الأمان التقاربي

يتبنى برنامج الأمان التقاربي منظورًا ويلسونيًا حديثًا لنظرية الحقل الكمومي. هنا، تتمثل البيانات الأساسية التي يجب تحديدها في البداية، أولًا، في أنواع الحقول الكمومية التي تحمل درجات حرية النظرية ، وثانيًا، في التناظرات الأساسية . بالنسبة لأي نظرية قيد الدراسة، تحدد هذه البيانات المرحلة التي تجري عليها ديناميكيات مجموعة إعادة التطبيع، والتي تُسمى فضاء النظرية. يتكون هذا الفضاء من جميع دوال الفعل الممكنة، اعتمادًا على الحقول المختارة، مع مراعاة مبادئ التناظر المحددة. وبالتالي، تمثل كل نقطة في فضاء النظرية فعلًا واحدًا ممكنًا. غالبًا ما يمكن اعتبار هذا الفضاء ممتدًا على جميع أحاديات الحقل المناسبة. وبهذا المعنى، فإن أي فعل في فضاء النظرية هو توليفة خطية من أحاديات الحقل، حيث تمثل المعاملات المقابلة ثوابت الاقتران .${\displaystyle \{g_{\alpha }\}}$(هنا يُفترض أن جميع الاقترانات عديمة الأبعاد. يمكن دائمًا جعل الاقترانات عديمة الأبعاد عن طريق الضرب بقوة مناسبة لمقياس إعادة التطبيع.)

تصف مجموعة إعادة التطبيع (RG) تغير النظام الفيزيائي نتيجة لتنعيم أو تبسيط التفاصيل المجهرية عند الانتقال إلى دقة أقل. وهذا يُبرز مفهوم اعتماد الدوال الفعلية محل الاهتمام على المقياس. تُحوّل تحويلات RG المتناهية الصغر الدوال الفعلية إلى دوال قريبة منها، مما يُنشئ حقلًا متجهيًا في فضاء النظرية. ويُشفّر اعتماد الدالة الفعلية على المقياس في سلسلة متغيرة من ثوابت الاقتران التي تُحدد هذه الدالة.${\displaystyle \{g_{\alpha }\}\equiv \{g_{\alpha }(k)\}}$، مع مقياس RG${\displaystyle k}$ينتج عن ذلك مسار في فضاء النظرية (مسار إعادة التطبيع)، يصف تطور دالة الفعل بالنسبة للمقياس. ويجب تحديد أي من المسارات الممكنة يتحقق في الطبيعة عن طريق القياسات.

إن بناء نظرية حقل كمومي يعني إيجاد مسار إعادة التطبيع الذي يمتد إلى ما لا نهاية بمعنى أن دالة الفعل الموصوفة بواسطة${\displaystyle \{g_{\alpha }(k)\}}$يكون سلوكه جيدًا لجميع قيم معامل مقياس الزخم${\displaystyle k}$، بما في ذلك حد الأشعة تحت الحمراء${\displaystyle k\rightarrow 0}$وحد الأشعة فوق البنفسجية (UV)${\displaystyle k\rightarrow \infty }$الأمان التقاربي هو طريقة للتعامل مع الحد الأخير. شرطه الأساسي هو وجود نقطة ثابتة لتدفق إعادة التطبيع. هذه النقطة، بحسب التعريف، هي نقطة${\displaystyle \{g_{\alpha }^{*}\}}$في فضاء النظرية حيث يتوقف تشغيل جميع الاقترانات، أو بعبارة أخرى، صفر جميع دوال بيتا :${\displaystyle \beta _{\gamma }(\{g_{\alpha }^{*}\})=0}$للجميع${\displaystyle \gamma }$بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تحتوي تلك النقطة الثابتة على اتجاه واحد على الأقل جاذب للأشعة فوق البنفسجية. وهذا يضمن وجود مسار واحد أو أكثر من مسارات إعادة التطبيع التي تصطدم بالنقطة الثابتة مع زيادة المقياس. تُعرف مجموعة جميع النقاط في فضاء النظرية التي "تُسحب" إلى النقطة الثابتة للأشعة فوق البنفسجية عند الانتقال إلى مقاييس أكبر باسم السطح الحرج للأشعة فوق البنفسجية . وبالتالي، يتكون السطح الحرج للأشعة فوق البنفسجية من جميع تلك المسارات الآمنة من تباعدات الأشعة فوق البنفسجية، بمعنى أن جميع الثوابت تقترب من قيم النقطة الثابتة المحدودة.${\displaystyle k\rightarrow \infty }$تتمثل الفرضية الأساسية التي يقوم عليها مفهوم الأمان التقاربي في أن المسارات التي تقع بالكامل داخل السطح الحرج للأشعة فوق البنفسجية لنقطة ثابتة مناسبة هي فقط التي يمكن تمديدها إلى ما لا نهاية، وبالتالي تعريف نظرية حقل كمومي أساسية. ومن الواضح أن هذه المسارات تتسم بسلوك جيد في حد الأشعة فوق البنفسجية، حيث يسمح وجود نقطة ثابتة لها بالبقاء عند نقطة ما لفترة زمنية لانهائية في إعادة التطبيع.

