خريطة خطية غير متصلة

في الرياضيات ، تُشكّل الدوال الخطية فئةً مهمةً من الدوال "البسيطة" التي تحافظ على البنية الجبرية للفضاءات الخطية ، وكثيرًا ما تُستخدم كتقريبات لدوال أكثر عمومية (انظر التقريب الخطي ). إذا كانت الفضاءات المعنية فضاءات طوبولوجية (أي فضاءات متجهة طوبولوجية )، فمن المنطقي التساؤل عما إذا كانت جميع الدوال الخطية متصلة . يتضح أنه بالنسبة للدوال المعرفة على فضاءات متجهة طوبولوجية لا نهائية الأبعاد ( مثل الفضاءات المعيارية اللانهائية الأبعاد )، فإن الإجابة عمومًا هي لا: توجد دوال خطية غير متصلة . أما إذا كان مجال التعريف كاملًا ، فالأمر أكثر تعقيدًا؛ إذ يمكن إثبات وجود مثل هذه الدوال، لكن البرهان يعتمد على بديهية الاختيار ولا يُقدّم مثالًا صريحًا.

ليكن X و Y فضاءين معياريين و${\displaystyle f:X\to Y}$دالة خطية من X إلى Y. إذا كانت X ذات أبعاد منتهية ، فاختر أساسًا${\displaystyle \left(e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\right)}$في X والتي يمكن اعتبارها متجهات وحدة. ثم، $${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i}),}$$ وبناءً على متباينة المثلث ، $$\displaystyle \|f(x)\|=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i})\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\|f(e_{i})\|.}$$ تأجير $${\displaystyle M=\sup _{i}\{\|f(e_{i})\|\},}$$ وباستخدام حقيقة أن $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq C\|x\|}$$ بالنسبة لبعض القيم C > 0، والتي تنتج عن حقيقة أن أي معيارين على فضاء محدود الأبعاد متكافئان ، نجد $${\displaystyle \|f(x)\|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\right)M\leq CM\|x\|.}$$ هكذا،${\displaystyle f}$هي مؤثر خطي محدود ، وبالتالي فهي متصلة. في الواقع، لإثبات ذلك، لاحظ ببساطة أن f خطية، وبالتالي${\displaystyle \|f(x)-f(x')\|=\|f(xx')\|\leq K\|xx'\|}$لبعض الثوابت الكونية K. وبالتالي لأي${\displaystyle \epsilon >0,}$ بإمكاننا الاختيار${\displaystyle \delta \leq \epsilon /K}$لهذا السبب.${\displaystyle f(B(x,\delta ))\subseteq B(f(x),\epsilon )}$(${\displaystyle B(x,\delta )}$و ${\displaystyle B(f(x),\epsilon )}$هل الكرات المعيارية موجودة في جميع أنحاء${\displaystyle x}$و${\displaystyle f(x)}$)، مما يمنح الاستمرارية.

إذا كان الفضاء X لانهائي الأبعاد، فسيفشل هذا البرهان لعدم وجود ضمان لوجود القيمة العليا M. إذا كان Y هو الفضاء الصفري {0}، فإن التطبيق الوحيد بين X و Y هو التطبيق الصفري الذي يكون متصلاً بشكل بديهي. في جميع الحالات الأخرى، عندما يكون X لانهائي الأبعاد و Y ليس الفضاء الصفري، يمكن إيجاد تطبيق غير متصل من X إلى Y.

يسهل إنشاء أمثلة على الخرائط الخطية غير المتصلة في الفضاءات غير الكاملة؛ على أي متتالية كوشي${\displaystyle e_{i}}$بالنسبة للمتجهات المستقلة خطيًا والتي ليس لها نهاية، يوجد مؤثر خطي${\displaystyle T}$بحيث تكون الكميات${\displaystyle \|T(e_{i})\|/\|e_{i}\|}$تنمو بلا حدود. بمعنى ما، فإن المؤثرات الخطية ليست متصلة لأن الفضاء يحتوي على "ثقوب".

