نظرية بيكر

في نظرية الأعداد المتسامية ، وهي فرع من فروع الرياضيات، تُقدّم نظرية بيكر حدًا أدنى للقيمة المطلقة للتراكيب الخطية للوغاريتمات الأعداد الجبرية . قبل ذلك بنحو خمسة عشر عامًا، اعتبر ألكسندر جيلفوند المسألة ذات المعاملات الصحيحة فقط ذات "أهمية بالغة". ^{[ 1 ]} وقد شملت النتيجة، التي أثبتها آلان بيكر ( 1966 ، 1967أ ، 1967ب ) ، العديد من النتائج السابقة في نظرية الأعداد المتسامية. استخدم بيكر هذه النتيجة لإثبات تسامي العديد من الأعداد، ولاستنتاج حدود فعّالة لحلول بعض المعادلات الديوفانتية ، ولحلّ مسألة عدد الفئات المتمثلة في إيجاد جميع الحقول التربيعية التخيلية ذات عدد الفئات 1. 

لتبسيط الترميز، دع${\displaystyle \mathbb {L} }$لتكن مجموعة اللوغاريتمات ذات الأساس e للأعداد الجبرية غير الصفرية ، أي $${\displaystyle \mathbb {L} =\left\{\lambda \in \mathbb {C}$$ :\ e^{\lambda }\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\},} حيث${\displaystyle \mathbb {C} }$يرمز إلى مجموعة الأعداد المركبة و${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$يرمز إلى الأعداد الجبرية ( الإغلاق الجبري للأعداد النسبية)${\displaystyle \mathbb {Q} }$باستخدام هذه الرموز، يصبح من الأسهل بكثير صياغة العديد من النتائج في نظرية الأعداد المتسامية. على سبيل المثال، تصبح نظرية هيرميت-ليندمان هي أن أي عنصر غير صفري من${\displaystyle \mathbb {L} }$هو متعالٍ.

في عام 1934، أثبت ألكسندر جيلفوند وثيودور شنايدر بشكل مستقل نظرية جيلفوند-شنايدر . وعادةً ما تُصاغ هذه النتيجة على النحو التالي: إذا${\displaystyle a}$هو جبري ولا يساوي صفرًا أو واحدًا، وإذا${\displaystyle b}$إذا كان جبريًا وغير نسبي، فإن${\displaystyle a^{b}}$هي دالة متسامية. الدالة الأسية متعددة القيم بالنسبة للأسس المركبة، وينطبق هذا على جميع قيمها، والتي تشكل في معظم الحالات عددًا لا نهائيًا من الأعداد. ولكن بصورة مكافئة، تنص على أنه إذا${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {L} }$إذا كانت المتغيرات مستقلة خطيًا على الأعداد النسبية، فإنها تكون مستقلة خطيًا على الأعداد الجبرية. لذا، إذا${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {L} }$و${\displaystyle \lambda _{2}}$إذا لم يكن الناتج صفرًا، فإن الناتج${\displaystyle \lambda _{1}/\lambda _{2}}$إما أن يكون عددًا نسبيًا أو عددًا متساميًا. لا يمكن أن يكون عددًا غير نسبي جبري مثل${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

على الرغم من أن إثبات هذه النتيجة المتمثلة في " الاستقلال الخطي العقلاني يستلزم الاستقلال الخطي الجبري" لعنصرين من${\displaystyle \mathbb {L} }$كان ذلك كافيًا لنتيجة كل من جيلفوند وشنايدر، لكنه شعر بأنه من الضروري توسيع نطاق هذه النتيجة لتشمل عددًا كبيرًا من عناصر${\displaystyle \mathbb {L} .}$في الواقع، من جيلفوند (1960 ، ص 177) : 

...يمكن للمرء أن يفترض ... أن المشكلة الأكثر إلحاحًا في نظرية الأعداد المتسامية هي التحقيق في مقاييس تسامي المجموعات المحدودة من لوغاريتمات الأعداد الجبرية.

تم حل هذه المسألة بعد أربعة عشر عامًا على يد آلان بيكر، ومنذ ذلك الحين، امتدت تطبيقاتها لتشمل مجالات عديدة، ليس فقط نظرية التجاوز، بل أيضًا نظرية الأعداد الجبرية ودراسة المعادلات الديوفانتية . وقد نال بيكر ميدالية فيلدز عام 1970 تقديرًا لهذا العمل وتطبيقاته في المعادلات الديوفانتية.

باستخدام الرموز المذكورة أعلاه، تُعدّ نظرية بيكر تعميمًا غير متجانس لنظرية جيلفوند-شنايدر. وتنص تحديدًا على ما يلي:

كما أن نظرية جيلفوند-شنايدر مكافئة لعبارة تجاوز الأعداد من الشكل a ^b ، فإن نظرية بيكر تستلزم أيضاً تجاوز الأعداد من الشكل

${\displaystyle a_{1}^{b_{1}}\cdots a_{n}^{b_{n}},}$

حيث تكون جميع قيم b _i جبرية وغير نسبية و 1، و b ₁ ، ...، b _n مستقلة خطيًا على الأعداد النسبية، وجميع قيم a _i جبرية وليست 0 أو 1.

وقدّم بيكر (1977) أيضاً عدة صيغ تتضمن ثوابت صريحة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \exp(\lambda _{j})=\alpha _{j}}$يبلغ طوله على الأكثر${\displaystyle A_{j}\geq 4}$وجميع الأرقام${\displaystyle \beta _{j}}$لا يتجاوز طوله الحد الأقصى${\displaystyle B\geq 4}$ثم الشكل الخطي

${\displaystyle \Lambda =\beta _{0}+\beta _{1}\lambda _{1}+\cdots +\beta _{n}\lambda _{n}}$

إما أن تكون قيمتها صفرًا أو تحقق الشرط التالي:

${\displaystyle \log |\Lambda |>(16nd)^{200n}\Omega \left(\log \Omega -\log \log A_{n}\right)(\log B+\log \Omega )}$

أين

${\displaystyle \Omega =\log A_{1}\log A_{2}\cdots \log A_{n}}$

والحقل الناتج عن${\displaystyle \alpha _{i}}$و${\displaystyle \beta _{i}}$يكون مجموع درجات الأعداد النسبية على الأكثر d . في الحالة الخاصة عندما β₀ ₌ 0 وجميع${\displaystyle \beta _{j}}$إذا كانت أعدادًا صحيحة نسبية، فيمكن حذف الحد الموجود في أقصى اليمين log Ω.

تُعطي نتيجة صريحة من بيكر ووستهولز لصيغة خطية Λ ذات معاملات صحيحة حدًا أدنى على النحو التالي

${\displaystyle \log |\Lambda |>-Ch(\alpha _{1})h(\alpha _{2})\cdots h(\alpha _{n})\log \left(\max \left\{|\beta _{1}|,\ldots ,|\beta _{n}|\right\}\right),}$

أين

${\displaystyle C=18(n+1)!n^{n+1}(32d)^{n+2}\log(2nd),}$

و d هي درجة حقل الأعداد الناتج عن${\displaystyle \alpha _{i}.}$

يُعدّ برهان بيكر لنظريته امتدادًا للحجة التي قدمها جيلفوند (1960 ، الفصل الثالث، القسم 4) . وتتضح الأفكار الرئيسية للبرهان من خلال برهان الصيغة النوعية التالية لنظرية بيكر (1966) التي وصفها سير (1971) :

إذا كانت الأرقام${\displaystyle 2\pi i,\log a_{1},\ldots ,\log a_{n}}$مستقلة خطيًا على الأعداد النسبية، للأعداد الجبرية غير الصفرية${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$إذن فهم مستقلون خطيًا على الأعداد الجبرية.

