صيغة رقم الفصل

في نظرية الأعداد ، تربط صيغة عدد الفئات العديد من الثوابت المهمة لحقل عددي جبري بقيمة خاصة لدالة زيتا الخاصة به .

نبدأ بالبيانات التالية:

• K هو حقل عددي.
• [ K  : Q ] = n = r ₁ + 2 r ₂ ، حيث r ₁ يشير إلى عدد التضمينات الحقيقية لـ K ، و 2 r ₂ هو عدد التضمينات المعقدة لـ K.
• ζ _K ( s ) هيدالة زيتا ديديكيند لـ K.
• h _K هو رقم الفئة ، أي عددالعناصر في مجموعة الفئات المثالية لـ K.
• Reg _K هو منظم K.​​
• يمثل w _K عدد جذور الوحدة الموجودة في K.
• D _K هو المميز للامتداد K / Q.​ ​

ثم:

نظرية (صيغة عدد الفئات). تتقارب الدالة ζ _K ( s ) تقاربًا مطلقًا عندما يكون Re( s ) > 1 ، وتمتد إلى دالة ميرومورفية معرفة لجميع قيم s المركبة التي لها قطب بسيط واحد فقط عند s = 1 ، مع الباقي

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot \operatorname {Reg} _{K}\cdot h_{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}}$

هذه هي الصيغة العامة لأرقام الفئات. في حالات خاصة، على سبيل المثال عندما يكون K امتدادًا دائريًا لـ Q ، توجد صيغ خاصة وأكثر دقة لأرقام الفئات.

تتضح فكرة برهان صيغة عدد الفئات بشكل أوضح عندما يكون K = Q (i). في هذه الحالة، تكون حلقة الأعداد الصحيحة في K هي حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية .

تُظهر عملية حسابية بسيطة أن باقي دالة زيتا ديديكيند عند s = 1 هو متوسط ​​معاملات تمثيل متسلسلة ديريشليه لدالة زيتا ديديكيند. المعامل النوني في متسلسلة ديريشليه هو في الأساس عدد تمثيلات n كمجموع مربعين لعددين صحيحين غير سالبين. لذا، يمكن حساب باقي دالة زيتا ديديكيند عند s = 1 بحساب متوسط ​​عدد التمثيلات. وكما في مقال مسألة دائرة غاوس ، يمكن حساب ذلك بتقريب عدد نقاط الشبكة داخل ربع دائرة مركزها نقطة الأصل، لنستنتج أن الباقي يساوي ربع باي.

البرهان عندما يكون K حقل أعداد تربيعية تخيلية عشوائية مشابه جدًا. ^{[ 1 ]}

في الحالة العامة، وبحسب نظرية ديريشليه للوحدات ، فإن مجموعة الوحدات في حلقة الأعداد الصحيحة لـ K لانهائية. ومع ذلك، يمكن اختزال حساب الباقي إلى مسألة عدّ نقاط الشبكة باستخدام النظرية الكلاسيكية للتضمينات الحقيقية والمركبة، وتقريب عدد نقاط الشبكة في منطقة ما بحجم تلك المنطقة، لإتمام البرهان.

نشر بيتر غوستاف ليجون ديريشلي برهانًا لصيغة عدد الفئات للحقول التربيعية عام 1839، لكنه صِيغ بلغة الأشكال التربيعية بدلًا من فئات المُثُل . ويبدو أن غاوس كان على دراية بهذه الصيغة عام 1801. ^{[ 2 ]}

يأتي هذا العرض بعد دافنبورت . ^{[ 3 ]}

ليكن d مميزًا أساسيًا ، ولنكتب h(d) لعدد فئات التكافؤ للأشكال التربيعية ذات المميز d .${\displaystyle \chi =\left(\!{\frac {d}{m}}\!\right)}$ليكن رمز كرونكر . ثم${\displaystyle \chi }$هي خاصية ديريشليه . اكتب${\displaystyle L(s,\chi )}$لسلسلة ديريشليه L المستندة إلى${\displaystyle \chi }$. بالنسبة لـ d > 0 ، ليكن t > 0 و u > 0 حلاً لمعادلة بيل${\displaystyle t^{2}-du^{2}=4}$والتي تكون عندها قيمة u أصغر ما يمكن، واكتب

