ورقة Umdeutung

كان أحد الجوانب الرئيسية في ورقة هايزنبرغ، التي ساهمت في صياغة نظرية كمومية جديدة، هو اختيارها المتعمد عدم استخدام كميات غير قابلة للملاحظة، مثل موقع الإلكترون ودورته، والاكتفاء باستخدام معلمات قابلة للملاحظة، مثل احتمالات الانتقال أو الترددات الطيفية. ^{[ 17 ] [ 19 ]} وبينما يُنظر إلى هذا على أنه أحد الابتكارات اللاحقة لورقة هايزنبرغ في الابتعاد عن الميكانيكا الكلاسيكية، ^{[ 20 ]} فقد رأى آخرون أن مبدأ التوافق ، أي فكرة أن الأنظمة الكمومية ستتصرف مثل الأنظمة الكلاسيكية في الحد الكلاسيكي ، هو المحرك الأساسي لحجة هايزنبرغ. ^{[ 21 ] [ 22 ]} وتتبع رسالته إلى رالف كرونيغ، قبل شهر من نشر ورقة "أومديوتونغ"، نفس بنية الورقة تقريبًا، لكنها تُركز على توافق معاملات فورييه بدلًا من التركيز الفلسفي على الكميات القابلة للملاحظة. ^{[ 23 ]}

كلاسيكيًا ، مدار الإلكترون في حالة مستقرة${\displaystyle n}$يمكن التعبير عنها كمتسلسلة فورييه لتردد مميز معين$ω (n)$$${\displaystyle x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }{\vec {X}}_{\alpha }(n)e^{i\alpha \omega (n)t},}$$أين${\ vec {X}} _ {- \ alpha } (n) = {\ vec {X}} _ {\ alpha } ^ {*} (n)$لضمان ذلك$x$ذات قيمة حقيقية (${\vec {X}}^{*}$هو المرافق المعقد لـ${\vec {X}}$). ^{[ 24 ]}

يعيد هايزنبرغ تفسير هذه المعادلة من حيث القفزات الكمومية من الحالة${\displaystyle n}$إلى جميع الولايات الأخرى${\displaystyle n-\alpha }$^{[ 25 ] [ 26 ]}

أين${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$يمثل تردد الضوء المنبعث/الممتص و${\displaystyle {\vec {X}}(n,n-\alpha )}$يمثل شدة الضوء المنبعث من القفزة، ويرتبط باحتمالية انتقاله.

يذكر هايزنبرغ أن${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$يمكن إيجادها باستخدام حساب نموذج بور لـ$${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )={\frac {1}{\hbar }}[W(n)-W(n-\alpha )]}$$أين${\displaystyle W(n)}$هي طاقة حالة مستقرة معينة${\displaystyle n}$[ ^{27 ]​}

يمكن إيجاد مبرر لإعادة تفسير هايزنبرغ لفورييه عند مقارنة التعبيرات الكلاسيكية والكمية للترددات المدارية. كلاسيكيًا، باستخدام متغيرات الفعل والزاوية ، يمكن إيجاد أن$${\displaystyle \alpha \omega =\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {E(J+\alpha \epsilon )-E(J)}{\epsilon }},\quad \alpha \in \mathbb {Z} }$$مثل${\displaystyle dE/dJ=\omega }$في المقابل، في نموذج بور، وُجد أن$${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )={\frac {E(n\hbar )-E((n-\alpha )\hbar )}{\hbar }},\quad (E(J)=E(n\hbar )).}$$ استخدم مبدأ التوافق$${\displaystyle \omega ={\frac {dE}{dJ}}\to {\frac {\Delta E}{\Delta J}}}$$يمكن العثور عليه$${\displaystyle (n-(n-\alpha ))\omega =\alpha \omega (n)\approx {\frac {E(n\hbar )-E((n-\alpha )\hbar )}{\hbar }}=\omega (n,n-\alpha ),\quad |\alpha -n|\ll \alpha .}$$استخدام${\displaystyle J=n\hbar }$من نظرية الكم القديمة. ^{[ 28 ]} هذا التوافق بين${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$و${\displaystyle \alpha \omega (n)}$ويشير ذلك أيضاً إلى وجود ترابط بين الشدات${\displaystyle {\vec {X}}(n,n-\alpha )}$و${\displaystyle {\vec {X}}_{\alpha }(n)}$في هذا السياق$${\displaystyle x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }{\vec {X}}_{\alpha }(n)e^{i\alpha \omega (n)t}\longleftrightarrow x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }{\vec {X}}(n,n-\alpha )e^{i\omega (n,n-\alpha )t}.}$$

