معاملات كليبش-غوردان

في الفيزياء ، تُعرف معاملات كليبش-غوردان ( CG ) بأنها أعداد تنشأ في اقتران الزخم الزاوي في ميكانيكا الكم . وتظهر هذه المعاملات كمعاملات توسيع لحالات الزخم الزاوي الكلية الذاتية في أساس جداء موتر غير مقترن . وبعبارة رياضية أدق، تُستخدم معاملات كليبش-غوردان في نظرية التمثيل ، وخاصةً في زمر لي المدمجة ، لإجراء تحليل المجموع المباشر الصريح لجداء موتر لتمثيلين غير قابلين للاختزال (أي، تمثيل قابل للاختزال إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال، في الحالات التي تكون فيها أعداد وأنواع المكونات غير القابلة للاختزال معروفة مسبقًا بشكل مجرد). وقد اشتق الاسم من عالمي الرياضيات الألمانيين ألفريد كليبش وبول غوردان ، اللذين واجها مشكلة مماثلة في نظرية الثوابت .

من منظور حساب المتجهات ، يمكن تعريف معاملات كليبيش-غوردان المرتبطة بمجموعة SO (3) ببساطة بدلالة تكاملات حاصل ضرب التوافقيات الكروية ومرافقاتها المركبة. ويمكن استنتاج جمع اللف المغزلي بمصطلحات ميكانيكا الكم مباشرةً من هذا النهج، حيث أن التوافقيات الكروية هي دوال ذاتية للزخم الزاوي الكلي وإسقاطه على محور، وتتوافق التكاملات مع الجداء الداخلي في فضاء هيلبرت . ^{[ 1 ]} ومن التعريف الرسمي للزخم الزاوي، يمكن إيجاد علاقات تكرارية لمعاملات كليبيش-غوردان. كما توجد صيغ صريحة معقدة لحسابها المباشر. ^{[ 2 ]}

تستخدم الصيغ أدناه تدوين ديراك برا-كيت ويتم اعتماد اتفاقية طور كوندون-شورتلي ^{[ 3 ] .}

مؤثرات الزخم الزاوي هي مؤثرات ذاتية الترافق j _x و j _y و j _z التي تحقق علاقات التبادل$$// _ {m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{محاذاة}}}$$ حيث ε _klm هو رمز ليفي-سيفيتا . تُعرّف هذه المؤثرات الثلاثة معًا مؤثرًا متجهيًا ، ومؤثرًا موترًا ديكارتيًا من الرتبة الأولى . $${\displaystyle \mathbf {j} =(\mathrm {j_{x}} ,\mathrm {j_{y}} ,\mathrm {j_{z}} ).}$$ يُعرف أيضًا بالمتجه الكروي ، لأنه أيضًا مؤثر موتر كروي. ولا تتطابق مؤثرات الموتر الكروية مع مؤثرات الموتر الديكارتية إلا في الرتبة الأولى.

من خلال تطوير هذا المفهوم بشكل أكبر، يمكن تعريف عامل آخر j ² على أنه حاصل الضرب الداخلي لـ j مع نفسه: $${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2}} .}$$ هذا مثال على مؤثر كازيمير . وهو مؤثر قطري، وقيمته الذاتية تميز التمثيل غير القابل للاختزال لجبر الزخم الزاوي.${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}$. يتم تفسير هذا فيزيائياً على أنه مربع الزخم الزاوي الكلي للحالات التي يؤثر عليها التمثيل.

