نموذج براوني للأسواق المالية

يُعرَّف السوق المالي بأنه${\displaystyle {\mathcal {M}}=(r,\mathbf {b} ,\mathbf {\delta } ,\mathbf {\sigma } ,A,\mathbf {S} (0))}$الذي يحقق ما يلي:

1. فضاء احتمالي${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$.
2. فترة زمنية${\displaystyle [0,T]}$.
3. أ${\displaystyle D}$عملية براونية متعددة الأبعاد${\displaystyle \mathbf {W} (t)=(W_{1}(t)\ldots W_{D}(t))',}$أين${\displaystyle \;0\leq t\leq T}$مُكيَّف مع الترشيح المُعزَّز${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}$.
4. عملية سعر سوق المال قابلة للقياس وخالية من المخاطر${\displaystyle r(t)\in L_{1}[0,T]}$.
5. عملية معدل العائد المتوسط ​​القابل للقياس${\displaystyle \mathbf {b}$ :[0,T]\times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} \in L_{2}[0,T]} .
6. عملية قابلة للقياس لمعدل العائد على الأرباح${\displaystyle \mathbf {\delta }$ :[0,T]\times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} \in L_{2}[0,T]} .
7. عملية تقلب قابلة للقياس${\displaystyle \mathbf {\sigma }$ :[0,T]\times \mathbb {R} ^{N\times D}\rightarrow \mathbb {R} } ، بحيث${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\sum _{d=1}^{D}\int _{0}^{T}\sigma _{n,d}^{2}(s)ds<\infty }$.
8. متغير عشوائي قابل للقياس، ذو تباين محدود، ومتصل بشكل فريد${\displaystyle A(t)}$.
9. الشروط الابتدائية المعطاة بواسطة${\displaystyle \mathbf {S} (0)=(S_{0}(0),\ldots S_{N}(0))'}$.

يترك${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},p)}$ليكن فضاء احتمالي ، و ${\displaystyle \mathbf {W} (t)=(W_{1}(t)\ldots W_{D}(t))',\;0\leq t\leq T}$لنفترض أن لدينا عملية عشوائية للحركة البراونية ذات الأبعاد D ، مع الترشيح الطبيعي :

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)\triangleq \sigma \left(\{\mathbf {W} (s);\;0\leq s\leq t\}\right),\quad \forall t\in [0,T].}$

لو${\displaystyle {\mathcal {N}}}$هل القياس يساوي صفرًا (أي فارغًا تحت القياس)${\displaystyle P}$) مجموعات فرعية من${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)}$ثم حدد الترشيح المعزز :

${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)\triangleq \sigma \left({\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)\cup {\mathcal {N}}\right),\quad \forall t\in [0,T]}$

الفرق بين${\displaystyle \{{\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t);\;0\leq t\leq T\}}$و${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}$وهذا يعني أن الأخير متصل من اليسار ، بمعنى أن:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)=\sigma \left(\bigcup _{0\leq s<t}{\mathcal {F}}(s)\right),}$

ومتصلة من اليمين ، بحيث:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)=\bigcap _{t<s\leq T}{\mathcal {F}}(s),}$

بينما الأول متصل من اليسار فقط. ^{[ 2 ]}

سعر سهم السند (سوق المال)${\displaystyle S_{0}(t)>0}$في ذلك الوقت ${\displaystyle t}$مع${\displaystyle S_{0}(0)=1}$، متصلة،${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}$مُتكيّف، وله تباين محدود . ولأنه ذو تباين محدود، يمكن تحليله إلى جزء متصل تمامًا.${\displaystyle S_{0}^{a}(t)}$وجزء متصل بشكل فريد${\displaystyle S_{0}^{s}(t)}$، وفقًا لنظرية تفكيك لوبيغ . عرّف:

${\displaystyle r(t)\triangleq {\frac {1}{S_{0}(t)}}{\frac {d}{dt}}S_{0}^{a}(t),}$و

${\displaystyle A(t)\triangleq \int _{0}^{t}{\frac {1}{S_{0}(s)}}dS_{0}^{s}(s),}$

