موتر قوة مجال الغلوون

يُرمز إلى الموتر بـ G ، (أو F ، F ، أو بعض المتغيرات)، وله مكونات محددة تتناسب مع مبدل مشتق الكوارك المتغير D _μ : ^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle G_{\alpha \beta }=\pm {\frac {1}{ig_{\text{s}}}}[D_{\alpha },D_{\beta }],}$$ أين $${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }\pm ig_{\text{s}}t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a},}$$ في أي

i هي الوحدة التخيلية ؛

g _s هو ثابت اقتران القوة النووية القوية؛

t _a = λ _a /2 هي مصفوفات جيل مان λ _a مقسومة على 2؛

a هو مؤشر اللون في التمثيل المرافق لـ SU(3) والذي يأخذ القيم 1، 2، ...، 8 للمولدات الثمانية للمجموعة، وهي مصفوفات جيل مان ؛

μ هو مؤشر الزمكان، 0 للمكونات الزمنية و 1 و 2 و 3 للمكونات المكانية؛

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }=t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}}$يعبر عن حقل الغلوون ، وهو حقل قياس ذو دوران -1 أو، بلغة الهندسة التفاضلية، اتصال في الحزمة الرئيسية SU(3) ؛

${\displaystyle {\mathcal {A}} _ {\mu }}$هي مكوناتها الأربعة (التي تعتمد على نظام الإحداثيات)، والتي في مقياس ثابت تكون دوال هيرميتية عديمة الأثر ذات قيم مصفوفية 3 × 3 ، بينما${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}}$هي 32 دالة حقيقية القيمة ، المكونات الأربعة لكل من حقول المتجهات الأربعة الثمانية.

لاحظ أن المؤلفين المختلفين يختارون علامات مختلفة.

يؤدي توسيع المبدل إلى $${\displaystyle G_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }\pm ig_{\text{s}}[{\mathcal {A}}_{\alpha },{\mathcal {A}}_{\beta }].}$$

الاستبدال${\displaystyle t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}={\mathcal {A}}_{\alpha }}$وباستخدام علاقة التبادل${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=if_{ab}{}^{c}t_{c}}$بالنسبة لمصفوفات جيل-مان (مع إعادة تسمية المؤشرات)، حيث f ^abc هي ثوابت بنية SU(3)، يمكن التعبير عن كل مكون من مكونات قوة مجال الغلوون كمزيج خطي من مصفوفات جيل-مان على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }t_{a}{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm ig_{\text{s}}[t_{b},t_{c}]{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\\&=t_{a}{\big (}\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm i^{2}f_{bc}{}^{a}g_{\text{s}}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}{\big )}\\&=t_{a}G_{\alpha \beta }^{a},\\\end{aligned}}}$$ بحيث ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle G_{\alpha \beta }^{a}=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\mp g_{\text{s}}f^{a}{}_{bc}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c},}$$ حيث تمثل a و b و c = 1 و 2 و ... و 8 مؤشرات اللون. وكما هو الحال مع حقل الغلوون، في نظام إحداثيات محدد ومقياس ثابت، فإن G _αβ هي دوال هيرميتية عديمة الأثر من الرتبة الثانية ، بينما G ^a _αβ هي دوال حقيقية، وهي مكونات ثمانية حقول موترية رباعية الأبعاد من الرتبة الثانية.

يمكن وصف حقل لون الغلوون باستخدام لغة الأشكال التفاضلية ، وتحديدًا كشكل انحناء 2 ذي قيم حزمة مرافقة (لاحظ أن ألياف الحزمة المرافقة هي جبر لي su (3) )؛ $${\displaystyle \mathbf {G} =\mathrm {d} {\boldsymbol {\mathcal {A}}}\mp g_{\text{s}}\,{\boldsymbol {\mathcal {A}}}\wedge {\boldsymbol {\mathcal {A}}},}$$ أين${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {A}}}}$يمثل حقل الغلوون، وهو شكل كموني متجهي من الدرجة الأولى يناظر G ، و∧ هو حاصل الضرب الخارجي (غير المتناظر) لهذا الجبر، والذي ينتج ثوابت البنية f ^abc . مشتق كارتان لشكل الحقل (أي تباعد الحقل أساسًا) سيكون صفرًا في غياب "حدود الغلوون"، أي تلك الحدود.${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {A}}}}$والتي تمثل الطابع غير التبادلي لـ SU(3).

يمكن العثور على اشتقاق رياضي رسمي أكثر لهذه الأفكار نفسها (ولكن في إطار مختلف قليلاً) في المقالة المتعلقة بالوصلات المترية .

وهذا يوازي تقريبًا موتر المجال الكهرومغناطيسي (المشار إليه أيضًا بـ F ) في الديناميكا الكهربائية الكمومية ، والذي يُعطى بواسطة الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي A الذي يصف فوتونًا ذو لف مغزلي 1 : $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha },}$$ أو بلغة الأشكال التفاضلية، $${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} .}$$

يكمن الاختلاف الرئيسي بين الديناميكا الكهربائية الكمومية والديناميكا اللونية الكمومية في أن شدة مجال الغلوون تحتوي على حدود إضافية تؤدي إلى تفاعلات ذاتية بين الغلوونات وحرية تقاربية . يُعد هذا تعقيدًا للقوة النووية القوية، مما يجعلها غير خطية بطبيعتها ، على عكس النظرية الخطية للقوة الكهرومغناطيسية. الديناميكا اللونية الكمومية هي نظرية قياس غير تبديلية . تعني كلمة "غير تبديلية" في لغة نظرية الزمر أن عملية الزمرة ليست تبادلية ، مما يجعل جبر لي المقابل غير تافه.