إجراء ويلسون

في نظرية الحقول الشبكية ، يُعدّ فعل ويلسون صياغةً منفصلةً لفعل يانغ-ميلز ، ويُشكّل أساس نظرية القياس الشبكية . وبدلاً من استخدام حقول القياس ذات القيم الجبرية لي كمعاملات أساسية للنظرية، تُستخدم حقول الربط ذات القيم الجماعية ، والتي تُقابل أصغر خطوط ويلسون على الشبكة . في المحاكاة الحديثة لنظرية القياس البحتة، يُعدّل الفعل عادةً بإدخال مؤثرات من رتبة أعلى من خلال تحسين سيمانزيك، مما يُقلّل بشكلٍ كبير من أخطاء التقطيع . وقد قدّم كينيث ويلسون هذا الفعل في ورقته البحثية الرائدة عام 1974، ^{[ 1 ]} مُطلقًا بذلك دراسة نظرية الحقول الشبكية.

تُصاغ نظرية قياس الشبكة بدلالة عناصر مجموعة القياس المدمجة بدلاً من صياغة حقول القياس ذات القيم الجبرية لي.${\displaystyle A_{\mu }(x)=A_{\mu }^{a}(x)T^{a}}$، أين${\displaystyle T^{a}}$هي مولدات المجموعة . خط ويلسون، الذي يصف النقل المتوازي لعناصر مجموعة لي عبر الزمكان على طول مسار${\displaystyle C}$، يتم تعريفها بدلالة حقل القياس بواسطة

${\displaystyle W[x,y]={\mathcal {P}}e^{i\int _{C}A_{\mu }dx^{\mu }},}$

أين${\displaystyle {\mathcal {P}}}$هو عامل ترتيب المسار . تقسيم الزمكان إلى شبكة بنقاط مفهرسة بواسطة متجه${\displaystyle n}$، يأخذ مجال القياس قيمًا فقط عند هذه النقاط${\displaystyle A_{\mu }(n)}$. إلى الدرجة الأولى في تباعد الشبكة${\displaystyle a}$أصغر خطوط ويلسون الممكنة، تلك الموجودة بين نقطتين متجاورتين، تُعرف باسم الروابط ^{[ 2 ].}

${\displaystyle U_{\mu }(n)=W[n,n+{\hat {\mu }}]+{\mathcal {O}}(a),}$

أين${\displaystyle {\hat {\mu }}}$هو متجه وحدة في${\displaystyle \mu }$الاتجاه. بما أن عامل ترتيب المسار يُلغي الترتيب الأولي، فإن الرابط يرتبط بحقل القياس المتقطع بواسطة${\displaystyle U_{\mu }(n)=e^{iaA_{\mu }(n)}}$. إنها متغيرات نظرية القياس الأساسية لنظرية قياس الشبكة، مع قياس التكامل المساري (الرياضيات) على الروابط المعطاة بواسطة قياس هار عند كل نقطة شبكية.

عند العمل ضمن تمثيل ما لمجموعة القياس، تكون الروابط ذات قيم مصفوفية وموجهة . تُعرَّف الروابط ذات الاتجاه المعاكس بحيث يكون حاصل ضرب الرابط من${\displaystyle n}$ل${\displaystyle n+{\hat {\mu }}}$مع وجود الرابط في الاتجاه المعاكس، يكون مساوياً للوحدة، وهو ما ينطبق في حالة${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$مجموعات القياس تعني أن${\displaystyle U_{-\mu }(n)=U_{\mu }(n-{\hat {\mu }})^{\dagger }}$. تحت تحويل قياسي${\displaystyle \Omega (n)}$يتحول الرابط بنفس طريقة تحول خط ويلسون

${\displaystyle U_{\mu }(n)\rightarrow \Omega (n)U_{\mu }(n)\Omega (n+{\hat {\mu }})^{\dagger }.}$

أصغر حلقة غير تافهة من حقول الروابط على الشبكة تُعرف باسم "البلاكيت" ، وهي تتكون من أربعة روابط حول مربع في${\displaystyle \mu }$-${\displaystyle \nu }$الطائرة ^{[ 3 ]}

${\displaystyle U_{\mu \nu }(n)=U_{\mu }(n)U_{\nu }(n+{\hat {\mu }})U_{\mu }(n+{\hat {\nu }})^{\dagger }U_{\nu }(n)^{\dagger }.}$

أثر البلاكيت كمية ثابتة بالنسبة للمقياس، مماثلة لحلقة ويلسون في الوسط المتصل . باستخدام صيغة BCH وتعبير مجال قياس الشبكة لمتغير الرابط، يمكن كتابة البلاكيت لأدنى رتبة في تباعد الشبكة بدلالة موتر شدة المجال المتقطع .