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المساحة${\displaystyle X}$للدوال الملساء ذات القيم الحقيقية على الفترة [0، 1] ذات المعيار المنتظم ، أي $${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|.}$$ الدالة المشتقة عند نقطة معينة ، معطاة بواسطة $${\displaystyle T(f)=f'(0)\,}$$ محدد في${\displaystyle X}$وبالنسبة للقيم الحقيقية، تكون الدالة خطية، ولكنها غير متصلة. في الواقع، لننظر إلى المتتالية $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\sin(n^{2}x)}{n}}}$$ ل${\displaystyle n\geq 1}$تتقارب هذه المتتالية بانتظام إلى الدالة الصفرية باستمرار، ولكن $${\displaystyle T(f_{n})={\frac {n^{2}\cos(n^{2}\cdot 0)}{n}}=n\to ​​\infty }$$

مثل${\displaystyle n\to \infty }$بدلاً من${\displaystyle T(f_{n})\to T(0)=0}$كما هو الحال بالنسبة للخريطة المتصلة. لاحظ أن${\displaystyle T}$هي دالة حقيقية القيمة، وبالتالي فهي في الواقع دالة خطية على${\displaystyle X}$(عنصر من عناصر الفضاء الجبري الثنائي)${\displaystyle X^{*}}$). الخريطة الخطية${\displaystyle X\to X}$والتي تُسند لكل دالة مشتقتها، وهي بدورها غير متصلة. لاحظ أنه على الرغم من أن عامل الاشتقاق غير متصل، إلا أنه مغلق .

إن حقيقة أن المجال غير مكتمل هنا أمر مهم: فالمؤثرات غير المتصلة على الفضاءات الكاملة تتطلب المزيد من العمل.

يُعرف الأساس الجبري للأعداد الحقيقية كفضاء متجهي فوق الأعداد النسبية باسم أساس هامل (لاحظ أن بعض المؤلفين يستخدمون هذا المصطلح بمعنى أوسع ليعني أساسًا جبريًا لأي فضاء متجهي). لاحظ أن أي عددين غير متناسبين ، مثلاً 1 و${\displaystyle \pi }$تكون هذه المتغيرات مستقلة خطيًا. يمكن إيجاد أساس هامل يحتوي عليها، وتعريف دالة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$لهذا السبب.${\displaystyle f(\pi )=0,}$يمثل f عنصر الهوية في بقية أساس هاميل، ويمتد ليشمل كل${\displaystyle \mathbb {R} }$بحسب خاصية الخطية. ليكن { r _n } _n أي متتالية من الأعداد النسبية التي تتقارب إلى${\displaystyle \pi }$إذن، lim _n f ( r _n ) = π، ولكن${\displaystyle f(\pi )=0.}$ بحسب التعريف، فإن f خطية على${\displaystyle \mathbb {Q} }$(ليس أكثر)${\displaystyle \mathbb {R} }$)، لكنها ليست متصلة. لاحظ أن f غير قابلة للقياس أيضًا ؛ فالدالة الحقيقية الجمعية تكون خطية إذا وفقط إذا كانت قابلة للقياس، لذا لكل دالة من هذا النوع توجد مجموعة فيتالي . يعتمد بناء f على بديهية الاختيار.

يمكن توسيع هذا المثال إلى نظرية عامة حول وجود تطبيقات خطية غير متصلة على أي فضاء معياري لا نهائي الأبعاد (طالما أن المجال المقابل ليس تافهًا).

يمكن إثبات وجود التطبيقات الخطية غير المتصلة بشكل أعم، حتى لو كان الفضاء كاملاً. ليكن X و Y فضاءين معياريين على الحقل K حيث${\displaystyle K=\mathbb {R} }$أو${\displaystyle K=\mathbb {C} .}$لنفترض أن X فضاء لا نهائي الأبعاد وأن Y ليس الفضاء الصفري. سنجد تطبيقًا خطيًا غير متصل f من X إلى K ، مما يستلزم وجود تطبيق خطي غير متصل g من X إلى Y يُعطى بالصيغة التالية:${\displaystyle g(x)=f(x)y_{0}}$أين${\displaystyle y_{0}}$هو متجه غير صفري عشوائي في Y.

إذا كان X لانهائي الأبعاد، فإن إثبات وجود دالة خطية غير متصلة يتطلب بناء دالة f غير محدودة. ولذلك، لنعتبر متتالية ( e _n ) _n (${\displaystyle n\geq 1}$) من المتجهات المستقلة خطيًا في X ، والتي نقوم بتطبيعها. ثم، نُعرّف $${\displaystyle T(e_{n})=n\|e_{n}\|\,}$$ لكل${\displaystyle n=1,2,\ldots }$أكمل هذه المتتالية من المتجهات المستقلة خطيًا إلى أساس فضاء متجهي لـ X بتعريف T بحيث تكون المتجهات الأخرى في الأساس مساوية للصفر. سيمتد T المعرّف بهذه الطريقة بشكل فريد إلى دالة خطية على X ، وبما أنه من الواضح أنه غير محدود، فهو غير متصل.

لاحظ أنه باستخدام حقيقة أنه يمكن إكمال أي مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا إلى أساس، استخدمنا ضمنيًا بديهية الاختيار، والتي لم تكن ضرورية للمثال الملموس في القسم السابق.

كما ذُكر سابقًا، تُستخدم بديهية الاختيار في نظرية الوجود العامة للتطبيقات الخطية غير المتصلة. في الواقع، لا توجد أمثلة عملية لتطبيقات خطية غير متصلة ذات مجال كامل (مثل فضاءات باناخ ). في التحليل كما يمارسه علماء الرياضيات عادةً، تُستخدم بديهية الاختيار دائمًا (فهي بديهية في نظرية مجموعات ZFC )؛ وبالتالي، بالنسبة للمحلل، تقبل جميع فضاءات المتجهات الطوبولوجية اللانهائية الأبعاد تطبيقات خطية غير متصلة.

من جهة أخرى، قدّم روبرت م. سولوفاي في عام 1970 نموذجًا لنظرية المجموعات ، حيث تكون كل مجموعة من الأعداد الحقيقية قابلة للقياس. ^{[ 1 ]} وهذا يعني عدم وجود دوال خطية حقيقية غير متصلة. ومن الواضح أن شرط AC لا ينطبق على هذا النموذج.

تُظهر نتيجة سولوفاي أنه ليس من الضروري افتراض أن جميع الفضاءات المتجهة اللانهائية الأبعاد تقبل تطبيقات خطية غير متصلة، وأن هناك مدارس تحليلية تتبنى وجهة نظر بنائية . على سبيل المثال، قاد البحث عن ما يُسمى بـ"فضاءات الأحلام" (الفضاءات المتجهة الطوبولوجية التي يكون فيها كل تطبيق خطي إلى فضاء معياري متصلًا) هـ. ج. غارنير إلى تبني ZF + DC + BP (حيث يُعد الاختيار التابع شكلًا مُضعفًا، وخاصية باير نفيًا للاختيار التابع القوي) كمسلمات لإثبات نظرية غارنير-رايت للرسم البياني المغلق ، والتي تنص، من بين أمور أخرى، على أن أي تطبيق خطي من فضاء F إلى فضاء متجهي طوبولوجي يكون متصلًا. وبالانتقال إلى أقصى حدود البنائية ، نجد نظرية سيتين ، التي تنص على أن كل دالة متصلة (يُفهم هذا في سياق مصطلحات البنائية، التي تُعتبر بموجبها الدوال القابلة للتمثيل فقط دوالًا). ^{[ 2 ]} ولا يتبنى هذه المواقف سوى أقلية ضئيلة من علماء الرياضيات العاملين.

خلاصة القول أن وجود التطبيقات الخطية غير المتصلة يعتمد على شرط التكامل (AC)؛ ويتوافق مع نظرية المجموعات بدون شرط التكامل أنه لا توجد تطبيقات خطية غير متصلة على الفضاءات الكاملة. وعلى وجه الخصوص، لا يمكن لأي بناء ملموس، مثل المشتقة، أن ينجح في تعريف تطبيق خطي غير متصل في أي مكان على فضاء كامل.

العديد من المؤثرات الخطية غير المتصلة التي تظهر بشكل طبيعي هي مؤثرات مغلقة ، وهي فئة من المؤثرات تشترك في بعض خصائص المؤثرات المتصلة. من المنطقي التساؤل عن المؤثرات الخطية المغلقة على فضاء معين. تنص نظرية الرسم البياني المغلق على أن المؤثر المغلق المعرف في كل مكان على مجال كامل يكون متصلاً، لذا للحصول على مؤثر مغلق غير متصل، يجب السماح بوجود مؤثرات غير معرفة في كل مكان.

لنكن أكثر تحديداً، دعونا${\displaystyle T}$كن خريطة من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$مع النطاق${\displaystyle \operatorname {Dom} (T),}$مكتوب${\displaystyle T:\operatorname {Dom} (T)\subseteq X\to Y.}$لن نخسر الكثير إذا استبدلنا X بإغلاق${\displaystyle \operatorname {Dom} (T).}$أي أنه عند دراسة المؤثرات التي لا يتم تعريفها في كل مكان، يمكن للمرء أن يقصر اهتمامه على المؤثرات المعرفة بكثافة دون فقدان العمومية.

إذا كان الرسم البياني${\displaystyle \Gamma (T)}$ل${\displaystyle T}$مغلق في${\displaystyle X\times Y,}$نُطلق على T اسم "مغلقة" . وإلا، فضع في اعتبارك إغلاقها.${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$في${\displaystyle X\times Y.}$ لو${\displaystyle {\overline {\Gamma (T)}}}$هو نفسه رسم بياني لبعض المؤثرات${\displaystyle {\overline {T}},}$${\displaystyle T}$يُطلق عليه اسم قابل للإغلاق ، و${\displaystyle {\overline {T}}}$يُطلق عليه إغلاق${\displaystyle T.}$

لذا، فإن السؤال الطبيعي الذي يتبادر إلى الذهن بشأن المؤثرات الخطية غير المعرفة في كل مكان هو ما إذا كانت قابلة للإغلاق. والإجابة هي: "ليس بالضرورة"؛ في الواقع، كل فضاء معياري لانهائي الأبعاد يقبل مؤثرات خطية غير قابلة للإغلاق. وكما هو الحال مع المؤثرات غير المتصلة التي تم تناولها سابقًا، يتطلب البرهان بديهية الاختيار، وبالتالي فهو غير بنائي بشكل عام، مع ذلك، إذا لم يكن X كاملًا، فهناك أمثلة قابلة للبناء.

في الواقع، يوجد مثال على مؤثر خطي يكون رسمه البياني مغلقًا بالكامل .${\displaystyle X\times Y.}$ لا يمكن إغلاق مثل هذا المؤثر. ليكن X فضاء الدوال متعددة الحدود من [0,1] إلى${\displaystyle \mathbb {R} }$و Y فضاء الدوال متعددة الحدود من [2،3] إلى${\displaystyle \mathbb {R} }$هما فضاءان جزئيان من C ([0,1]) و C ([2,3]) على التوالي، وبالتالي فهما فضاءان معياريان. عرّف مؤثرًا T ينقل الدالة متعددة الحدود x ↦ p ( x ) على [0,1] إلى الدالة نفسها على [2,3]. وكنتيجة لنظرية ستون-فايرشتراس ، فإن الرسم البياني لهذا المؤثر كثيف في${\displaystyle X\times Y,}$لذا، يُقدّم هذا نوعًا من الدوال الخطية غير المتصلة إلى أقصى حد (انظر الدالة غير المتصلة في أي مكان ). لاحظ أن X ليست كاملة هنا، كما هو الحال حتمًا عندما توجد دالة قابلة للإنشاء كهذه.

الفضاء الثنائي لفضاء متجهي طوبولوجي هو مجموعة التطبيقات الخطية المتصلة من هذا الفضاء إلى الحقل الأساسي. وبالتالي، فإن عدم اتصال بعض التطبيقات الخطية في الفضاءات المعيارية اللانهائية الأبعاد يستلزم التمييز بين الفضاء الثنائي الجبري والفضاء الثنائي المتصل، الذي يمثل مجموعة جزئية فعلية. وهذا يوضح ضرورة توخي مزيد من الحذر عند تحليل الفضاءات اللانهائية الأبعاد مقارنةً بالفضاءات المحدودة الأبعاد.

يمكن تعميم الحجة القائلة بوجود تطبيقات خطية غير متصلة على الفضاءات المعيارية لتشمل جميع الفضاءات المتجهة الطوبولوجية القابلة للقياس، وخاصةً جميع فضاءات فريشيه، ولكن توجد فضاءات متجهة طوبولوجية محدبة محليًا لا نهائية الأبعاد بحيث تكون كل دالة متصلة. ^{[ 3 ]} من ناحية أخرى، تضمن نظرية هان-باناخ ، التي تنطبق على جميع الفضاءات المحدبة محليًا، وجود العديد من الدوال الخطية المتصلة، وبالتالي فضاء ثنائي كبير. في الواقع، يرتبط مقياس مينكوفسكي بكل مجموعة محدبة بدالة خطية متصلة . والنتيجة هي أن الفضاءات ذات المجموعات المحدبة الأقل تحتوي على عدد أقل من الدوال، وفي أسوأ الأحوال، قد لا يحتوي الفضاء على أي دوال على الإطلاق باستثناء الدالة الصفرية. هذا هو الحال بالنسبة لـ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ,dx)}$مساحات مع${\displaystyle 0<p<1,}$ومن ثمّ يتبين أن هذه الفضاءات غير محدبة. لاحظ أن هذا يشير إلى مقياس ليبيغ على خط الأعداد الحقيقية. وهناك مقاييس أخرى.${\displaystyle L^{p}}$مساحات مع${\displaystyle 0<p<1}$والتي تحتوي على فضاءات ثنائية غير تافهة.

ومن الأمثلة الأخرى على ذلك فضاء الدوال القابلة للقياس ذات القيم الحقيقية على الفترة [0, 1]، حيث يُعطى شبه المعيار بواسطة$${\displaystyle \|f\|=\int _{I}{\frac {|f(x)|}{1+|f(x)|}}dx.}$$ هذا الفضاء غير المحدب محلياً له فضاء ثنائي تافه.

يمكن للمرء أن ينظر في فضاءات أكثر عمومية. على سبيل المثال، يمكن أيضاً إثبات وجود تماثل بين مجموعات مترية قابلة للفصل تماماً بطريقة غير بنائية.

• أفضل طوبولوجيا محدبة محليًا – فضاء ذو ​​طوبولوجيا مُولَّدة بواسطة مجموعات محدبة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• الدالة شبه الخطية - نوع من الدوال في الجبر الخطي 

• كونستانتين كوستارا، دوميترو بوبا، تمارين في التحليل الوظيفي ، سبرينغر، 2003. ISBN 1-4020-1560-7.
• شيشتر، إريك ، دليل التحليل وأسسه ، دار النشر الأكاديمية، 1997. ISBN 0-12-622760-8.