مما أدى إلى ظهور SDE :

${\displaystyle dS_{0}(t)=S_{0}(t)[r(t)dt+dA(t)],\quad \forall 0\leq t\leq T,}$

مما يعطي:

${\displaystyle S_{0}(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}r(s)ds+A(t)\right),\quad \forall 0\leq t\leq T.}$

وبالتالي، يمكن ملاحظة أنه إذا${\displaystyle S_{0}(t)}$متصلة بشكل مطلق (أي${\displaystyle A(\cdot )=0}$ثم يتطور سعر السند مثل قيمة حساب توفير خالٍ من المخاطر ذي معدل فائدة فوري.${\displaystyle r(t)}$وهو أمر عشوائي، ويعتمد على الزمن، و${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$قابل للقياس.

تُصمَّم أسعار الأسهم على غرار أسعار السندات، باستثناء وجود عنصر تقلب عشوائي (يُسمى تقلبها ) . وكقيمة إضافية للمخاطر الناجمة عن هذه التقلبات العشوائية، يكون متوسط ​​معدل العائد على السهم أعلى من متوسط ​​معدل العائد على السند.

يترك${\displaystyle S_{1}(t)\ldots S_{N}(t)}$لتكن أسعار الأسهم الموجبة تمامًا لـ${\displaystyle N}$الأسهم، وهي عمليات عشوائية مستمرة تحقق ما يلي:

${\displaystyle dS_{n}(t)=S_{n}(t)\left[b_{n}(t)dt+dA(t)+\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(t)dW_{d}(t)\right],\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.}$

هنا،${\displaystyle \sigma _{n,d}(t),\;d=1\ldots D}$يُعطي تقلبات${\displaystyle n}$المخزون رقم -، بينما${\displaystyle b_{n}(t)}$وهو متوسط ​​معدل العائد.

من أجل سيناريو تسعير خالٍ من المراجحة ،${\displaystyle A(t)}$يجب أن يكون كما هو مُعرّف أعلاه. والحل لذلك هو:

${\displaystyle S_{n}(t)=S_{n}(0)\exp \left(\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(s)dW_{d}(s)+\int _{0}^{t}\left[b_{n}(s)-{\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}^{2}(s)\right]ds+A(t)\right),\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N,}$

وأسعار الأسهم المخفضة هي:

${\displaystyle {\frac {S_{n}(t)}{S_{0}(t)}}=S_{n}(0)\exp \left(\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(s)dW_{d}(s)+\int _{0}^{t}\left[b_{n}(s)-r(s)-{\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}^{2}(s)\right]ds\right),\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.}$

تجدر الإشارة إلى أن المساهمة ناتجة عن الانقطاعات في سعر السند${\displaystyle A(t)}$لا يظهر في هذه المعادلة.

قد يكون لكل سهم عملية توزيع أرباح مرتبطة به${\displaystyle \delta _{n}(t)}$تحديد معدل توزيع الأرباح لكل وحدة سعر السهم في ذلك الوقت${\displaystyle t}$وبأخذ هذا في الاعتبار في النموذج، نحصل على عملية الإنتاج${\displaystyle Y_{n}(t)}$:

${\displaystyle dY_{n}(t)=S_{n}(t)\left[b_{n}(t)dt+dA(t)+\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(t)dW_{d}(t)+\delta _{n}(t)\right],\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.}$

لنفترض سوقًا ماليًا${\displaystyle {\mathcal {M}}=(r,\mathbf {b} ,\mathbf {\delta } ,\mathbf {\sigma } ,A,\mathbf {S} (0))}$.

عملية إعداد المحفظة${\displaystyle (\pi _{0},\pi _{1},\ldots \pi _{N})}$بالنسبة لهذا السوق، فإن${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$قابل للقياس،${\displaystyle \mathbb {R} ^{N+1}}$عملية ذات قيمة بحيث:

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t)|\left[|r(t)|dt+dA(t)\right]<\infty }$، على الأرجح ،

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\sum _{n=1}^{N}\pi _{n}(t)[b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)]|dt<\infty }$، على الأرجح، و

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\sum _{n=1}^{N}\mathbf {\sigma } _{n,d}(t)\pi _{n}(t)|^{2}dt<\infty }$، على الأرجح.

