذا كان توزيع السكان يتبع التوزيع ذي الحدين السالب، فإن حجم العينة المطلوب هو

${\displaystyle n={\frac {(t/D)^{2}(m+k)}{mk}}}$

حيث k هو معامل التوزيع ذي الحدين السالب.

كما تم اقتراح مقدر لحجم العينة أكثر عمومية ^{[ 75 ]}

${\displaystyle n=\left({\frac {t}{D}}\right)^{2}am^{b-2}}$

حيث يتم اشتقاق a و b من قانون تايلور.

وقد اقترح ساوثوود بديلاً ^{[ 76 ]}

${\displaystyle n=a{\frac {m^{b}}{D^{2}}}\,}$

حيث n هو حجم العينة المطلوب، و a و b هما معاملات قانون تايلور و D هي درجة الدقة المطلوبة.

اقترح كاراندينوس تقديرين متشابهين لـ n . ^{[ 77 ]} تم تعديل الأول بواسطة روسينك ليتضمن قانون تايلور. ^{[ 78 ]}

${\displaystyle n=\left({\frac {t}{d_{m}}}\right)^{2}am^{b-2}}$

حيث يمثل d نسبة نصف فترة الثقة المطلوبة ( CI ) إلى المتوسط. بالرموز

${\displaystyle d_{m}={\frac {CI}{2m}}}$

يُستخدم المُقدِّر الثاني في أخذ العينات الثنائية (الوجود/الغياب). حجم العينة المطلوب ( n ) هو

${\displaystyle n=\left(td_{p}\right)^{2}p^{-1}q}$

حيث تمثل d _p نسبة نصف فترة الثقة المطلوبة إلى نسبة وحدات العينة التي تحتوي على أفراد، و p هي نسبة العينات التي تحتوي على أفراد، و q  =  1  − p . بالرموز 

${\displaystyle d_{p}={\frac {CI}{2p}}}$

بالنسبة لأخذ العينات الثنائية (وجود/غياب)، قام شولتيس وآخرون بتعديل معادلة كاراندينوس

${\displaystyle N=\left({\frac {t}{D_{pi}}}\right)^{2}{\frac {1-p}{p}}}$

حيث N هو حجم العينة المطلوب، و p هي نسبة الوحدات التي تحتوي على الكائنات الحية محل الاهتمام، و t هو مستوى الدلالة المختار، و D _ip هو معلمة مشتقة من قانون تايلور. ^{[ 79 ]}

التحليل التسلسلي هو أسلوب إحصائي لا يُحدد فيه حجم العينة مسبقًا، بل تُؤخذ العينات وفقًا لقاعدة توقف محددة مسبقًا . وقد استُخدم قانون تايلور لاستنباط عدد من قواعد التوقف.

تم اشتقاق صيغة للدقة الثابتة في أخذ العينات المتسلسلة لاختبار قانون تايلور بواسطة غرين في عام 1970. ^{[ 80 ]}

${\displaystyle \log T={\frac {\log(D^{2})-a}{b-2}}+(\log n){\frac {b-1}{b-2}}}$

حيث T هو إجمالي العينة التراكمي، و D هو مستوى الدقة، و n هو حجم العينة، ويتم الحصول على a و b من قانون تايلور.

كأداة مساعدة في مكافحة الآفات، طور ويلسون وآخرون اختبارًا يتضمن مستوى عتبة يجب عنده اتخاذ إجراء. ^{[ 81 ]} حجم العينة المطلوب هو

${\displaystyle n=t|m-T|^{-2}am^{b}}$

حيث a و b هما معاملا تايلور، و || هي القيمة المطلقة ، و m هو متوسط ​​العينة، و T هو مستوى العتبة، و t هو المستوى الحرج لتوزيع t. كما قدم المؤلفون اختبارًا مشابهًا لأخذ العينات الثنائية (الوجود/الغياب).

${\displaystyle n=t|m-T|^{-2}pq}$

حيث p هو احتمال العثور على عينة بها آفات موجودة و q  =  1  − p . 

وقد استنتج غرين صيغة أخرى لأخذ العينات المتسلسلة بناءً على قانون تايلور ^{[ 82 ].}

${\displaystyle D=(an^{1-b}T^{b-2})^{1/2}}$

حيث D هي درجة الدقة، و a و b هما معاملات قانون تايلور، و n هو حجم العينة و T هو العدد الإجمالي للأفراد الذين تم أخذ عينات منهم.

اقترح سيرا وآخرون قاعدة توقف تستند إلى قانون تايلور. ^{[ 83 ]}

${\displaystyle T_{n}\geq \left({\frac {an^{1-b}}{D^{2}}}\right)^{1/(2-b)}}$

حيث أن a و b هما المعلمات من قانون تايلور، و D هو مستوى الدقة المطلوب و T _n هو حجم العينة الكلي.

كما اقترح سيرا وآخرون قاعدة توقف ثانية تستند إلى انحدار إيوا.

