مجموعة كليفورد

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 18 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، حزمة كليفورد هي حزمة جبرية تتميز أليافها ببنية جبر كليفورد ، وتحافظ عمليات تبسيطها المحلية على هذه البنية الجبرية. توجد حزمة كليفورد طبيعية مرتبطة بأي مشعب ريماني ( زائف ) M، وتُسمى حزمة كليفورد الخاصة بـ M.

يُشار إلى هذا عادةً باسم تليف هوبف لـ S3 ، وهو بناء طوبولوجي أشار إليه هاينز هوبف (1931). لكن إجراء هوبف كان مبنيًا بشكل صريح (مع الإشارة المناسبة) على بناء هندسي سابق لـ " متوازيات كليفورد ". [ 1 ]

أعمال البناء العامة

ليكن V فضاءً متجهيًا ( حقيقيًا أو مركبًا ) مع شكل ثنائي خطي متناظر <·,·>. جبر كليفورد Cℓ ( V ) هو جبر طبيعي ( تجميعي أحادي ) مُوَلَّد بواسطة V، ويخضع فقط للعلاقة

v2=⟨v،v⟩{\displaystyle v^{2}=\langle v,v\rangle }

لكل v في V. [ 2 ] يمكن للمرء أن يبني Cℓ ( V ) كحاصل قسمة الجبر الموتري لـ V على المثالي الناتج عن العلاقة المذكورة أعلاه.

على غرار عمليات الموتر الأخرى، يمكن تنفيذ هذا البناء على مستوى الألياف على حزمة متجهات ملساء . ليكن E حزمة متجهات ملساء فوق مشعب أملس M ، وليكن g شكلاً ثنائي الخطية متناظرًا أملسًا على E. حزمة كليفورد لـ E هي حزمة الألياف التي تكون أليافها هي جبر كليفورد المتولد من ألياف E.

جℓ(هـ)=∐x∈مجℓ(هـx،زx){\displaystyle C\ell (E)=\coprod _{x\in M}C\ell (E_{x},g_{x})}

يتم تحديد طوبولوجيا Cℓ ( E ) بواسطة طوبولوجيا E من خلال بناء حزمة مرتبطة .

غالبًا ما يكون المرء مهتمًا بالحالة التي تكون فيها الدالة g موجبة التحديد أو على الأقل غير منعدمة ؛ أي عندما تكون ( E , g ) حزمة متجهات ريمانية أو شبه ريمانية. وللتوضيح، لنفترض أن ( E , g ) حزمة متجهات ريمانية. يمكن بناء حزمة كليفورد لـ E كما يلي: ليكن CℓₙR جبر كليفورد المتولد بواسطة Rₙ مع المقياس الإقليدي . يُحدث التأثير القياسي للمجموعة المتعامدة O ( n ) على Rₙ تشاكلًا متدرجًا لـ CℓₙR .

ρ:يا(ن)→أuت(جℓنR){\displaystyle \rho :\mathrm {O} (n)\to \mathrm {Aut} (C\ell _{n}\mathbb {R} )}

يتم تحديده بواسطة

ρ(أ)(v1v2⋯vك)=(أv1)(أv2)⋯(أvك){\displaystyle \rho (A)(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=(Av_{1})(Av_{2})\cdots (Av_{k})}

حيث تمثل vᵢ جميع المتجهات في Rⁿ . وتُعطى حزمة كليفورد لـ E بالعلاقة التالية :

جℓ(هـ)=F(هـ)×ρجℓنR{\displaystyle C\ell (E)=F(E)\times _{\rho }C\ell _{n}\mathbb {R} }

حيث F ( E ) هي حزمة الإطار المتعامد لـ E. يتضح من هذا البناء أن زمرة البنية لـ Cℓ ( E ) هي O( n ). بما أن O( n ) تعمل بواسطة التشاكلات المتدرجة على CℓnR ، فإنه يترتب على ذلك أن Cℓ ( E ) هي حزمة من الجبر المتدرج Z2 على M. يمكن بعد ذلك تحليل حزمة كليفورد Cℓ ( E ) إلى حزم فرعية زوجية وفردية.

جℓ(هـ)=جℓ0(هـ)⊕جℓ1(هـ).{\displaystyle C\ell (E)=C\ell ^{0}(E)\oplus C\ell ^{1}(E).}

إذا كانت حزمة المتجهات E قابلة للتوجيه، فيمكن للمرء أن يقلل مجموعة البنية لـ Cℓ ( E ) من O( n ) إلى SO( n ) بالطريقة الطبيعية.