تتمثل عملية تحقيق الأرباح لهذه المحفظة فيما يلي:

${\displaystyle G(t)\triangleq \int _{0}^{t}\left[\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t)\right]\left(r(s)ds+dA(s)\right)+\int _{0}^{t}\left[\sum _{n=1}^{N}\pi _{n}(t)\left(b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)\right)\right]dt+\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sum _{n=1}^{N}\mathbf {\sigma } _{n,d}(t)\pi _{n}(t)dW_{d}(s)\quad 0\leq t\leq T}$

نقول إن المحفظة ممولة ذاتياً إذا:

${\displaystyle G(t)=\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t)}$.

اتضح أنه بالنسبة لمحفظة استثمارية ممولة ذاتيًا، فإن القيمة المناسبة لـ${\displaystyle \pi _{0}}$يتم تحديده من${\displaystyle \pi =(\pi _{1},\ldots \pi _{N})}$وبالتالي في بعض الأحيان${\displaystyle \pi }$يُشار إليها بعملية إدارة المحفظة. أيضاً،${\displaystyle \pi _{0}<0}$وهذا يعني اقتراض المال من سوق المال، بينما${\displaystyle \pi _{n}<0}$وهذا يعني اتخاذ مركز بيع على المكشوف في السهم.

على المدى${\displaystyle b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)}$في قسم تطوير البرمجيات${\displaystyle G(t)}$هي عملية علاوة المخاطرة ، وهي التعويض الذي يتم الحصول عليه مقابل الاستثمار في${\displaystyle n}$المخزون رقم -th.

ضع في اعتبارك الفترات الزمنية${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{M}=T}$ودع${\displaystyle \nu _{n}(t_{m})}$ليكن عدد أسهم الأصل${\displaystyle n=0\ldots N}$، محفوظة في محفظة استثمارية خلال فترة زمنية في وقت${\displaystyle [t_{m},t_{m+1}\;m=0\ldots M-1}$ولتجنب حالات التداول بناءً على معلومات داخلية (أي معرفة مسبقة بالمستقبل)، يُشترط ما يلي:${\displaystyle \nu _{n}(t_{m})}$يكون${\displaystyle {\mathcal {F}}(t_{m})}$قابل للقياس.

وبالتالي، فإن المكاسب الإضافية في كل فترة تداول من هذه المحفظة هي:

${\displaystyle G(0)=0,}$

${\displaystyle G(t_{m+1})-G(t_{m})=\sum _{n=0}^{N}\nu _{n}(t_{m})[Y_{n}(t_{m+1})-Y_{n}(t_{m})],\quad m=0\ldots M-1,}$

و${\displaystyle G(t_{m})}$هو إجمالي الربح بمرور الوقت${\displaystyle [0,t_{m}]}$بينما تبلغ القيمة الإجمالية للمحفظة${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}\nu _{n}(t_{m})S_{n}(t_{m})}$.

يُعرِّف${\displaystyle \pi _{n}(t)\triangleq \nu _{n}(t)}$، اجعل تقسيم الوقت يساوي صفرًا، واستبدل بـ${\displaystyle Y(t)}$كما تم تعريفه سابقاً، للحصول على معادلة تفاضلية عشوائية مقابلة لعملية المكاسب. هنا${\displaystyle \pi _{n}(t)}$يشير إلى المبلغ الدولاري المستثمر في الأصل${\displaystyle n}$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$وليس عدد الأسهم المملوكة.

بالنظر إلى السوق المالية${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ثم عملية الدخل التراكمي${\displaystyle \Gamma (t)\;0\leq t\leq T}$هو شبه مارتينجال ويمثل الدخل المتراكم بمرور الوقت${\displaystyle [0,t]}$، وذلك بسبب مصادر أخرى غير الاستثمارات في${\displaystyle N+1}$أصول السوق المالية.

