تليف هوبف

تعريف${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$مع${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$(أين${\displaystyle \mathbb {C} }$يرمز إلى الأعداد المركبة ) بكتابة:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},\,x_{3}+ix_{4}),}$

وتحديد${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$مع${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} }$عن طريق الكتابة

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow (z,x)=(x_{1}+ix_{2},\,x_{3}).}$

هكذا${\displaystyle S^{3}}$يتم تحديدها مع مجموعة فرعية من الكل${\displaystyle (z_{0},z_{1})}$في${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$بحيث${\displaystyle |z_{0}|^{2}+|z_{1}|^{2}=1}$، و${\displaystyle S^{2}}$يتم تحديدها مع مجموعة فرعية من الكل${\displaystyle (z,x)}$في${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} }$بحيث${\displaystyle |z|^{2}+x^{2}=1}$(هنا، بالنسبة لعدد مركب)${\displaystyle z=a+ib}$، وقيمته المطلقة المربعة هي${\displaystyle |z|^{2}=zz^{*}=a^{2}+b^{2}}$(حيث تشير النجمة إلى المرافق المركب .) ثم تليف هوبف${\displaystyle p}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast },\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}).}$

المكون الأول هو عدد مركب، بينما المكون الثاني عدد حقيقي. يجب أن تتمتع أي نقطة على الكرة ثلاثية الأبعاد بالخاصية التالية:${\displaystyle |z_{0}|^{2}+|z_{1}|^{2}=1}$إذا كان الأمر كذلك، فـ${\displaystyle p(z_{0},z_{1})}$يقع على الكرة الثانية في${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} }$كما يمكن إثباته من خلال جمع مربعات القيم المطلقة للمكونات المركبة والحقيقية لـ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle {\begin{alignat}{2}2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\left(\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}&=4\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{0}\right|^{4}-2\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{4}\\&=\left(\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=1\end{alignedat}}}$

علاوة على ذلك، إذا كانت نقطتان على الكرة ثلاثية الأبعاد تُشيران إلى نفس النقطة على الكرة ثنائية الأبعاد، أي إذا${\displaystyle p(z_{0},z_{1})=p(w_{0},w_{1})}$، ثم${\displaystyle (w_{0},w_{1})}$يجب أن يساوي${\displaystyle (\lambda z_{0},\lambda z_{1})}$لبعض الأعداد المركبة${\displaystyle \lambda }$مع${\displaystyle |\lambda |^{2}=1}$والعكس صحيح أيضاً؛ أي نقطتين على الكرة ثلاثية الأبعاد تختلفان بعامل مركب مشترك.${\displaystyle \lambda }$تُسقط هذه الخريطة على نفس النقطة على الكرة ثنائية الأبعاد . وتستنتج هذه النتائج لأن العامل المركب${\displaystyle \lambda }$يلغي مع مرافقه المعقد${\displaystyle \lambda ^{*}}$في كلا جزئي${\displaystyle p}$: في المجمع${\displaystyle 2z_{0}z_{1}^{*}}$المكون وفي المكون الحقيقي${\displaystyle |z_{0}|^{2}-|z_{1}|^{2}}$.

بما أن مجموعة الأعداد المركبة${\displaystyle \lambda }$مع${\displaystyle |\lambda |^{2}=1}$بتشكيل دائرة الوحدة في المستوى المركب، يترتب على ذلك أنه لكل نقطة${\displaystyle m}$في${\displaystyle S^{2}}$الصورة المعكوسة${\displaystyle p^{-1}(m)}$هي دائرة، أي${\displaystyle p^{-1}(m)\cong S^{1}}$وهكذا يتم تحقيق الكرة الثلاثية على أنها اتحاد منفصل لهذه الألياف الدائرية.

فيما يلي تمثيل مباشر للكرة ثلاثية الأبعاد باستخدام خريطة هوبف. ^{[ 3 ]}

${\displaystyle z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}}\sin \eta }$

${\displaystyle z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}}\cos \eta .}$

أو في الإقليدية${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

${\displaystyle x_{1}=\cos \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{2}=\sin \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{3}=\cos \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

${\displaystyle x_{4}=\sin \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

أين${\displaystyle \eta }$يمتد على طول النطاق من${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle \pi /2}$،${\displaystyle \xi _{1}}$يمتد على طول النطاق من${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle 2\pi }$، و${\displaystyle \xi _{2}}$يمكن أن يأخذ أي قيمة من${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle 4\pi }$كل قيمة من${\displaystyle \eta }$، يستثني${\displaystyle 0}$و${\displaystyle \pi /2}$والتي تحدد الدوائر، وتحدد حلقة مسطحة منفصلة في الكرة ثلاثية الأبعاد، ورحلة ذهاب وإياب واحدة (${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle 4\pi }$) من أي${\displaystyle \xi _{1}}$أو${\displaystyle \xi _{2}}$يجعلك ذلك تقوم برسم دائرة كاملة حول طرفي الحلقة.

يُمكن تمثيل عملية تحديد المعلمات المذكورة أعلاه على الكرة ثنائية الأبعاد كما يلي، حيث يتم تحديد النقاط على الدوائر بواسطة${\displaystyle \xi _{2}}$.

${\displaystyle z=\cos(2\eta )}$

${\displaystyle x=\sin(2\eta )\cos \xi _{1}}$

${\displaystyle y=\sin(2\eta )\sin \xi _{1}}$

Another geometric interpretation of the Hopf fibration can be obtained by considering rotations of the 2-sphere in ordinary 3-dimensional space. The rotation group SO(3) has a double cover, the spin groupSpin(3), diffeomorphic to the 3-sphere. The spin group acts transitively on ${\displaystyle S^{2}}$ by rotations. The stabilizer of a point is isomorphic to the circle group; its elements are angles of rotation leaving the given point unmoved, all sharing the axis connecting that point to the sphere's center. It follows easily that the 3-sphere is a principal circle bundle over the 2-sphere, and this is the Hopf fibration.

To make this more explicit, there are two approaches: the group Spin(3) can either be identified with the group Sp(1) of unit quaternions, or with the special unitary groupSU(2).

In the first approach, a vector ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ is interpreted as a quaternion ${\displaystyle q\in \mathbb {H} }$ by writing

${\displaystyle q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}.\,\!}$

The 3-sphere is then identified with the versors, the quaternions of unit norm, those ${\displaystyle q\in \mathbb {H} }$ for which ${\displaystyle |q|^{2}=1}$, where ${\displaystyle |q|^{2}=qq^{*}}$, which is equal to ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}$ for ${\displaystyle q}$ as above.

On the other hand, a vector ${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3})}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ can be interpreted as a pure quaternion

${\displaystyle p=\mathbf {i} y_{1}+\mathbf {j} y_{2}+\mathbf {k} y_{3}.\,\!}$

Then, as is well-known since Cayley (1845), the mapping

${\displaystyle p\mapsto qpq^{*}\,\!}$

is a rotation in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$: indeed it is clearly an isometry, since ${\displaystyle |qpq^{*}|^{2}=qpq^{*}\,qp^{*}q^{*}=qpp^{*}q^{*}=|p|^{2}}$, and it is not hard to check that it preserves orientation.

في الواقع، هذا يحدد مجموعة المتجهات مع مجموعة دورانات${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، بشرط أن يكون المتجهان${\displaystyle q}$و${\displaystyle -q}$تحدد نفس الدوران. وكما ذُكر أعلاه، فإن الدورانات تؤثر بشكل متعدٍ على${\displaystyle S^{2}}$ومجموعة المتجهات${\displaystyle q}$والتي تثبت متجهًا يمينًا معينًا${\displaystyle p}$يكون على شكل${\displaystyle q=u+vp}$، أين${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$هي أعداد حقيقية${\displaystyle u^{2}+v^{2}=1}$هذه مجموعة فرعية من الدائرة. وللتوضيح، يمكن للمرء أن يأخذ${\displaystyle p=\mathbf {k} }$ويمكن تعريف تليف هوبف على أنه الخريطة التي ترسل متجهًا.${\displaystyle \omega }$ل${\displaystyle \omega \mathbf {k} \omega ^{*}}$جميع الكواترنيونات${\displaystyle \omega q}$، أين${\displaystyle q}$هي إحدى دوائر المتجهات التي تثبت${\displaystyle \mathbf {k} }$، يتم ربطها بنفس الشيء (والذي يصادف أنه أحد الدورانين بزاوية 180 درجة)${\displaystyle \mathbf {k} }$إلى نفس المكان الذي${\displaystyle \omega }$يفعل).

ويمكن النظر إلى هذا التليف بطريقة أخرى، وهي أن كل متجه${\displaystyle \omega }$يحرك الطائرة الممتدة بواسطة${\displaystyle \{1,\mathbf {k} \}}$إلى مستوى جديد يمتد بواسطة${\displaystyle \{\omega ,\omega \mathbf {k} \}}$أي رباعي${\displaystyle \omega q}$، أين${\displaystyle q}$هي إحدى دوائر المتجهات التي تثبت${\displaystyle \mathbf {k} }$، سيكون له نفس التأثير. نضع كل هذه في ليف واحد، ويمكن ربط الألياف بشكل مباشر بالكرة ثنائية الأبعاد ذات دورات 180 درجة ، وهو نطاق${\displaystyle \omega \mathbf {k} \omega ^{*}}$.

يرتبط هذا النهج بالبناء المباشر من خلال تحديد رباعي${\displaystyle q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}}$باستخدام المصفوفة 2×2 :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf {i} x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!}$

يُحدد هذا مجموعة المتجهات ذات SU(2) ، والأعداد الرباعية التخيلية ذات المصفوفات شبه الهرميتية 2×2 (المتماثلة مع${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} }$).

إذا تم التعامل مع تليف هوبف كحقل متجهي في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فإنه يوجد حل لمعادلات نافيير-ستوكس (للمائع القابل للانضغاط وغير اللزج) في ديناميكا الموائع ، حيث يتدفق المائع على طول دوائر إسقاط تليف هوبف في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يمكن اختيار قيم السرعات والكثافة والضغط عند كل نقطة لتحقيق المعادلات. تتلاشى جميع هذه الكميات كلما ابتعدنا عن المركز. إذا كانت a هي المسافة إلى الحلقة الداخلية، فإن حقول السرعات والضغط والكثافة تُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=A\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2}\left(2(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)}$

${\displaystyle p(x,y,z)=-A^{2}B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3},}$

${\displaystyle \rho (x,y,z)=3B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}}$

لثوابت اختيارية${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$. تم العثور على أنماط مماثلة من المجالات كحلول سوليتون للديناميكا المغناطيسية المائية : ^{[ 4 ]}

يمكن الحصول على نسخة حقيقية من تليف هوبف من خلال اعتبار الدائرة${\displaystyle S^{1}}$كجزء من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$بالطريقة المعتادة ومن خلال تحديد النقاط المتقابلة. وهذا يعطي حزمة من الألياف${\displaystyle S^{1}\to \mathbb {RP} ^{1}}$فوق خط الإسقاط الحقيقي بالألياف${\displaystyle S^{0}=\{1,-1\}}$تمامًا كما${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$متماثل الشكل مع الكرة،${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$متماثل الشكل مع الدائرة.

وبشكل أعم، فإن الكرة ذات البعد n${\displaystyle S^{n}}$ألياف فوق الفضاء الإسقاطي الحقيقي${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$مع الألياف${\displaystyle S^{0}}$.