يمكن أيضاً تعريف عوامل الرفع ( j ₊ ) والخفض ( j- ₎ ، والتي تُسمى عوامل السلم . $${\displaystyle \mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .}$$

يمكن إثبات من التعريفات المذكورة أعلاه أن j ² يتبادل مع j _x و j _y و j _z : $${\displaystyle {\begin{align}&[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0&k&\in \{\mathrm {x} ,\mathrm {y} ,\mathrm {z} \}.\end{محاذاة}}}$$

عندما يتبادل مؤثران هيرميتيان ، توجد مجموعة مشتركة من الحالات الذاتية. اصطلاحًا، يتم اختيار j ² و j _z . من علاقات التبادل، يمكن إيجاد القيم الذاتية الممكنة. يُرمز لهذه الحالات الذاتية بـ | j m ⟩ حيث j هو العدد الكمي للزخم الزاوي و m هو إسقاط الزخم الزاوي على المحور z.

وهي تشكل الأساس الكروي ، وهي كاملة، وتفي بمعادلات القيم الذاتية التالية، $$\begin{aligned}\mathbf{j}^2|j\,m\rangle &=\hbar^2j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,\tfrac{1}{2}},1,\tfrac{3}{2}},\ldots \}\\\mathrm{j_{z}}|j\,m\rangle &=\hbarm|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}}$$

يمكن استخدام عوامل الرفع والخفض لتغيير قيمة m ، $${\displaystyle \mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle ,}$$ حيث يُعطى معامل السلم بالصيغة التالية:

$${\displaystyle C_{\pm }(j,m)={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}={\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}.}$$

1

من حيث المبدأ، يمكن أيضًا إدخال عامل طور (قد يكون معقدًا) في تعريف${\displaystyle C_{\pm }(j,m)}$يتوافق الاختيار المُتخذ في هذه المقالة مع اتفاقية طور كوندون-شورتلي . وتكون حالات الزخم الزاوي متعامدة (لأن قيمها الذاتية بالنسبة لمؤثر هيرميتي متميزة) ويُفترض أنها مُعَيَّرة. $${\displaystyle \langle j\,m|j'\,m'\rangle =\delta _{j,j'}\delta _{m,m'}.}$$

هنا، يرمز الحرفان j و m المكتوبان بخط مائل إلى أعداد كمية صحيحة أو نصف صحيحة لعزم الدوران الكمي لجسيم أو لنظام. من ناحية أخرى، يرمز الحرفان j _x و j _y و j _z و j ₊ و j ₋ و j ² إلى مؤثرات.${\displaystyle \delta }$الرموز هي دلتا كرونكر .

سندرس الآن أنظمة ذات عزمين زاويين مختلفين فيزيائيًا _، j1 و j2 . تشمل الأمثلة العزم الزاوي المغزلي والعزم الزاوي المداري لإلكترون واحد، أو العزم المغزلي لإلكترونين، أو العزم الزاوي المداري لإلكترونين. رياضيًا، يعني هذا أن مؤثرات العزم الزاوي تؤثر على فضاء ما _.${\displaystyle V_{1}}$من الأبعاد${\displaystyle 2j_{1}+1}$وأيضًا في مساحة${\displaystyle V_{2}}$من الأبعاد${\displaystyle 2j_{2}+1}$سنقوم بعد ذلك بتعريف مجموعة من مؤثرات "الزخم الزاوي الكلي" التي تعمل على فضاء الضرب الموتري .${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$، والتي لها أبعاد${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$يشكل تأثير مؤثر الزخم الزاوي الكلي على هذا الفضاء تمثيلاً لجبر لي SU(2) ، ولكنه تمثيل قابل للاختزال. ويكمن هدف نظرية كليبش-غوردان في اختزال هذا التمثيل القابل للاختزال إلى أجزاء غير قابلة للاختزال.

