تحديد كمية عدم اليقين

يُعدّ قياس عدم اليقين ( UQ ) علمًا يُعنى بالوصف الكمي وتقدير حالات عدم اليقين في التطبيقات الحاسوبية والواقعية على حد سواء. ويسعى هذا العلم إلى تحديد مدى احتمالية حدوث نتائج معينة في حال عدم معرفة بعض جوانب النظام بدقة. على سبيل المثال، يمكن التنبؤ بتسارع جسم الإنسان في حالة اصطدام مباشر بسيارة أخرى: فحتى لو كانت السرعة معروفة بدقة، فإن الاختلافات الطفيفة في تصنيع السيارات، ومدى إحكام ربط البراغي، وما إلى ذلك، ستؤدي إلى نتائج مختلفة لا يمكن التنبؤ بها إلا إحصائيًا.

تزخر العديد من المشكلات في العلوم الطبيعية والهندسة بمصادر عدم اليقين. وتُعدّ التجارب الحاسوبية على المحاكاة الحاسوبية النهج الأكثر شيوعًا لدراسة مشكلات تحديد كمية عدم اليقين. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

مصادر

يمكن أن يدخل عدم اليقين في النماذج الرياضية والقياسات التجريبية في سياقات مختلفة. إحدى طرق تصنيف مصادر عدم اليقين هي النظر في: ^{[ 9 ]}

المعلمة: ينشأ هذا من معلمات النموذج التي تُدخل في النموذج الحاسوبي (النموذج الرياضي)، ولكن قيمها الدقيقة غير معروفة للمُجرِّبين ولا يمكن التحكم بها في التجارب الفيزيائية، أو لا يمكن استنتاج قيمها بدقة باستخدام الأساليب الإحصائية . ومن أمثلة ذلك: تسارع السقوط الحر الموضعي في تجربة سقوط جسم، وخصائص المواد المختلفة في تحليل العناصر المحدودة للهندسة، وعدم اليقين في المضاعف في سياق تحسين سياسة الاقتصاد الكلي .
البارامتري: ينشأ هذا من تباين متغيرات الإدخال في النموذج. فعلى سبيل المثال، قد لا تكون أبعاد قطعة العمل في عملية التصنيع مطابقة تمامًا للتصميم والتعليمات، مما قد يؤدي إلى تباين في أدائها.
عدم اليقين الهيكلي: يُعرف هذا أيضًا بقصور النموذج، أو تحيز النموذج، أو تباين النموذج، وينتج عن نقص المعرفة بالفيزياء الأساسية للمشكلة. ويعتمد ذلك على مدى دقة النموذج الرياضي في وصف النظام الحقيقي في حالة واقعية، مع الأخذ في الاعتبار أن النماذج غالبًا ما تكون مجرد تقريبات للواقع. ومن الأمثلة على ذلك نمذجة عملية سقوط جسم باستخدام نموذج السقوط الحر؛ فالنموذج نفسه غير دقيق لوجود مقاومة الهواء دائمًا. في هذه الحالة، حتى لو لم يكن هناك أي مُعامل مجهول في النموذج، فمن المتوقع وجود تباين بين النموذج والفيزياء الحقيقية.
خوارزمي: يُعرف هذا النوع أيضًا بالشك العددي أو الشك المتقطع. وينشأ من الأخطاء والتقريبات العددية في كل تطبيق للنموذج الحاسوبي. معظم النماذج معقدة للغاية بحيث يصعب حلها بدقة. على سبيل المثال، قد تُستخدم طريقة العناصر المحدودة أو طريقة الفروق المحدودة لتقريب حل معادلة تفاضلية جزئية (مما يُدخل أخطاءً عددية). ومن الأمثلة الأخرى التكامل العددي وتقريب المجموع اللانهائي، وهما تقريبان ضروريان في التطبيق العددي.
تجريبي: يُعرف هذا الخطأ أيضاً بخطأ الملاحظة، وينتج عن تباين القياسات التجريبية. يُعدّ عدم اليقين التجريبي أمراً لا مفر منه، ويمكن ملاحظته بتكرار القياس عدة مرات باستخدام نفس الإعدادات تماماً لجميع المدخلات/المتغيرات.
الاستيفاء: ينجم هذا عن نقص البيانات المتاحة المُجمّعة من عمليات محاكاة النماذج الحاسوبية و/أو القياسات التجريبية. بالنسبة لإعدادات الإدخال الأخرى التي لا تتوفر لها بيانات محاكاة أو قياسات تجريبية، يجب الاستيفاء أو الاستقراء للتنبؤ بالاستجابات المقابلة.

عشوائي ومعرفي

يوضح الرسم البياني الفرق بين عدم اليقين العشوائي وعدم اليقين المعرفي. تمثل النقاط على الرسم البياني نقاط البيانات المتاحة. يعكس عدم اليقين العشوائي درجات متفاوتة من التشويش المتأصل في البيانات، بينما يعكس عدم اليقين المعرفي فجوة الجهل الناتجة عن نقص البيانات.

يُصنف عدم اليقين أحيانًا إلى فئتين، ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} وتظهر بشكل بارز في التطبيقات الطبية. ^{[ 12 ]}

عدم اليقين العشوائي: يُعرف عدم اليقين العشوائي أيضًا بعدم اليقين الاحتمالي، وهو يُمثل المجاهيل التي تختلف في كل مرة نُجري فيها التجربة نفسها. على سبيل المثال، لن يُصيب سهم واحد يُطلق بقوس ميكانيكي يُكرر كل عملية إطلاق بدقة (نفس التسارع والارتفاع والاتجاه والسرعة النهائية) النقطة نفسها على الهدف بسبب الاهتزازات العشوائية والمعقدة لساق السهم، والتي لا يُمكن تحديدها بدقة كافية لإزالة تشتت نقاط الإصابة. يكمن جوهر النقاش هنا في تعريف "لا يُمكن": فمجرد عدم قدرتنا على القياس بدقة كافية باستخدام أجهزة القياس المتاحة حاليًا لا ينفي بالضرورة وجود مثل هذه المعلومات، والتي من شأنها أن تُصنف هذا النوع من عدم اليقين ضمن الفئة المذكورة أدناه. كلمة "عشوائي " مُشتقة من الكلمة اللاتينية "alea" أو النرد، في إشارة إلى لعبة حظ.
عدم اليقين المعرفي: يُعرف عدم اليقين المعرفي أيضًا بعدم اليقين المنهجي، وينشأ عن أمور يُمكن معرفتها نظريًا ولكن لا تُعرف عمليًا. قد يعود ذلك إلى عدم دقة القياس، أو إهمال النموذج لبعض التأثيرات، أو إخفاء بيانات معينة عمدًا. ومن أمثلة مصادر هذا عدم اليقين مقاومة الهواء في تجربة مصممة لقياس تسارع الجاذبية بالقرب من سطح الأرض. يتجاهل تسارع الجاذبية المستخدم عادةً، والبالغ 9.8 م/ث²، تأثيرات مقاومة الهواء، ولكن يُمكن قياس مقاومة الهواء للجسم وإدراجها في التجربة لتقليل عدم اليقين الناتج في حساب تسارع الجاذبية.
التزامن والتفاعل بين عدم اليقين العشوائي والمعرفي: قد يتزامن عدم اليقين العشوائي والمعرفي في حد واحد، على سبيل المثال، عندما تُظهر المعلمات التجريبية عدم يقين عشوائي، وتُدخل هذه المعلمات إلى محاكاة حاسوبية. إذا تم، عندئذٍ، استُخدم نموذج بديل ، كعملية غاوسية أو توسيع فوضى متعدد الحدود ، مُستخلص من التجارب الحاسوبية لتحديد كمية عدم اليقين، فإن هذا النموذج البديل يُظهر عدم يقين معرفي يعتمد على عدم اليقين العشوائي للمعلمات التجريبية أو يتفاعل معه. ^{[ 4 ]} لم يعد من الممكن تصنيف هذا النوع من عدم اليقين على أنه عشوائي أو معرفي فقط، بل هو عدم يقين استدلالي أكثر عمومية.

في التطبيقات العملية، يتواجد كلا النوعين من عدم اليقين. ويهدف قياس عدم اليقين إلى التعبير بوضوح عن كل نوع على حدة. يمكن أن يكون قياس عدم اليقين العشوائي بسيطًا نسبيًا، حيث يُعد الاحتمال التقليدي (التكراري) أبسط أشكاله. وتُستخدم تقنيات مثل طريقة مونت كارلو بشكل متكرر. يمكن تمثيل التوزيع الاحتمالي بعزومه ( في حالة التوزيع الغاوسي، يكفي المتوسط والتباين ، مع العلم أنه حتى معرفة جميع العزوم برتبة عالية تعسفية لا تُحدد دالة التوزيع بشكل فريد)، أو مؤخرًا، بتقنيات مثل توسيعات كارونين-لوف وتوسعات الفوضى متعددة الحدود . لتقييم عدم اليقين المعرفي، تُبذل الجهود لفهم (أو نقص) المعرفة بالنظام أو العملية أو الآلية. يُفهم عدم اليقين المعرفي عمومًا من منظور الاحتمال البايزي ، حيث تُفسر الاحتمالات على أنها تُشير إلى مدى يقين الشخص العقلاني بشأن ادعاء معين.

المنظور الرياضي

في الرياضيات ، يُوصف عدم اليقين غالبًا بتوزيع الاحتمالات . من هذا المنظور، يعني عدم اليقين العشوائي أن توزيع الاحتمالات لا يشير بشكل قاطع إلى نتيجة محددة، أو عدم القدرة على التنبؤ بنتيجة عينة عشوائية مسحوبة من توزيع الاحتمالات، بينما يعني عدم اليقين المعرفي أن المرء لا يعرف توزيع الاحتمالات ذي الصلة لافتقاره إلى أساس لتحديده.

يوضح الشكل أدناه أربعة أمثلة مختلفة للشك العشوائي والمعرفي، تم تصورها بطريقتين متكافئتين رياضيا تتكونان من مثلث من الآراء الذاتية من المنطق الذاتي ودالة كثافة احتمالية بيتا .

تصوير درجات مختلفة من عدم اليقين العشوائي والمعرفي

تمثل مثلثات الرأي أنظمة إحداثيات مركزية ، حيث يُصوَّر الرأي الشخصي كنقطة زرقاء، مع إطار أزرق للقيم المرتبطة بالاعتقاد، وعدم الاعتقاد، والشك المعرفي (E-uncertainity)، حيث يكون مجموع الاعتقاد وعدم الاعتقاد والشك المعرفي (E-uncertainity) مساويًا لـ 1. يُظهر الإطار الأزرق أيضًا معدل الأساس (الأول) وقيم الاحتمالية. يكون الشك العشوائي (A-uncertainity) في أعلى مستوياته عندما تكون الاحتمالية P = 0.5. توضح دالة كثافة الاحتمال بيتا على يمين المثلثات الموضع الذي تكون فيه الاحتمالية ذات أعلى كثافة على المقياس [0، 1]، أي الموضع الذي يُفترض أن تقع فيه الاحتمالية. شاهد العرض التوضيحي الإلكتروني لتصور عدم اليقين للرأي الشخصي .

أنواع المشاكل

توجد مشكلتان رئيسيتان في تحديد كمية عدم اليقين: الأولى هي الانتشار الأمامي لعدم اليقين (حيث تنتشر مصادر عدم اليقين المختلفة عبر النموذج للتنبؤ بعدم اليقين الكلي في استجابة النظام)، والثانية هي التقييم العكسي لعدم اليقين في النموذج وعدم اليقين في المعلمات (حيث تتم معايرة معلمات النموذج في آنٍ واحد باستخدام بيانات الاختبار). وقد ازداد البحث في المشكلة الأولى، وطُوّرت معظم تقنيات تحليل عدم اليقين خصيصًا لها. من جهة أخرى، تحظى المشكلة الثانية باهتمام متزايد في أوساط التصميم الهندسي، نظرًا لأهمية تحديد كمية عدم اليقين في النموذج والتنبؤات اللاحقة باستجابات النظام الحقيقية في تصميم أنظمة متينة.

