التناظر (في الفيزياء)

إن تناظر النظام الفيزيائي هو سمة فيزيائية أو رياضية للنظام (ملاحظة أو جوهرية) يتم الحفاظ عليها أو تظل دون تغيير تحت تأثير بعض التحولات .

قد تكون مجموعة من التحويلات الخاصة متصلة (مثل دوران دائرة) أو منفصلة (مثل انعكاس شكل متناظر ثنائيًا، أو دوران مضلع منتظم). وتنتج عن التحويلات المتصلة والمنفصلة أنواعًا مقابلة من التناظرات. يمكن وصف التناظرات المتصلة بواسطة زمر لي، بينما تُوصف التناظرات المنفصلة بواسطة زمر منتهية (انظر زمرة التناظر ).

يشكل مفهوما لي والمجموعات المنتهية أساس النظريات الأساسية للفيزياء الحديثة. ويمكن صياغة التناظرات في كثير من الأحيان باستخدام تمثيلات رياضية مثل تمثيلات المجموعات ، كما يمكن استغلالها لتبسيط العديد من المسائل .

لعلّ أهم مثال على التناظر في الفيزياء هو أن سرعة الضوء لها القيمة نفسها في جميع الأطر المرجعية ، وهو ما يُوصف في النسبية الخاصة بمجموعة من تحويلات الزمكان تُعرف باسم مجموعة بوانكاريه . ومن الأمثلة المهمة الأخرى ثبات شكل القوانين الفيزيائية تحت أي تحويلات إحداثيات قابلة للتفاضل، وهي فكرة أساسية في النسبية العامة .

يُحدد الثبات رياضيًا من خلال تحويلات تُبقي خاصيةً ما (مثل الكمية) دون تغيير. يمكن تطبيق هذه الفكرة على الملاحظات الأساسية في العالم الحقيقي. على سبيل المثال، قد تكون درجة الحرارة متجانسة في جميع أنحاء الغرفة. ولأن درجة الحرارة لا تعتمد على موقع الراصد داخل الغرفة، نقول إن درجة الحرارة ثابتة عند تغيير موقع الراصد داخل الغرفة.

وبالمثل، فإن الكرة المنتظمة التي تدور حول مركزها ستظهر تمامًا كما كانت قبل الدوران. ويُقال إن الكرة تتمتع بتناظر كروي . فالدوران حول أي محور من محاور الكرة سيحافظ على شكل سطحها من أي زاوية رؤية.

يمكن تصنيف التناظرات بشكل عام إلى تناظرات عالمية وتناظرات محلية . التناظر العالمي هو الذي يحافظ على خاصية معينة ثابتة عند تطبيق تحويل تناظري في آن واحد على جميع نقاط الزمكان ، بينما التناظر المحلي هو الذي يحافظ على خاصية معينة ثابتة عند تطبيق تحويل تناظري مختلف على كل نقطة من نقاط الزمكان ؛ تحديدًا، يتم تحديد تحويل التناظر المحلي بواسطة إحداثيات الزمكان، بينما لا يتم تحديد التناظر العالمي بذلك. وهذا يعني أن التناظر العالمي هو أيضًا تناظر محلي. تلعب التناظرات المحلية دورًا هامًا في الفيزياء لأنها تُشكل أساس نظريات القياس .

يُعدّ كلٌّ من المثالين المذكورين أعلاه للتناظر الدوراني -  الكروي والأسطواني  - مثالين على التناظر المستمر . ويتميز هذا النوع من التناظر بثباته بعد أي تغيير مستمر في هندسة النظام. فعلى سبيل المثال، يمكن تدوير السلك بأي زاوية حول محوره، وستظل شدة المجال المغناطيسي ثابتة على أسطوانة معينة. رياضيًا، تُوصف التناظرات المستمرة بتحويلات تتغير باستمرار كدالة لمعاملاتها. ومن أهم أنواع التناظرات المستمرة في الفيزياء تناظرات الزمكان.

التناظر المنفصل هو تناظر يصف التغيرات غير المتصلة في نظام ما. على سبيل المثال، يمتلك المربع تناظرًا دورانيًا منفصلًا، إذ أن الدوران بمضاعفات الزاوية القائمة فقط هو ما يحافظ على شكل المربع الأصلي. تتضمن التناظرات المنفصلة أحيانًا نوعًا من "التبديل"، ويُطلق على هذه التبديلات عادةً اسم الانعكاسات أو التبادلات .

