نظرية طاليس

يتم استخدام الحقائق التالية: مجموع الزوايا في المثلث يساوي 180 درجة وزوايا قاعدة المثلث متساوي الساقين متساوية.

بما أن OA = OB = OC ، فإن المثلثين △ OBA و △ OBC متساويي الساقين، وبسبب تساوي زوايا القاعدة في المثلث متساوي الساقين، فإن ∠ OBC = ∠ OCB و ∠ OBA = ∠ OAB .

لنفترض أن α = ∠BAO و β = ∠OBC. الزوايا الداخلية الثلاث للمثلث ∆ABC هي α و ( α + β ) و β . بما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة ، فإننا نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha +(\alpha +\beta )+\beta &=180^{\circ }\\2\alpha +2\beta &=180^{\circ }\\2(\alpha +\beta )&=180^{\circ }\\\therefore \alpha +\beta &=90^{\circ }.\end{aligned}}}$

QED

يمكن إثبات النظرية أيضًا باستخدام حساب المثلثات : ليكن O = (0, 0) ، A = (−1, 0) ، و C = (1, 0) . إذن ، B نقطة على دائرة الوحدة (cos θ , sin θ ) . سنُثبت أن المثلث ABC يُشكّل زاوية قائمة بإثبات أن AB و BC متعامدان ، أي أن حاصل ضرب ميليهما يساوي −1. نحسب ميلي AB و BC :

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{AB}&={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\\[2pt]m_{BC}&={\frac {y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}}}={\frac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\end{aligned}}}$

ثم نبين أن حاصل ضربهما يساوي -1:

$\begin{aligned}\m_{AB}\cdot m_{BC}\\[4pt]={}&\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\\[4pt]={}&\frac {-\sin ^{2}\theta }{-\cos ^{2}\theta +1}}\\[4pt]={}&\frac {-\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}\\[4pt]={}&{-1}\end{aligned}}}$

لاحظ استخدام متطابقة فيثاغورس المثلثية${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.}$

ليكن المثلث ABC مثلثًا داخل دائرة، حيث AB قطرٌ في تلك الدائرة. نرسم مثلثًا جديدًا △ ABD بتدوير المثلث ABC بزاوية 180° حول مركز الدائرة O. بما أننا قمنا بالتدوير بزاوية 180°، فإن المستقيمين AC و BD متوازيان ، وكذلك AD و CB . بالتالي، فإن الشكل الرباعي ACBD متوازي أضلاع . المستقيمان OC و OD متوازيان أيضًا ويلتقيان في O ، لذا فإن CD مستقيم يمر عبر O ، أي أن CD قطرٌ في الدائرة. بما أن المستقيمين AB و CD ، وهما قطرا متوازي الأضلاع، كلاهما قطران في الدائرة، وبالتالي لهما نفس الطول، فإن متوازي الأضلاع مستطيل. جميع زوايا المستطيل قائمة.

يمكن إثبات النظرية باستخدام الجبر المتجهي. لنأخذ المتجهات التالية:${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$و${\displaystyle {\overrightarrow {CB}}}$تحقق هذه المتجهات

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {OB}}\qquad \qquad {\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {CO}}+{\overrightarrow {OB}}}$

ويمكن توسيع حاصل ضربهما النقطي على النحو التالي:

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CB}}=\left({\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {OB}}\right)\cdot \left({\overrightarrow {CO}}+{\overrightarrow {OB}}\right)={\overrightarrow {AO}}\cdot {\overrightarrow {CO}}+({\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {CO}})\cdot {\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OB}}}$

لكن

${\displaystyle {\overrightarrow {AO}}=-{\overrightarrow {CO}}\qquad \qquad {\overrightarrow {AO}}\cdot {\overrightarrow {CO}}=-R^{2}\qquad \qquad {\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OB}}=R^{2}}$

ويختفي حاصل الضرب النقطي.

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CB}}=-R^{2}+{\overrightarrow {0}}\cdot {\overrightarrow {OB}}+R^{2}=0}$

ثم المتجهات${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$و${\displaystyle {\overrightarrow {CB}}}$متعامدتان والزاوية ABC هي زاوية قائمة.

يتكون هذا البرهان من "إكمال" المثلث القائم لتشكيل مستطيل وملاحظة أن مركز هذا المستطيل متساوي البعد عن الرؤوس، وكذلك مركز الدائرة المحيطة بالمثلث الأصلي، وهو يستخدم حقيقتين:

• الزوايا المتجاورة في متوازي الأضلاع متكاملة (مجموعها 180 درجة)، و
• قطرا المستطيل متساويان ويتقاطعان في نقطة المنتصف.