${\displaystyle T_{n}\geq {\frac {\alpha -1}{D^{2}-{\frac {\beta -1}{n}}}}}$

حيث α و β هما معلمات خط الانحدار، و D هو مستوى الدقة المطلوب و T _n هو إجمالي حجم العينة.

أوصى المؤلفون بتحديد قيمة D عند 0.1 لدراسات ديناميكيات السكان و D  =  0.25 لمكافحة الآفات.

اقترح بارليت في عام 1936 ^{[ 85 ]} ، ثم إيواو بشكل مستقل في عام 1968 ^{[ 86 ]} ، علاقة بديلة بين التباين والمتوسط. بالرموز

${\displaystyle s_{i}^{2}=am_{i}+bm_{i}^{2}\,}$

حيث s هو التباين في العينة رقم i و m _i هو متوسط ​​العينة رقم i

عندما يتبع السكان توزيعًا ثنائي الحد السالب ، فإن a  =  1 و b  = k (أس التوزيع الثنائي الحد السالب). 

لم يثبت أن هذه الصيغة البديلة مناسبة مثل قانون تايلور في معظم الدراسات.

اقترح ناشمان علاقة بين متوسط ​​الكثافة ونسبة العينات ذات العد الصفري: ^{[ 87 ]}

${\displaystyle p_{0}=\exp(-am^{b})}$

حيث p₀ هي نسبة العينة التي تحتوي على عدد صفري، و m هي الكثافة المتوسطة، وa هو معامل المقياس، و b هو معامل التشتت. إذا كان a = b = 1 _، فإن التوزيع عشوائي. عادةً ما يتم اختبار هذه العلاقة في صيغتها اللوغاريتمية.

${\displaystyle \log m=c+d\log p_{0}}$

استخدم ألسوب هذه العلاقة جنبًا إلى جنب مع قانون تايلور لاستخلاص تعبير عن نسبة الوحدات المصابة في العينة ^{[ 88 ].}

${\displaystyle P_{1}=1-\exp \left(-\exp \left({\frac {{\frac {\log _{e}\left({\frac {A^{2}}{a}}\right)}{b-2}}+\log _{e}(n)\left({\frac {b-1}{b-2}}-1\right)-c}{d}}\right)\right)}$

${\displaystyle N=nP_{1}}$

أين

${\displaystyle A^{2}={\frac {D^{2}}{z_{\alpha /2}^{2}}}}$

حيث D ² هي درجة الدقة المطلوبة، و z _α/2 هي α/2 العليا للتوزيع الطبيعي، و a و b هما معاملات قانون تايلور، و c و d هما معاملات ناخمان، و n هو حجم العينة و N هو عدد الوحدات المصابة.

لا يُعدّ أخذ العينات الثنائية أمراً نادراً في علم البيئة. ففي عام 1958، اشتقّ كونو وسوجينو معادلة تربط نسبة العينات الخالية من الأفراد بمتوسط ​​كثافة العينات. ^{[ 89 ]}

${\displaystyle \log(m)=\log(a)+b\log(-\log(p_{0}))}$

حيث تمثل p₀ نسبة العينة الخالية من الأفراد، وm متوسط ​​كثافة العينة، و a و b ثابتان. وكما هو الحال مع قانون تايلور، فقد وُجد أن هذه المعادلة تُناسب مجموعة متنوعة من المجتمعات _، بما في ذلك تلك التي تخضع لقانون تايلور. وعلى عكس التوزيع ذي الحدين السالب، فإن هذا النموذج مستقل عن متوسط ​​الكثافة.

اشتقاق هذه المعادلة بسيط. لنفترض أن نسبة الوحدات الفارغة هي p _0، وأن هذه الوحدات موزعة توزيعًا أُسّيًا. عندئذٍ

${\displaystyle p_{0}=\exp(-Am^{B})}$

بأخذ اللوغاريتم مرتين وإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على المعادلة أعلاه. هذا النموذج هو نفسه النموذج الذي اقترحه ناخمان.

تكمن ميزة هذا النموذج في أنه لا يتطلب عدّ الأفراد، بل يكفي رصد وجودهم أو غيابهم. وقد لا يكون عدّ الأفراد ممكناً في كثير من الحالات، لا سيما عند دراسة الحشرات.

ملحوظة

تم اشتقاق المعادلة أثناء دراسة العلاقة بين نسبة P من سلسلة تلال الأرز المصابة ومتوسط ​​شدة الإصابة m . وكان النموذج المدروس هو 

${\displaystyle P=1-ae^{bm}}$

حيث a و b ثابتان تجريبيان. وبناءً على هذا النموذج، تم اشتقاق الثابتين a و b وإعداد جدول يربط بين قيم P و m 

الاستخدامات

إن التقديرات المتوقعة لـ m من هذه المعادلة عرضة للتحيز ^{[ 90 ]} ويوصى باستخدام المتوسط ​​المعدل ( ma _{) بدلاً من ذلك} ^{[ 91 ].}

${\displaystyle m_{a}=m\left(1-{\frac {\operatorname {var} (\log(m_{i}))}{2}}\right)}$

حيث يمثل var تباين متوسطات وحدة العينة m _i و m هو المتوسط ​​العام.

