GF(2)

$GF(2)$ (يُشار إليه أيضًا بـ $\mathbb {F} _{2}$ ، $Z /2 Z$ أو $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ) هو الحقل المنتهي ذو العنصرين. ^{[ 1 ]}^{[ أ ]}

$GF(2)$ هو الحقل الذي يحتوي على أصغر عدد ممكن من العناصر، ويكون فريدًا إذا تم ترميز العنصر المحايد الجمعي والعنصر المحايد الضربي على التواليصفر و1 ، كالمعتاد.

يمكن تعريف عناصر حقل $غالوا GF(2)$ بالقيمتين المحتملتين للبت ، وبالقيم المنطقية "صحيح" و "خطأ" . وبناءً على ذلك، يُعدّ حقل $غالوا GF(2)$ أساسيًا وشائعًا في علوم الحاسوب وأسسها المنطقية .

تعريف

GF(2) هو الحقل الوحيد الذي يحتوي على عنصرين. ويُرمز إلى عنصريه المحايدين الجمعي والضربي على التوالي بـصفر و1 .

تُعرَّف عملية جمعها بأنها الجمع المعتاد للأعداد الصحيحة ولكن بتردد 2، وتتوافق مع الجدول أدناه:

+	0	1
0	0	1
1	1	0

إذا اعتبرنا عناصر حقل غالوا GF(2) قيمًا منطقية، فإن عملية الجمع تُصبح مماثلة لعملية XOR المنطقية . وبما أن كل عنصر يساوي معكوسه ، فإن عملية الطرح تُصبح هي نفسها عملية الجمع.

إن ضرب GF(2) هو الضرب المعتاد (انظر الجدول أدناه)، وعلى المتغيرات المنطقية يتوافق مع عملية AND المنطقية .

×	0	1
0	0	0
1	0	1

يمكن تعريف GF(2) بحقل الأعداد الصحيحة modulo2 ،أي حلقة القسمة لحلقة الأعداد الصحيحة Z بواسطة المثالي 2 Z لجميع الأعداد الزوجية : GF(2) = Z /2 Z.

الرموز $Z 2$ و $\mathbb {Z} _{2}$ قد تُصادف هذه الرموز على الرغم من إمكانية الخلط بينها وبين رموز أخرى.الأعداد الصحيحة 2- adic .

ملكيات

ولأن GF(2) حقل، فإن العديد من الخصائص المألوفة لأنظمة الأعداد مثل الأعداد النسبية والأعداد الحقيقية تبقى محفوظة:

للجمع عنصر محايد (0) ومعكوس لكل عنصر؛
تحتوي عملية الضرب على عنصر محايد (1) ومعكوس لكل عنصر ما عدا الصفر؛
الجمع والضرب عمليتان تبادليتان وتجميعيتان ؛
الضرب عملية توزيعية على الجمع.

تشمل الخصائص غير المألوفة من الأعداد الحقيقية ما يلي:

كل عنصر x من GF(2) يحقق $x + x = 0$ وبالتالي $- x = x$ ؛ وهذا يعني أن خاصية GF(2) هي 2؛
كل عنصر x في $حقل$ GF(2) يحقق $x² = x$ (أي أنه عنصر متطابق بالنسبة للضرب)؛ وهذه حالة من حالات نظرية فيرما الصغرى . GF(2) هو الحقل الوحيد الذي يتمتع بهذه الخاصية (البرهان: إذا كان $x² = x ،$ فإن $x إما = 0$ أو $x \neq 0.$ في الحالة الأخيرة، يجب أن يكون لـ x معكوس ضربي، وفي هذه الحالة، قسمة كلا الطرفين على x تعطي $x = 1.$ جميع الحقول الأكبر تحتوي على عناصر أخرى غير 0 و1، وهذه العناصر لا يمكنها تحقيق هذه الخاصية).

التطبيقات

بفضل الخصائص الجبرية المذكورة أعلاه، تعمل العديد من الأدوات الرياضية المألوفة والقوية في $حقل غالوا GF(2)$ بنفس كفاءتها في الحقول الأخرى. على سبيل المثال، يمكن تطبيق عمليات المصفوفات، بما في ذلك معكوس المصفوفة ، على المصفوفات التي تحتوي عناصرها على عناصر في $حقل غالوا GF(2)$ ( انظر حلقة المصفوفات ).

أي زمرة $(V, +)$ تحقق الخاصية $v + v = 0$ لكل عنصر $v$ في $V$ هي بالضرورة زمرة تبديلية ، ويمكن تحويلها إلى فضاء متجهي على $GF(2)$ بطريقة طبيعية، وذلك بتعريف $0 v = 0$ و $1 v = v$ لكل عنصر $v$ في $V.$ سيكون لهذا الفضاء المتجهي أساس ، مما يعني أن عدد عناصر $V$ يجب أن يكون قوة للعدد 2 (أو عددًا لا نهائيًا).