ليكن V ₁ هو الفضاء المتجهي ذو الأبعاد (2 j ₁ + 1) الذي تمتد عليه الحالات $${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{aligned}},}$$ و V ₂ هو الفضاء المتجهي ذو الأبعاد (2 j ₂ + 1) الذي تمتد عليه الحالات $${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{aligned}}.}$$

حاصل الضرب الموتري لهذه الفضاءات، V ₃ ≡ V ₁ ⊗ V ₂ ، له أساس غير مقترن ذو أبعاد (2 j ₁ + 1) (2 j ₂ + 1)$${\displaystyle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}.}$$ تُعرَّف عوامل الزخم الزاوي لتؤثر على الحالات في V ₃ بالطريقة التالية: $${\displaystyle (\mathbf {j} _{1}\otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} _{1}|j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle }$$ و $${\displaystyle (1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } _{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} _{2}|j_{2}\,m_{2}\rangle ,}$$ حيث يشير الرقم 1 إلى عامل الهوية.

يتم تعريف معاملات الزخم الزاوي الكلي [nb 1] بواسطة الضرب المشترك ( ^{أو الضرب الموتري} ) للتمثيلين المؤثرين على V ₁ ⊗ V ₂ ،

يمكن إثبات أن معاملات الزخم الزاوي الكلي تحقق نفس علاقات التبادل ، $${\displaystyle [\mathrm {J} _{k},\mathrm {J} _{l}]=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {J} _{m}~,}$$ حيث k و l و m ∈ { x و y و z } . في الواقع، البناء السابق هو الطريقة القياسية ^{[ 4 ]} لبناء تأثير جبر لي على تمثيل حاصل الضرب الموتري.

وبالتالي، توجد مجموعة من الحالات الذاتية المترابطة لمؤثر الزخم الزاوي الكلي أيضًا، $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar ^{2}J(J+1)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar M|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \end{aligned}}}$$ لكل M ∈ {− J , − J + 1, ..., J } . لاحظ أنه من الشائع حذف الجزء [ j ₁ j ₂ ] .

يجب أن يحقق العدد الكمي للزخم الزاوي الكلي J الشرط المثلثي الذي $${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2},}$$ بحيث يمكن أن تتوافق القيم الثلاث غير السالبة، سواء كانت أعدادًا صحيحة أو أنصاف أعداد صحيحة، مع أضلاع المثلث الثلاثة. ^{[ 5 ]}

العدد الإجمالي لحالات الزخم الزاوي الكلي يساوي بالضرورة بُعد V ₃ : $${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)~.}$$ كما تشير هذه الحسابات، فإن تمثيل حاصل الضرب الموتري يتحلل إلى المجموع المباشر لنسخة واحدة من كل تمثيل غير قابل للاختزال ذي البعد${\displaystyle 2J+1}$، أين${\displaystyle J}$يتراوح من${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|}$ل${\displaystyle j_{1}+j_{2}}$بزيادات قدرها 1. ^{[ 6 ]} على سبيل المثال، ضع في اعتبارك حاصل الضرب الموتري للتمثيل ثلاثي الأبعاد المقابل لـ${\displaystyle j_{1}=1}$مع التمثيل ثنائي الأبعاد مع${\displaystyle j_{2}=1/2}$القيم المحتملة لـ${\displaystyle J}$ثم${\displaystyle J=1/2}$و${\displaystyle J=3/2}$وبالتالي، فإن تمثيل حاصل ضرب الموتر ذي الأبعاد الستة يتحلل إلى مجموع مباشر لتمثيل ثنائي الأبعاد وتمثيل رباعي الأبعاد.

الهدف الآن هو وصف التفكيك السابق بشكل صريح، أي وصف عناصر الأساس في فضاء حاصل الضرب الموتري لكل تمثيل من التمثيلات المكونة التي تنشأ.

تشكل حالات الزخم الزاوي الكلي أساسًا متعامدًا لـ V ₃ : $${\displaystyle \left\langle J\,M|J'\,M'\right\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}~.}$$

يمكن تكرار هذه القواعد، على سبيل المثال، لدمج n من الثنائيات ( s = 1/2) للحصول على سلسلة تحليل كليبيش-غوردان ( مثلث كاتالان ). $${\displaystyle \mathbf {2} ^{\otimes n}=\bigoplus _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }~\left({\frac {n+1-2k}{n+1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k} )~,}$$ أين${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$هي دالة الجزء الصحيح ؛ والرقم الذي يسبق علامة بُعد التمثيل غير القابل للاختزال ( 2j + 1 ) المكتوبة بخط غامق يشير إلى تعدد هذا التمثيل في اختزال التمثيل. ^{[ 7 ]} على سبيل المثال، من هذه الصيغة، ينتج عن جمع ثلاثة جسيمات ذات دوران 1/2 جسيم ذو دوران 3/2 وجسيمين ذوي دوران 1/2.${\displaystyle {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }={\mathbf {4} }\oplus {\mathbf {2} }\oplus {\mathbf {2} }}$.

يمكن توسيع الحالات المترابطة عبر علاقة الاكتمال (حل الهوية) في الأساس غير المترابط

$${\displaystyle |J\,M\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

2

معاملات التمدد

$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

هي معاملات كليبيش-غوردان . لاحظ أن بعض المؤلفين يكتبونها بترتيب مختلف مثل ⟨ j ₁ j ₂ ; m ₁ m ₂ | J M ⟩ . وهناك صيغة شائعة أخرى هي ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ = C ^JM _{j 1 m 1 j 2 m 2} .

تطبيق المعاملات

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} &=\mathrm {j} \otimes 1+1\otimes \mathrm {j} \\\mathrm {J} _{\mathrm {z} }&=\mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{aligned}}}$$

يُظهر تطبيق ذلك على جانبي المعادلة التعريفية أن معاملات كليبيش-غوردان لا يمكن أن تكون غير صفرية إلا عندما

$${\displaystyle {\begin{aligned}|j_{1}-j_{2}|\leq J&\leq j_{1}+j_{2}\\M&=m_{1}+m_{2}.\end{aligned}}}$$

تم اكتشاف علاقات التكرار بواسطة الفيزيائي جوليو راكاه من الجامعة العبرية في القدس عام 1941.

تطبيق معاملات رفع وخفض الزخم الزاوي الكلي$${\displaystyle \mathrm {J} _{\pm }=\mathrm {j} _{\pm }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\pm }}$$ إضافة إلى الجانب الأيسر من المعادلة المحددة يعطي$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar C_{\pm }(J,M)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,(M\pm 1)\rangle \\&=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}}$$ بتطبيق نفس العوامل على الجانب الأيمن نحصل على$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }&\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_{2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\pm 1)\rangle {\Bigr )}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle {\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

يؤدي الجمع بين هذه النتائج إلى علاقات تكرارية لمعاملات كليبيش-غوردان، حيث تم تعريف C _{± في} 1 : $${\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle .}$$

بأخذ الإشارة العليا مع الشرط M = J نحصل على علاقة التكرار الأولية:$${\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}\,(m_{1}-1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}-1)|J\,J\rangle .}$$في اتفاقية كوندون-شورتلي للأطوار، يُضاف القيد التالي:

${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,(J-j_{1})|J\,J\rangle >0}$

(وبالتالي فهي حقيقية أيضًا). يمكن إيجاد معاملات كليبيش-غوردان ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ من علاقات التكرار هذه. يتم تحديد التطبيع من خلال اشتراط أن يكون مجموع المربعات، وهو ما يعادل اشتراط أن يكون معيار الحالة |[ j ₁ j ₂ ] J J ⟩ مساويًا للواحد.

يمكن استخدام الإشارة الأدنى في علاقة التكرار لإيجاد جميع معاملات كليبيش-غوردان حيث M = J − 1. ويؤدي الاستخدام المتكرر لتلك المعادلة إلى الحصول على جميع المعاملات.

يوضح هذا الإجراء لإيجاد معاملات كليبيش-جوردان أنها جميعها حقيقية في اتفاقية طور كوندون-شورتلي.

يتم تدوين هذه الأمور بشكل أوضح من خلال تقديم الترميز البديل. $${\displaystyle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

علاقة التعامد الأولى هي $${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}$$ (مستمد من حقيقة أن${\textstyle \mathbf {1} =\sum _{x}|x\rangle \langle x|}$والثاني هو $${\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2}}\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}.}$$

بالنسبة لـ J = 0، تُعطى معاملات كليبش-غوردان بالصيغة التالية $${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|0\,0\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}.}$$

بالنسبة لـ J = j ₁ + j ₂ و M = J لدينا $${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,j_{2}|(j_{1}+j_{2})\,(j_{1}+j_{2})\rangle =1.}$$

لدينا : j ₁ = j ₂ = J / 2 و m ₁ = − m ₂$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{1}\,(-m_{1})|(2j_{1})\,0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}.}$$

لدينا : j1 = j2 = m1 = −m2_​​​​$${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{1}\,(-j_{1})|J\,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.}$$

بالنسبة لـ j ₂ = 1 و m ₂ = 0 لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}+1)\,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|j_{1}\,m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}\end{aligned}}}$$

عندما يكون j ₂ = 1/2 لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j_{1}\,\left(M-{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\\left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1}{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}}$$

تتمثل إحدى الطرق الملائمة لاستنتاج هذه العلاقات في تحويل معاملات كليبيش-غوردان إلى رموز ويغنر 3-j باستخدام 3. وتُعد خصائص التناظر لرموز ويغنر 3-j أبسط بكثير.

ترتبط معاملات كليبش-جوردان برموز ويجنر 3-j التي لها علاقات تناظر أكثر ملاءمة.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{-j_{1}+j_{2}-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&J\\m_{1}&m_{2}&-M\end{pmatrix}}\\&=(-1)^{2j_{2}}(-1)^{J-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&J&j_{2}\\m_{1}&-M&m_{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

3

يرجع العامل (−1) ^{2 j ₂} إلى قيد كوندون-شورتلي الذي ⟨ j ₁ j ₁ j ₂ ( J − j ₁ )| JJ ⟩ > 0 ، بينما يرجع العامل (−1) ^{J − M} إلى الطبيعة المعكوسة زمنيا لـ | JM ⟩ .

وهذا يسمح بالوصول إلى التعبير العام:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &\equiv \delta (m_{1}+m_{2},M){\sqrt {\frac {(2J+1)(j_{1}+j_{2}-J)!(j_{1}-j_{2}+J)!(-j_{1}+j_{2}+J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(J-M)!(J+M)!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}.}$

يتم إجراء عملية الجمع على قيم k الصحيحة التي يكون فيها وسيط كل مضروب في المقام غير سالب، أي أن حدود الجمع K و N متساوية: الحد الأدنى${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-J-m_{1},j_{1}-J+m_{2}),}$العلوي${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-J,j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$تُعتبر مضروبات الأعداد السالبة عادةً مساوية للصفر، بحيث تكون قيم رمز 3j عند ، على سبيل المثال،${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$أو${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$يتم ضبطها تلقائيًا على الصفر.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,D_{M,K}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{m_{1},k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2},k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\\{}={}&{\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_{1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}}$$

في حالة وجود أعداد صحيحة، يمكن ربط المعاملات بتكاملات التوافقيات الكروية : $${\displaystyle \int _{4\pi }Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}{}^{*}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}{}^{*}(\Omega )Y_{L}^{M}(\Omega )\,d\Omega ={\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle }$$

ويترتب على ذلك، بالإضافة إلى تعامد التوافقيات الكروية، أن معاملات CG هي في الواقع معاملات توسيع ناتج ضرب توافقيتين كرويتين بدلالة توافقية كروية واحدة: $${\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )}$$

$${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}\langle j\,m\,j\,(-m)|J\,0\rangle =\delta _{J,0}{\sqrt {2j+1}}}$$