حزمة كليفورد لمتشعب ريماني

إذا كانت M متعددة شعب ريمانية ذات مقياس g ، فإن حزمة كليفورد لـ M هي حزمة كليفورد المولدة بواسطة حزمة المماس TM . ويمكن أيضًا بناء حزمة كليفورد من حزمة المماس المرافق T * M . يُولِّد المقياس تماثلًا طبيعيًا TM = T * M ، وبالتالي تماثلًا Cℓ ( TM ) = Cℓ ( T * M ).

يوجد تماثل طبيعي لحزمة المتجهات بين حزمة كليفورد لـ M والحزمة الخارجية لـ M :

جℓ(تي*م)≅Λ(تي*م).{\displaystyle C\ell (T^{*}M)\cong \Lambda (T^{*}M).}

هذا تماثل بين حزم المتجهات وليس حزم الجبر. وينتج هذا التماثل من التماثل المقابل على كل ليف. وبهذه الطريقة، يمكن اعتبار مقاطع حزمة كليفورد أشكالًا تفاضلية على M مزودة بضرب كليفورد بدلًا من الضرب الخارجي (المستقل عن المقياس).

يحترم التشاكل المذكور أعلاه التدرج بمعنى أن

جℓ0(تي*م)=Λهـvهـن(تي*م)جℓ1(تي*م)=Λoدد(تي*م).{\displaystyle {\begin{aligned}C\ell ^{0}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {even} }(T^{*}M)\\C\ell ^{1}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {odd} }(T^{*}M).\end{aligned}}}

الوصف المحلي

للمتجهv∈تيxم{\displaystyle v\in T_{x}M}فيx∈م{\displaystyle x\in M}ونموذجψ∈Λ(تيxم){\displaystyle \psi \in \Lambda (T_{x}M)}يُعرَّف ضرب كليفورد [ 3 ] على النحو التالي:

vψ=v∧ψ+v⌟ψ{\displaystyle v\psi =v\wedge \psi +v\lrcorner \psi }،

حيث يتم استخدام الازدواجية المترية لتغيير المتجه إلى الشكل الواحد في الحد الأول.

ثم المشتق الخارجيد{\displaystyle d}والمشتق المشتركدلتا{\displaystyle \delta }يمكن ربط ذلك بالوصلة المترية∇{\displaystyle \nabla }باستخدام اختيار قاعدة متعامدة{هـأ}{\displaystyle \{e_{a}\}}بواسطة

د=هـأ∧∇هـأ،دلتا=-هـأ⌟∇هـأ{\displaystyle d=e^{a}\wedge \nabla _{e_{a}},\quad \delta =-e^{a}\lrcorner \nabla _{e_{a}}}.

باستخدام هذه التعريفات، يُعرَّف عامل ديراك-كاهلر [ 4 ] [ 3 ] كما يلي:

د=هـأ∇هـأ=د-دلتا{\displaystyle D=e^{a}\nabla _{e_{a}}=d-\delta }.

في مجال النجمة ، يمكن عكس المؤثر باستخدام مبرهنة بوانكاريه للمشتقة الخارجية ، ونظيرتها النجمية لهودج للمشتقة المرافقة . [ 5 ] وتتمثل الطريقة العملية للقيام بذلك في استخدام مؤثرات التماثل والتماثل المرافق . [ 5 ] [ 6 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ بينروز، روجر (2004). الطريق إلى الواقع: دليل شامل لقوانين الكون (  طبعة 2007). المملكة المتحدة. الصفحات 365-366 . ISBN  0-224-04447-8.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  2. ↑ يوجد اختيار تعسفي للإشارة في تعريف جبر كليفورد. بشكل عام، يمكن اعتبار v² = ±< v , v >. في الهندسة التفاضلية ، من الشائع استخدام اصطلاح الإشارة السالبة (−).
  3. 1 2 بين، إيان م.؛ تاكر، روبن و. (1987). مقدمة في السبينورات والهندسة مع تطبيقات في الفيزياء . أ. هيلجر. ISBN 978-0-85274-169-6.
  4. ^ غراف، وولفجانج (1978). "الأشكال التفاضلية كالغزلان" . حوليات معهد هنري بوانكاريه أ . 29 (1): 85- 109. ISSN 2400-4863 . 
  5. 1 2 كيسيا، رادوسلاف أنتوني (2022). "مُبرهنة بوانكاريه للأشكال التفاضلية المُشتركة، والأشكال المُضادة للدقة، وتطبيقاتها في الفيزياء" . نتائج في الرياضيات . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . doi : 10.1007/s00025-022-01646-z . ISSN 1422-6383 . S2CID 221802588 .  
  6. ↑ كيسيا، رادوسلاف أنتوني (2020). "مُبرهنة بوانكاريه، والأشكال المضادة للدقة، والمذبذب التوافقي الكمي الفرميوني" . نتائج في الرياضيات . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . doi : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 . S2CID 253586364 .  

مراجع