في الحواسيب الحديثة ، تُمثَّل البيانات بسلاسل بتية ذات طول ثابت، تُسمى كلمات الآلة . تتميز هذه الكلمات ببنية فضاء متجهي على حقل $GF(2) . تُعرف$ عملية جمع هذا الفضاء المتجهي بعملية XOR (أو الحصرية). تُعد عملية AND عملية أخرى على هذا الفضاء المتجهي، مما يجعله جبرًا منطقيًا ، وهو بنية أساسية في علوم الحاسوب . يمكن أيضًا توسيع هذه الفضاءات بعملية ضرب تُحوّلها إلى حقل $GF(2^n)$ ، ولكن لا يمكن أن تكون عملية الضرب عملية بتية. عندما يكون $n$ قوة للعدد اثنين، يمكن أن تكون عملية الضرب ضربًا من نوع nim ؛ أو بدلاً من ذلك، لأي قيمة لـ $n$ ، يمكن استخدام ضرب كثيرات الحدود على $حقل GF(2^n)$ بتردد كثير حدود غير قابل للاختزال (كما هو الحال في حقل $GF(2^n)$ في وصف معيار التشفير المتقدم ).

تُستخدم الفضاءات المتجهة وحلقات كثيرات الحدود على حقل $غالوا GF(2) على نطاق واسع في$ نظرية الترميز ، وخاصة في رموز تصحيح الأخطاء والتشفير الحديث . على سبيل المثال، العديد من رموز تصحيح الأخطاء الشائعة (مثل رموز BCH ) هي رموز خطية على حقل $غالوا GF(2)$ (رموز مُعرَّفة من فضاءات متجهة على حقل غالوا $GF(2)$ )، أو رموز كثيرة الحدود (رموز مُعرَّفة كحاصل قسمة حلقات كثيرات الحدود على حقل $غالوا GF(2)$ ).

الإغلاق الجبري

كأي حقل، يمتلك حقل GF(2) إغلاقًا جبريًا . هذا الإغلاق هو حقل F يحتوي على GF(2) كحقل جزئي ، وهو جبري فوق GF(2) (أي أن كل عنصر من عناصر F هو جذر لكثير حدود بمعاملات في GF(2))، وهو مغلق جبريًا (أي أن أي كثير حدود غير ثابت بمعاملات في F له جذر في F ). يتم تحديد الحقل F بشكل فريد من خلال هذه الخصائص، حتى تشاكل الحقل (أي أساسًا حتى ترميز عناصره).

الحقل F قابل للعد ويحتوي على نسخة واحدة من كل حقل من الحقول المنتهية GF(2 ⁿ )؛ نسخة GF(2 ⁿ ) موجودة في نسخة GF(2 ^m ) إذا وفقط إذا كان n يقسم m. الحقل F قابل للعد وهو اتحاد جميع هذه الحقول المنتهية.

أثبت كونواي أن F متماثل مع حقل الأعداد الترتيبية أدناه $\أوميغا ^{\أوميغا ^{\أوميغا }}$ ^[²^] تُعرَّف عمليتا الجمع والضرب في هذا الحقل بـ "جمع الأعداد" و "ضرب الأعداد" على التوالي. ^[³^] عملية الجمع في هذا الحقل سهلة التنفيذ، وقد أثبت لينسترا أن عملية الضرب يمكن تنفيذها بكفاءة أيضًا.

انظر أيضاً

حقل يحتوي على عنصر واحد

مراجع

↑ GF هو اختصار لحقل غالوا ، وهو اسم آخر للحقول المنتهية.

↑ ليدل، رودولف؛ نيدررايتر، هارالد (1997). الحقول المنتهية . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد 20 ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069 .
↑ كونواي، جون هـ. (2000). في الأرقام والألعاب ( الطبعة الثانية). ويليسلي، ماساتشوستس. ص 61. ISBN 978-1-56881-127-7.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
↑ لينسترا، هندريك (1977). "حول الإغلاق الجبري للعدد اثنين" (ملف PDF) . Indagationes Mathematicae (وقائع) . 80 (5): 389–396 . doi : 10.1016/1385-7258(77)90053-1 .

[2] GF هو اختصار لحقل غالوا ، وهو اسم آخر للحقول المنتهية.

[1] ليدل، رودولف؛ نيدررايتر، هارالد (1997). الحقول المنتهية . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد 20 ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069 .

[3] كونواي، جون هـ. (2000). في الأرقام والألعاب ( الطبعة الثانية). ويليسلي، ماساتشوستس. ص 61. ISBN 978-1-56881-127-7.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )

[4] لينسترا، هندريك (1977). "حول الإغلاق الجبري للعدد اثنين" (ملف PDF) . Indagationes Mathematicae (وقائع) . 80 (5): 389–396 . doi : 10.1016/1385-7258(77)90053-1 .

[ 1 ]

[ أ ]

[

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