يمكن إثبات النسخة الكمية الدقيقة لنظرية بيكر عن طريق استبدال الشروط التي تنص على أن الأشياء تساوي صفرًا بشروط تنص على أن الأشياء صغيرة بما فيه الكفاية طوال عملية الإثبات.

تتمثل الفكرة الرئيسية لبرهان بيكر في بناء دالة مساعدة${\displaystyle \Phi (z_{1},\ldots ,z_{n-1})}$من عدة متغيرات تتلاشى إلى رتبة عالية عند العديد من النقاط من الشكل${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l,}$ثم أثبت مرارًا وتكرارًا أنها تتلاشى إلى رتبة أدنى عند المزيد من النقاط من هذا الشكل. وأخيرًا، فإن حقيقة تلاشيها (إلى الرتبة 1) عند عدد كافٍ من النقاط من هذا الشكل تستلزم، باستخدام محددات فانديرموند، _وجود علاقة ضربية بين الأعداد aᵢ .

كما ذُكر سابقًا، تتضمن هذه النظرية العديد من نتائج التجاوز السابقة المتعلقة بالدالة الأسية، مثل نظرية هيرميت-ليندمان ونظرية جيلفوند-شنايدر. وهي ليست شاملة تمامًا مثل حدسية شانيل التي لم تُثبت بعد ، ولا تستلزم نظرية الدوال الأسية الست ، ولا حدسية الدوال الأسية الأربع التي لا تزال مفتوحة .

لم يكن السبب الرئيسي الذي دفع جيلفوند إلى الرغبة في توسيع نطاق نتيجته هو مجرد الحصول على مجموعة كبيرة من الأعداد المتسامية الجديدة. ففي عام 1935، استخدم الأدوات التي طورها لإثبات نظرية جيلفوند-شنايدر لاستنتاج حد أدنى للكمية

${\displaystyle |\beta _{1}\lambda _{1}+\beta _{2}\lambda _{2}|}$

حيث β ₁ و β ₂ قيمتان جبريتان، و λ ₁ و λ ₂ قيمتان في${\displaystyle \mathbb {L} }$[ ^{2 ] قدم برهان بيكر حدودًا دنيا لكميات مثل ما سبق ولكن مع عدد كبير من} الحدود، ويمكنه استخدام هذه الحدود لتطوير وسائل فعالة لمعالجة المعادلات الديوفانتية وحل مشكلة عدد فئات جاوس .

تُتيح لنا نظرية بيكر الاستقلال الخطي للوغاريتمات على الأعداد الجبرية. وهذا أضعف من إثبات استقلالها الجبري . وحتى الآن _، لم يُحرز أي تقدم في هذه المسألة. وقد طُرحت فرضية ^{[ 3 ]} مفادها أنه إذا كانت _λ₁ , ..., λₙ عناصر من${\displaystyle \mathbb {L} }$إذا كانت لوغاريتمات الأعداد الجبرية مستقلة خطيًا على مجموعة الأعداد النسبية، فإنها تكون مستقلة جبريًا أيضًا. هذه حالة خاصة من حدسية شانيل، ولكن لم يُثبت بعد وجود عددين جبريين مستقلين جبريًا. في الواقع، تستبعد نظرية بيكر العلاقات الخطية بين لوغاريتمات الأعداد الجبرية إلا لأسباب بديهية؛ أما الحالة الأبسط التالية، وهي استبعاد العلاقات التربيعية المتجانسة ، فهي حدسية الأسس الأربعة التي لا تزال مفتوحة .

وبالمثل، فإن توسيع النتيجة لتشمل الاستقلال الجبري في سياق p-adic ، وباستخدام دالة اللوغاريتم p -adic ، لا يزال يمثل مشكلة مفتوحة . ومن المعروف أن إثبات الاستقلال الجبري للوغاريتمات p -adic المستقلة خطيًا للأعداد الجبرية p -adic من شأنه أن يثبت حدسية ليوبولد بشأن رتب p -adic للوحدات في حقل عددي.

• نظرية المجموعة الفرعية التحليلية