شبكة كاملة

تُسمى الشبكة الفرعية M من الشبكة الكاملة L شبكة فرعية كاملة من L إذا كان لكل مجموعة جزئية A من M عناصر${\displaystyle \bigwedge A}$و${\displaystyle \bigvee A}$، كما هو محدد في L ، موجود بالفعل في M . ^{[ 1 ]}

إذا تم تخفيف الشرط المذكور أعلاه بحيث يتطلب فقط أن تكون التقاءات والوصلات غير الفارغة في M ، فإن الشبكة الفرعية M تسمى شبكة فرعية مغلقة من L.

يُعد مصطلحا "الشبكة شبه الكاملة" أو " الشبكة شبه الكاملة " طريقة أخرى للإشارة إلى الشبكات الكاملة، حيث يمكن التعبير عن التقاءات العشوائية من حيث عمليات الربط العشوائية والعكس صحيح (للحصول على التفاصيل، انظر الاكتمال ).

يُستخدم مصطلح "شبه شبكة الالتقاء الكاملة" أيضاً للإشارة إلى شبه شبكة الالتقاء المحدودة الكاملة والترتيب الجزئي الكامل . ويُعتبر هذا المفهوم، بلا شك، "الأكثر اكتمالاً" لشبه شبكة الالتقاء التي لم تُصبح بعد شبكة كاملة (في الواقع، قد يكون العنصر العلوي فقط هو المفقود).

انظر إلى أنصاف الشبكات لمزيد من المناقشة حول كلا التعريفين.

يقال إن الشبكة " مكتملة شرطيًا " إذا كانت تحقق إحدى الخاصيتين التاليتين أو كلتيهما : ^{[ 2 ]}

• أي مجموعة جزئية غير فارغة ومحدودة من الأعلى لها أصغر حد أعلى .
• أي مجموعة جزئية غير فارغة ومحدودة من الأسفل لها أكبر حد أدنى .

• المجموعة الفارغة ليست شبكة كاملة. فلو كانت كذلك، لكانت المجموعة الفارغة تحديداً تحتوي على حد أدنى وحد أعلى، وهذا تناقض.
• الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$مع الترتيب المعتاد ≤، لا تُعدّ الشبكة كاملة. إنها شبكة ذات${\displaystyle \bigwedge \{x,y\}=\min\{x,y\}}$و${\displaystyle \bigvee \{x,y\}=\max\{x,y\}}$. لكن،${\displaystyle \mathbb {Q} }$في حد ذاته ليس لديه أدنى أو أعلى، ولا يفعل ذلك${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}}$.

علاوة على ذلك، تُوصَف التشاكلات التي تحافظ على جميع الوصلات، بشكل مكافئ، بأنها الجزء المرافق السفلي لوصلة غالوا فريدة . لأي زوج من الترتيبات الجزئية X و Y ، تُعطى وصلة غالوا بزوج من الدوال الرتيبة f و g من X إلى Y بحيث يكون لكل زوج من العناصر x من X و y من Y

${\displaystyle f(x)\leq y\iff x\leq g(y)}$

حيث يُطلق على f اسم المرافق السفلي ، ويُطلق على g اسم المرافق العلوي . وبحسب نظرية الدوال المرافقة ، فإن أي دالة رتيبة بين أي زوج من الشبكات الكاملة تحافظ على جميع عمليات الربط إذا وفقط إذا كانت مرافقًا سفليًا، وتحافظ على جميع عمليات التقاطع إذا وفقط إذا كانت مرافقًا علويًا.

وبالتالي، يُحدد كل تشاكل حافظ للوصلات مُرافقًا علويًا فريدًا في الاتجاه المعاكس يحافظ على جميع نقاط الالتقاء. ومن ثم، فإن النظر في الشبكات الكاملة ذات التشاكلات شبه الشبكية الكاملة (سواءً كانت حافظة للوصلات أو حافظة للالتقاءات) يُختزل إلى اعتبار اتصالات غالوا بمثابة تشاكلات الشبكة. وهذا يُفضي أيضًا إلى فهم أن فئات التشاكلات الثلاث المذكورة أعلاه تصف أساسًا فئتين مختلفتين من الشبكات الكاملة: إحداهما ذات تشاكلات كاملة، والأخرى ذات اتصالات غالوا التي تشمل كلًا من الدوال الحافظة للالتقاءات (المرافقات العلوية) ودوالها الثنائية الحافظة للوصلات (المرافقات السفلية).