عملية الثروة${\displaystyle X(t)}$ثم يتم تعريفها على النحو التالي:

${\displaystyle X(t)\triangleq G(t)+\Gamma (t)}$

ويمثل إجمالي ثروة المستثمر في وقت معين${\displaystyle 0\leq t\leq T}$يقال إن المحفظة${\displaystyle \Gamma (t)}$-ممول إذا:

${\displaystyle X(t)=\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t).}$

تصبح معادلة التفاضل العشوائي المقابلة لعملية الثروة، من خلال عمليات الاستبدال المناسبة، كما يلي:

${\displaystyle dX(t)=d\Gamma (t)+X(t)\left[r(t)dt+dA(t)\right]+\sum _{n=1}^{N}\left[\pi _{n}(t)\left(b_{n}(t)+\delta _{n}(t)-r(t)\right)\right]+\sum _{d=1}^{D}\left[\sum _{n=1}^{N}\pi _{n}(t)\sigma _{n,d}(t)\right]dW_{d}(t)}$.

لاحظ، مرة أخرى في هذه الحالة، قيمة${\displaystyle \pi _{0}}$يمكن تحديد ذلك من${\displaystyle \pi _{n},\;n=1\ldots N}$.

في سوق مالية${\displaystyle {\mathcal {M}}}$، عملية محفظة استثمارية ممولة ذاتيًا${\displaystyle \pi (t)}$تُعتبر فرصة للمراجحة إذا كانت المكاسب المرتبطة بها${\displaystyle G(T)\geq 0}$، على الأرجح و${\displaystyle P[G(T)>0]>0}$بشكل صارم. سوق${\displaystyle {\mathcal {M}}}$يُقال إن المحفظة التي لا يوجد فيها مثل هذه المحفظة قابلة للاستمرار .

في سوق قابلة للاستمرار${\displaystyle {\mathcal {M}}}$يوجد${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$عملية مُكيَّفة${\displaystyle \theta$ :[0,T]\times \mathbb {R} ^{D}\rightarrow \mathbb {R} } بحيث يكون لكل${\displaystyle t\in [0,T]}$:

${\displaystyle b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)=\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(t)\theta _{d}(t)}$.

هذا${\displaystyle \theta }$يُطلق عليه سعر السوق للمخاطرة ، ويرتبط بعلاوة المخاطرة.${\displaystyle n}$السهم رقم -th بتقلباته${\displaystyle \sigma _{n,\cdot }}$.

وعلى العكس من ذلك، إذا وُجدت عملية ذات أبعاد D${\displaystyle \theta (t)}$بحيث يفي بالمتطلبات المذكورة أعلاه، و:

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt<\infty }$

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\exp \left\{-\int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}\theta _{d}(t)dW_{d}(t)-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt\right\}\right]=1}$،

عندها يصبح السوق قابلاً للاستمرار.

كذلك، سوق قابلة للتطبيق${\displaystyle {\mathcal {M}}}$لا يمكن أن يكون هناك سوى سوق نقدي واحد (سند) وبالتالي سعر فائدة واحد خالٍ من المخاطر . لذلك، إذا${\displaystyle n}$لا ينطوي السهم رقم -th على أي مخاطر (أي${\displaystyle \sigma _{n,d}=0,\;d=1\ldots D}$ولا يدفع أرباحاً (أي${\displaystyle \delta _{n}(t)=0}$إذا كان معدل العائد يساوي معدل سوق المال (أي${\displaystyle b_{n}(t)=r(t)}$) وسعرها يتبع سعر السند (أي${\displaystyle S_{n}(t)=S_{n}(0)S_{0}(t)}$).

سوق مالية${\displaystyle {\mathcal {M}}}$يُقال إنه معياري إذا:

(أ) إنه قابل للتطبيق.

(ii) عدد المخزونات${\displaystyle N}$لا يتجاوز البعد${\displaystyle D}$من عملية الحركة البراونية الأساسية${\displaystyle \mathbf {W} (t)}$.

(ثالثاً) عملية سعر السوق للمخاطر${\displaystyle \theta }$يرضي:

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt<\infty }$، على الأرجح.

(رابعاً) العملية الإيجابية${\displaystyle Z_{0}(t)=\exp \left\{-\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\theta _{d}(t)dW_{d}(t)-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt\right\}}$هو مارتينجال .

في حالة عدد المخزونات${\displaystyle N}$أكبر من البعد${\displaystyle D}$، في انتهاك للنقطة (ii)، من الجبر الخطي، يمكن ملاحظة أن هناك${\displaystyle N-D}$الأسهم التي تحدد تقلباتها (بواسطة المتجه)${\displaystyle (\sigma _{n,1}\ldots \sigma _{n,D})}$) هي توليفة خطية لتقلبات${\displaystyle D}$أسهم أخرى (بسبب تصنيف${\displaystyle \sigma }$يكون${\displaystyle D}$لذلك، فإن${\displaystyle N}$يمكن استبدال الأسهم بـ${\displaystyle D}$صناديق الاستثمار المشتركة المكافئة.

مقياس المارتينجال القياسي${\displaystyle P_{0}}$على${\displaystyle {\mathcal {F}}(T)}$بالنسبة للسوق القياسي، يتم تعريفها على النحو التالي:

${\displaystyle P_{0}(A)\triangleq \mathbb {E} [Z_{0}(T)\mathbf {1} _{A}],\quad \forall A\in {\mathcal {F}}(T)}$.

لاحظ أن${\displaystyle P}$و${\displaystyle P_{0}}$هما متصلتان اتصالاً مطلقاً بالنسبة لبعضهما البعض، أي أنهما متكافئتان. كذلك، وفقاً لنظرية جيرسانوف ،

${\displaystyle \mathbf {W} _{0}(t)\triangleq \mathbf {W} (t)+\int _{0}^{t}\theta (s)ds}$،

هو${\displaystyle D}$عملية الحركة البراونية ذات الأبعاد n على الترشيح${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}$بالنسبة إلى${\displaystyle P_{0}}$.

يترك${\displaystyle {\mathcal {M}}}$أن يكون سوقًا ماليًا قياسيًا، و${\displaystyle B}$كن${\displaystyle {\mathcal {F}}(T)}$متغير عشوائي قابل للقياس ، بحيث:

${\displaystyle P_{0}\left[{\frac {B}{S_{0}(T)}}>-\infty \right]=1}$.

${\displaystyle x\triangleq \mathbb {E} _{0}\left[{\frac {B}{S_{0}(T)}}\right]<\infty }$،

السوق${\displaystyle {\mathcal {M}}}$يُقال إنها كاملة إذا كان كل من هذا القبيل${\displaystyle B}$قابل للتمويل ، أي إذا كان هناك${\displaystyle x}$عملية المحفظة الممولة${\displaystyle (\pi _{n}(t);\;n=1\ldots N)}$بحيث تكون عملية الثروة المرتبطة بها${\displaystyle X(t)}$يرضي

${\displaystyle X(t)=B}$، على الأرجح.

إذا كانت استراتيجية استثمارية معينة تتطلب دفع مبلغ معين${\displaystyle B}$في ذلك الوقت${\displaystyle T}$، والتي لا يُعرف مقدارها في ذلك الوقت${\displaystyle t=0}$إذاً، فإن الاستراتيجية المحافظة تتمثل في تخصيص مبلغ من المال${\displaystyle x=\sup _{\omega }B(\omega )}$لتغطية الدفعة. ومع ذلك، في سوق كاملة، من الممكن تخصيص رأس مال أقل (أي${\displaystyle x}$) واستثمرها بحيث في وقت${\displaystyle T}$لقد نما ليصبح بحجم${\displaystyle B}$.

سوق مالية قياسية${\displaystyle {\mathcal {M}}}$تكتمل إذا وفقط إذا${\displaystyle N=D}$و${\displaystyle N\times D}$عملية التقلب${\displaystyle \sigma (t)}$غير منفردة في كل حالة تقريبًا${\displaystyle t\in [0,T]}$، فيما يتعلق بمقياس ليبيغ .