بالنسبة للمجموعات العشوائية وتمثيلاتها، فإن معاملات كليبيش-غوردان غير معروفة بشكل عام. مع ذلك، توجد خوارزميات معروفة لحساب معاملات كليبيش-غوردان للمجموعة الوحدوية الخاصة SU( n ). ^{[ 8 ] [ 9 ]} على وجه الخصوص، تم حساب معاملات كليبيش-غوردان للمجموعة SU(3) وجدولتها نظرًا لأهميتها في توصيف الاضمحلالات الهادرونية، حيث يوجد تناظر نكهة -SU(3) يربط بين الكواركات العلوية والسفلية والغريبة . ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} كما تتوفر واجهة ويب لجدولة معاملات كليبيش-غوردان للمجموعة SU(N) بسهولة.

• أليكس، أ.؛ كالوس، م.؛ هاكلبري، أ.؛ فون دلفت، ج. (2011). "خوارزمية عددية للحساب الصريح لمعاملات كليبيش-غوردان SU(N) وSL(N,C)". مجلة الفيزياء الرياضية ، 82 (2): 023507. arXiv : 1009.0437 . Bibcode : 2011JMP....52b3507A . doi : 10.1063/1.3521562 . S2CID 55572438 . 
• كوندون، إدوارد يو.؛ شورتلي، جي إتش (1970). "الفصل 3". نظرية الأطياف الذرية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-09209-8.
• إدموندز، أ. ر. (1957). الزخم الزاوي في ميكانيكا الكم . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-07912-7.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• غرينر, والتر ; مولر، بيرندت (1994). ميكانيكا الكم: التماثلات (  الطبعة الثانية). سبرينغر فيرلاج . رقم ISBN 978-3540580805.
• هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  222 (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-3319134666
• كابلان، إل إم؛ ريسنيكوف، إم. (1967). "حاصل ضرب المصفوفات ومعاملات 3، 6، 9، و12j الصريحة للتمثيل المنتظم لـ SU(n)". مجلة الفيزياء الرياضية 8 (11): 2194. Bibcode : 1967JMP.....8.2194K . doi : 10.1063/1.1705141 .
• كايدينغ، توماس (1995). "جداول عوامل SU(3) متساوية الدوران". جداول البيانات الذرية والنووية . 61 (2): 233-288 . arXiv : nucl-th/9502037 . Bibcode : 1995ADNDT..61..233K . doi : 10.1006/adnd.1995.1011 .
• ميرزباخر، يوجين (1998). ميكانيكا الكم (  الطبعة الثالثة). جون وايلي. الصفحات 428-429 . ISBN  978-0-471-88702-7.
• ألبرت ميسيا (1966). ميكانيكا الكم (المجلدان الأول والثاني)، ترجمة إنجليزية من الفرنسية بقلم جي إم تيمر. نورث هولاند، جون وايلي وأولاده.
• دي سوارت، جيه جيه (1963). "نموذج الأوكتيت ومعاملات كليبيش-غوردان الخاصة به" . مجلة الفيزياء الحديثة (مخطوطة مقدمة). 35 (4): 916. رمز Bibcode : 1963RvMP...35..916D . doi : 10.1103/RevModPhys.35.916 .

• ناكامورا، كينزو؛ وآخرون  (2010). "مراجعة فيزياء الجسيمات: معاملات كليبيش-غوردان، والتوافقيات الكروية، ودوال d " (ملف PDF) . مجلة الفيزياء G: الفيزياء النووية وفيزياء الجسيمات . 37 (75021): 368. رمز Bibcode : 2010JPhG...37g5021N . doi : 10.1088/0954-3899/37/7A/075021 . تحديث جزئي لإصدار 2012
• حاسبة معاملات كليبش-غوردان، 3-j و 6-j على الإنترنت
• حاسبة معاملات كليبش-غوردان قابلة للتنزيل لنظامي التشغيل ماك وويندوز
• واجهة ويب لجدولة معاملات SU(N) Clebsch–Gordan