^{[ 91 ]} وهو تعديل بديل لتقديرات المتوسط.

${\displaystyle m_{a}=me^{({\text{MSE}}/2)}}$

حيث MSE هو متوسط ​​مربع الخطأ في الانحدار.

يمكن استخدام هذا النموذج أيضًا لتقدير خطوط التوقف لأخذ العينات التعدادية (التسلسلية). تباين المتوسطات المقدرة هو ^{[ 92 ].}

${\displaystyle \operatorname {var} (m)=m^{2}(c_{1}+c_{2}-c_{3}+{\text{MSE}})}$

أين

${\displaystyle c_{1}={\frac {\beta ^{2}(1-p_{0})}{np_{0}\log _{e}(p_{0})^{2}}}}$

${\displaystyle c_{2}={\frac {\text{MSE}}{N}}+s_{\beta }^{2}(\log _{e}(\log _{e}(p_{0}))-p^{2})}$

${\displaystyle c_{3}={\frac {\exp(a+(b-2)[\alpha -\beta \log _{e}(p_{0})])}{n}}}$

حيث MSE هو متوسط ​​مربع الخطأ في الانحدار، و α و β هما ثابت وميل الانحدار على التوالي، و ^sβ² _هو تباين ميل الانحدار، _و N هو عدد النقاط في الانحدار، وn هو عدد وحدات العينة، و p هو متوسط ​​قيمة p₀ في الانحدار. يتم تقدير المعاملين a و b باستخدام قانون تايلور.

${\displaystyle s^{2}=a+b\log _{e}(m)}$

اقترح هيوز ومادن اختبار علاقة مماثلة قابلة للتطبيق على الملاحظات الثنائية في المجموعات، حيث تحتوي كل مجموعة على ما بين 0 إلى n فرد. ^{[ 60 ]}

${\displaystyle var_{\text{obs}}=ap^{b}(1-p)^{c}}$

حيث a و b و c ثوابت، و var _obs هو التباين المرصود، و p هي نسبة الأفراد الذين يحملون سمة معينة (مثل المرض)، وهي تقدير لاحتمالية امتلاك الفرد لهذه السمة. في الصيغة اللوغاريتمية، تكون هذه العلاقة كما يلي:

${\displaystyle \log(\operatorname {var} _{\text{obs}})=\log(a)+b\log(p)+c\log(1-p).}$

في معظم الحالات، يُفترض أن b = c ، مما يؤدي إلى نموذج بسيط

${\displaystyle \operatorname {var} _{\text{obs}}=a(p(1-p))^{b}}$

خضعت هذه العلاقة لاختبارات أقل شمولاً من قانون تايلور. ومع ذلك، فقد وصفت بدقة أكثر من 100 مجموعة بيانات، ولا توجد أمثلة منشورة تشير إلى عدم جدواها. ^{[ 62 ]}

اقترح شيومي وآخرون ( ^{[ 93 ]} ) صيغة معدلة لهذه المعادلة، حيث اقترحوا اختبار الانحدار.

${\displaystyle \log(\operatorname {var} _{\text{obs}}/n^{2})=a+b\log {\frac {p(1-p)}{n}}}$

حيث var _obs هو التباين، و a و b هما ثوابت الانحدار، و n هنا هو حجم العينة (وليس العينة لكل مجموعة) و p هو احتمال احتواء العينة على فرد واحد على الأقل.

تم اقتراح نموذج ذي الحدين السالب أيضًا. ^{[ 94 ]} يُحسب معامل التشتت ( k ) باستخدام طريقة العزوم على النحو التالي: ^{m² /} ( s² – m ) _، و pᵢ هي نسبة العينات ذات القيم الأكبر من الصفر. القيم ^s² المستخدمة في حساب k هي القيم المتوقعة وفقًا لقانون تايلور. يتم رسم pᵢ مقابل 1 ₋ ( k ( k + m ) − 1 ⁾ k ^، ويتم فحص مدى تطابق البيانات بصريًا.    

اقترح بيري وتايلور مقدرًا بديلًا لـ k بناءً على قانون تايلور. ^{[ 95 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {am^{b-2}-1}{m}}}$

يمكن الحصول على تقدير أفضل لمعامل التشتت باستخدام طريقة الاحتمال الأقصى . بالنسبة للتوزيع ذي الحدين السالب، يمكن تقديره من المعادلة ^{[ 67 ].}

${\displaystyle \sum {\frac {A_{x}}{k+x}}=N\log \left(1+{\frac {m}{k}}\right)}$

حيث يمثل A _x العدد الإجمالي للعينات التي تحتوي على أكثر من x فرد، وN العدد الإجمالي للأفراد، وx عدد الأفراد في العينة، و m متوسط ​​عدد الأفراد في كل عينة، و k الأس. يجب تقدير قيمة k عدديًا.

يمكن اختبار مدى ملاءمة هذا النموذج بعدة طرق، بما في ذلك استخدام اختبار مربع كاي. ولأن هذه الاختبارات قد تتأثر بتحيز العينات الصغيرة، فإن البديل هو ^{إحصائية} U ، وهي الفرق بين التباين المتوقع في ظل التوزيع ذي الحدين السالب وتباين العينة. التباين المتوقع لهذا التوزيع هو m + m² / k .

${\displaystyle U=s^{2}-m+{\frac {m^{2}}{k}}}$

حيث s ² هو تباين العينة، و m هو متوسط ​​العينة، و k هو معامل ذي الحدين السالب.

تباين U هو ^{[ 67 ]}

${\displaystyle \operatorname {var} (U)=2mp^{2}q\left({\frac {1-R^{2}}{-\log(1-R)-R}}\right)+p^{4}{\frac {(1-R)^{-k}-1-kR}{N(-\log(1-R)-R)^{2}}}}$

حيث p = m / k ، و q = 1 + p ، و R = p / q، و N هو العدد الإجمالي للأفراد في العينة. القيمة المتوقعة لـ U هي صفر. بالنسبة لأحجام العينات الكبيرة، يتوزع U توزيعًا طبيعيًا.

ملاحظة: التوزيع ذو الحدين السالب هو في الواقع عائلة من التوزيعات تُعرَّف بنسبة المتوسط ​​إلى التباين

${\displaystyle \sigma ^{2}=\mu +a\mu ^{p}}$

حيث a و p ثابتان. عندما a = 0، يُعرَّف هذا التوزيع بتوزيع بواسون. وعندما p = 1 و p = 2، يُعرف التوزيع بتوزيع NB1 و NB2 على التوالي.

هذا النموذج هو نسخة من النموذج الذي اقترحه بارليت سابقاً.

معامل التشتت ( k ) ^{[ 67 ]} هو

${\displaystyle k={\frac {m^{2}}{s^{2}-m}}}$

حيث m هو متوسط ​​العينة و s² هو التباين. إذا كانت k ^{− 1} > 0، يُعتبر المجتمع متجمعًا؛ إذا كانت k ^{− 1} = 0، يُعتبر المجتمع عشوائيًا؛ وإذا كانت k ^{− 1 < 0 ،} يُعتبر المجتمع موزعًا توزيعًا منتظمًا.

أوصى ساوثوود بإجراء انحدار k مقابل المتوسط ​​وثابت ^{[ 76 ]}

${\displaystyle k_{i}=a+bm_{i}}$

حيث يمثل kᵢ _و mᵢ على التوالي معامل التشتت _{ومتوسط ​​العينة رقم i} لاختبار وجود معامل تشتت مشترك ( kᵢc ) . تشير قيمة الميل ( b ) الأكبر من الصفر بشكل ملحوظ إلى اعتماد k على متوسط ​​الكثافة.

اقترح إليوت طريقة بديلة، حيث اقترح رسم ( ^s² - m ) مقابل ( _m² - ^s² / ⁿ ) . [ ^{96 ] kc} يساوي مقلوب ميل هذا الانحدار.

يُعرَّف هذا المعامل ( C ) على النحو التالي:

${\displaystyle C={\frac {100(s^{2}-m)^{0.5}}{m}}}$

إذا كان من الممكن افتراض أن السكان موزعون بطريقة ذات حدين سالب، فإن C = 100 (1/ k ) ^0.5 حيث k هو معامل التشتت للتوزيع.

يُعرَّف هذا المؤشر ( I _{c ) على النحو التالي} ^{[ 97 ]}

${\displaystyle I_{c}={\frac {\sum x^{2}}{(\sum x)^{2}}}}$

التفسير المعتاد لهذا المؤشر هو كما يلي: تعتبر قيم I _c <  1، =  1، > 1 بمثابة توزيع منتظم، أو توزيع عشوائي، أو توزيع مجمع. 

بما أن s² = Σ x² ⁻ (Σx) ^² ، يمكن كتابة الدليل أيضًا على النحو ^التالي

${\displaystyle I_{c}={\frac {s^{2}+(nm)^{2}}{(nm)^{2}}}={\frac {1}{n^{2}}}{\frac {s^{2}}{m^{2}}}+1}$

إذا أمكن افتراض صحة قانون تايلور، فإن

${\displaystyle I_{c}={\frac {am^{b-2}}{n^{2}}}+1}$

مؤشر لويد للازدحام المتوسط ​​( IMC ) هو متوسط ​​عدد النقاط الأخرى الموجودة في وحدة العينة التي تحتوي على نقطة مختارة عشوائياً. ^{[ 98 ]}

${\displaystyle \mathrm {IMC} =m+{\frac {s^{2}}{m-1}}}$

حيث m هو متوسط ​​العينة و s ² هو التباين.

مؤشر لويد للتفاوت ( IP ) ^{[ 98 ]} هو

${\displaystyle \mathrm {IP} ={\text{IMC}}/m}$

هو مقياس لكثافة النمط لا يتأثر بالتخفيف (الإزالة العشوائية للنقاط). وقد اقترح بيلو هذا المؤشر أيضًا في عام 1988، ويُعرف أحيانًا بهذا الاسم أيضًا.