لنفترض وجود زاوية قائمة ∠ABC ، و r خط مستقيم موازٍ لـ BC يمر بالنقطة A ، و s خط مستقيم موازٍ لـ AB يمر بالنقطة C. ولتكن D نقطة تقاطع الخطين r و s . (لم يُثبت بعد أن D تقع على الدائرة).

يشكل الشكل الرباعي ABCD متوازي أضلاع بحكم إنشائه (لأن الأضلاع المتقابلة متوازية). ولأن الزوايا المتجاورة في متوازي الأضلاع متكاملة (مجموعها 180 درجة)، ولأن الزاوية ABC قائمة (90 درجة)، فإن الزوايا BAD و BCD و ADC قائمة أيضاً (90 درجة)؛ وبالتالي فإن ABCD مستطيل، وتقع النقطة D على الدائرة.

لنفترض أن O هي نقطة تقاطع قطري المثلث AC و BD . إذن ، وفقًا للحقيقة الثانية المذكورة أعلاه، فإن النقطة O متساوية البعد عن النقاط A و B و C. وبالتالي، فإن O هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث، ووتر المثلث ( AC ) هو قطر في الدائرة.

بفرض وجود مثلث قائم الزاوية ABC وتره AC ، ارسم دائرة Ω قطرها AC . ولتكن O مركز الدائرة Ω . ولتكن D نقطة تقاطع الدائرة Ω مع الشعاع OB . بحسب نظرية طاليس، فإن الزاوية ADC قائمة. ولكن عندئذٍ يجب أن تكون D مساوية لـ B. (إذا كانت D تقع داخل المثلث ABC ، فإن الزاوية ADC ستكون منفرجة، وإذا كانت D تقع خارج المثلث ABC ، فإن الزاوية ADC ستكون حادة).

يستند هذا البرهان إلى حقيقتين:

• يشكل خطان زاوية قائمة إذا وفقط إذا كان حاصل الضرب القياسي لمتجهاتهما الاتجاهية يساوي صفرًا، و
• مربع طول المتجه يُعطى بالضرب القياسي للمتجه مع نفسه.

لنفترض وجود زاوية قائمة ∠ABC ودائرة M قطرها AC . ولنفترض أن مركز الدائرة M يقع عند نقطة الأصل، لتسهيل الحساب. عندئذٍ نعلم

• A = − C ، لأن قطر الدائرة التي مركزها نقطة الأصل هو AC ، و
• ( A – B ) · ( B – C ) = 0 ، لأن ∠ABC هي زاوية قائمة .

ويتبع ذلك

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=(AB)\cdot (BC)\\&=(AB)\cdot (B+A)\\&=|A|^{2}-|B|^{2}.\\[4pt]\therefore \ |A|&=|B|.\end{aligned}}}$

هذا يعني أن النقطتين A و B متساويتان في البعد عن نقطة الأصل، أي عن مركز الدائرة M. وبما أن A تقع على M ، فإن B تقع عليها أيضاً ، وبالتالي فإن الدائرة M هي الدائرة المحيطة بالمثلث.

تؤكد الحسابات المذكورة أعلاه في الواقع أن كلا اتجاهي نظرية طاليس صحيحان في أي فضاء ضرب داخلي .

يمكن استخدام نظرية طاليس لرسم المماس لدائرة معينة يمر بنقطة معينة. في الشكل على اليمين، إذا كانت لدينا دائرة k مركزها O ونقطة P خارج الدائرة k ، نقسم OP إلى نصفين عند H ونرسم دائرة نصف قطرها OH مركزها H. OP هو قطر هذه الدائرة، لذا فإن المثلثين الواصلين بين OP والنقطتين T و T ′ حيث تتقاطع الدائرتان هما مثلثان قائما الزاوية.

يمكن استخدام نظرية طاليس لإيجاد مركز الدائرة باستخدام جسم ذي زاوية قائمة، مثل مثلث قائم الزاوية أو ورقة مستطيلة أكبر من الدائرة. ^{[ 6 ]} توضع الزاوية في أي مكان على محيطها (الشكل 1). تحدد نقاط تقاطع ضلعي الزاوية مع المحيط قطر الدائرة (الشكل 2). بتكرار هذه العملية مع مجموعة مختلفة من نقاط التقاطع، نحصل على قطر آخر (الشكل 3). يقع المركز عند نقطة تقاطع هذه الأقطار.