إلى الأمام

انتشار عدم اليقين هو عملية تحديد كمية حالات عدم اليقين في مخرجات النظام الناتجة عن مدخلات غير مؤكدة. ويركز على تأثير التباين البارامتري المذكور في مصادر عدم اليقين على المخرجات. ويمكن أن تشمل أهداف تحليل انتشار عدم اليقين ما يلي:

لتقييم العزوم ذات الرتبة المنخفضة للمخرجات، أي المتوسط والتباين .
لتقييم موثوقية المخرجات. وهذا مفيد بشكل خاص في هندسة الموثوقية حيث ترتبط مخرجات النظام عادةً ارتباطًا وثيقًا بأداء النظام.
لتقييم التوزيع الاحتمالي الكامل للمخرجات. وهذا مفيد في سيناريو تحسين المنفعة حيث يُستخدم التوزيع الكامل لحساب المنفعة.
لتقدير عدم اليقين في القيم التي لا يمكن قياسها مباشرة، عند حسابها باستخدام قيم قابلة للقياس تجريبياً. وهذا مفيد بشكل خاص في سياقات الفيزياء والكيمياء التجريبية. ^{[ 13 ]}

معكوس

بافتراض وجود قياسات تجريبية لنظام ما ونتائج محاكاة حاسوبية من نموذجه الرياضي، تُقدّر عملية تحديد عدم اليقين العكسي التباين بين التجربة والنموذج الرياضي (وهو ما يُسمى تصحيح الانحياز )، وتُقدّر قيم المعلمات المجهولة في النموذج إن وُجدت (وهو ما يُسمى معايرة المعلمات أو ببساطة المعايرة ). عمومًا، تُعدّ هذه العملية أكثر تعقيدًا من عملية نشر عدم اليقين الأمامي؛ ومع ذلك، فهي ذات أهمية بالغة لأنها تُطبّق عادةً في عملية تحديث النموذج. توجد عدة سيناريوهات في عملية تحديد عدم اليقين العكسي:

تصحيح الانحياز فقط

يُحدد تصحيح الانحياز مدى قصور النموذج ، أي التباين بين التجربة والنموذج الرياضي. الصيغة العامة لتحديث النموذج لتصحيح الانحياز هي:

y^{e}(\mathbf {x} )=y^{m}(\mathbf {x} )+\delta (\mathbf {x} )+\varepsilon

أين $y^{e}(\mathbf {x} )$ يشير إلى القياسات التجريبية كدالة لعدة متغيرات إدخال. $\mathbf {x}$ ، $y^{m}(\mathbf {x} )$ يشير إلى استجابة النموذج الحاسوبي (النموذج الرياضي)، $\delta (\mathbf {x} )$ يرمز إلى دالة التباين الجمعي (المعروفة أيضًا بدالة الانحياز)، و $\varepsilon$ يشير إلى عدم اليقين التجريبي. والهدف هو تقدير دالة التباين. $\delta (\mathbf {x} )$ وكنتيجة ثانوية، فإن النموذج المحدث الناتج هو $y^{m}(\mathbf {x} )+\delta (\mathbf {x} )$ يتم توفير فاصل ثقة للتنبؤ مع النموذج المحدث كمقياس لعدم اليقين.

معايرة المعلمات فقط

تُقدّر معايرة المعلمات قيم معلمة واحدة أو أكثر من المعلمات المجهولة في نموذج رياضي. الصيغة العامة لتحديث النموذج لأغراض المعايرة هي:

y^{e}(\mathbf {x} )=y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}^{*})+\varepsilon

أين $y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }})$ يشير إلى استجابة نموذج الحاسوب التي تعتمد على عدة معلمات نموذجية غير معروفة ${\boldsymbol {\theta }}$ ، و ${\boldsymbol {\theta }}^{*}$ تشير إلى القيم الحقيقية للمعاملات المجهولة خلال التجارب. والهدف هو إما تقدير ${\boldsymbol {\theta }}^{*}$ أو التوصل إلى توزيع احتمالي لـ ${\boldsymbol {\theta }}^{*}$ وهذا يشمل أفضل معرفة بقيم المعلمات الحقيقية.

تصحيح الانحياز ومعايرة المعلمات

يأخذ هذا النموذج في الاعتبار نموذجًا غير دقيق يحتوي على معلمات مجهولة واحدة أو أكثر، وتجمع صيغة تحديث النموذج بين الاثنين معًا:

y^{e}(\mathbf {x} )=y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}^{*})+\delta (\mathbf {x} )+\varepsilon

إنها الصيغة الأكثر شمولاً لتحديث النموذج والتي تتضمن جميع مصادر عدم اليقين المحتملة، وتتطلب أكبر قدر من الجهد لحلها.

المنهجيات الانتقائية

أُجريت أبحاث كثيرة لحل مشاكل تحديد كمية عدم اليقين، مع أن معظمها يتناول انتشار عدم اليقين. وخلال العقدين الماضيين، طُوِّرت أيضاً عدة مناهج لحل مشاكل تحديد كمية عدم اليقين العكسي، وقد أثبتت جدواها في معظم المشاكل الصغيرة والمتوسطة الحجم.

الانتشار الأمامي

تشمل أساليب نشر عدم اليقين الحالية الأساليب الاحتمالية والأساليب غير الاحتمالية. وهناك ست فئات أساسية من الأساليب الاحتمالية لنشر عدم اليقين: ^{[ 14 ]}

الأساليب القائمة على المحاكاة: محاكاة مونت كارلو ، وأخذ العينات المهمة ، وأخذ العينات التكيفية، وما إلى ذلك.
الأساليب العامة القائمة على النماذج البديلة: في نهج غير تدخلي، يتم تعلم نموذج بديل لاستبدال التجربة أو المحاكاة بتقريب سريع وغير مكلف. ويمكن أيضًا استخدام هذه الأساليب بطريقة بايزية كاملة. ^{[ 15 ]}^{[ 4 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]} وقد أثبت هذا النهج فعاليته بشكل خاص عندما تكون تكلفة أخذ العينات، مثل عمليات المحاكاة المكلفة حسابيًا، باهظة للغاية.
الأساليب القائمة على التوسع المحلي: متسلسلة تايلور ، طريقة الاضطراب ، وغيرها. تتميز هذه الأساليب بمزاياها عند التعامل مع تباينات المدخلات الصغيرة نسبيًا والمخرجات التي لا تُظهر درجة عالية من اللاخطية. تُفصّل هذه الأساليب الخطية أو المُخطّطة في مقالة " انتشار عدم اليقين" .
الطرق القائمة على التوسع الوظيفي: توسع نيومان، والتوسعات المتعامدة أو توسعات كارونين-لوف (KLE)، مع توسع الفوضى متعدد الحدود (PCE) وتوسعات الموجات كحالات خاصة.
الطرق القائمة على النقطة الأكثر احتمالاً (MPP): طريقة الموثوقية من الدرجة الأولى (FORM) وطريقة الموثوقية من الدرجة الثانية (SORM).
الطرق القائمة على التكامل العددي: التكامل العددي العاملي الكامل (FFNI) وتقليل الأبعاد (DR).

بالنسبة للمناهج غير الاحتمالية، يعد تحليل الفترات ، ^{[ 18 ]} ونظرية الضبابية ، ونظرية الإمكانية ، ونظرية الأدلة من بين أكثر المناهج استخدامًا على نطاق واسع.

يُعتبر النهج الاحتمالي الأكثر دقةً في تحليل عدم اليقين في التصميم الهندسي، وذلك لتوافقه مع نظرية تحليل القرار . ويرتكز هذا النهج على حساب دوال كثافة الاحتمال لإحصاءات المعاينة. ^{[ 19 ]} ويمكن إجراء ذلك بدقة للمتغيرات العشوائية التي يمكن الحصول عليها كتحويلات للمتغيرات الغاوسية، مما يؤدي إلى فترات ثقة دقيقة.

عدم اليقين العكسي

أخصائي الترددات

في تحليل الانحدار ومسائل المربعات الصغرى ، يتوفر الخطأ المعياري لتقديرات المعلمات بسهولة، ويمكن توسيعه إلى فترة ثقة . أما إذا كان الهدف هو تحديد كمية عدم اليقين للملاحظات المستقبلية، فيمكن استخدام التنبؤ المطابق ، الذي يتجاوز تقدير المعلمات.

بايزي

توجد عدة منهجيات لتحديد كمية عدم اليقين العكسي ضمن الإطار البايزي . ويُعدّ الاتجاه الأكثر تعقيدًا هو الذي يهدف إلى حلّ المشكلات التي تتضمن تصحيح الانحياز ومعايرة المعلمات. ولا تقتصر تحديات هذه المشكلات على تأثيرات عدم كفاية النموذج وعدم اليقين في المعلمات فحسب، بل تشمل أيضًا نقص البيانات من كلٍّ من عمليات المحاكاة الحاسوبية والتجارب. ومن الحالات الشائعة اختلاف إعدادات الإدخال بين التجارب وعمليات المحاكاة. كما يشيع أيضًا استخدام معلمات مستمدة من التجارب كمدخلات لعمليات المحاكاة. وفي عمليات المحاكاة المكلفة حسابيًا، غالبًا ما يكون من الضروري استخدام نموذج بديل ، مثل عملية غاوسية أو توسيع فوضى متعدد الحدود ، مما يُعرّف مشكلة عكسية لإيجاد النموذج البديل الذي يُقارب عمليات المحاكاة على أفضل وجه. ^{[ 4 ]}

النهج المعياري

يُعدّ النهج البايزي المعياري أحد أساليب تحديد كمية عدم اليقين العكسي. ^{[ 9 ]}^{[ 20 ]} ويستمد هذا النهج اسمه من إجراءاته المكونة من أربع وحدات. فبالإضافة إلى البيانات المتاحة حاليًا، يجب تحديد توزيع مسبق للمعلمات المجهولة.

الوحدة 1: نمذجة العمليات الغاوسية للنموذج الحاسوبي

لمعالجة مشكلة نقص نتائج المحاكاة، تم استبدال نموذج الحاسوب بنموذج العملية الغاوسية (GP).

y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }})\sim {\mathcal {GP}}{\big (}\mathbf {h} ^{m}(\cdot )^{T}{\boldsymbol {\beta }}^{m},\sigma _{m}^{2}R^{m}(\cdot ,\cdot ){\big )}

أين

R^{m}{\big (}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}),(\mathbf {x} ',{\boldsymbol {\theta }}'){\big )}=\exp \left\{-\sum _{k=1}^{d}\omega _{k}^{m}(x_{k}-x_{k}')^{2}\right\}\exp \left\{-\sum _{k=1}^{r}\omega _{d+k}^{m}(\theta _{k}-\theta _{k}')^{2}\right\}.

$d$ يمثل بُعد متغيرات الإدخال، و $r$ يمثل بُعد المعاملات المجهولة. بينما $\mathbf {h} ^{m}(\cdot )$ محدد مسبقًا، $\left\{{\boldsymbol {\beta }}^{m},\sigma _{m},\omega _{k}^{m},k=1,\ldots ,d+r\right\}$ تُعرف هذه المعلمات باسم المعلمات الفائقة لنموذج العمليات الغاوسية، ويجب تقديرها باستخدام طريقة تقدير الاحتمال الأقصى (MLE) . ويمكن اعتبار هذه الوحدة طريقة كريجينغ معممة .

الوحدة الثانية: نمذجة العملية الغاوسية لدالة التباين

وبالمثل مع الوحدة الأولى، يتم استبدال دالة التباين بنموذج GP

\delta (\mathbf {x} )\sim {\mathcal {GP}}{\big (}\mathbf {h} ^{\delta }(\cdot )^{T}{\boldsymbol {\beta }}^{\delta },\sigma _{\delta }^{2}R^{\delta }(\cdot ,\cdot ){\big )}

أين

R^{\delta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\exp \left\{-\sum _{k=1}^{d}\omega _{k}^{\delta }(x_{k}-x_{k}')^{2}\right\}.

بالإضافة إلى التوزيع المسبق للمعاملات المجهولة، والبيانات المستقاة من النماذج الحاسوبية والتجارب، يمكن استخلاص تقديرات الاحتمال الأقصى لـ $\left\{{\boldsymbol {\beta }}^{\delta },\sigma _{\delta },\omega _{k}^{\delta },k=1,\ldots ,d\right\}$ في الوقت نفسه، ${\boldsymbol {\beta }}^{m}$ يتم تحديث الوحدة 1 أيضًا.

الوحدة 3: التوزيع الاحتمالي اللاحق للمعلمات المجهولة

يتم تطبيق نظرية بايز لحساب التوزيع الاحتمالي اللاحق للمعلمات المجهولة:

p({\boldsymbol {\theta }}\mid {\text{data}},{\boldsymbol {\varphi }})\propto p({\rm {{data}\mid {\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }})p({\boldsymbol {\theta }})}}

أين ${\boldsymbol {\varphi }}$ يشمل جميع المعلمات الفائقة الثابتة في الوحدات السابقة.

الوحدة الرابعة: التنبؤ بالاستجابة التجريبية ودالة التباين

نهج شامل

يتطلب النهج البايزي الكامل ليس فقط معرفة التوزيعات الاحتمالية المسبقة للمعلمات غير المعروفة ${\boldsymbol {\theta }}$ ولكن أيضًا الاحتمالات المسبقة للمعلمات الفائقة الأخرى ${\boldsymbol {\varphi }}$ ينبغي تعيينها. ويتبع ذلك الخطوات التالية: ^{[ 21 ]}

استنتج التوزيع الاحتمالي اللاحق $p({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }}\mid {\text{data}})$ ؛
دمج ${\boldsymbol {\varphi }}$ الخروج والحصول على $p({\boldsymbol {\theta }}\mid {\text{data}})$ تُنجز هذه الخطوة الواحدة عملية المعايرة؛
التنبؤ بالاستجابة التجريبية ودالة التباين.

إلا أن هذا النهج ينطوي على عيوب كبيرة:

في معظم الحالات، $p({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }}\mid {\text{data}})$ هي وظيفة بالغة الصعوبة ${\boldsymbol {\varphi }}$ وبالتالي، يصبح التكامل صعباً للغاية. علاوة على ذلك، إذا كانت هناك احتمالات مسبقة للمعاملات الفائقة الأخرى ${\boldsymbol {\varphi }}$ إذا لم يتم اختيارها بعناية، فإن التعقيد في التكامل العددي يزداد أكثر.
في مرحلة التنبؤ، يتطلب التنبؤ (الذي يجب أن يشمل على الأقل القيمة المتوقعة لاستجابات النظام) أيضًا التكامل العددي. غالبًا ما تُستخدم طريقة مونت كارلو لسلسلة ماركوف (MCMC) للتكامل؛ إلا أنها مكلفة حسابيًا.

يتطلب النهج البايزي الكامل قدراً هائلاً من الحسابات، وقد لا يكون عملياً بعد للتعامل مع أكثر حالات النمذجة تعقيداً. ^{[ 21 ]}

المشاكل المعروفة

تُعدّ النظريات والمنهجيات الخاصة بانتشار عدم اليقين أكثر رسوخًا بكثير مقارنةً بالقياس الكمي العكسي لعدم اليقين. أما بالنسبة للأخير، فلا تزال هناك العديد من الصعوبات التي لم تُحل بعد.

مشكلة الأبعاد: تزداد التكلفة الحسابية بشكل كبير مع أبعاد المشكلة، أي عدد متغيرات الإدخال و/أو عدد المعلمات غير المعروفة.
مشكلة قابلية التحديد: ^{[ 22 ]} قد تُؤدي تركيبات متعددة من المعلمات المجهولة ودالة التباين إلى نفس التنبؤ التجريبي. وبالتالي، لا يمكن تمييز/تحديد القيم المختلفة للمعلمات. يتم تجاوز هذه المشكلة في المنهج البايزي، حيث يتم حساب متوسط هذه التركيبات. ^{[ 4 ]}
استجابة النموذج غير المكتملة: تشير إلى نموذج لا يملك حلاً لبعض تركيبات متغيرات الإدخال. ^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}
تحديد عدم اليقين في كميات المدخلات: أحداث حاسمة مفقودة في البيانات المتاحة أو كميات حرجة غير محددة للمحللين بسبب، على سبيل المثال، القيود في النماذج الحالية. ^{[ 25 ]}
لم يُولَ اهتمام يُذكر لتأثير الخيارات التي يتخذها المحللون. ^{[ 26 ]}
تطبيقات الذكاء الاصطناعي التوليدي: طُرحت بعض التقنيات ^{[ 27 ]} لتقييم عدم اليقين في نماذج اللغة الكبيرة وغيرها من النماذج الأساسية، إلا أن هذا المجال يشهد تطورًا سريعًا. تشمل تحديات تقييم عدم اليقين في هذا المجال حقيقة أن هذه النماذج تُنتج مخرجات معقدة/غير منظمة، وأنها أنظمة عامة الأغراض تُستخدم في حالات استخدام متنوعة، ويتم تدريبها على مجموعات بيانات ضخمة (خاصة) تحتوي على جميع المعلومات الرقمية التي يسهل الحصول عليها تقريبًا.

انظر أيضاً

مراجع

↑ ساكس، جيروم؛ ويلش، ويليام جيه؛ ميتشل، توبي جيه؛ وين، هنري بي. (1989). "تصميم وتحليل التجارب الحاسوبية" . العلوم الإحصائية . 4 (4): 409-423 . doi : 10.1214/ss/1177012413 . JSTOR 2245858 .
↑ إيمان، رونالد ل.؛ هيلتون، جون س. (1988). "دراسة لتقنيات تحليل عدم اليقين والحساسية لنماذج الحاسوب". تحليل المخاطر . 8 (1). وايلي: 71-90 . Bibcode : 1988RiskA...8...71I . doi : 10.1111/j.1539-6924.1988.tb01155.x . ISSN 0272-4332 .
^ ووكر، نحن؛ هاريموس، ب. روتمانز، J.؛ فان دير سلويس، جي بي؛ فان أسيلت، ماجستير في إدارة الأعمال؛ يانسن، ب. كراير فون كراوس، عضو البرلمان (2003). “تعريف عدم اليقين: أساس مفاهيمي لإدارة عدم اليقين في دعم القرار القائم على النموذج”. التقييم المتكامل . 4 (1). ناشرو Swets & Zeitlinger: 5– 17. بيب كود : 2003IntAs...4....5W . دوى : 10.1076/iaij.4.1.5.16466 . اتش دي ال : 1874/386032 . ردمك 1389-5176 .
1 2 3 4 5 رانفتل، ساشا؛ فون دير ليندن، فولفغانغ (13 نوفمبر 2021). "التحليل البديل البايزي وانتشار عدم اليقين" . منتدى العلوم الفيزيائية . 3 (1): 6. arXiv : 2101.04038 . doi : 10.3390/psf2021003006 . ISSN 2673-9984 .
↑ رالف سي. سميث (محرر): "تحديد كمية عدم اليقين: النظرية والتنفيذ والتطبيقات"، الطبعة الثانية، SIAM، ISBN 978-1-61197-783-7 (2024).
↑ تي جيه سوليفان: "مقدمة في تحديد كمية عدم اليقين"، سبرينغر، ISBN 978-3319233949 (21 ديسمبر 2015).
↑ سويز، سي. (2017). قياس عدم اليقين: دورة مكثفة مع تطبيقات متقدمة في الهندسة الحاسوبية . الرياضيات التطبيقية متعددة التخصصات، المجلد 47. سبرينغر تشام. doi : 10.1007/978-3-319-54339-0 . ISBN 978-3-319-54338-3.
↑ كونها الابن، أ. (2017). "نمذجة وتحديد كمية عدم اليقين في الأنظمة الفيزيائية ضمن إطار احتمالي". في: إكوارو-أوسير، س.؛ غونسالفيس، أ. س.؛ ألمايهو، ف. م. (محررون). التنبؤات الاحتمالية وإدارة صحة أنظمة الطاقة . دار نشر سبرينغر الدولية. doi : 10.1007/978-3-319-55852-3_8 .
1 2 كينيدي، مارك سي؛ أوهيغان، أنتوني (2001). "المعايرة البايزية للنماذج الحاسوبية" . مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب (المنهجية الإحصائية) . 63 (3): 425-464 . doi : 10.1111/1467-9868.00294 .
↑ دير كيوريغيان، أرمين؛ ديتليفسن، أوف (2009). "عشوائي أم معرفي؟ هل يهم؟". السلامة الهيكلية . 31 (2): 105-112 . doi : 10.1016/j.strusafe.2008.06.020 .
↑ ماتيس، هيرمان ج. (2007). "قياس عدم اليقين: التمثيل الحسابي الحديث للاحتمالية وتطبيقاته". المخاطر البشرية والطبيعية الشديدة في ديناميكيات الهياكل . سلسلة أمن الناتو من خلال العلوم. ص 105-135 . doi : 10.1007/978-1-4020-5656-7_4 . ISBN 978-1-4020-5654-3.
↑ أبهايا إندرايان، الإحصاء الحيوي الطبي ، الطبعة الثانية، تشابمان آند هول/سي آر سي برس، 2008، الصفحات 8، 673
↑ تايلور، جون ر. مقدمة في تحليل الأخطاء ( الطبعة الثانية). منشورات جامعة العلوم. ص 45. ISBN 978-0-935702-75-0.
↑ لي، ش.هـ؛ تشين، و. (9 مايو 2008). "دراسة مقارنة لأساليب نشر عدم اليقين في مسائل الصندوق الأسود". التحسين الهيكلي ومتعدد التخصصات . 37 (3). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا ذ.م.م: 239-253 . doi : 10.1007/s00158-008-0234-7 . ISSN 1615-147X . S2CID 119988015 .
↑ كارديناس، آي سي (2019). "حول استخدام الشبكات البايزية كنهج للنمذجة الفوقية لتحليل أوجه عدم اليقين في تحليل استقرار المنحدرات". جيوريسك: تقييم وإدارة المخاطر للأنظمة الهندسية والمخاطر الجيولوجية . 13 (1): 53-65 . Bibcode : 2019GAMRE..13...53C . doi : 10.1080/17499518.2018.1498524 . S2CID 216590427 .
↑ رانفتل، ساشا؛ ميليتو، جيان ماركو؛ باديلي، وحيد؛ راينباخر-كوستينجر، أليس؛ إليرمان، كاترين؛ فون دير ليندن، فولفغانغ (31 ديسمبر 2019). "القياس الكمي لعدم اليقين باستخدام بايز مع بيانات متعددة الدقة وعمليات غاوسية لتخطيط معاوقة القلب في حالات تسلخ الأبهر" . إنتروبي . 22 ( 1): 58. Bibcode : 2019Entrp..22...58R . doi : 10.3390/e22010058 . ISSN 1099-4300 . PMC 7516489. PMID 33285833 .
↑ رانفتل، ساشا؛ مولر، توماس ستيفان؛ ويندبيرجر، أورسولا؛ فون دير ليندن، فولفغانغ؛ برين، غونتر (2021-05-03)، البيانات والرموز الخاصة بـ "نهج بايزي لعدم اليقين في خواص الدم الريولوجية في ديناميكا الدم الأبهرية", دوى : 10.5281/zenodo.5237189 , تم استرجاعه في 12-01-2022
^ جولين، ل. كيفير، م. ديدريت، O.؛ والتر، إي. (2001). تحليل الفاصل الزمني التطبيقي . سبرينغر. رقم ISBN 1-85233-219-0.
↑ أرنوت، إل آر. عدم اليقين في القياس في غرف الصدى - الجزء الأول: إحصائيات العينة. التقرير الفني TQE 2، الطبعة الثانية، القسم 3.1، المختبر الفيزيائي الوطني، 2008.
↑ مارك سي. كينيدي، أنتوني أوهيغان، تفاصيل تكميلية حول المعايرة البايزية لنماذج الحاسوب ، شيفيلد، جامعة شيفيلد: 1-13، 2000
1 2 باياري، إم جيه ؛ بيرغر، جيه أو؛ ليو، إف. (2009-03-01). "النمذجة في التحليل البايزي، مع التركيز على تحليل النماذج الحاسوبية" . التحليل البايزي . 4 (1). معهد الإحصاء الرياضي: 119-150 . doi : 10.1214/09-ba404 . ISSN 1936-0975 .
↑ أرندت، بول د.؛ أبلي، دانيال و.؛ تشين، وي ؛ لامب، ديفيد؛ غورسيتش، ديفيد (28-09-2012). "تحسين قابلية التحديد في معايرة النموذج باستخدام استجابات متعددة". مجلة التصميم الميكانيكي . 134 (10). الجمعية الأمريكية للمهندسين الميكانيكيين الدولية: 100909. doi : 10.1115/1.4007573 . ISSN 1050-0472 .
↑ كارديناس، آي سي (2019). "حول استخدام الشبكات البايزية كنهج للنمذجة الفوقية لتحليل أوجه عدم اليقين في تحليل استقرار المنحدرات". جيوريسك: تقييم وإدارة المخاطر للأنظمة الهندسية والمخاطر الجيولوجية . 13 (1): 53-65 . Bibcode : 2019GAMRE..13...53C . doi : 10.1080/17499518.2018.1498524 . S2CID 216590427 .
↑ فان دين إيندن، أ.ب.؛ شفيكنديك، ت.؛ هيكس، م.أ. (2021). "النمذجة الفوقية لتحليل الموثوقية الجيوتقنية باستخدام نماذج غير مكتملة ومشوشة" . جيوريسك: تقييم وإدارة المخاطر للأنظمة الهندسية والمخاطر الجيولوجية . 16 (3): 518-535 . doi : 10.1080/17499518.2021.1952611 . S2CID 238819106 .
↑ كارديناس، آي.؛ أفين، تي.؛ فلاج، آر. (2022). "معالجة التحديات في تحديد كمية عدم اليقين. حالة تقييمات المخاطر الجيولوجية" . مناقشات تطوير نماذج علوم الأرض. 16 ( 6): 1601-1615 . doi : 10.5194/gmd-16-1601-2023 . hdl : 11250/3105739 .
↑ كارديناس، آي.؛ أفين، تي.؛ فلاج، آر. (2022). "معالجة التحديات في تحديد كمية عدم اليقين. حالة تقييمات المخاطر الجيولوجية" . مناقشات تطوير نماذج علوم الأرض. 16 ( 6): 1601-1615 . doi : 10.5194/gmd-16-1601-2023 . hdl : 11250/3105739 .
↑ تشين، ج.؛ مولر، ج. (2024). "قياس عدم اليقين في الإجابات من أي نموذج لغوي وتعزيز موثوقيتها". وقائع الاجتماع السنوي الثاني والستين لجمعية اللغويات الحاسوبية : 5186-5200 . doi : 10.18653/v1/2024.acl-long.283 .

[1] ساكس، جيروم؛ ويلش، ويليام جيه؛ ميتشل، توبي جيه؛ وين، هنري بي. (1989). "تصميم وتحليل التجارب الحاسوبية" . العلوم الإحصائية . 4 (4): 409-423 . doi : 10.1214/ss/1177012413 . JSTOR 2245858 .

[2] إيمان، رونالد ل.؛ هيلتون، جون س. (1988). "دراسة لتقنيات تحليل عدم اليقين والحساسية لنماذج الحاسوب". تحليل المخاطر . 8 (1). وايلي: 71-90 . Bibcode : 1988RiskA...8...71I . doi : 10.1111/j.1539-6924.1988.tb01155.x . ISSN 0272-4332 .

[3] ووكر، نحن؛ هاريموس، ب. روتمانز، J.؛ فان دير سلويس، جي بي؛ فان أسيلت، ماجستير في إدارة الأعمال؛ يانسن، ب. كراير فون كراوس، عضو البرلمان (2003). “تعريف عدم اليقين: أساس مفاهيمي لإدارة عدم اليقين في دعم القرار القائم على النموذج”. التقييم المتكامل . 4 (1). ناشرو Swets & Zeitlinger: 5– 17. بيب كود : 2003IntAs...4....5W . دوى : 10.1076/iaij.4.1.5.16466 . اتش دي ال : 1874/386032 . ردمك 1389-5176 .

[:0-4] 1 2 3 4 5 رانفتل، ساشا؛ فون دير ليندن، فولفغانغ (13 نوفمبر 2021). "التحليل البديل البايزي وانتشار عدم اليقين" . منتدى العلوم الفيزيائية . 3 (1): 6. arXiv : 2101.04038 . doi : 10.3390/psf2021003006 . ISSN 2673-9984 .

[5] رالف سي. سميث (محرر): "تحديد كمية عدم اليقين: النظرية والتنفيذ والتطبيقات"، الطبعة الثانية، SIAM، ISBN 978-1-61197-783-7 (2024).

[6] تي جيه سوليفان: "مقدمة في تحديد كمية عدم اليقين"، سبرينغر، ISBN 978-3319233949 (21 ديسمبر 2015).

[7] سويز، سي. (2017). قياس عدم اليقين: دورة مكثفة مع تطبيقات متقدمة في الهندسة الحاسوبية . الرياضيات التطبيقية متعددة التخصصات، المجلد 47. سبرينغر تشام. doi : 10.1007/978-3-319-54339-0 . ISBN 978-3-319-54338-3.

[8] كونها الابن، أ. (2017). "نمذجة وتحديد كمية عدم اليقين في الأنظمة الفيزيائية ضمن إطار احتمالي". في: إكوارو-أوسير، س.؛ غونسالفيس، أ. س.؛ ألمايهو، ف. م. (محررون). التنبؤات الاحتمالية وإدارة صحة أنظمة الطاقة . دار نشر سبرينغر الدولية. doi : 10.1007/978-3-319-55852-3_8 .

[KennedyOHagan-9] 1 2 كينيدي، مارك سي؛ أوهيغان، أنتوني (2001). "المعايرة البايزية للنماذج الحاسوبية" . مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب (المنهجية الإحصائية) . 63 (3): 425-464 . doi : 10.1111/1467-9868.00294 .

[10] دير كيوريغيان، أرمين؛ ديتليفسن، أوف (2009). "عشوائي أم معرفي؟ هل يهم؟". السلامة الهيكلية . 31 (2): 105-112 . doi : 10.1016/j.strusafe.2008.06.020 .

[11] ماتيس، هيرمان ج. (2007). "قياس عدم اليقين: التمثيل الحسابي الحديث للاحتمالية وتطبيقاته". المخاطر البشرية والطبيعية الشديدة في ديناميكيات الهياكل . سلسلة أمن الناتو من خلال العلوم. ص 105-135 . doi : 10.1007/978-1-4020-5656-7_4 . ISBN 978-1-4020-5654-3.

[12] أبهايا إندرايان، الإحصاء الحيوي الطبي ، الطبعة الثانية، تشابمان آند هول/سي آر سي برس، 2008، الصفحات 8، 673

[13] تايلور، جون ر. مقدمة في تحليل الأخطاء ( الطبعة الثانية). منشورات جامعة العلوم. ص 45. ISBN 978-0-935702-75-0.

[14] لي، ش.هـ؛ تشين، و. (9 مايو 2008). "دراسة مقارنة لأساليب نشر عدم اليقين في مسائل الصندوق الأسود". التحسين الهيكلي ومتعدد التخصصات . 37 (3). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا ذ.م.م: 239-253 . doi : 10.1007/s00158-008-0234-7 . ISSN 1615-147X . S2CID 119988015 .

[15] كارديناس، آي سي (2019). "حول استخدام الشبكات البايزية كنهج للنمذجة الفوقية لتحليل أوجه عدم اليقين في تحليل استقرار المنحدرات". جيوريسك: تقييم وإدارة المخاطر للأنظمة الهندسية والمخاطر الجيولوجية . 13 (1): 53-65 . Bibcode : 2019GAMRE..13...53C . doi : 10.1080/17499518.2018.1498524 . S2CID 216590427 .

[16] رانفتل، ساشا؛ ميليتو، جيان ماركو؛ باديلي، وحيد؛ راينباخر-كوستينجر، أليس؛ إليرمان، كاترين؛ فون دير ليندن، فولفغانغ (31 ديسمبر 2019). "القياس الكمي لعدم اليقين باستخدام بايز مع بيانات متعددة الدقة وعمليات غاوسية لتخطيط معاوقة القلب في حالات تسلخ الأبهر" . إنتروبي . 22 ( 1): 58. Bibcode : 2019Entrp..22...58R . doi : 10.3390/e22010058 . ISSN 1099-4300 . PMC 7516489. PMID 33285833 .

[17] رانفتل، ساشا؛ مولر، توماس ستيفان؛ ويندبيرجر، أورسولا؛ فون دير ليندن، فولفغانغ؛ برين، غونتر (2021-05-03)، البيانات والرموز الخاصة بـ "نهج بايزي لعدم اليقين في خواص الدم الريولوجية في ديناميكا الدم الأبهرية", دوى : 10.5281/zenodo.5237189 , تم استرجاعه في 12-01-2022

[18] جولين، ل. كيفير، م. ديدريت، O.؛ والتر، إي. (2001). تحليل الفاصل الزمني التطبيقي . سبرينغر. رقم ISBN 1-85233-219-0.

[19] أرنوت، إل آر. عدم اليقين في القياس في غرف الصدى - الجزء الأول: إحصائيات العينة. التقرير الفني TQE 2، الطبعة الثانية، القسم 3.1، المختبر الفيزيائي الوطني، 2008.

[20] مارك سي. كينيدي، أنتوني أوهيغان، تفاصيل تكميلية حول المعايرة البايزية لنماذج الحاسوب ، شيفيلد، جامعة شيفيلد: 1-13، 2000

[Liu-21] 1 2 باياري، إم جيه ؛ بيرغر، جيه أو؛ ليو، إف. (2009-03-01). "النمذجة في التحليل البايزي، مع التركيز على تحليل النماذج الحاسوبية" . التحليل البايزي . 4 (1). معهد الإحصاء الرياضي: 119-150 . doi : 10.1214/09-ba404 . ISSN 1936-0975 .

[22] أرندت، بول د.؛ أبلي، دانيال و.؛ تشين، وي ؛ لامب، ديفيد؛ غورسيتش، ديفيد (28-09-2012). "تحسين قابلية التحديد في معايرة النموذج باستخدام استجابات متعددة". مجلة التصميم الميكانيكي . 134 (10). الجمعية الأمريكية للمهندسين الميكانيكيين الدولية: 100909. doi : 10.1115/1.4007573 . ISSN 1050-0472 .

[23] كارديناس، آي سي (2019). "حول استخدام الشبكات البايزية كنهج للنمذجة الفوقية لتحليل أوجه عدم اليقين في تحليل استقرار المنحدرات". جيوريسك: تقييم وإدارة المخاطر للأنظمة الهندسية والمخاطر الجيولوجية . 13 (1): 53-65 . Bibcode : 2019GAMRE..13...53C . doi : 10.1080/17499518.2018.1498524 . S2CID 216590427 .

[24] فان دين إيندن، أ.ب.؛ شفيكنديك، ت.؛ هيكس، م.أ. (2021). "النمذجة الفوقية لتحليل الموثوقية الجيوتقنية باستخدام نماذج غير مكتملة ومشوشة" . جيوريسك: تقييم وإدارة المخاطر للأنظمة الهندسية والمخاطر الجيولوجية . 16 (3): 518-535 . doi : 10.1080/17499518.2021.1952611 . S2CID 238819106 .

[25] كارديناس، آي.؛ أفين، تي.؛ فلاج، آر. (2022). "معالجة التحديات في تحديد كمية عدم اليقين. حالة تقييمات المخاطر الجيولوجية" . مناقشات تطوير نماذج علوم الأرض. 16 ( 6): 1601-1615 . doi : 10.5194/gmd-16-1601-2023 . hdl : 11250/3105739 .

[26] كارديناس، آي.؛ أفين، تي.؛ فلاج، آر. (2022). "معالجة التحديات في تحديد كمية عدم اليقين. حالة تقييمات المخاطر الجيولوجية" . مناقشات تطوير نماذج علوم الأرض. 16 ( 6): 1601-1615 . doi : 10.5194/gmd-16-1601-2023 . hdl : 11250/3105739 .

[27] تشين، ج.؛ مولر، ج. (2024). "قياس عدم اليقين في الإجابات من أي نموذج لغوي وتعزيز موثوقيتها". وقائع الاجتماع السنوي الثاني والستين لجمعية اللغويات الحاسوبية : 5186-5200 . doi : 10.18653/v1/2024.acl-long.283 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]