نظرًا لصعوبة تقدير تباين IP من الصيغة نفسها، اقترح لويد ملاءمة توزيع ذي الحدين السالب للبيانات. تعطي هذه الطريقة قيمة المعامل k.

${\displaystyle s^{2}=m+{\frac {m^{2}}{k}}}$

ثم

${\displaystyle SE(IP)={\frac {1}{k^{2}}}\left[\operatorname {var} (k)+{\frac {k(k+1)(k+m)}{mq}}\right]}$

أين${\displaystyle SE(IP)}$يمثل الخطأ المعياري لمؤشر عدم التجانس،${\displaystyle {\text{var}}(k)}$يمثل تباين المعلمة k و q عدد المربعات التي تم أخذ عينات منها.

إذا كان عدد السكان يخضع لقانون تايلور،

${\displaystyle \mathrm {IMC} =m+a^{-1}m^{1-b}-1}$

${\displaystyle \mathrm {IP} =1+a^{-1}m^{-b}-{\frac {1}{m}}}$

اقترح إيواو نموذج انحدار التجزؤ لاختبار التكتل ^{[ 99 ] [ 100 ]}

يترك

${\displaystyle y_{i}=m_{i}+{\frac {s^{2}}{m_{i}}}-1}$

يمثل y _i هنا مؤشر لويد للازدحام المتوسط. ^{[ 98 ]} قم بإجراء تحليل انحدار المربعات الصغرى العادية لـ m _i مقابل y . 

في هذا التحليل الانحداري، تُشير قيمة الميل ( b  ) إلى التكتل: الميل =  1 إذا كانت البيانات موزعة وفقًا لتوزيع بواسون. أما الثابت ( a ) فهو عدد الأفراد الذين يتشاركون وحدة موطن بكثافة متناهية الصغر، وقد تكون قيمته أقل من 0 أو 0 أو أكبر من 0. تُمثل هذه القيم على التوالي انتظام التوزيع، وعشوائيته، وتكتله في أنماط مكانية. تُعتبر قيمة a < 1 دلالة على أن الوحدة الأساسية للتوزيع هي فرد واحد.

^{عندما لا تكون} الإحصائية s² / m ثابتة ^، يُوصى باستخدامها بدلاً من ذلك لتحليل انحدار مؤشر لويد مقابل am + bm² حيث a و b ثابتان. ^{[ 101 ]}

يتم تحديد حجم العينة ( n ) لدرجة معينة من الدقة ( D ) لهذا الانحدار بواسطة ^{[ 101 ]}

${\displaystyle n=\left({\frac {t}{D}}\right)^{2}\left({\frac {a+1}{m}}+b-1\right)}$

حيث a هو الثابت في هذا الانحدار، و b هو الميل، و m هو المتوسط، و t هي القيمة الحرجة لتوزيع t.

اقترح إيواو اختبار أخذ عينات متسلسل بناءً على هذا الانحدار. ^{[ 102 ]} تستند الحدود العليا والدنيا لهذا الاختبار إلى الكثافات الحرجة m _c حيث يتطلب مكافحة الآفة اتخاذ إجراء.

${\displaystyle N_{u}=im_{c}+t(i(a+1)m_{c}+(b-1)m_{c}^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle N_{l}=im_{c}-t(i(a+1)m_{c}+(b-1)m_{c}^{2})^{1/2}}$

حيث N _u و N _l هما الحدين العلوي والسفلي على التوالي، و a هو الثابت من الانحدار، و b هو الميل و i هو عدد العينات.

اقترح كونو اختبار توقف تسلسلي بديل يعتمد أيضًا على هذا الانحدار. ^{[ 103 ]}

${\displaystyle T_{n}={\frac {a+1}{D^{2}-{\frac {b-1}{n}}}}}$

حيث T _n هو إجمالي حجم العينة، D هي درجة الدقة، n هو عدد وحدات العينة، a هو الثابت و b هو الميل من الانحدار على التوالي.

يخضع اختبار كونو للشرط التالي: n ≥ ( b − 1) / D ²

اقترح باريلا وجونز خط توقف بديل ولكنه ذو صلة ^{[ 104 ]}

${\displaystyle T_{n}=\left(1-{\frac {n}{N}}\right){\frac {a+1}{D^{2}-\left(1-{\frac {n}{N}}\right){\frac {b-1}{n}}}}}$

حيث أن a و b هما المعلمات من الانحدار، و N هو الحد الأقصى لعدد الوحدات التي تم أخذ عينات منها و n هو حجم العينة الفردية.

مؤشر تشتت ماساكي موريسيتا ( I_{_m} ) هو الاحتمال المُقاس لوجود نقطتين تم اختيارهما عشوائيًا من المجتمع الإحصائي بأكمله في نفس العينة. ^{[ 105 ]} تشير القيم الأعلى إلى توزيع أكثر تكتلًا.

${\displaystyle I_{m}={\frac {\sum x(x-1)}{nm(m-1)}}}$

صيغة بديلة هي

${\displaystyle I_{m}=n{\frac {\sum x^{2}-\sum x}{(\sum x)^{2}-\sum x}}}$

حيث n هو حجم العينة الكلي، و m هو متوسط ​​العينة، و x هي القيم الفردية مع جمعها على كامل العينة. وهو يساوي أيضًا

${\displaystyle I_{m}={\frac {n\operatorname {IMC} }{nm-1}}}$

حيث يمثل IMC مؤشر لويدز للازدحام. ^{[ 98 ]}

هذا المؤشر مستقل نسبيًا عن الكثافة السكانية، ولكنه يتأثر بحجم العينة. تشير القيم الأكبر من 1 إلى التكتل، بينما تشير القيم الأقل من 1 إلى التوزيع المنتظم، وتشير القيمة 1 إلى عينة عشوائية.

أظهر موريسيتا أن الإحصائية ^{[ 105 ]}

${\displaystyle I_{m}\left(\sum x-1\right)+n-\sum x}$

يتم توزيعها كمتغير مربع كاي بدرجات حرية n  − 1. 

تم تطوير اختبار دلالة بديل لهذا المؤشر للعينات الكبيرة. ^{[ 106 ]}

${\displaystyle z={\frac {I_{m}-1}{2/(nm^{2})}}}$

حيث يُمثل m متوسط ​​العينة الكلي، و n عدد وحدات العينة، و z محور السينات في التوزيع الطبيعي . ويتم اختبار الدلالة الإحصائية بمقارنة قيمة z بقيم التوزيع الطبيعي .

تتوفر دالة لحسابها في لغة R الإحصائية في حزمة vegan .

ملاحظة: لا ينبغي الخلط بينه وبين مؤشر التداخل لموريسيتا .

قام سميث-جيل بتطوير إحصائية تستند إلى مؤشر موريسيتا، وهي مستقلة عن كل من حجم العينة وكثافة السكان، ومحدودة بين -1 و+1. يتم حساب هذه الإحصائية على النحو التالي ^{[ 107 ]}

حدد أولاً مؤشر موريسيتا ( I _{_d} ) بالطريقة المعتادة. ثم ليكن k عدد الوحدات التي تم أخذ عينة منها من المجتمع. احسب القيمتين الحرجتين

${\displaystyle M_{u}={\frac {\chi _{0.975}^{2}-k+\sum x}{\sum x-1}}}$

${\displaystyle M_{c}={\frac {\chi _{0.025}^{2}-k+\sum x}{\sum x-1}}}$

حيث χ ² هي قيمة مربع كاي لدرجات الحرية n − 1 عند مستويات الثقة 97.5٪ و 2.5٪.

ثم يتم حساب المؤشر المعياري ( I _p ) من إحدى الصيغ أدناه.

عندما يكون I _d ≥ M _c > 1

${\displaystyle I_{p}=0.5+0.5\left({\frac {I_{d}-M_{c}}{k-M_{c}}}\right)}$

عندما يكون M _c > I _d ≥ 1

${\displaystyle I_{p}=0.5\left({\frac {I_{d}-1}{M_{u}-1}}\right)}$

_{عندما يكون} 1 > I _d ≥ Mu

${\displaystyle I_{p}=-0.5\left({\frac {I_{d}-1}{M_{u}-1}}\right)}$

عندما يكون 1 > M _u > I _d

${\displaystyle I_{p}=-0.5+0.5\left({\frac {I_{d}-M_{u}}{M_{u}}}\right)}$

تتراوح قيمة I _p بين +1 و -1 بفترات ثقة 95% تبلغ ±0.5. وتكون قيمة I _p تساوي 0 إذا كان النمط عشوائيًا؛ وإذا كان النمط منتظمًا، فإن I _p < 0؛ وإذا أظهر النمط تكتلًا، فإن I _p > 0.

يُعرَّف مؤشر ساوثوود للتجميع المكاني ( k ) على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {m^{*}}{m}}-1}$

حيث m هو متوسط ​​العينة و m * هو مؤشر لويد للازدحام. ^{[ 76 ]}

مؤشر فيشر للتشتت ^{[ 108 ] [ 109 ]} هو

${\displaystyle \mathrm {ID} ={\frac {(n-1)s^{2}}{m}}}$

يمكن استخدام هذا المؤشر لاختبار التشتت الزائد في المجتمع الإحصائي. يُوصى في التطبيقات بأن يكون حجم العينة (n) أكبر من 5 ^{[ 110 ]} وأن يكون مجموع العينة مقسومًا على عدد العينات أكبر من 3. (بالرموز)

${\displaystyle {\frac {\sum x}{n}}>3}$

حيث x قيمة عينة فردية. يساوي التوقع الإحصائي للمؤشر n ، ويتبع توزيع كاي تربيع بدرجات حرية n − 1 عندما يكون توزيع المجتمع بواسون. ^{[ 110 ]} ويساوي معامل المقياس عندما يتبع توزيع المجتمع جاما .  

يمكن تطبيق هذا الاختبار على كلٍّ من عموم السكان والمناطق الفردية التي تم أخذ عينات منها بشكل منفصل. ويجب أن يشمل استخدام هذا الاختبار على مناطق العينات الفردية استخدام معامل تصحيح بونفيروني.

إذا كان عدد السكان يخضع لقانون تايلور،

${\displaystyle \mathrm {ID} =(n-1)am^{b-1}}$

ابتكر ديفيد ومور مؤشر حجم التكتل ( ICS ). ^{[ 111 ]} في ظل التوزيع العشوائي (بواسون)، من المتوقع أن يساوي مؤشر حجم التكتل صفرًا. تشير القيم الموجبة إلى توزيع متكتل، بينما تشير القيم السالبة إلى توزيع منتظم.

${\displaystyle \mathrm {ICS} ={\frac {s^{2}}{m-1}}}$

حيث s ² هو التباين و m هو المتوسط.

إذا كان عدد السكان يخضع لقانون تايلور

${\displaystyle \mathrm {ICS} =am^{b-1}-1}$

يُحسب مؤشر التكتل (ICS) بقسمة إحصائية اختبار كاتز على ( ن / 2) ^1/2، حيث ن هو حجم العينة. ويرتبط هذا المؤشر أيضًا بإحصائية اختبار كلافام، ويُشار إليه أحيانًا بمؤشر التكتل.

مؤشر غرين ( GI ) هو تعديل لمؤشر حجم المجموعة وهو مستقل عن عدد وحدات العينة ( n ). ^{[ 112 ]}

${\displaystyle C_{x}={\frac {s^{2}/m-1}{nm-1}}}$

يساوي هذا المؤشر 0 إذا كان التوزيع عشوائيًا، و1 إذا كان مجمعًا إلى أقصى حد، و-1 / ( nm - 1) إذا كان منتظمًا.

إن توزيع مؤشر غرين غير معروف حاليًا، لذا كان من الصعب وضع اختبارات إحصائية له.

إذا كان عدد السكان يخضع لقانون تايلور

${\displaystyle C_{x}={\frac {am^{b-1}-1}{nm-1}}}$

يُستخدم أسلوب المعاينة الثنائية (وجود/غياب) بكثرة عندما يصعب الحصول على إحصاءات دقيقة. ويُستخدم مؤشر التشتت ( D ) عندما يُقسّم مجتمع الدراسة إلى سلسلة من العينات المتساوية (عدد الوحدات = N ، عدد الوحدات في كل عينة = n ، إجمالي حجم المجتمع = n × N ). ^{[ 113 ]} التباين النظري لعينة من مجتمع ذي توزيع ذي الحدين هو

${\displaystyle s^{2}=np(1-p)}$

حيث s² هو التباين، وn هو عدد الوحدات المأخوذة منها العينة، و ^p هو متوسط ​​نسبة وحدات العينة التي تحتوي على فرد واحد على الأقل. يُعرَّف مؤشر التشتت ( D ) بأنه نسبة التباين الملاحظ إلى التباين المتوقع. بالرموز

${\displaystyle D={\frac {{\text{var}}_{\text{obs}}}{{\text{var}}_{\text{bin}}}}={\frac {s^{2}}{np(1-p)}}}$

حيث يُمثل var _obs التباين المُلاحَظ، وvar _bin التباين المُتوقّع. يُحسب التباين المُتوقّع باستخدام المتوسط ​​العام للمجتمع. تُعتبر قيم D الأكبر من 1 مؤشرًا على التجميع. يتوزع D ( n -1) وفقًا لتوزيع كاي تربيع بدرجات حرية n -1، حيث n هو عدد الوحدات التي تم أخذ عينات منها.

الاختبار البديل هو اختبار C. ^{[ 114 ]}

${\displaystyle C={\frac {D(nN-1)-nN}{(2N(n^{2}-n))^{1/2}}}}$

حيث D هو مؤشر التشتت، و n هو عدد الوحدات في كل عينة، و N هو عدد العينات. يتوزع C توزيعًا طبيعيًا. تشير القيمة ذات الدلالة الإحصائية لـ C إلى تشتت زائد في المجتمع الإحصائي.

يرتبط D أيضًا بالارتباط داخل الفئة ( ρ ) والذي يتم تعريفه على النحو التالي ^{[ 115 ]}

${\displaystyle \rho =1-{\frac {\sum x_{i}(T-x_{i})}{p(1-p)NT(T-1)}}}$

حيث T هو عدد الكائنات الحية في كل عينة، وp هو احتمال امتلاك الكائن الحي للخاصية المطلوبة (مريض، خالٍ من الآفات، إلخ )، وxi _هو عدد الكائنات الحية في الوحدة i التي تمتلك هذه الخاصية. يجب أن يكون T متساويًا لجميع الوحدات المأخوذة منها العينات. في هذه الحالة، n ثابت.