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt {d}}).}$

(ثم${\displaystyle \varepsilon }$إما أن تكون وحدة أساسية للحقل التربيعي الحقيقي${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$أو مربع وحدة أساسية.) بالنسبة لـ d < 0، اكتب w لعدد التشاكلات الذاتية للأشكال التربيعية للمميز d ؛ أي،

${\displaystyle w={\begin{cases}2,&d<-4;\\4,&d=-4;\\6,&d=-3.\end{cases}}}$

ثم أثبت ديريشليه ذلك

$//$

هذه حالة خاصة من النظرية 1 أعلاه: بالنسبة لحقل تربيعي K ، فإن دالة زيتا ديديكيند هي ببساطة${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta (s)L(s,\chi )}$والباقي هو${\displaystyle L(1,\chi )}$أظهر ديريشليه أيضًا أنه يمكن كتابة متسلسلة L في شكل منتهٍ، مما يعطي شكلًا منتهيًا لعدد الفئة. لنفترض${\displaystyle \chi }$بدائي مع موصل رئيسي${\displaystyle q}$. ثم

${\displaystyle L(1,\chi )={\begin{cases}-{\dfrac {\pi }{q^{3/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}m\left({\dfrac {m}{q}}\right),&q\equiv 3\mod 4;\\-{\dfrac {1}{2q^{1/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}\left({\dfrac {m}{q}}\right)\ln \left(\sin {\dfrac {m\pi }{q}}\right),&q\equiv 1\mod 4.\end{cases}}}$

إذا كان K امتدادًا لغالوا لـ Q ، فإن نظرية دوال آرتين L تنطبق على${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$يحتوي على عامل واحد هو دالة زيتا لريمان ، والتي لها قطب باقٍ يساوي واحدًا، ويكون ناتج القسمة منتظمًا عند s = 1. هذا يعني أنه يمكن مساواة الطرف الأيمن من صيغة عدد الفئات بالطرف الأيسر.

Π L (1,ρ) ^{dim ρ}

مع ρ التي تشمل فئات التمثيلات الخطية المعقدة غير التافهة وغير القابلة للاختزال لـ Gal( K / Q ) ذات البعد dim(ρ). وذلك وفقًا للتحليل القياسي للتمثيل المنتظم .

هذا هو الحال في المثال أعلاه، حيث Gal( K / Q ) زمرة تبديلية ، يمكن فيها استبدال جميع قيم ρ بمؤشرات ديريشليه (عبر نظرية حقل الأصناف ) لمعامل f يُسمى الموصل . وبالتالي، فإن جميع قيم L (1) تظهر لدوال ديريشليه L ، والتي لها صيغة كلاسيكية تتضمن اللوغاريتمات.

بحسب نظرية كرونكر-ويبر ، فإن جميع القيم المطلوبة لصيغة عدد الفئات التحليلية تظهر بالفعل عند النظر في الحقول الدائرية. في هذه الحالة، توجد صياغة إضافية ممكنة، كما أوضح كومر . يمكن مقارنة المُنظِّم ، وهو حساب الحجم في "الفضاء اللوغاريتمي" مقسومًا على لوغاريتمات وحدات الحقل الدائري، بالكميات من L (1) التي يمكن تمييزها كلوغاريتمات للوحدات الدائرية . ينتج عن ذلك صيغ تنص على أن عدد الفئات يُحدد بواسطة فهرس الوحدات الدائرية في المجموعة الكاملة من الوحدات.

في نظرية إيواساوا ، يتم دمج هذه الأفكار بشكل أكبر مع نظرية ستيكلبرجر .

• تخمين برومر-ستارك
• صيغة الكتلة سميث-مينكوفسكي-سيجل

• و. ناركيويتش (1990). النظرية الأولية والتحليلية للأعداد الجبرية (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ / دار النشر العلمية البولندية PWN . الصفحات 324-355 . ISBN  3-540-51250-0.

تتضمن هذه المقالة مواد من صيغة رقم الفصل على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .