نظرية الموجات الهوائية

تنتشر الموجات في الاتجاه الأفقي، بإحداثي x ، ويحدها من الأعلى سطح حر عند z = η ( x , t ) ، حيث z هو الإحداثي الرأسي (موجب في الاتجاه الصاعد) و t هو الزمن. ^{[ 7 ]} يتوافق المستوى z = 0 مع متوسط ​​ارتفاع السطح. يقع قاع غير منفذ أسفل طبقة السائل عند z = −h . علاوة على ذلك، يُفترض أن التدفق غير قابل للانضغاط وغير دوراني - وهو تقريب جيد للتدفق داخل السائل بالنسبة للموجات على سطح سائل - ويمكن استخدام نظرية الجهد لوصف التدفق. يرتبط جهد السرعة Φ( x , z , t ) بمركبتي سرعة التدفق uₓ _و uₓ في الاتجاهين الأفقي ( x ) والرأسي ( z ) بالعلاقة التالية _:

${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad u_{z}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}.}$

ثم، وبسبب معادلة الاستمرارية للتدفق غير القابل للانضغاط، يجب أن يحقق الجهد Φ معادلة لابلاس :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}=0.}$$

1

يلزم تحديد شروط حدودية عند قاع المجرى وسطحه الحر لإغلاق نظام المعادلات. ولصياغتها ضمن إطار النظرية الخطية، من الضروري تحديد الحالة الأساسية (أو الحل من الرتبة الصفرية ) للجريان. نفترض هنا أن الحالة الأساسية هي السكون، مما يعني أن متوسط ​​سرعات الجريان يساوي صفرًا.

يؤدي كون قاع النهر غير منفذ للماء إلى شرط حدودي حركي لقاع النهر:

$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0\quad {\text{ at }}z=-h.}$$

2

في حالة المياه العميقة - والتي تعني عمق المياه اللانهائي من وجهة نظر رياضية - يجب أن تؤول سرعات التدفق إلى الصفر في النهاية عندما يؤول الإحداثي الرأسي إلى سالب ما لا نهاية: z → −∞ .

عند السطح الحر، بالنسبة للأمواج المتناهية الصغر ، يجب أن تتساوى الحركة الرأسية للتدفق مع السرعة الرأسية للسطح الحر. وهذا يؤدي إلى شرط الحدود الحركي للسطح الحر التالي:

$${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\quad {\text{ at }}z=\eta (x,t).}$$

3

لو كانت قيمة ارتفاع السطح الحر η ( x , t ) دالة معلومة، لكفى ذلك لحل مسألة التدفق. إلا أن ارتفاع السطح يُعدّ مجهولًا إضافيًا، ما يستلزم شرطًا حدوديًا إضافيًا. ويُوفّر هذا الشرط معادلة برنولي للتدفق الكامن غير المستقر. يُفترض أن الضغط فوق السطح الحر ثابت. ويُعتبر هذا الضغط الثابت مساويًا للصفر، دون فقدان للعمومية، لأن مستوى هذا الضغط الثابت لا يُغيّر التدفق. بعد التخطيط الخطي، نحصل على الشرط الحدودي الديناميكي للسطح الحر:

$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+g\eta =0\quad {\text{ at }}z=\eta (x,t).}$$

4

لأن هذه نظرية خطية، في كل من شروط الحدود ذات السطح الحر - الحركية والديناميكية، المعادلات ( 3 ) و( 4 ) - يتم استخدام قيمة Φ و ∂Φ / ∂ z عند مستوى المتوسط ​​الثابت z = 0 .

بالنسبة لموجة منتشرة ذات تردد واحد - موجة أحادية اللون - يكون ارتفاع السطح على الشكل التالي: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \eta =a\cos(kx-\omega t).}$

إن جهد السرعة المرتبط، الذي يحقق معادلة لابلاس (1) في باطن السائل، بالإضافة إلى شروط الحدود الحركية عند السطح الحر (2) والقاع (3)، هو:

${\displaystyle \Phi ={\frac {\omega }{k}}a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}}\sin(kx-\omega t),}$

حيث يمثل sinh و cosh دالتي الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي على التوالي. ولكن يجب أن تحقق η و Φ أيضًا شرط الحدود الديناميكي، مما ينتج عنه قيم غير تافهة (غير صفرية) لسعة الموجة a فقط إذا تحققت علاقة التشتت الخطي.

${\displaystyle \omega ^{2}=gk\tanh kh,}$

حيث tanh هي دالة الظل الزائدي . لذا ، لا يمكن اختيار التردد الزاوي ω والعدد الموجي k - أو ما يعادلهما الدورة T والطول الموجي λ - بشكل مستقل، بل هما مرتبطان. هذا يعني أن انتشار الموجة على سطح سائل هو مسألة ذاتية . عندما يحقق ω و k علاقة التشتت، يمكن اختيار سعة الموجة a بحرية (ولكن صغيرة بما يكفي لتكون نظرية موجات آيري تقريبًا صالحًا).

يُبيّن الجدول أدناه عدة كميات ومعاملات تدفق وفقًا لنظرية موجات آيري. ^{[ 7 ]} تُشير الكميات المُعطاة إلى حالة أكثر عمومية من الحل المذكور أعلاه. أولًا، قد تنتشر الموجات في أي اتجاه أفقي في المستوى x = ( x , y ) . متجه العدد الموجي هو k ، وهو عمودي على قمم الموجات . ثانيًا، يُؤخذ في الاعتبار متوسط ​​سرعة التدفق U ، في الاتجاه الأفقي، وهو منتظم على العمق z (مستقل عنه) . يُؤدي هذا إلى إزاحة دوبلر في علاقات التشتت. عند موقع ثابت بالنسبة للأرض، يكون التردد الزاوي المُلاحظ (أو التردد الزاوي المطلق ) هو ω . من ناحية أخرى، في إطار مرجعي يتحرك بسرعة متوسطة U (وبالتالي فإن متوسط ​​السرعة كما يُلاحظ من هذا الإطار المرجعي يساوي صفرًا)، يكون التردد الزاوي مختلفًا. يُطلق عليه التردد الزاوي الذاتي (أو التردد الزاوي النسبي )، ويُرمز له بـ σ . لذا، في حركة الموجة النقية، عندما تكون U = 0 ، يتساوى الترددان ω و σ . ويكون العدد الموجي k (والطول الموجي λ ) مستقلين عن الإطار المرجعي ، ولا يخضعان لانزياح دوبلر (للموجات أحادية اللون).

_{لا يُظهر الجدول سوى الأجزاء التذبذبية لكميات التدفق - السرعات ، وانحرافات الجسيمات ،} والضغط - وليس متوسطها أو انحرافها. تمثل انحرافات الجسيمات التذبذبية _ξx و ξz التكاملات الزمنية لسرعات التدفق التذبذبية ux و uz _على التوالي.

يُصنف عمق المياه إلى ثلاثة أنظمة: ^{[ 8 ]}

• المياه العميقة - بالنسبة لعمق المياه الأكبر من نصف الطول الموجي ، h > 1 / 2 λ ، فإن سرعة طور الموجات لا تتأثر بالعمق تقريبًا (هذا هو الحال بالنسبة لمعظم موجات الرياح على سطح البحر والمحيط)، ^{[ 9 ]}
• في المياه الضحلة - عندما يكون عمق الماء أقل من 5% من الطول الموجي، h < 1 / 20λ ، فإن سرعة طور الموجات تعتمد فقط على عمق الماء، ولم تعد دالة للدورة أو الطول الموجي؛ ^{[ 10 ]} و
• العمق المتوسط ​​- جميع الحالات الأخرى، 1 / ​​20 λ < h < 1 / 2 λ ، حيث يكون لكل من عمق الماء والفترة (أو الطول الموجي) تأثير كبير على حل نظرية موجة آيري.

في الحالات الحدية للمياه العميقة والضحلة، يمكن إجراء تقريبات مبسطة للحل. أما بالنسبة للأعماق المتوسطة، فيجب استخدام الصيغ الكاملة.

خصائص موجات الجاذبية على سطح المياه العميقة والمياه الضحلة وعلى عمق متوسط، وفقًا لنظرية موجات آيري [ 7 ]
كمية	رمز	وحدات	المياه العميقة ( h > 1/2 λ )​​​	المياه الضحلة ( h < 1 / 20λ )​​	عمق متوسط ​​(جميع قيم λ و h )
ارتفاع السطح	${\displaystyle \eta (\mathbf {x} ,t)}$	م	${\displaystyle a\cos \theta (\mathbf {x} ,t)}$
طور الموجة	${\displaystyle \theta (\mathbf {x} ,t)}$	راد	${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t}$
التردد الزاوي المرصود	${\displaystyle \omega }$	راد· ثانية −1	${\displaystyle \left(\omega -\mathbf {k} \cdot \mathbf {U} \right)^{2}={\bigl (}\Omega (k){\bigr )}^{2}\quad {\text{ with }}\quad k=|\mathbf {k} |}$
التردد الزاوي الذاتي	${\displaystyle \sigma }$	راد· ثانية −1	${\displaystyle \quad \sigma ^{2}={\bigl (}\Omega (k){\bigr )}^{2}\quad {\text{ with }}\quad \sigma =\omega -\mathbf {k} \cdot \mathbf {U} }$
متجه الوحدة في اتجاه انتشار الموجة	${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$	–	${\displaystyle {\frac {\mathbf {k} }{k}}}$
علاقة التشتت	${\displaystyle \Omega (k)}$	راد· ثانية −1	${\displaystyle \Omega (k)={\sqrt {gk}}}$	${\displaystyle \Omega (k)=k{\sqrt {gh}}}$	${\displaystyle \Omega (k)={\sqrt {gk\tanh kh}}}$
سرعة المرحلة	${\displaystyle c_{p}={\frac {\Omega (k)}{k}}}$	م/ث −1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {g}{k}}}={\frac {g}{\sigma }}}$	${\displaystyle {\sqrt {gh}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {g}{k}}\tanh kh}}}$
مجموعة	${\displaystyle c_{g}={\frac {\partial \Omega }{\partial k}}}$	م/ث −1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {g}{k}}}={\tfrac {1}{2}}{\frac {g}{\sigma }}}$	${\displaystyle {\sqrt {gh}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c_{p}\left(1+kh{\frac {1-\tanh ^{2}kh}{\tanh kh}}\right)}$
نسبة	${\displaystyle {\frac {c_{g}}{c_{p}}}}$	–	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(1+kh{\frac {1-\tanh ^{2}kh}{\tanh kh}}\right)}$
السرعة الأفقية	${\displaystyle \mathbf {u} _{x}(\mathbf {x} ,z,t)}$	م/ث −1	${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\sigma a\,e^{kz}\cos \theta }$	${\displaystyle \mathbf {e} _{k}{\sqrt {\frac {g}{h}}}a\cos \theta }$	${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\sigma a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}}\cos \theta }$
السرعة الرأسية	${\displaystyle u_{z}(\mathbf {x} ,z,t)}$	م/ث −1	${\displaystyle \sigma a\,e^{kz}\sin \theta }$	${\displaystyle \sigma a{\frac {z+h}{h}}\sin \theta }$	${\displaystyle \sigma a{\frac {\sinh k(z+h)}{\sinh kh}}\sin \theta }$
انحراف الجسيمات الأفقي	${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{x}(\mathbf {x} ,z,t)}$	م	${\displaystyle -\mathbf {e} _{k}a\,e^{kz}\sin \theta }$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{k}{\frac {1}{kh}}a\sin \theta }$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{k}a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}}\sin \theta }$
انحراف الجسيمات عموديًا	${\displaystyle \xi _{z}(\mathbf {x} ,z,t)}$	م	${\displaystyle a\,e^{kz}\cos \theta }$	${\displaystyle a{\frac {z+h}{h}}\cos \theta }$	${\displaystyle a{\frac {\sinh k(z+h)}{\sinh kh}}\cos \theta }$
تذبذب الضغط	${\displaystyle p(\mathbf {x} ,z,t)}$	نيوتن · متر −2	${\displaystyle \rho ga\,e^{kz}\cos \theta }$	${\displaystyle \rho ga\cos \theta }$	${\displaystyle \rho ga{\frac {\cosh k(z+h)}{\cosh kh}}\cos \theta }$

لنفترض وجود سائلين منفصلين بسطح فاصل، وبدون حدود أخرى. عندئذٍ، تُعطى علاقة التشتت بينهما ω ² = Ω ² ( k ) من خلال ^{[ 11 ] [ 14 ] [ 15 ]}

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\gamma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),}$

حيث تمثل ρ و ρ ′ كثافتي السائلين، أسفل ( ρ ) وأعلى ( ρ ′ ) السطح الفاصل، على التوالي. كما يمثل γ التوتر السطحي على السطح الفاصل.

لكي توجد موجات بينية، يجب أن تكون الطبقة السفلية أثقل من الطبقة العلوية، ρ > ρ ′ . وإلا، فإن السطح البيني يكون غير مستقر وتتطور حالة عدم استقرار رايلي-تايلور .

بالنسبة لطبقتين متجانستين من السوائل، بمتوسط ​​سمك h أسفل السطح البيني و h ′ أعلاه - تحت تأثير الجاذبية ومحدودة من الأعلى والأسفل بجدران صلبة أفقية - يتم توفير علاقة التشتت ω ² = Ω ² ( k ) لموجات الجاذبية بواسطة: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)={\frac {gk(\rho -\rho ')}{\rho \coth kh+\rho '\coth kh'}},}$

حيث تمثل ρ و ρ ′ الكثافة أسفل وفوق السطح الفاصل، بينما تمثل coth دالة الظل الزائدي . في حالة كون ρ ′ تساوي صفرًا، يؤول هذا إلى علاقة التشتت لموجات الجاذبية السطحية على سطح الماء ذي العمق المحدود h .

في هذه الحالة، تسمح علاقة التشتت بنمطين: نمط باروتروبي حيث تكون سعة الموجة السطحية كبيرة مقارنةً بسعة الموجة البينية، ونمط باروكليني حيث يكون العكس صحيحًا - تكون الموجة البينية أعلى من الموجة السطحية وفي طور معاكس لها . وتكون علاقة التشتت في هذه الحالة أكثر تعقيدًا. ^{[ 17 ]}

يُبيّن الجدول أدناه خصائص الموجات من الرتبة الثانية، بالإضافة إلى المعادلات الديناميكية التي تُحققها في حالة الظروف المتغيرة ببطء في المكان والزمان. ويمكن الاطلاع على مزيد من التفاصيل حول هذه الخصائص لاحقًا. يُقدّم الجدول نتائج انتشار الموجات في بُعد مكاني أفقي واحد. وفيما يلي، يُقدّم وصفٌ أكثر تفصيلًا ونتائج للحالة العامة للانتشار في فضاء أفقي ثنائي الأبعاد.

الكميات من الرتبة الثانية وديناميكياتها، باستخدام نتائج نظرية موجات آيري
كمية	رمز	وحدات	صيغة
متوسط ​​كثافة طاقة الأمواج لكل وحدة مساحة أفقية	${\displaystyle E}$	J ·m −2	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}\rho ga^{2}}$
الإجهاد الإشعاعي أو التدفق الزائد للزخم الأفقي الناتج عن حركة الموجة	${\displaystyle S_{xx}}$	نيوتن متر −1	${\displaystyle S_{xx}=\left(2{\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\tfrac {1}{2}}\right)E}$
حركة الأمواج	${\displaystyle {\mathcal {A}}}$	J·s·m −2	${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {E}{\sigma }}={\frac {E}{\omega -kU}}}$
متوسط ​​تدفق الكتلة الناتج عن حركة الموجة أو الزخم الزائف للموجة	${\displaystyle M}$	كجم·م −1 ·ث −1	${\displaystyle M={\frac {E}{c_{p}}}=k{\frac {E}{\sigma }}}$
متوسط ​​سرعة نقل الكتلة الأفقية	${\displaystyle {\tilde {U}}}$	م/ث −1	${\displaystyle {\tilde {U}}=U+{\frac {M}{\rho h}}=U+{\frac {E}{\rho hc_{p}}}}$
انجراف ستوكس	${\displaystyle {\bar {u}}_{S}}$	م/ث −1	${\displaystyle {\bar {u}}_{S}={\tfrac {1}{2}}\sigma ka^{2}{\frac {\cosh 2k(z+h)}{\sinh ^{2}kh}}}$
انتشار طاقة الموجة		J·m −2 ·s −1	${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigl (}(U+c_{g})E{\bigr )}+S_{xx}{\frac {\partial U}{\partial x}}=0}$
قانون حفظ حركة الأمواج		J·m −2	${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {A}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigl (}(U+c_{g}){\mathcal {A}}{\bigr )}=0}$
حماية قمم الأمواج		rad·m −1 ·s −1	${\displaystyle {\frac {\partial k}{\partial t}}+{\frac {\partial \omega }{\partial x}}=0\quad {\text{with}}\quad \omega =\Omega (k)+kU}$
حفظ الكتلة المتوسطة		كجم·م −2 ·ث −1	${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho h)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho h{\tilde {U}}\right)=0}$
تطور الزخم الأفقي المتوسط		نيوتن متر −2	${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho h{\tilde {U}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho h{\tilde {U}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\rho gh^{2}+S_{xx}\right)=\rho gh{\frac {\partial d}{\partial x}}}$

تصف المعادلات الأربع الأخيرة تطور موجات بطيئة التغير فوق تضاريس قاع البحر بتفاعلها مع التدفق المتوسط ، ويمكن اشتقاقها من مبدأ حساب التفاضل والتكامل: طريقة لاغرانج المتوسطة لويثام . ^{[ 19 ]} في معادلة الزخم الأفقي المتوسط، يمثل d ( x ) عمق الماء الساكن، أي أن قاع البحر أسفل طبقة السائل يقع عند z = −d . تجدر الإشارة إلى أن سرعة التدفق المتوسط ​​في معادلات الكتلة والزخم هي سرعة نقل الكتلة Ũ ، بما في ذلك تأثيرات منطقة تناثر الأمواج على نقل الكتلة الأفقي، وليست سرعة أويلر المتوسطة (على سبيل المثال، كما تُقاس بمقياس تدفق ثابت).

تُعدّ طاقة الأمواج كميةً ذات أهمية بالغة، كونها الكمية الأساسية التي تنتقل مع موجات الأمواج. ^{[ 20 ]} وكما هو موضح أعلاه، فإن العديد من كميات الأمواج، مثل ارتفاع سطح الماء وسرعة الدوران، تتسم بطبيعتها التذبذبية بمتوسط ​​صفري (ضمن إطار النظرية الخطية). في أمواج الماء، يُعدّ متوسط ​​كثافة طاقة الموجة لكل وحدة مساحة أفقية المقياس الأكثر استخدامًا للطاقة. وهو مجموع كثافة الطاقة الحركية وكثافة الطاقة الكامنة ، مُكاملًا على عمق طبقة السائل ومُحسَبًا على طور الموجة. أما أبسطها اشتقاقًا فهو متوسط ​​كثافة الطاقة الكامنة لكل وحدة مساحة أفقية ( E _{_pot)} لأمواج الجاذبية السطحية، وهو انحراف الطاقة الكامنة الناتج عن وجود الأمواج: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{pot}}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho gz\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho gz\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\overline {{\tfrac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}}}={\tfrac {1}{4}}\rho ga^{2}.\end{aligned}}}$

يشير الخط العلوي إلى القيمة المتوسطة (والتي في الحالة الحالية للموجات الدورية يمكن اعتبارها إما متوسطًا زمنيًا أو متوسطًا على طول موجة واحدة في الفضاء).

وبالمثل، تم العثور على متوسط ​​كثافة الطاقة الحركية لكل وحدة مساحة أفقية E _kin لحركة الموجة على النحو التالي: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{kin}}&={\overline {\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left[\left|\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right|^{2}+u_{z}^{2}\right]\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left|\mathbf {U} \right|^{2}\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\tfrac {1}{4}}\rho {\frac {\sigma ^{2}}{k\tanh kh}}a^{2},\end{aligned}}}$

مع اعتبار σ التردد الذاتي، انظر جدول كميات الموجة . باستخدام علاقة التشتت، تكون النتيجة لموجات الجاذبية السطحية كما يلي:

${\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{4}}\rho ga^{2}.}$

كما هو واضح، فإن متوسط ​​كثافة الطاقة الحركية ومتوسط ​​كثافة الطاقة الكامنة متساويان. هذه خاصية عامة لكثافات الطاقة للأمواج الخطية التقدمية في نظام محافظ . ^{[ 22 ] [ 23 ]} وبجمع مساهمات الطاقة الكامنة والحركية، E _{_pot} و E _{_kin} ، فإن متوسط ​​كثافة الطاقة لكل وحدة مساحة أفقية E لحركة الموجة هو:

${\displaystyle E=E_{\text{pot}}+E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\rho ga^{2}.}$

في حالة عدم إمكانية إهمال تأثيرات التوتر السطحي، فإن مساهمتها تضيف أيضًا إلى كثافات الطاقة الكامنة والحركية، مما يعطي ^{[ 22 ]}

${\displaystyle E_{\text{pot}}=E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{4}}\left(\rho g+\gamma k^{2}\right)a^{2},}$

لذا

${\displaystyle E=E_{\text{pot}}+E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\left(\rho g+\gamma k^{2}\right)a^{2},}$

حيث γ هو التوتر السطحي .

بشكل عام، يمكن أن يحدث انتقال للطاقة بين حركة الموجة وحركة المائع المتوسطة. هذا يعني أن كثافة طاقة الموجة ليست في جميع الحالات كمية محفوظة (مع إهمال التأثيرات التبددية )، ولكن كثافة الطاقة الكلية - مجموع كثافة الطاقة لكل وحدة مساحة لحركة الموجة وحركة التدفق المتوسط ​​- تبقى كذلك. ومع ذلك، بالنسبة لسلاسل الموجات بطيئة التغير، المنتشرة في حقول قاع البحر وتدفق متوسط ​​بطيئة التغير، توجد كمية موجية مماثلة ومحفوظة، وهي فعل الموجة A = E / σ : ^{[ 19 ] [ 24 ] [ 25 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {A}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right){\mathcal {A}}\right]=0,}$

حيث ( U + cg ₎ A هو تدفق الفعل ، و cg = _cgek هو _متجه سرعة المجموعة . يشكل قانون حفظ الفعل أساسًا للعديد من نماذج أمواج الرياح ونماذج اضطراب الأمواج . ^{[ 26 ]} كما أنه أساس نماذج الهندسة الساحلية _لحساب ضحالة الأمواج . ^{[ 27 ]} يؤدي توسيع معادلة حفظ فعل الموجة المذكورة أعلاه إلى معادلة التطور التالية لكثافة طاقة الموجة: ^{[ 28 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right)E\right]+{\boldsymbol {S}}:\left(\nabla \mathbf {U} \right)=0,}$

مع:

• ( U + cg ₎ E هو متوسط ​​تدفق كثافة طاقة الموجة ،
• S هو موتر الإجهاد الإشعاعي و
• ∇ U هو موتر معدل القص متوسط ​​السرعة .

في هذه المعادلة بصيغتها غير المحافظة، يمثل جداء فروبينيوس الداخلي S  : (∇ U ) حد المصدر الذي يصف تبادل الطاقة بين حركة الموجة والتدفق المتوسط. فقط في حالة كون معدل القص المتوسط ​​صفرًا، ∇ U = 0 ، تكون كثافة طاقة الموجة المتوسطة E محفوظة. يقع الموتران S و ∇ U في نظام إحداثيات ديكارتية على النحو التالي: ^{[ 29 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}&={\begin{pmatrix}S_{xx}&S_{xy}\\S_{yx}&S_{yy}\end{pmatrix}}={\boldsymbol {I}}\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)E+{\frac {1}{k^{2}}}{\begin{pmatrix}k_{x}k_{x}&k_{x}k_{y}\\[2ex]k_{y}k_{x}&k_{y}k_{y}\end{pmatrix}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}E,\\[6px]{\boldsymbol {I}}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\\[6px]\nabla \mathbf {U} &={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial x}}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\partial x}}\\[2ex]\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial y}}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\partial y}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

مع k _x و k _y مكونات متجه العدد الموجي k وبالمثل U _x و U _y مكونات متجه السرعة المتوسطة U.

متوسط ​​الزخم الأفقي لكل وحدة مساحة M الناتج عن حركة الموجة - وكذلك تدفق الكتلة الناتج عن الموجة أو نقل الكتلة - هو: ^{[ 30 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho \left(\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right)\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho \mathbf {U} \,\mathrm {d} z\\[6px]&={\frac {E}{c_{p}}}\mathbf {e} _{k},\end{aligned}}}$

وهي نتيجة دقيقة للأمواج المائية الدورية التقدمية، وتسري أيضًا على الأمواج غير الخطية. ^{[ 31 ]} ومع ذلك، فإن صحتها تعتمد بشدة على كيفية تعريف زخم الموجة وتدفق الكتلة. وقد حدد ستوكس بالفعل تعريفين محتملين لسرعة الطور للأمواج غير الخطية الدورية: ^{[ 6 ]}

• أول تعريف لستوكس لسرعة الموجة (S1) – حيث تكون سرعة التدفق الأويلري المتوسطة مساوية للصفر لجميع الارتفاعات z ' أسفل قيعان الموجة ، و
• تعريف ستوكس الثاني لسرعة الموجة (S2) - مع متوسط ​​نقل الكتلة يساوي صفرًا.

العلاقة المذكورة أعلاه بين زخم الموجة M وكثافة طاقة الموجة E صحيحة في إطار تعريف ستوكس الأول.

مع ذلك، بالنسبة للأمواج العمودية على خط الساحل أو في قناة أمواج مغلقة في المختبر ، يُعد التعريف الثاني (S2) أكثر ملاءمة. إذ تتميز هذه الأنظمة الموجية بانعدام تدفق الكتلة والزخم عند استخدام التعريف الثاني. ^{[ 32 ]} في المقابل، ووفقًا لتعريف ستوكس الأول (S1)، يوجد تدفق كتلة ناتج عن الموجة في اتجاه انتشارها، والذي يجب موازنته بتدفق متوسط ​​U في الاتجاه المعاكس - يُسمى التيار العكسي .

لذا، بشكل عام، هناك بعض التفاصيل الدقيقة التي ينطوي عليها الأمر. ولذلك، يُستخدم مصطلح الزخم الزائف للأمواج بدلاً من زخم الموجة. ^{[ 33 ]}

عند تتبع جسيم واحد في حركة موجية نقية ( U = 0 )، ووفقًا لنظرية موجات آيري الخطية، فإن التقريب الأول يعطي مدارات إهليلجية مغلقة لجزيئات الماء. ^{[ 36 ]} مع ذلك، بالنسبة للموجات غير الخطية، تُظهر الجسيمات انجراف ستوكس، والذي يمكن اشتقاق تعبير من الدرجة الثانية له من نتائج نظرية موجات آيري (انظر الجدول أعلاه حول خصائص الموجة من الدرجة الثانية ). ^{[ 37 ]} يمكن تقدير سرعة انجراف ستوكس ūS _، وهي انجراف الجسيم بعد دورة موجية واحدة مقسومًا على الدورة ، باستخدام نتائج النظرية الخطية: ^{[ 38 ]}

${\displaystyle {\bar {\mathbf {u} }}_{S}={\tfrac {1}{2}}\sigma ka^{2}{\frac {\cosh 2k(z+h)}{\sinh ^{2}kh}}\mathbf {e} _{k},}$

لذا فهي تتغير تبعًا للارتفاع. الصيغة المعطاة هي تعريف ستوكس الأول لسرعة الموجة. عند تكامل ρ ū _S على العمق، يتم استعادة تعبير متوسط ​​زخم الموجة M. ^{[ 38 ]}

• إيري، بريطانيا العظمى (1841). "المد والجزر والأمواج". في هيو جيمس روز وآخرون  (محررون). موسوعة متروبوليتانا . العلوم المختلطة. المجلد  3 (نُشرت 1817-1845).أيضًا: "علم المثلثات، حول شكل الأرض والمد والجزر والأمواج"، 396  صفحة.
• ستوكس، جي جي (1847). "حول نظرية الموجات المتذبذبة". معاملات الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 8 : 441-455 .أُعيد طبعه في: ستوكس، جي جي (1880). أوراق رياضية وفيزيائية، المجلد الأول . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 197-229 . 

• كريك، أ.د.د. (2004). "أصول نظرية موجات الماء". المراجعة السنوية لميكانيكا الموائع . 36 : 1-28 . رمز Bibcode : 2004AnRFM..36....1C . doi : 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118 .
• دين، آر جي؛ دالريمبل، آر إيه (1991). ميكانيكا أمواج الماء للمهندسين والعلماء . سلسلة متقدمة في هندسة المحيطات. المجلد  2. سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-0420-4. OCLC 22907242 . 
• دينغمانز، إم دبليو (1997). انتشار موجات الماء فوق القيعان غير المستوية . سلسلة متقدمة في هندسة المحيطات. المجلد  13. سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-0427-3. OCLC 36126836 . جزآن، 967 صفحة.
• لامب، هـ. (1994). الديناميكا المائية (  الطبعة السادسة). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-45868-9. OCLC 30070401 . نُشرت النسخة الأصلية عام 1879، وظهرت الطبعة السادسة الموسعة لأول مرة عام 1932.
• لاندو، إل دي ؛ ليفشيتز، إي إم (1986). ميكانيكا الموائع . سلسلة محاضرات في الفيزياء النظرية. المجلد  6 (  الطبعة الثانية المنقحة). دار بيرغامون للنشر. ISBN 978-0-08-033932-0. OCLC 15017127 . 
• لايت هيل، إم جيه (1978). الموجات في السوائل . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-29233-7. OCLC 2966533 . 504 صفحة.
• فيليبس، أو إم (1977). ديناميات الطبقة العليا من المحيط (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-29801-8. OCLC 7319931 . 
• ويهاوزن، جيه في ولايتون، إي في (1960)، فلوغه، إس. وتروسديل ، سي. (محرران)، "موجات السطح" ، موسوعة الفيزياء ، 9 ، سبرينغر فيرلاغ: 653-667 ، §27، OCLC 612422741 ، مؤرشف من الأصل في 21-05-2013 ، تم استرجاعه في 05-05-2013