${\displaystyle U_{\mu \nu }(n)=e^{ia^{2}F_{\mu \nu }(n)+{\mathcal {O}}(a^{3})}.}$

عن طريق إعادة قياس مجال القياس باستخدام اقتران القياس${\displaystyle g}$والعمل في تمثيل مع فهرس${\displaystyle \rho }$، مُعرَّف من خلال${\displaystyle {\text{tr}}[T^{a}T^{b}]=\rho \delta ^{ab}}$يمكن إعادة كتابة فعل يانغ-ميلز في الوسط المتصل على النحو التالي:

${\displaystyle S={\frac {1}{2g^{2}\rho }}\int d^{4}x\ {\text{tr}}[F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }],}$

حيث يكون موتر شدة المجال ذا قيم جبر لي${\displaystyle F_{\mu \nu }=F_{\mu \nu }^{a}T^{a}}$بما أن البلاكيتات تربط متغيرات الربط بموتر شدة المجال المتقطع، فإن هذا يسمح بإنشاء نسخة شبكية من فعل يانغ-ميلز باستخدامها. وهذا هو فعل ويلسون، المعطى بدلالة مجموع جميع البلاكيتات ذات اتجاه واحد على الشبكة ^{[ 4 ].}

يختزل ذلك إلى فعل يانغ-ميلز المتقطع مع ظهور تشوهات الشبكة بالترتيب${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}$.

هذا الفعل ليس فريدًا من نوعه. ^{[ 5 ]} يمكن بناء فعل قياس شبكي من أي حلقة ويلسون منفصلة. طالما تم حساب متوسط ​​الحلقات بشكل مناسب على الاتجاهات والانتقالات في الزمكان للحصول على التناظرات الصحيحة ، فإن الفعل سيعود إلى نتيجة الاستمرارية. تكمن ميزة استخدام البلاكيتات في بساطتها، وفي أن الفعل يُسهّل برامج التحسين المستخدمة لتقليل تشوهات الشبكة.

حركة ويلسون${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}$يمكن تقليل الأخطاء من خلال تحسين سيمانزيك، حيث تُضاف عوامل تشغيل إضافية من الرتبة العليا إلى الإجراء لإلغاء هذه التشوهات الشبكية. هناك العديد من عوامل التشغيل من الرتبة العليا التي يمكن إضافتها إلى إجراء ويلسون بما يتوافق مع حلقات الروابط المختلفة.${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$تستخدم نظريات القياس، فعل لوشر-فايس${\displaystyle 2\times 1}$مستطيلات${\displaystyle U_{rt}}$ومتوازيات الأضلاع${\displaystyle U_{pg}}$تتكون من روابط حول مكعب ^{[ 6 ]}

${\displaystyle S[U]={\frac {\beta }{N}}\sum _{pl}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{\mu \nu })+{\frac {\beta _{rt}}{N}}\sum _{rt}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{rt})+{\frac {\beta _{pg}}{N}}\sum _{pg}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{pg}),}$

أين${\displaystyle \beta =2N/g^{2}}$هو ثابت الاقتران العكسي و${\displaystyle \beta _{rt}}$و${\displaystyle \beta _{pg}}$هي المعاملات التي يتم ضبطها لتقليل تشوهات الشبكة.

يمكن حساب قيمة المعاملين إما باستخدام الإجراء لمحاكاة النتائج المعروفة وضبط المعلمات لتقليل الأخطاء، أو بحسابها باستخدام نظرية الاضطراب المحسّنة لـ Tadpole . في حالة${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$نظرية القياس، الطريقة الأخيرة تعطي ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle \beta _{rt}=-{\frac {\beta _{pl}}{20u_{0}^{2}}}(1+0.4805\alpha _{s}),\ \ \ \ \ \ \ \ \beta _{pg}=-{\frac {\beta }{u_{0}^{2}}}0.03325\alpha _{s},}$

أين${\displaystyle u_{0}}$هي قيمة الرابط المتوسط ​​و${\displaystyle \alpha _{s}}$ثابت البنية الدقيقة للديناميكا اللونية الكمومية

${\displaystyle u_{0}={\big (}{\tfrac {1}{3}}{\text{Re}}\ {\text{tr}}\langle U_{\mu \nu }\rangle {\big )}^{1/4},\ \ \ \ \ \ \ \ \alpha _{s}=-{\frac {\ln({\tfrac {1}{3}}{\text{Re}}\ {\text{tr}}\langle U_{\mu \nu }\rangle )}{3.06839}}.}$