فيما يتعلق بالنقطة الثابتة، تُسمى الاتجاهات الجاذبة للأشعة فوق البنفسجية ذات صلة، بينما تُسمى الاتجاهات الطاردة لها غير ذات صلة، وذلك لأن حقول القياس المقابلة لها تزداد وتنقص، على التوالي، عند خفض المقياس. وبالتالي، فإن بُعد السطح الحرج للأشعة فوق البنفسجية يساوي عدد الاقترانات ذات الصلة. ومن ثم، فإن النظرية الآمنة تقاربياً تكون أكثر قدرة على التنبؤ كلما صغر بُعد السطح الحرج المقابل للأشعة فوق البنفسجية.

على سبيل المثال، إذا كان للسطح الحرج للأشعة فوق البنفسجية بُعد محدود${\displaystyle n}$يكفي أن تؤدي فقط${\displaystyle n}$قياسات لتحديد مسار RG الطبيعي بشكل فريد. بمجرد${\displaystyle n}$تُقاس الاقترانات ذات الصلة، ويُحدد شرط الأمان التقاربي جميع الاقترانات الأخرى، إذ يجب تعديل الأخيرة بحيث يقع مسار إعادة التطبيع ضمن السطح الحرج للأشعة فوق البنفسجية. وبهذا المعنى، تتميز النظرية بقدرة تنبؤية عالية، حيث يتم تحديد عدد لا نهائي من المعلمات من خلال عدد محدود من القياسات.

على عكس المناهج الأخرى، لا يتطلب هذا النهج إدخال فعلٍ أولي يُفترض تطويره إلى نظرية كمومية. فمساحة النظرية ومعادلات تدفق إعادة التطبيع هي التي تحدد نقاط التثبيت المحتملة في نطاق الأشعة فوق البنفسجية. وبما أن نقطة التثبيت هذه تُقابل بدورها فعلًا أوليًا، فيمكن اعتبار الفعل الأولي بمثابة تنبؤ في برنامج الأمان التقاربي. ويمكن اعتبار هذا بمثابة استراتيجية بحث منهجية بين النظريات التي تُصنف بالفعل على أنها "كمومية"، والتي تُحدد "جزر" النظريات المقبولة فيزيائيًا في "بحر" النظريات غير المقبولة التي تعاني من حالات تفرد قصيرة المدى.