${\displaystyle \rho ={\frac {D-1}{n-1}}}$

إذا كان من الممكن مطابقة البيانات مع توزيع بيتا ذي الحدين، فإن ^{[ 115 ]}

${\displaystyle D=1+{\frac {(n-1)\theta }{1+\theta }}}$

حيث θ هي معلمة التوزيع. ^{[ 114 ]}

اقترح ما معلمة ( m0 ₎ - الكثافة الحرجة لتجمع السكان - لربط الكثافة السكانية بقانون تايلور. ^{[ 116 ]}

${\displaystyle m_{0}=\exp \left({\frac {\log a}{1-b}}\right)}$

إحدى الإحصائيات ذات الصلة التي اقترحها دي أوليفيرا ^{[ 117 ]} هي الفرق بين التباين والمتوسط. ^{[ 118 ]} إذا كان التوزيع السكاني يتبع توزيع بواسون، فإن

${\displaystyle var(s^{2}-m)={\frac {2t^{2}}{n-1}}}$

حيث t هو معامل بواسون، ^و s² هو التباين، ^و m هو المتوسط، و n هو حجم العينة. القيمة المتوقعة لـ s² - m تساوي صفرًا. هذه الإحصائية موزعة توزيعًا طبيعيًا. ^{[ 119 ]}

إذا تم تقدير معامل بواسون في هذه المعادلة بوضع t = m ، فبعد إجراء بعض التعديلات، يمكن كتابة هذه الإحصائية على النحو التالي

${\displaystyle O_{T}={\sqrt {\frac {n-1}{2}}}{\frac {s^{2}-m}{m}}}$

هذا يكاد يكون مطابقًا لإحصائية كاتز مع استبدال n بـ ( n - 1) . مرة أخرى، يتبع O _T التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​0 وتباين يساوي واحدًا لقيم n الكبيرة . هذه الإحصائية هي نفسها إحصائية نيمان-سكوت.

ملحوظة

اقترح دي أوليفيرا أن تباين s² - m يساوي (1 - 2t¹ ^/ ² ⁺ 3t ) / n ، حيث t هو معامل بواسون. واقترح إمكانية تقدير t بجعله مساويًا لمتوسط ​​العينة ( m ). إلا أن دراسة لاحقة أجراها بونينغ ^{[ 118 ]} أظهرت أن هذا التقدير للتباين غير صحيح. ويرد تصحيح بونينغ في المعادلات أعلاه.

في عام 1936، اقترح كلافام استخدام نسبة التباين إلى المتوسط ​​كإحصائية اختبار (التباين النسبي). ^{[ 120 ]} بالرموز

${\displaystyle \theta ={\frac {s^{2}}{m}}}$

بالنسبة لتوزيع بواسون، تساوي هذه النسبة 1. ولاختبار الانحرافات عن هذه القيمة، اقترح اختبارها مقابل توزيع مربع كاي بدرجات حرية n ، حيث n هو عدد وحدات العينة. وقد درس بلاكمان ^{[ 121 ]} توزيع هذه الإحصائية بشكل أعمق، ولاحظ أنها موزعة توزيعًا طبيعيًا تقريبًا بمتوسط ​​1 وتباين ( Vθ ) يساوي 1 _.

${\displaystyle V_{\theta }={\frac {2n}{(n-1)^{2}}}}$

^{أعاد بارتليت [ 122 ]} تحليل اشتقاق التباين، واعتبره

${\displaystyle V_{\theta }={\frac {2}{n-1}}}$

بالنسبة للعينات الكبيرة، تتفق هاتان الصيغتان تقريبًا. ويرتبط هذا الاختبار بإحصائية كاتز J _n اللاحقة .

إذا كان عدد السكان يخضع لقانون تايلور،

${\displaystyle \theta =am^{b-1}}$

ملحوظة

نُشرت نسخة مُحسّنة من هذا الاختبار أيضًا ^{[ 123 ].} لاحظ مؤلفو هذه النسخة أن الاختبار الأصلي يميل إلى الكشف عن التشتت الزائد عند المقاييس الأعلى حتى عندما لا يكون موجودًا في البيانات. وأشاروا إلى أن استخدام التوزيع متعدد الحدود قد يكون أكثر ملاءمة من استخدام توزيع بواسون لمثل هذه البيانات. الإحصائية θ موزعة

${\displaystyle \theta ={\frac {s^{2}}{m}}={\frac {1}{n}}\sum \left(x_{i}-{\frac {n}{N}}\right)^{2}}$

حيث N هو عدد وحدات العينة، و n هو العدد الإجمالي للعينات التي تم فحصها، و x _i هي قيم البيانات الفردية.

القيمة المتوقعة والتباين لـ θ هما

${\displaystyle \operatorname {E} (\theta )={\frac {N}{N-1}}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (\theta )={\frac {(N-1)^{2}}{N^{3}}}-{\frac {2N-3}{nN^{2}}}}$

بالنسبة لقيم N الكبيرة ، فإن E( θ ) تساوي تقريبًا 1 و

${\displaystyle \operatorname {Var} (\theta )\sim \ {\frac {2}{N}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}$

إذا كان عدد الأفراد الذين تم أخذ عينات منهم ( n ) كبيرًا، فإن تقدير التباين هذا يتوافق مع التقديرات التي تم التوصل إليها سابقًا. ومع ذلك، بالنسبة للعينات الأصغر، تكون هذه التقديرات الأخيرة أكثر دقة، وينبغي استخدامها.