وقد برر هايزنبرغ إعادة تفسير فورييه هذه أيضًا بحيث لا يكون للإلكترون في حركته الدورية، التي تنبأ بها نموذج بور، تردد إشعاع مميز واحد${\displaystyle \omega (n)}$، بما يتوافق مع تردد الحركة الدورية للإلكترون، في حالة مستقرة${\displaystyle n}$لم يتم قياسها تجريبياً من قبل. وفقاً لإعادة تفسير هايزنبرغ، فإن حركة الإلكترون ستقتصر على الترددات الطيفية المرصودة تجريبياً.${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$باعتبارها مكونات لحركتها الدورية. ومع ذلك، يشير هايزنبرغ إلى أنه بنشر هذه الورقة، تم التخلي عن مفهوم المدار الإلكتروني باعتباره ذا معنى فيزيائي. ^{[ 29 ]}

يستخدم هايزنبرغ مبدأ ريدبيرغ-ريتز للتركيب كجزء أساسي من كيفية سلوك الترددات في نظريته الكمومية. بدلاً من القاعدة الكلاسيكية$${\displaystyle \omega (n,\alpha )+\omega (n,\beta )=\omega (n,\alpha +\beta ),}$$حيث تقليديا${\textstyle \omega (n,\alpha )=\alpha \omega (n)}$يكتب هايزنبرغ مبدأ ريتز للتركيب$${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )+\omega (n-\alpha ,n-\beta )=\omega (n,n-\beta ).}$$[ ^{30 ]​}

تقليدياً، ينتج عن ضرب متسلسلتين من متسلسلات فورييه متسلسلة فورييه جديدة:$${\displaystyle \sum _{\tau }a_{\tau }e^{i\omega \tau t}\times \sum _{\tau }b_{\tau }e^{i\omega \tau t}=\sum _{\tau }c_{\tau }e^{i\omega \tau t}}$$أين$${\displaystyle c_{\tau }=\sum _{\tau '+\tau ''=\tau }a_{\tau '}b_{\tau ''}.}$$^{[ 31 ]}

استنتج هايزنبرغ من هذه الحالة الكلاسيكية أن ضرب سلسلتين كموميتين يجب أن ينتج عنه سلسلة كمومية أخرى من نفس الشكل. بعبارة أخرى، وجد هايزنبرغ أنه إذا أمكن كتابة سلسلة كمومية$${\displaystyle x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }{\vec {X}}(n,n-\alpha )e^{i\omega (n,n-\alpha )t},}$$ثم $${\displaystyle x^{2}=\sum _{\beta =-\infty }^{\infty }{\vec {B}}(n,n-\beta )e^{i\omega (n,n-\beta )t}.}$$

في حين أن عملية الضرب العادية لا تُؤدي إلى تكوين سلسلة كمومية جديدة، فإن هايزنبرغ يُعيد تفسير الضرب عمدًا ليتبع الآن قاعدة الضرب الكمومي الجديدة.$${\displaystyle {\vec {B}}(n,n-\beta )=\sum _{\alpha }{\vec {X}}(n,n-\alpha )\times {\vec {X}}(n-\alpha ,n-\beta ).}$$^{[ 1 ] : 223–224 [ 23 ]}

وذلك لكي$${\displaystyle e^{i\omega (n,n-\alpha )t}\times e^{i\omega (n-\alpha ,n-\beta )t}=e^{it(\omega (n,n-\alpha )+\omega (n-\alpha ,n-\beta ))}=e^{it\omega (n,n-\beta )}}$$باستخدام قاعدة ريدبيرج-ريتز المركبة السابقة${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )+\omega (n-\alpha ,n-\beta )=\omega (n,n-\beta )}$بحيث تكون جميع الترددات${\displaystyle \omega (n,n-\beta )}$صحيحة بالنسبة للسلسلة الجديدة. ^{[ 22 ]}

بتعميم حالة الضرب السابقة لـ${\displaystyle x^{2}}$، كتب هايزنبرغ قاعدة الضرب الجديدة غير التبادلية التي تمثل النظير الكمي للحساب الكلاسيكي للشدات: ^{[ 17 ] : 266 [ 32 ] : 5 [ 25 ]}

قد يكون هناك سلسلة لا نهائية من${\displaystyle {\vec {A}}}$المصطلحات ومطابقتها${\displaystyle {\vec {B}}}$لكل عملية ضرب من هذه العمليات عاملان يتعلقان بالانتقالات التنازلية المتسلسلة بين مستويات طاقة الإلكترون. هذا النوع من القواعد يميز ميكانيكا المصفوفات عن الفيزياء المألوفة في الحياة اليومية، لأن القيم المهمة هي مكان (أو مستوى طاقة أو "مدار") بداية الإلكترون ونهايته، وليس ما يفعله الإلكترون أثناء وجوده في مستوى طاقة معين.

لو${\displaystyle {\vec {A}}}$و${\displaystyle {\vec {B}}}$يشير كلاهما إلى قوائم سعات الانتقالات الكمومية، على سبيل المثال، تتم عملية الحساب على النحو التالي:

اضرب التردد لتغير الطاقة من الحالة${\textstyle n}$للتصريح${\textstyle n-a}$حسب تردد تغير الطاقة من الحالة${\textstyle n-a}$للتصريح${\textstyle n-b}$وأضف إلى ذلك الناتج الذي تم الحصول عليه بضرب التردد لتغير الطاقة من الحالة${\textstyle n-a}$للتصريح${\textstyle n-b}$حسب تردد تغير الطاقة من الحالة${\textstyle n-b}$للتصريح${\textstyle n-c}$وهكذا دواليك. رمزياً، هذا هو المقصود:

${\displaystyle f(n,n-a)f(n-a,n-b)+f(n-a,n-b)f(n-b,n-c)+\cdots }$

(وفقًا للاتفاقية المستخدمة،${\textstyle n-a}$يمثل حالة طاقة أعلى من${\textstyle n}$لذا فإن الانتقال من${\textstyle n}$ل${\textstyle n-a}$يشير ذلك إلى أن الإلكترون قد اكتسب طاقة من فوتون وارد وانتقل إلى مدار أعلى، بينما يشير الانتقال من${\textstyle n-a}$ل${\textstyle n}$يمثل ذلك سقوط إلكترون إلى مدار أدنى وانبعاث فوتون.

ابتكر هايزنبرغ هذه المعادلة في الأصل لتمكينه من ضرب قياسين من النوع نفسه (السعات)، لذا لم يكن ترتيب الضرب مهمًا. لكن هايزنبرغ لاحظ أنه إذا حاول استخدام المخطط نفسه لضرب متغيرين، مثل الزخم،${\textstyle p}$والنزوح،${\textstyle q}$ثم "تنشأ صعوبة كبيرة". ^{[ 17 ] : 266} ويتضح أن ضرب مصفوفة من${\textstyle p}$بواسطة مصفوفة من${\textstyle q}$تعطي نتيجة مختلفة عن ضرب مصفوفة من${\textstyle q}$بواسطة مصفوفة من${\textstyle p}$، مع اختلافهم في${\textstyle i\hbar }$أين${\textstyle \hbar }$هو ثابت بلانك المختزل .

ويشير هايزنبرغ أيضاً إلى أنه في نظرية الكم القديمة، يتم حساب الكميات القابلة للرصد من قانون نيوتن الثاني.$${\displaystyle {\ddot {x}}+f(x)=0}$$ وقاعدة ويلسون-سومرفيلد للتكميم$${\displaystyle \oint p\,dq=\oint m{\dot {x}}\,dx=\oint m{\dot {x}}^{2}\,dt=J=nh,}$$أين${\displaystyle f(x)}$هي دالة القوة لكل وحدة كتلة، حيث يفترض هايزنبرغ أنه، مع إعادة تفسيره الجديد لفورييه لـ${\displaystyle x}$ويمكن استخدام نفس المعادلات النيوتونية لحساب الكميات القابلة للرصد. ^{[ 22 ]}

تُعتبر فكرة إمكانية استمرار استخدام هذه المعادلات الكلاسيكية نفسها في ميكانيكا الكم واحدة من أهم الأفكار التي طرحها بحث هايزنبرغ. ^{[ 33 ]}

كجزء من تبرير هايزنبرغ لنظرية الميكانيكا التي تعتمد فقط على الشدات والترددات القابلة للقياس، يستنتج هايزنبرغ قاعدة مجموع توماس-رايش-كون التي تم التوصل إليها من خلال دراسة التشتت ^{[ 27 ].}

ل${\displaystyle x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }a(n,n-\alpha )e^{i\omega (n,n-\alpha )t}}$[ ^{22 ]​}

بالإضافة إلى ذلك، يدرس هايزنبرغ مستويات الطاقة للمذبذب غير التوافقي الموصوف بواسطة${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x+\lambda x^{2}=0}$، حيث أن المذبذب التوافقي الأبسط من الناحية المفاهيمية لم يكن ليحتاج إلى قاعدة الضرب الجديدة التي وضعها. ^{[ 34 ]} بينما يجد، في ظل اعتبار كلاسيكي، أن${\displaystyle E_{n}=n\hbar \omega _{0}}$ولكن في ظل اعتبار كمي باستخدام النظرية المطورة في بحثه، حتى رتبة${\displaystyle \lambda ^{2}}$، ويجد أن$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{0}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),}$$تفسير وجود طاقة النقطة الصفرية التي استنتجها روبرت س. موليكن من تجارب طيفية قبل ستة أشهر فقط. ^{[ 35 ] [ 36 ] : 149} عدم الاعتماد على${\displaystyle \lambda }$تم جعل المعادلة المكتوبة قابلة للاستخدام لمستويات الطاقة للمذبذب التوافقي (${\displaystyle \lambda =0}$كذلك. سيقوم هايزنبرغ أيضًا بتوسيع هذه المعادلة لتشمل الإلكترون الذي يدور بتردد زاوي${\displaystyle \omega }$حول النواة مع عزم القصور الذاتي${\displaystyle I=ma^{2}}$لإيجاد ^{[ 34 ]}$${\displaystyle \omega _{n,n-1}={\frac {h}{2\pi ma^{2}}}n}$$وللطاقة${\displaystyle W}$$${\displaystyle W={\frac {h^{2}}{8\pi ^{2}ma^{2}}}\left(n^{2}+n+{\frac {1}{2}}\right)}$$يتفق ذلك مع الملاحظات التجريبية التي أجراها أدولف كراتزر على نطاقات الطيف السيانيدي والتي قدمت أعدادًا كمية نصف صحيحة. ^{[ 24 ]}

بالإضافة إلى ذلك، أظهر هايزنبرغ أن نظرية حفظ الطاقة مدعومة بنظريته. ^{[ 37 ]}

كان أكثر ما رغب الناس في فهمه آنذاك بشأن إشعاع الهيدروجين هو كيفية التنبؤ بشدة خطوط طيفه أو تفسيرها. ورغم أن هايزنبرغ لم يكن يعلم ذلك حينها، إلا أن الصيغة العامة التي وضعها للتعبير عن طريقته الجديدة في التعامل مع حسابات نظرية الكم يمكن أن تُستخدم كدليل لضرب مصفوفتين. ^{[ 17 ] : الفصل 12}

لا تذكر ورقة أومدوتونغ المصفوفات. كان التقدم الكبير الذي حققه هايزنبرغ هو "المخطط الذي كان قادرًا من حيث المبدأ على تحديد الخصائص الفيزيائية ذات الصلة (ترددات الانتقال وسعاتها) بشكل فريد" [ 32 ^{] : 2 لإشعاع الهيدروجين} .

بعد أن كتب هايزنبرغ بحثه حول مفهوم " التفسير العكسي" ، سلمه إلى أحد زملائه الأقدم لإجراء أي تعديلات لازمة، ثم ذهب في إجازة. ظل ماكس بورن يفكر مليًا في المعادلات، ولا سيما المعادلات غير التبادلية التي وجدها هايزنبرغ مُحيرة ومُقلقة. وبعد عدة أيام، أدرك أن هذه المعادلات تُشكل توجيهات لكتابة المصفوفات. ^{[ 38 ]}

بالنظر إلى ... أمثلة... وجد [هايزنبرغ] هذه القاعدة... كان ذلك في صيف عام 1925. أخذ هايزنبرغ إجازة... وسلمني بحثه للنشر... لم تتركني قاعدة هايزنبرغ للضرب في حالة من السكينة، وبعد أسبوع من التفكير والتجربة المكثفة، تذكرت فجأة نظرية جبرية... هذه المصفوفات التربيعية مألوفة تمامًا للرياضيين وتُسمى المصفوفات، لارتباطها بقاعدة ضرب محددة. طبقت هذه القاعدة على شرط هايزنبرغ الكمي ووجدت أنها تتفق مع العناصر القطرية. كان من السهل تخمين ماهية العناصر المتبقية، أي أنها تساوي صفرًا؛ وعلى الفور ظهرت أمامي الصيغة الغريبة$${\displaystyle {QP-PQ={\frac {ih}{2\pi }}}}$$

تُسمى هذه المعادلة الآن علاقة التبادل الأساسية ، حيث يرمز الرمز${\displaystyle Q}$هي مصفوفة الإزاحة،${\displaystyle P}$هي مصفوفة الزخم، و i يرمز إلى الجذر التربيعي لسالب واحد ، و h هو ثابت بلانك. ^{[ 39 ] [ 32 ] : أ}

اكتشف بورن هذه المعادلة من خلال أخذ$${\displaystyle Q_{nn'}=a(n,n')e^{i\omega (n,n')t}}$$$${\displaystyle P_{nn'}=m{\frac {dQ_{nn'}}{dt}}=im\omega (n,n')a(n,n')e^{i\omega (n,n')t},}$$مما سمح له بتبسيط شرط التكميم المعقد لهايزنبرغ ^{[ 40 ]}$${\displaystyle h=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }\{|a(n,n+\alpha )|^{2}\omega (n,n+\alpha )-|a(n,n-\alpha )|^{2}\omega (n,n-\alpha )\}}$$$${\displaystyle \implies h=2\pi i\sum _{n'=-\infty }^{\infty }(P_{nn'}Q_{n'n}-Q_{nn'}P_{n'n})}$$$${\displaystyle \implies {\frac {h}{2\pi i}}=\sum _{n'=-\infty }^{\infty }(P_{nn'}Q_{n'n}-Q_{nn'}P_{n'n}),}$$حيث تمكن من إدراك عملية ضرب مكونات${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$تجاوزت عملية ضرب المصفوفات . ^{[ 15 ]}

عندما قرأ بورن المقال، أدرك أن الصياغة قابلة للتحويل والتوسيع إلى لغة المصفوفات النظامية. شرع بورن، بمساعدة مساعده وطالبه السابق باسكوال جوردان، فورًا في تحويلها إلى جبر المصفوفات وتوسيعها، وقدّموا نتائجهم للنشر؛ وقد استُلمت مخطوطتهم للنشر بعد 60 يومًا فقط من نشر مقال هايزنبرغ. ^{[ 6 ]} وقُدِّم مقال لاحق للنشر من قِبَل المؤلفين الثلاثة، يُوسِّع النظرية لتشمل أبعادًا متعددة، قبل نهاية العام. ^{[ 7 ]}

أدرك بول ديراك ، الذي تلقى نسخة تجريبية في أغسطس 1925، أن قانون عدم التبادل لم يُطوَّر بالكامل، فابتكر صياغة جبرية للتعبير عن النتائج نفسها بصورة أكثر منطقية. ^{[ 41 ]} وقد أدت رؤيته إلى اتجاهات جديدة ومثمرة في تطوير ميكانيكا الكم. ^{[ 42 ]}

خلال مؤتمرٍ حول ميكانيكا الكم الجديدة التي وضعها في جامعة برلين عام ١٩٢٦، أوضح هايزنبرغ أن بناءه لنظريةٍ انطلاقًا من الكميات القابلة للرصد فقط يتبع روح النسبية الخاصة . وفي سيرته الذاتية " الفيزياء وما وراءها" ، يذكر هايزنبرغ أن ألبرت أينشتاين انتقد هذا النهج بعد المؤتمر ، مُجادلًا بأنه لا يُمكن بناء أي نظريةٍ من مجرد رصد، لأن العناصر القابلة للرصد تعتمد مُسبقًا على الافتراضات النظرية. ^{[ ٣٧ ]}

وصف ستيفن واينبرغ ورقة هايزنبرغ عام 1993 بأنها "سحر محض" نظراً لافتقار هايزنبرغ إلى أي تبرير كتابي لكل خطوة رياضية، مما ترك القارئ في حيرة رغم نجاح تنبؤات إطاره النظري. ^{[ 43 ]} وقد بُذلت عدة محاولات لشرح ورقته بطريقة أكثر سهولة. ^{[ 3 ]}

احتفلت اليونسكو بالذكرى المئوية لنشر ورقة هايزنبرغ البحثية بإعلان عام 2025 عاماً للاحتفال بعلوم وتكنولوجيا الكم. ^{[ 44 ]}