تُسمى النقطة الثابتة غاوسية إذا كانت تُطابق نظرية حرة. تتوافق أسسها الحرجة مع أبعاد الكتلة المتعارف عليها للمؤثرات المقابلة، والتي عادةً ما تُساوي قيم النقطة الثابتة التافهة.${\displaystyle g_{\alpha }^{*}=0}$لجميع الوصلات الأساسية${\displaystyle g_{\alpha }}$وبالتالي، فإن نظرية الاضطراب القياسية لا تنطبق إلا في جوار نقطة ثابتة غاوسية. وفي هذا السياق، فإن الأمان التقاربي عند النقطة الثابتة الغاوسية يُكافئ قابلية إعادة التطبيع الاضطرابية بالإضافة إلى الحرية التقاربية . ومع ذلك، ونظرًا للحجج الواردة في الأقسام التمهيدية، فإن هذا الاحتمال مستبعد بالنسبة للجاذبية.

في المقابل، تُسمى النقطة الثابتة غير التافهة، أي النقطة الثابتة التي تختلف أسسها الحرجة عن الأسس المتعارف عليها، بالنقطة غير الغاوسية . وعادةً ما يتطلب ذلك${\displaystyle g_{\alpha }^{*}\neq 0}$لواحدة أساسية على الأقل${\displaystyle g_{\alpha }}$تُشكّل هذه النقطة الثابتة غير الغاوسية سيناريو محتملاً للجاذبية الكمومية. ولذلك، ركّزت الدراسات في هذا المجال حتى الآن بشكل أساسي على إثبات وجودها.

يصف مصطلح جاذبية أينشتاين الكمومية (QEG) أي نظرية حقل كمومي للجاذبية (بغض النظر عن فعلها الأساسي ) تأخذ مقياس الزمكان كمتغير حقل ديناميكي، وتُحدد تناظرها بثبات التشاكل . يُحدد هذا فضاء النظرية وتدفق إعادة التطبيع للفعل المتوسط ​​الفعال المُعرَّف عليه، ولكنه لا يُحدد مسبقًا أي دالة فعل مُعينة. مع ذلك، تُحدد معادلة التدفق حقلًا متجهيًا على فضاء النظرية هذا، والذي يُمكن دراسته. إذا أظهر هذا الحقل نقطة ثابتة غير غاوسية، يُمكن من خلالها حساب حد الأشعة فوق البنفسجية بطريقة "آمنة تقاربيًا"، فإن هذه النقطة تكتسب صفة الفعل الأساسي.

يُعدّ التربيع الكمومي للجاذبية (QQG) أحد التطبيقات المحددة لنظرية الجاذبية الكمومية العامة (QEG). وهو امتداد كمومي للنسبية العامة، يُحصل عليه بإضافة جميع الحدود التربيعية المحلية في الانحناء إلى لاغرانجيان أينشتاين-هيلبرت. ^{[ 17 ] [ 18 ]} وقد ثبت أن QQG، بالإضافة إلى قابليتها لإعادة التطبيع، تتميز بنقطة ثابتة فوق بنفسجية ^{[ 19 ]} (حتى في وجود قطاعات مادية واقعية). ^{[ 20 ]} ولذلك، يمكن اعتبارها تطبيقًا ملموسًا للأمان التقاربي.

الأداة الرئيسية لدراسة تدفق إعادة التطبيع الجاذبي فيما يتعلق بمقياس الطاقة${\displaystyle k}$على المستوى غير المضطرب يكون الفعل المتوسط ​​الفعال${\displaystyle \Gamma _{k}}$للجاذبية. ^{[ 14 ]} إنها النسخة المعتمدة على المقياس للفعل الفعال حيث توجد في حقل التكامل الوظيفي الأساسي أنماط ذات زخم متغير أقل${\displaystyle k}$يتم كبحها بينما يتم دمج الباقي فقط. بالنسبة لفضاء نظري معين، ليكن${\displaystyle \Phi }$و${\displaystyle {\bar {\Phi }}}$لنرمز إلى مجموعة الحقول الديناميكية والخلفية، على التوالي. ثم${\displaystyle \Gamma _{k}}$يفي بمعادلة إعادة التطبيع الوظيفية من نوع Wetterich-Morris التالية (FRGE): ^{[ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle k\partial _{k}\Gamma _{k}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}{\big ]}={\frac {1}{2}}\,{\mbox{STr}}{\Big [}{\big (}\Gamma _{k}^{(2)}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}{\big ]}+{\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]{\big )}^{-1}k\partial _{k}{\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]{\Big ]}.}$