تنشأ فئة مهمة بشكل خاص من الحالات الخاصة بين شبكات المجموعات الجزئية من X و Y ، أي مجموعات القوى${\displaystyle P(X)}$و​​${\displaystyle P(Y)}$، بالنظر إلى دالة${\displaystyle f}$من X إلى Y. فيهذه الحالات، يتم الحصول على خرائط الصورة المباشرة وخرائط الصورة العكسية بواسطة${\displaystyle f}$⁠ بين مجموعات القوى تكون المرافقات العلوية والسفلية لبعضها البعض، على التوالي.

يعتمد بناء الكائنات الحرة على فئة التشكلات المختارة. تسمى الدوال التي تحافظ على جميع الوصلات (أي المرافقات السفلية لوصلات غالوا) شبه الشبكات الكاملة الحرة .

ينص التعريف القياسي من الجبر الشامل على أن الشبكة الكاملة الحرة فوق مجموعة مولدة${\displaystyle S}$هي شبكة كاملة${\displaystyle L}$بالإضافة إلى وظيفة${\displaystyle i:S\rightarrow L}$بحيث تكون أي دالة${\displaystyle f}$من${\displaystyle S}$إلى المجموعة الأساسية لشبكة كاملة${\displaystyle M}$يمكن تحليلها بشكل فريد من خلال تشاكل${\displaystyle f^{\circ }}$من${\displaystyle L}$ل${\displaystyle M}$وهذا يعني أن${\displaystyle f(s)=f^{\circ }(i(s))}$لكل عنصر${\displaystyle s}$ل${\displaystyle S}$وذلك${\displaystyle f^{\circ }}$هو التشاكل الوحيد الذي يتمتع بهذه الخاصية. وبالتالي، يوجد مُوَجِّه من فئة المجموعات والدوال إلى فئة الشبكات الكاملة والدوال الحافظة للوصلات، وهو مُوَجِّه يساري للمُوَجِّه النسياني من الشبكات الكاملة إلى مجموعاتها الأساسية.

وبالتالي، يمكن إنشاء شبكات كاملة حرة بحيث تكون الشبكة الكاملة المولدة بواسطة مجموعة ما${\displaystyle S}$إنها مجرد مجموعة الطاقة${\displaystyle 2^{S}}$، مجموعة جميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle S}$مرتبة حسب تضمين المجموعة الفرعية . الوحدة المطلوبة${\displaystyle i:S\rightarrow 2^{S}}$يُحدد أي عنصر${\displaystyle s}$ل${\displaystyle S}$إلى مجموعة العناصر المفردة${\displaystyle \{s\}}$بالنظر إلى عملية التعيين${\displaystyle f}$كما سبق، الوظيفة${\displaystyle f^{\circ }:2^{S}\rightarrow M}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle f^{\circ }(X)=\bigvee \{f(s)|s\in X\}}$.

ثم${\displaystyle f^{\circ }}$يحول الاتحادات إلى وحدات عليا وبالتالي يحافظ على الوصلات.

تُتيح هذه الاعتبارات أيضًا إنشاءً حرًا للتشاكلات التي تحافظ على التقاءات بدلًا من عمليات الربط (أي المرافقات العليا لوصلات غالوا). يمكن ازدواجية ما سبق : تُعطى الكائنات الحرة كمجموعات قوى مرتبة حسب الاحتواء العكسي، بحيث يوفر اتحاد المجموعات عملية الالتقاء، والدالة${\displaystyle f^{\circ }}$يُعرَّف هذا المفهوم بدلالة نقاط الالتقاء بدلاً من نقاط الربط. وتُعرف نتيجة هذا البناء باسم شبه الشبكة الكاملة الحرة . تجدر الإشارة إلى أن هذه البنى الحرة تُوسِّع نطاق تلك المستخدمة للحصول على أنصاف الشبكات الحرة ، حيث يلزم مراعاة المجموعات المحدودة.