• انعكاس الزمن : تصف العديد من قوانين الفيزياء ظواهر حقيقية عندما ينعكس اتجاه الزمن. رياضياً، يُعبَّر عن ذلك بالتحويل التالي:${\displaystyle t\,\rightarrow -t}$على سبيل المثال، يظل قانون نيوتن الثاني للحركة ساريًا إذا كان في المعادلة${\displaystyle F\,=m{\ddot {r}}}$،${\displaystyle t}$يتم استبدالها بـ${\displaystyle -t}$يمكن توضيح ذلك بتسجيل حركة جسم مقذوف رأسيًا لأعلى (مع إهمال مقاومة الهواء) ثم إعادة تشغيل التسجيل. سيتبع الجسم نفس المسار المكافئ في الهواء، سواءً تم تشغيل التسجيل بشكل طبيعي أو معكوس. وبالتالي، يكون موضع الجسم متناظرًا بالنسبة للحظة التي يكون فيها عند أقصى ارتفاع له.
• الانعكاس المكاني : يتم تمثيل هذه التحويلات من الشكل التالي${\displaystyle {\vec {r}}\,\rightarrow -{\vec {r}}}$وتشير إلى خاصية ثبات النظام عند "انعكاس" الإحداثيات. بعبارة أخرى، هذه تناظرات بين جسم معين وصورته المرآوية .
• انعكاس الانزلاق : يتم تمثيل هذه الانعكاسات بتركيبة من إزاحة وانعكاس. تحدث هذه التناظرات في بعض البلورات وفي بعض التناظرات المستوية، والمعروفة بتناظرات ورق الحائط .

تشمل التناظرات المعممة عدداً من التعميمات التي تم التعرف عليها مؤخراً لمفهوم التناظر الكلي. وتشمل هذه التناظرات تناظرات الشكل الأعلى، وتناظرات المجموعة الأعلى، والتناظرات غير القابلة للعكس، وتناظرات النظام الفرعي. ^{[ 1 ]}

تشكل التحويلات التي تصف التناظرات الفيزيائية عادةً مجموعة رياضية . وتُعد نظرية المجموعات مجالاً مهماً في الرياضيات بالنسبة للفيزيائيين.

تُحدد التناظرات المستمرة رياضيًا بواسطة مجموعات مستمرة (تُسمى مجموعات لي ). العديد من التناظرات الفيزيائية هي تناظرات متساوية القياس، وتُحدد بواسطة مجموعات التناظر. يُستخدم هذا المصطلح أحيانًا لأنواع أكثر عمومية من التناظرات. تُشكل مجموعة جميع الدورانات الصحيحة (حول أي زاوية) حول أي محور من محاور الكرة مجموعة لي تُسمى المجموعة المتعامدة الخاصة SO(3). (يشير الرقم '3' إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد للكرة العادية). بالتالي، فإن مجموعة تناظر الكرة مع الدورانات الصحيحة هي SO(3). أي دوران يحافظ على المسافات على سطح الكرة. تُشكل مجموعة جميع تحويلات لورنتز مجموعة تُسمى مجموعة لورنتز (يمكن تعميمها إلى مجموعة بوانكاريه ).

تصف المجموعات المنفصلة التناظرات المنفصلة. على سبيل المثال، تتميز تناظرات المثلث متساوي الأضلاع بالمجموعة المتناظرة S3 _.

يُطلق على نوع من النظريات الفيزيائية القائمة على التناظرات المحلية اسم نظرية القياس ، وتُسمى التناظرات الطبيعية لهذه النظرية بتناظرات القياس . وتستند تناظرات القياس في النموذج القياسي ، المستخدمة لوصف ثلاثة من التفاعلات الأساسية ، إلى مجموعة SU(3) × SU(2) × U(1) . (بصورة عامة، تصف تناظرات مجموعة SU(3) القوة النووية القوية ، وتصف مجموعة SU(2) التفاعل النووي الضعيف ، وتصف مجموعة U(1) القوة الكهرومغناطيسية ).

كذلك، يبدو أن الاختزال عن طريق التناظر للدالة الطاقية تحت تأثير مجموعة ما والكسر التلقائي للتناظر لتحويلات المجموعات المتناظرة يوضح مواضيع في فيزياء الجسيمات (على سبيل المثال، توحيد الكهرومغناطيسية والقوة الضعيفة في علم الكونيات الفيزيائي ).