هنا${\displaystyle \Gamma _{k}^{(2)}}$هي المشتقة الوظيفية الثانية لـ${\displaystyle \Gamma _{k}}$فيما يتعلق بالحقول الكمومية${\displaystyle \Phi }$بسعر ثابت${\displaystyle {\bar {\Phi }}}$. مُعامل كبح النمط${\displaystyle {\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]}$يوفر${\displaystyle k}$مصطلح الكتلة المعتمد على للتقلبات ذات الزخم المتغير${\displaystyle p^{2}\ll k^{2}}$ويختفي لـ${\displaystyle p^{2}\gg k^{2}}$إن ظهوره في البسط والمقام يُظهر الأثر الزائد${\displaystyle ({\mbox{STr}})}$كل من الأشعة تحت الحمراء والأشعة فوق البنفسجية محدودة، وتصل ذروتها عند الزخم${\displaystyle p^{2}\approx k^{2}}$معادلة FRGE هي معادلة دقيقة بدون أي تقريبات اضطرابية. وبمعرفة شرط ابتدائي، فإنها تحدد${\displaystyle \Gamma _{k}}$لكل مقياس بشكل فريد.

الحلول${\displaystyle \Gamma _{k}}$من FRGE الاستيفاء بين الفعل المجرد (المجهري) عند${\displaystyle k\rightarrow \infty }$والإجراء الفعال${\displaystyle \Gamma [\Phi ]=\Gamma _{k=0}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}=\Phi {\big ]}}$في${\displaystyle k\rightarrow 0}$يمكن تصورها كمسارات في فضاء النظرية الأساسية . تجدر الإشارة إلى أن معادلة FRGE نفسها مستقلة عن الفعل الأساسي. في حالة النظرية الآمنة تقاربياً، يُحدد الفعل الأساسي بواسطة دالة النقطة الثابتة.${\displaystyle \Gamma _{*}=\Gamma _{k\rightarrow \infty }}$.

لنفترض أن هناك مجموعة من الدوال الأساسية${\displaystyle \{P_{\alpha }[\,\cdot \,]\}}$يشمل ذلك فضاء النظرية قيد الدراسة بحيث يمكن كتابة أي دالة فعل، أي أي نقطة في فضاء النظرية هذا، كتركيبة خطية من${\displaystyle P_{\alpha }}$ثم الحلول${\displaystyle \Gamma _{k}}$تتضمن FRGE توسعات من الشكل

${\displaystyle \Gamma _{k}[\Phi ,{\bar {\Phi }}]=\sum \limits _{\alpha =1}^{\infty }g_{\alpha }(k)P_{\alpha }[\Phi ,{\bar {\Phi }}].}$

بإدخال هذا التوسع في معادلة إعادة التجميع الجزئية (FRGE) وتوسيع الأثر على جانبها الأيمن لاستخراج دوال بيتا ، نحصل على معادلة إعادة التجميع الدقيقة في شكل مكوناتها:${\displaystyle k\partial _{k}g_{\alpha }(k)=\beta _{\alpha }(g_{1},g_{2},\cdots )}$إلى جانب الشروط الأولية المقابلة، تحدد هذه المعادلات تطور الاقترانات المتغيرة.${\displaystyle g_{\alpha }(k)}$وبالتالي تحديد${\displaystyle \Gamma _{k}}$بشكل كامل. وكما هو واضح، فإن معادلة FRGE تُنتج نظامًا من عدد لا نهائي من المعادلات التفاضلية المترابطة نظرًا لوجود عدد لا نهائي من الروابط، و${\displaystyle \beta }$قد تعتمد الدوال على جميعها. وهذا يجعل حل النظام بشكل عام أمراً بالغ الصعوبة.

