مجسم عشروني الوجوه مقطوع

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 13 صور
الموسوعة الحرة

نموذج ثلاثي الأبعاد لمجسم عشريني الوجوه مقطوع

في الهندسة ، يُعرف المجسم العشري الوجوه المقطوع بأنه متعدد السطوح يُمكن إنشاؤه عن طريق اقتطاع جميع رؤوس المجسم العشري الوجوه المنتظم . يُمكن تشبيه هذا المجسم بكرة القدم الأمريكية، وعادةً ما يكون مُزخرفًا بسداسيات بيضاء وخماسيات سوداء. غالبًا ما تُبنى هياكل القباب الجيوديسية ، كتلك التي كان باكمنستر فولر رائدًا في هندستها المعمارية، على هذا الهيكل. وهو مثال على المجسم الأرخميدسي ، بالإضافة إلى كونه متعدد السطوح غولدبيرغ .

بناء

يمكن إنشاء المجسم العشري الوجوه المبتور من مجسم عشري الوجوه منتظم عن طريق قطع جميع رؤوسه، وهي عملية تُعرف بالتقطيع . كل رأس من الرؤوس الاثني عشر الموجودة عند ثلث كل ضلع يُنشئ اثني عشر وجهًا خماسيًا، ويُحوّل الوجوه المثلثية العشرين الأصلية إلى سداسيات منتظمة. [ 1 ] وبالتالي، يحتوي المجسم الناتج على 32 وجهًا (12 خماسيًا و20 سداسيًا)، و90 ضلعًا، و60 رأسًا. [ 2 ]

متعدد السطوح غولدبرغ هو متعدد السطوح تتكون أوجهه من 12 خماسيًا ومضاعفات العدد 10 سداسيًا. توجد ثلاث فئات من متعددات السطوح غولدبرغ، إحداها تُنشأ عن طريق اقتطاع جميع رؤوسها بشكل متكرر، والمجسم العشري الوجوه المقطوع هو أحدها، ويُرمز له بـطبيب عام⁡(1،1){\displaystyle \operatorname {GP} (1,1)}[ 3 ]​

ملكيات

الخصائص المترية

مساحة السطحأ{\displaystyle A}والحجمV{\displaystyle V}من المجسم العشري الوجوه المقطوع ذي طول الحافةأ{\displaystyle a}هي: [ 2 ]أ=(20⋅323+12⋅541+25)أ2≈72.607أ2V=125+4354أ3≈55.288أ3.{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(20\cdot {\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}+12\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\right)a^{2}\approx 72.607a^{2}\\V&={\frac {125+43{\sqrt {5}}}{4}}a^{3}\approx 55.288a^{3}.\end{aligned}}} كروية متعدد السطوحΨ{\displaystyle \Psi }يصف مدى تشابه متعدد السطوح مع الكرة . ويمكن تعريفه بأنه نسبة مساحة سطح كرة لها نفس الحجم إلى مساحة سطح متعدد السطوح، وتتراوح قيمته بين 0 و1. في حالة المجسم العشري الوجوه المقطوع، تكون قيمته: [ 2 ]Ψ=6π1/2Vأ3/2≈0.9504.{\displaystyle \Psi ={\frac {6\pi ^{1/2}V}{A^{3/2}}}\approx 0.9504.}

تبلغ الزاوية ثنائية السطوح للمجسم العشري الوجوه المقطوع بين الأوجه السداسية المتجاورة حوالي 138.18 درجة، وتبلغ الزاوية بين الخماسي والسداسي حوالي 142.6 درجة. [ 4 ]

المجسم العشري الوجوه المقطوع هو مجسم أرخميدسي ، أي أنه متعدد الوجوه متناظر للغاية وشبه منتظم، وتلتقي فيه وجهان أو أكثر من الوجوه المضلعة المنتظمة المختلفة عند رأس واحد. [ 5 ] يتمتع بنفس تناظر المجسم العشري الوجوه المنتظم، وهو التناظر العشري الوجوه ، كما يتمتع بخاصية التعدي عند الرؤوس . [ 6 ] [ 7 ] الوجوه المضلعة التي تلتقي عند كل رأس هي خماسي واحد وسداسيان، وشكل رأس المجسم العشري الوجوه المقطوع هو5⋅62{\displaystyle 5\cdot 6^{2}}المجسم الثنائي للمجسم العشري الوجوه المبتور هو المجسم الخماسي ذو الاثني عشر وجهاً ، وهو مجسم كاتالاني ، [ 8 ] ويشترك في نفس التناظر مع المجسم العشري الوجوه المبتور. [ 9 ]

يتمتع المجسم العشري الوجوه المقطوع بخاصية روبرت ، مما يعني أنه بالنسبة لحجمه نفسه أو حجم أصغر منه، يمكنه المرور عبر ثقب. [ 10 ]

الرسم البياني

الرسم البياني العشري الوجوه المبتور

وفقًا لنظرية شتاينيتز ، يمكن تمثيل هيكل المجسم العشري الوجوه المقطوع، كأي مجسم متعدد الوجوه محدب ، برسم بياني متعدد الوجوه ، أي رسم بياني مستوٍ (يمكن رسمه دون تقاطع الحواف) ورسم بياني متصل بثلاثة رؤوس (يبقى متصلًا عند إزالة رأسين منه). [ 11 ] يُعرف هذا الرسم البياني بالرسم البياني العشري الوجوه المقطوع ، ويحتوي على 60 رأسًا و90 حافة. ​​وهو رسم بياني أرخميدسي لأنه يشبه أحد المجسمات الأرخميدية. وهو رسم بياني مكعب ، أي أن كل رأس متصل بثلاث حواف بالضبط. [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]

مظهر

مقارنة بين المجسم العشري الوجوه المبتور (يسار) وكرة القدم

تُعدّ الكرات المستخدمة في كرة القدم وكرة اليد من أشهر الأمثلة على الأشكال الكروية متعددة الأوجه المشابهة للمجسم العشري الوجوه المبتور، الموجود في حياتنا اليومية. [ 15 ] تتكون الكرة من نفس نمط الأشكال الخماسية والسداسية المنتظمة، كل منها مطلي باللونين الأسود والأبيض على التوالي؛ ومع ذلك، فإن شكلها أقرب إلى الكروية. وقد طرحتها شركة أديداس ، التي أطلقت كرة تيلستار لأول مرة خلال كأس العالم عام 1970. [ 16 ] إلا أنها استُبدلت بكرة أخرى عام 2006. [ 17 ]

جزيء البكمينستر فوليرين

تعتمد القباب الجيوديسية عادةً على أوجه مثلثية لهذا الشكل الهندسي، وتوجد أمثلة على هذه الهياكل في جميع أنحاء العالم، وقد اشتهرت بفضل باكمينستر فولر . ومن الأمثلة على ذلك نموذج باكمينستر فوليرين أو كرة بوكي، وهو شكل متآصل من الكربون العنصري على هيئة قبة جيوديسية مقطوعة على شكل عشرين وجهًا، وقد اكتُشف عام 1985. [ 18 ] وفي تطبيقات هندسية وعلمية أخرى، كان شكله أيضًا هو تصميم العدسات المستخدمة لتركيز موجات الصدمة الانفجارية للمفجرات في كل من القنبلة الذرية "الأداة" وقنبلة " الرجل البدين" . [ 19 ] كما يمكن إيجاد بنيته في بروتين الكلاثرين . [ 14 ]

صورة بييرو ديلا فرانشيسكا للمجسم العشروني المقطوع من كتابه De quinque corporibus Regularibus

كان المجسم العشري الوجوه المقطوع معروفًا لأرخميدس ، الذي صنّف المجسمات الأرخميدية الثلاثة عشر في عمل مفقود. كل ما هو معروف الآن عن عمله على هذه الأشكال يأتي من بابوس الإسكندري ، الذي اكتفى بسرد عدد أوجه كل منها: 12 خماسيًا و20 سداسيًا، في حالة المجسم العشري الوجوه المقطوع. أول صورة معروفة ووصف كامل للمجسم العشري الوجوه المقطوع يعودان إلى إعادة اكتشافه من قبل بييرو ديلا فرانشيسكا ، في كتابه " De quinque corporibus regularibus" الذي يعود إلى القرن الخامس عشر ، والذي تضمن خمسة من المجسمات الأرخميدية (القطع الخمسة للمجسمات المنتظمة). [ 20 ] صوّر ليوناردو دافنشي الشكل نفسه في رسوماته التوضيحية لكتاب لوكا باتشولي المقتبس من كتاب ديلا فرانشيسكا عام 1509. ورغم أن ألبريشت دورر أغفل هذا الشكل من بين المجسمات الأرخميدية الأخرى المذكورة في كتابه عن متعددات السطوح، Underweysung der Messung ، الصادر عام 1525، فقد وُجد وصف له في أوراقه التي نُشرت بعد وفاته عام 1538. وفي وقت لاحق، أعاد يوهانس كيبلر اكتشاف القائمة الكاملة للمجسمات الأرخميدية الثلاثة عشر، بما في ذلك المجسم العشري الوجوه المقطوع، وأدرجها في كتابه Harmonices Mundi الصادر عام 1609. [ 21 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ تشانسي، سي سي؛ أوبراين، إم سي إم (1997). تأثير جان-تيلر في C60 ومجمعات أخرى ذات عشرين وجهًا . مطبعة جامعة برينستون . ص  13. ISBN 978-0-691-22534-0.
  2. 1 2 3 بيرمان، مارتن (1971). "مجسمات محدبة منتظمة الأوجه". مجلة معهد فرانكلين . 291 (5): 329-352 . doi : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . MR 0290245 . 
  3. ↑ هارت، جورج (2012). "مجسمات غولدبيرغ". في سينشال، مارجوري (محررة). تشكيل الفضاء (الطبعة الثانية ). سبرينغر. ص 125-138 . doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_9 . ISBN   978-0-387-92713-8.
  4. ↑ جونسون، نورمان و. ( 1966). "المجسمات المحدبة ذات الوجوه المنتظمة" . المجلة الكندية للرياضيات . 18 : 169-200 . doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507. S2CID 122006114. Zbl 0132.14603 .   
  5. ↑ ديوديا، إم في (2018). التجمعات متعددة الأوجه متعددة الطبقات . مواد الكربون: الكيمياء والفيزياء. المجلد 10. سبرينغر . ص 39. doi : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN   978-3-319-64123-2.
  6. ↑ كوجا، م.؛ كوجا، ن.و. (2013). "مجموعات كوكسيتر، والرباعيات، وتناظرات متعددات السطوح ومتعددات الوجوه رباعية الأبعاد" . الفيزياء الرياضية: وقائع المؤتمر الإقليمي الثالث عشر، أنطاليا، تركيا، 27-31 أكتوبر 2010. وورلد ساينتيفيك. ص 48. 
  7. ↑ كرومويل، بيتر ر. (1997). متعددات السطوح . مطبعة جامعة كامبريدج . ص 386. ISBN  978-0-521-55432-9.
  8. ↑ ويليامز، روبرت (1979). الأساس الهندسي للبنية الطبيعية: كتاب مرجعي في التصميم . منشورات دوفر، ص 90. ISBN  978-0-486-23729-9.
  9. ↑ هولدن، آلان (1991). الأشكال والفضاء والتناظر . كتب دوفر في الرياضيات. شركة كورير. ص 52. ISBN  9780486268514.
  10. ↑ تشاي، يينغ؛ يوان، ليبينغ؛ زامفيريسكو، تيودور (2018). "خاصية روبرت للأجسام الأرخميدية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 125 (6): 497-504 . doi : 10.1080/00029890.2018.1449505 . S2CID 125508192 . 
  11. ↑ نيغامي، س. (2016). "التضمينات الأمينة للرسوم البيانية المستوية على الأسطح المغلقة القابلة للتوجيه" . في: شيران، جوزيف؛ جايكاي، روبرت (محرران). التناظرات في الرسوم البيانية والخرائط والمضلعات: ورشة عمل SIGMAP الخامسة، ويست مالفرن، المملكة المتحدة، يوليو 2014. وقائع سبرينغر في الرياضيات والإحصاء. المجلد 159. سبرينغر. ص 250. doi : 10.1007/978-3-319-30451-9 . ISBN   978-3-319-30451-9.
  12. ↑ ريد، آر سي؛ ويلسون، آر جيه (1998). أطلس الرسوم البيانية . مطبعة جامعة أكسفورد . ص 268. 
  13. ↑ جودسيل، سي.؛ رويل، جي. (2001). نظرية الرسم البياني الجبرية . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 211. 
  14. 1 2 كوستانت، ب. (1995). "رسم بياني للمجسم العشري الوجوه المقطوع والحرف الأخير من غالوا" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 42 (9): 959-968 .
  15. ↑ كوتشيك، ديتر (يوليو-أغسطس 2006). "طوبولوجيا وتوافقيات كرات القدم" . مجلة ساينتست الأمريكية . 94 (4): 350. doi : 10.1511/2006.60.350 .
  16. ↑ هارلاند، آندي؛ هانسون، هنري (2016). "ديناميكيات كرة القدم" . في سترودويك، توني (محرر). علم كرة القدم . هيومان كينيتكس. ص 205. ISBN  978-1-4504-9679-7.
  17. ^ بوسامينتييه، ألفريد س. ماريش، غونتر؛ ثالر، بيرند. سبريتزر، كريستيان؛ جيريتشلاجر، روبرت؛ ستهلبفارير، ديفيد؛ دورنر ، كريستيان (2022). الهندسة في عالمنا ثلاثي الأبعاد . العلمية العالمية. ص. 182. ردمك  9789811237126.
  18. ↑ كاتز، إي. أ. (2006). "أغشية الفوليرين الرقيقة كمواد كهروضوئية" . في: سوغا، تيتسو (محرر). مواد نانوية التركيب لتحويل الطاقة الشمسية . إلسيفير. ص 361. ISBN  978-0-444-52844-5.
  19. ↑ رودس، ريتشارد (1996). الشمس المظلمة: صناعة القنبلة الهيدروجينية . دار تاتشستون للنشر. ص 195. ISBN  0-684-82414-0.
  20. ↑ كاتز، يوجين أ. (2011). "جسور بين الرياضيات والعلوم الطبيعية والهندسة المعمارية والفن: حالة الفوليرين". الفن والعلم والتكنولوجيا: التفاعل بين ثلاث ثقافات، وقائع المؤتمر الدولي الأول . ص 60-71 . 
  21. ↑ فيلد، جيه في (1997). "إعادة اكتشاف متعددات السطوح الأرخميدية: بييرو ديلا فرانشيسكا، ولوكا باتشولي، وليوناردو دافنشي، وألبريشت دورر، ودانييلي باربارو، ويوهانس كيبلر". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 50 ( 3-4 ) : 241-289 . doi : 10.1007/BF00374595 . JSTOR 41134110. MR 1457069. S2CID 118516740 .