أما بالنسبة للشبكات الكاملة ذات التشاكلات الكاملة، فالوضع أكثر تعقيدًا. في الواقع، لا توجد شبكات كاملة حرة عمومًا. بالطبع، يمكن صياغة مسألة كلمات مشابهة لتلك الخاصة بحالة الشبكات ، لكن مجموعة جميع الكلمات (أو "المصطلحات") الممكنة في هذه الحالة ستكون فئة حقيقية ، لأن عمليات الالتقاء والربط العشوائية تشمل عمليات لمجموعات الوسائط من أي عدد .

لا تُشكّل هذه الخاصية في حد ذاتها مشكلة: فكما يُبيّن مثال الشبكات النصفية الكاملة الحرة أعلاه، قد لا يُنتج حلّ مسألة الكلمات سوى مجموعة من فئات التكافؤ. بعبارة أخرى، من الممكن أن تحمل الفئات الصحيحة لجميع المصطلحات المعنى نفسه، وبالتالي يتم تحديدها في البنية الحرة. مع ذلك، فإن فئات التكافؤ لمسألة الكلمات الخاصة بالشبكات الكاملة "صغيرة جدًا"، بحيث تظل الشبكة الكاملة الحرة فئة صحيحة، وهو أمر غير مسموح به.

قد يأمل المرء مع ذلك في وجود بعض الحالات المفيدة التي تكون فيها مجموعة المولدات صغيرة بما يكفي لوجود شبكة حرة وكاملة. لسوء الحظ، فإن حد الحجم منخفض للغاية، ولدينا النظرية التالية:

الشبكة الكاملة الحرة على ثلاثة مولدات غير موجودة؛ إنها فئة مناسبة .

قدم جونستون برهانًا على هذه المقولة. ^{[ 3 ]} يُنسب البرهان الأصلي إلى ألفريد دبليو هيلز ؛ ^{[ 4 ]} انظر أيضًا المقالة المتعلقة بالشبكات الحرة .

إذا تم توليد شبكة كاملة بحرية من مجموعة جزئية مرتبة معينة ، بدلاً من مجموعة المولدات المذكورة سابقًا، فإننا نتحدث حينها عن إكمال المجموعة الجزئية المرتبة. تعريف نتيجة هذه العملية مشابه لتعريف الكائنات الحرة المذكور أعلاه، حيث تُستبدل "المجموعات" و"الدوال" بـ"المجموعات الجزئية المرتبة" و"التطبيقات الرتيبة". وبالمثل، يمكن وصف عملية الإكمال كدالة من فئة المجموعات الجزئية المرتبة ذات الدوال الرتيبة إلى فئة من الشبكات الكاملة ذات التشكلات المناسبة، والتي تُعتبر مترافقة يسارية للدالة النسيانية في الاتجاه المعاكس.

طالما اعتبرنا الدوال التي تحافظ على التقاء أو ضم العناصر بمثابة تشاكلات، فإنه يمكن تحقيق ذلك بسهولة من خلال ما يُعرف بإكمال ديديكيند-ماكنيل . في هذه العملية، تُسقط عناصر المجموعة المرتبة جزئيًا على قطوع (ديديكيند) ، والتي يمكن إسقاطها بدورها على المجموعات المرتبة جزئيًا الأساسية لأي شبكات كاملة، بنفس الطريقة المتبعة مع المجموعات والشبكات الكاملة (شبه الكاملة) الحرة المذكورة أعلاه.

إن النتيجة المذكورة آنفًا، والتي تنص على عدم وجود شبكات كاملة حرة، تستلزم أيضًا عدم إمكانية إنشاء بنية حرة مماثلة من مجموعة مرتبة جزئيًا. ويتضح ذلك بسهولة عند النظر إلى المجموعات المرتبة جزئيًا ذات الترتيب المنفصل، حيث يرتبط كل عنصر بنفسه فقط. وهذه هي تحديدًا المجموعات المرتبة جزئيًا الحرة على مجموعة أساسية. فلو وُجدت بنية حرة لشبكات كاملة من مجموعات مرتبة جزئيًا، لأمكن تركيب كلا البنيتين، وهو ما يناقض النتيجة السلبية المذكورة أعلاه.