يتمثل أحد الحلول الممكنة في حصر التحليل على فضاء جزئي محدود الأبعاد كتقريب لفضاء النظرية الكامل. بعبارة أخرى، يؤدي هذا التقليص لفضاء النظرية إلى جعل جميع الثوابت، باستثناء عدد محدود منها، تساوي صفرًا، مع الأخذ في الاعتبار الأساس المختزل فقط.${\displaystyle \{P_{\alpha }[\,\cdot \,]\}}$مع${\displaystyle \alpha =1,\cdots ,N}$وهذا يرقى إلى مستوى الفرضية

${\displaystyle \Gamma _{k}[\Phi ,{\bar {\Phi }}]=\sum \limits _{\alpha =1}^{N}g_{\alpha }(k)P_{\alpha }[\Phi ,{\bar {\Phi }}],}$

مما يؤدي إلى نظام من عدد محدود من المعادلات التفاضلية المترابطة،${\displaystyle k\partial _{k}g_{\alpha }(k)=\beta _{\alpha }(g_{1},\cdots ,g_{N})}$والتي يمكن حلها الآن باستخدام التقنيات التحليلية أو العددية.

من الواضح أنه ينبغي اختيار عملية اقتطاع بحيث تتضمن أكبر قدر ممكن من خصائص التدفق الأصلي. على الرغم من أنها تقريبية، إلا أن التدفق المقتطع لا يزال يُظهر الطابع غير الاضطرابي لمعادلة FRGE، و${\displaystyle \beta }$يمكن أن تحتوي الدوال على مساهمات من جميع قوى الاقترانات.

كما هو موضح في القسم السابق، فإنّ FRGE يسمح ببناء منهجي لتقريبات غير اضطرابية لدوال بيتا الجاذبية عن طريق إسقاط تدفق إعادة التطبيع الدقيق على فضاءات فرعية تمتد بواسطة فرضية مناسبة لـ${\displaystyle \Gamma _{k}}$في أبسط صورها، تُعطى هذه الفرضية بواسطة فعل أينشتاين-هيلبرت حيث ثابت نيوتن${\displaystyle G_{k}}$والثابت الكوني${\displaystyle \Lambda _{k}}$يعتمد ذلك على مقياس RG${\displaystyle k}$. يترك${\displaystyle g_{\mu \nu }}$و${\displaystyle {\bar {g}}_{\mu \nu }}$لنرمز إلى المقياس الديناميكي والمقياس الخلفي، على التوالي. ثم${\displaystyle \Gamma _{k}}$يقرأ، لأي بُعد زماني مكاني${\displaystyle d}$،

${\displaystyle \Gamma _{k}[g,{\bar {g}},\xi ,{\bar {\xi }}]={\frac {1}{16\pi G_{k}}}\int {\text{d}}^{d}x\,{\sqrt {g}}\,{\big (}-R(g)+2\Lambda _{k}{\big )}+\Gamma _{k}^{\text{gf}}[g,{\bar {g}}]+\Gamma _{k}^{\text{gh}}[g,{\bar {g}},\xi ,{\bar {\xi }}].}$

هنا${\displaystyle R(g)}$هل الانحناء القياسي مُنشأ من المقياس؟${\displaystyle g_{\mu \nu }}$. بالإضافة إلى،${\displaystyle \Gamma _{k}^{\text{gf}}}$يشير إلى عملية تثبيت المقياس ، و${\displaystyle \Gamma _{k}^{\text{gh}}}$حركة الأشباح مع حقول الأشباح${\displaystyle \xi }$و${\displaystyle {\bar {\xi }}}$.