يُعطي بناء هوبف حزمًا دائرية${\displaystyle p:S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}}$على الفضاء الإسقاطي المركب . هذا في الواقع هو تقييد حزمة الخط التكرارية على${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$إلى كرة الوحدة في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$.

وبالمثل، يمكن للمرء أن يعتبر${\displaystyle S^{4n+3}}$كما لو كان مستلقياً في${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}}$( الفضاء الرباعي ذو البعد n ) واستخراجه باستخدام الرباعي الوحدوي (=${\displaystyle S^{3}}$) الضرب للحصول على الفضاء الإسقاطي الرباعي${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$على وجه الخصوص، بما أن${\displaystyle S^{4}=\mathbb {HP} ^{1}}$هناك حزمة${\displaystyle S^{7}\to S^{4}}$مع الألياف${\displaystyle S^{3}}$.

ينتج عن بناء مماثل باستخدام الأوكتونيونات حزمة${\displaystyle S^{15}\to S^{8}}$مع الألياف${\displaystyle S^{7}}$لكن الكرة${\displaystyle S^{31}}$لم تتجاوز الألياف${\displaystyle S^{16}}$مع الألياف${\displaystyle S^{15}}$يمكن للمرء أن يعتبر${\displaystyle S^{8}}$باعتباره الخط الإسقاطي الثماني${\displaystyle \mathbb {OP} ^{1}}$على الرغم من أنه يمكن أيضًا تعريف مستوى إسقاطي ثماني الأضلاع${\displaystyle \mathbb {OP} ^{2}}$الكرة${\displaystyle S^{23}}$لم تتجاوز الألياف${\displaystyle \mathbb {OP} ^{2}}$مع الألياف${\displaystyle S^{7}}$[ ^{5 ] [ 6 ]​}

أحيانًا يقتصر مصطلح "تليف هوبف" على التليفات بين الكرات التي تم الحصول عليها أعلاه، والتي هي

• S ¹ → S ¹ مع الألياف S ⁰
• S ³ → S ² مع ألياف S ¹
• S ⁷ → S ⁴ مع ألياف S ³
• S ¹⁵ → S ⁸ مع ألياف S ⁷

نتيجةً لنظرية آدمز ، لا يمكن أن توجد حزم الألياف التي تتكون من كرات تمثل الفضاء الكلي والفضاء الأساسي والألياف إلا في هذه الأبعاد. وقد استخدم جون ميلنور حزم ألياف ذات خصائص مشابهة، ولكنها تختلف عن تليفات هوبف، لبناء كرات غريبة .

يوجد أيضًا تليف من${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2n+1}}$زيادة${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$تُعرف في بعض الأوساط باسم التليف الملتوي . ^{[ 7 ]} الليف هو${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$هنا${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2n+1}}$يتحقق ذلك كحاصل قسمة${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}}$بواسطة حقل فرعي تبادلي أقصى من الكواترنيونات.

بشكلٍ أعم، حدّد روبرت براينت جميع التليفات المتجانسة فوق الفضاءات المتناظرة الريمانية ، التي تكون فضاءاتها الكلية عبارة عن مشعبات معقدة ، والتي يسميها فضاءات التويستر. ^{[ 8 ]} الحالة الموصوفة هنا هي تليف...${\displaystyle \operatorname {Sp} (n+1)/U(1)\times \operatorname {Sp} (n)}$زيادة${\displaystyle \operatorname {Sp} (n+1)/\operatorname {Sp} (1)\times \operatorname {Sp} (n).}$

بشكل عام، كلما وُجد برج من مجموعات لي الفرعية (المغلقة)${\displaystyle K\subset H\subset G}$، هناك تليف من${\displaystyle G/K}$زيادة${\displaystyle G/H}$بالنسبة لتليف هوبف الكلاسيكي،${\displaystyle G=U(n+1)}$،${\displaystyle K=U(n)}$، و${\displaystyle H=U(1)\times U(n)}$.