تحافظ التناظرات المستمرة في الفيزياء على التحويلات. يمكن تحديد التناظر من خلال توضيح كيفية تأثير تحويل صغير جدًا على حقول الجسيمات المختلفة . مبدل اثنين من هذه التحويلات المتناهية الصغر يكافئ تحويلًا ثالثًا متناهي الصغر من النوع نفسه، وبالتالي فهي تشكل جبر لي .

تحويل إحداثيات عام يوصف بأنه المجال العام${\displaystyle h(x)}$(المعروف أيضًا باسم التحويل التفاضلي ) له تأثير متناهي الصغر على كمية قياسية${\displaystyle \phi (x)}$، سبينور${\displaystyle \psi (x)}$أو حقل متجه${\displaystyle A(x)}$التي يمكن التعبير عنها (باستخدام اصطلاح جمع أينشتاين ):

${\displaystyle \delta \phi (x)=h^{\mu }(x)\جزئي _{\mu }\phi (x)}$

${\displaystyle \delta \psi ^{\alpha }(x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\psi ^{\alpha }(x)+\partial _{\mu }h_{\nu }(x)\sigma _{\mu \nu }^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }(x)=h^{\nu }(x)\partial _{\nu }A_{\mu }(x)+A_{\nu }(x)\partial _{\mu }h^{\nu }(x)}$

في غياب الجاذبية، لا تُحفظ سوى تناظرات بوانكاريه، مما يقيد${\displaystyle h(x)}$أن يكون على الشكل التالي:

${\displaystyle h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }}$

حيث M مصفوفة مضادة للتناظر (تُعطي تناظرات لورنتز والدوران) و P متجه عام (يُعطي تناظرات الانتقال). تؤثر تناظرات أخرى على حقول متعددة في آن واحد. على سبيل المثال، تنطبق تحويلات القياس المحلية على كل من حقل متجه وحقل سبينوري.

${\displaystyle \delta \psi ^{\alpha }(x)=\lambda (x).\tau ^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }(x)=\partial _{\mu }\lambda (x),}$

أين${\displaystyle \tau }$هي مولدات لمجموعة لي معينة . حتى الآن، لم تتضمن التحويلات على اليمين سوى حقول من النوع نفسه. تُعرَّف التناظرات الفائقة وفقًا لكيفية مزج الحقول من أنواع مختلفة .

ومن أنواع التناظر الأخرى التي تُعد جزءًا من بعض نظريات الفيزياء ولا تُعد جزءًا من نظريات أخرى، التناظر القياسي الذي يتضمن تحويلات فايل من النوع التالي:

${\displaystyle \delta \phi (x)=\Omega (x)\phi (x)}$

إذا كانت الحقول تتمتع بهذا التناظر، فإنه يمكن إثبات أن نظرية الحقل ستكون، على الأرجح، ثابتةً تحت التحويلات المطابقة أيضًا. وهذا يعني أنه في غياب الجاذبية، ستقتصر دالة h(x) على الشكل التالي:

${\displaystyle h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }+Dx_{\mu }+K^{\mu }|x|^{2}-2K^{\nu }x_{\nu }x_{\mu },}$

حيث يُولّد D تحويلات المقياس، بينما يُولّد K تحويلات توافقية خاصة. على سبيل المثال، تتمتع نظرية يانغ-ميلز الفائقة التناظر N = 4 بهذا التناظر، بينما لا تتمتع به النسبية العامة، على الرغم من أن نظريات أخرى للجاذبية، مثل الجاذبية التوافقية، تتمتع به. يُعدّ "فعل" نظرية المجال ثابتًا تحت جميع تناظرات النظرية. ويرتبط جزء كبير من الفيزياء النظرية الحديثة بالتكهن بالتناظرات المختلفة التي قد يمتلكها الكون، وإيجاد الثوابت اللازمة لبناء نظريات المجال كنماذج.

في نظريات الأوتار، بما أن الوتر يمكن تحليله إلى عدد لا نهائي من حقول الجسيمات، فإن التناظرات على ورقة عالم الأوتار تعادل تحويلات خاصة تخلط عددًا لا نهائيًا من الحقول.

• محاضرات فاينمان في الفيزياء، المجلد الأول، الفصل 52: التناظر في القوانين الفيزيائية
• موسوعة ستانفورد للفلسفة : " التناظر " - بقلم ك. برادينج وإ. كاستيلاني.
• وسائل تعليمية مساعدة لنظرية الحقل الكمومي. انقر على الرابط للانتقال إلى الفصل 6: التناظر، والثبات، والحفظ للحصول على مقدمة مبسطة خطوة بخطوة عن التناظر في الفيزياء.