المقابل${\displaystyle \beta }$الدوال، التي تصف تطور ثابت نيوتن عديم الأبعاد${\displaystyle g_{k}=k^{d-2}G_{k}}$والثابت الكوني عديم الأبعاد${\displaystyle \lambda _{k}=k^{-2}\Lambda _{k}}$تم اشتقاقها لأول مرة في المرجع ^{[ 14 ]} لأي قيمة من أبعاد الزمكان، بما في ذلك حالات${\displaystyle d}$أسفل وأعلى${\displaystyle 4}$الأبعاد. على وجه الخصوص، في${\displaystyle d=4}$تُنتج هذه الأبعاد مخطط تدفق RG الموضح على الجانب الأيسر. وتتمثل أهم النتائج في وجود نقطة ثابتة غير غاوسية مناسبة للأمان التقاربي. وهي جذابة للأشعة فوق البنفسجية في كل من${\displaystyle g}$- وفي${\displaystyle \lambda }$-اتجاه.

ترتبط هذه النقطة الثابتة بالنقطة الموجودة في${\displaystyle d=2+\epsilon }$الأبعاد باستخدام الطرق الاضطرابية بمعنى أنها تُستعاد في النهج غير الاضطرابي المقدم هنا عن طريق إدخال${\displaystyle d=2+\epsilon }$إلى${\displaystyle \beta }$-وظائف وتوسع في قوى${\displaystyle \epsilon }$[ ^{14 ]} منذ^​${\displaystyle \beta }$تم إثبات وجود الدوال وحسابها بشكل صريح لأي قيمة حقيقية، أي ليس بالضرورة قيمة صحيحة لـ${\displaystyle d}$لا يتضمن هذا أي استمرار تحليلي. النقطة الثابتة في${\displaystyle d=4}$الأبعاد أيضًا هي نتيجة مباشرة لمعادلات التدفق غير الاضطرابي، وعلى عكس المحاولات السابقة، لا يوجد استقراء في${\displaystyle \epsilon }$مطلوب.

لاحقًا، تم تأكيد وجود النقطة الثابتة الموجودة ضمن اقتطاع أينشتاين - هيلبرت في فضاءات فرعية ذات تعقيد متزايد تدريجيًا. وكانت الخطوة التالية في هذا التطور هي تضمين${\displaystyle R^{2}}$الحد في فرضية الاقتطاع. ^{[ 22 ]} وقد تم توسيع ذلك بشكل أكبر من خلال مراعاة كثيرات الحدود للانحناء القياسي${\displaystyle R}$(ما يسمى${\displaystyle f(R)}$^{[ 23 ]} ومربع موتر انحناء فايل . ^{[ 24 ] [ 25 ]} كما تم بحث نظريات f(R) في تقريب الجهد المحلي لإيجاد نقاط ثابتة غير اضطرابية لدعم سيناريو الأمان التقاربي، مما يؤدي إلى ما يسمى بنقطة بينيديتي - كارافيللي الثابتة (BC). في صياغة BC هذه، تكون المعادلة التفاضلية للعدد القياسي ريتشي R مقيدة بشكل مفرط، ولكن يمكن إزالة بعض هذه القيود من خلال حل المفردات المتحركة. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

علاوة على ذلك، دُرست تأثيرات أنواع مختلفة من حقول المادة. ^{[ 15 ]} كما يبدو أن الحسابات القائمة على فعل متوسط ​​فعال ثابت تحت إعادة تمثيل الحقل تستعيد النقطة الثابتة الحاسمة. ^{[ 28 ]} تشكل هذه النتائج مجتمعةً دليلاً قوياً على أن الجاذبية في أربعة أبعاد هي نظرية حقل كمومي قابلة لإعادة التطبيع غير الاضطرابي، بل ولها سطح حرج فوق بنفسجي ذو أبعاد مُخفَّضة، مُنسَّق بواسطة عدد قليل فقط من الاقترانات ذات الصلة. ^{[ 16 ]}