تقريب بوسينق (موجات الماء)

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 43 صور
الموسوعة الحرة
محاكاة الموجات الدورية فوق رصيف ضحل تحت الماء باستخدام نموذج من نوع بوسينسك. تنتشر الموجات فوق رصيف ضحل بيضاوي الشكل تحت الماء على شاطئ مستوٍ. يجمع هذا المثال بين عدة تأثيرات للموجات والمياه الضحلة ، بما في ذلك الانكسار ، والحيود ، والضحالة، واللاخطية الضعيفة .

في ديناميكا الموائع ، يُعد تقريب بوسينسك لأمواج الماء تقريبًا صالحًا للأمواج غير الخطية الضعيفة والطويلة نسبيًا . سُمّي هذا التقريب نسبةً إلى جوزيف بوسينسك ، الذي اشتقّه لأول مرة استجابةً لملاحظة جون سكوت راسل لموجة الانتقال (المعروفة أيضًا بالموجة المنفردة أو السوليتون ). قدّمت ورقة جوزيف فالنتين بوسينسك البحثية عام 1872 المعادلات المعروفة الآن باسم معادلات بوسينسك . [ 1 ]

يأخذ تقريب بوسينسك لأمواج الماء في الحسبان البنية الرأسية لسرعة التدفق الأفقي والرأسي . وينتج عن ذلك معادلات تفاضلية جزئية غير خطية ، تُسمى معادلات من نوع بوسينسك ، والتي تتضمن تشتت التردد (على عكس معادلات المياه الضحلة ، التي لا تتضمن تشتت التردد). في هندسة السواحل ، تُستخدم معادلات من نوع بوسينسك بكثرة في النماذج الحاسوبية لمحاكاة أمواج الماء في البحار الضحلة والموانئ .

في حين أن تقريب بوسينسك ينطبق على الموجات الطويلة إلى حد ما - أي عندما يكون طول الموجة كبيرًا مقارنة بعمق الماء - فإن توسيع ستوكس يكون أكثر ملاءمة للموجات القصيرة (عندما يكون طول الموجة من نفس رتبة عمق الماء، أو أقصر).

تقريب بوسينسك

الموجات الدورية في تقريب بوسينسك، موضحة في مقطع عرضي رأسي في اتجاه انتشار الموجة . لاحظ القيعان المسطحة والقمم الحادة ، نتيجةً لعدم خطية الموجة. تُظهر هذه الحالة (مرسومة بمقياس رسم ) موجةً طولها الموجي 39.1 مترًا ، وارتفاعها 1.8 مترًا ( أي الفرق بين ارتفاع القمة والقاع)، ومتوسط ​​عمق الماء 5 أمتار، بينما يبلغ تسارع الجاذبية 9.81 مترًا/ثانية مربعة .    

تتمثل الفكرة الأساسية في تقريب بوسينسك في حذف الإحداثي الرأسي من معادلات التدفق، مع الإبقاء على بعض تأثيرات البنية الرأسية للتدفق تحت أمواج الماء . وهذا مفيد لأن الأمواج تنتشر في المستوى الأفقي، ولها سلوك مختلف (غير موجي) في الاتجاه الرأسي. وغالبًا، كما في حالة بوسينسك، ينصب الاهتمام بالدرجة الأولى على انتشار الموجة.

قام جوزيف بوسينسك بإلغاء الإحداثي الرأسي لأول مرة عام 1871، وذلك لبناء حل تقريبي للموجة المنفردة (أو موجة الانتقال ). وفي وقت لاحق، عام 1872، اشتق بوسينسك المعادلات المعروفة اليوم باسم معادلات بوسينسك.

خطوات تقريب بوسينسك هي:

بعد ذلك، يتم تطبيق تقريب بوسينسك على معادلات التدفق المتبقية، وذلك للتخلص من الاعتماد على الإحداثي الرأسي. ونتيجة لذلك، تصبح المعادلات التفاضلية الجزئية الناتجة بدلالة الإحداثيات الأفقية (والزمن ) .

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك التدفق المحتمل فوق قاع أفقي في(x،z){\displaystyle (x,z)}طائرة، معx{\displaystyle x}الأفقي وz{\displaystyle z}الإحداثي الرأسي . يقع السرير عندz=-ح{\displaystyle z=-h}، أينح{\displaystyle h}يمثل متوسط ​​عمق الماء. ويتم حساب متسلسلة تايلور لجهد السرعةφ(x،z،ت){\displaystyle \varphi (x,z,t)}حول مستوى السريرz=-ح{\displaystyle z=-h}: [ 2 ]

φ=φب+(z+ح)[∂φ∂z]z=-ح+12(z+ح)2[∂2φ∂z2]z=-ح+16(z+ح)3[∂3φ∂z3]z=-ح+124(z+ح)4[∂4φ∂z4]z=-ح+⋯،// ^ {2}\varphi {\partial z^{2}}}\right]_{z=-h}\,\\&+\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,\left[{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial z^{3}}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,\left[{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial z^{4}}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots ,\end{aligned}}}

أينφب(x،ت){\displaystyle \varphi _{b}(x,t)}يمثل جهد السرعة عند قاع النهر. باستخدام معادلة لابلاس لـφ{\displaystyle \varphi }، كما هو صحيح بالنسبة للتدفق غير القابل للانضغاط ، يعطي:

φ={φب-12(z+ح)2∂2φب∂x2+124(z+ح)4∂4φب∂x4+⋯}+{(z+ح)[∂φ∂z]z=-ح-16(z+ح)3∂2∂x2[∂φ∂z]z=-ح+⋯}={φب-12(z+ح)2∂2φب∂x2+124(z+ح)4∂4φب∂x4+⋯}،{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \,=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\}\,\\&+\,\left\{\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,-\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots \,\right\}\\=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\},\end{aligned}}}

بما أن السرعة الرأسية∂φ/∂z{\displaystyle \partial \varphi /\partial z}يساوي صفرًا عند الطبقة الأفقية غير المنفذة.z=-ح{\displaystyle z=-h}. يمكن اختصار هذه السلسلة لاحقًا إلى عدد محدود من الحدود.

معادلات بوسينسك الأصلية

الاشتقاق

بالنسبة للأمواج المائية على سائل غير قابل للانضغاط والتدفق غير الدوراني في(x،z){\displaystyle (x,z)}المستوى، الشروط الحدية عند ارتفاع السطح الحرz=η(x،ت){\displaystyle z=\eta (x,t)}هي: [ 3 ]

∂η∂ت+u∂η∂x-w=0∂φ∂ت+12(u2+w2)+زη=0،{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,u\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,-\,w\,=\,0\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&+\,{\frac {1}{2}}\,\left(u^{2}+w^{2}\right)\,+\,g\,\eta \,=\,0,\end{aligned}}}

أين:

والآن، تقريب بوسينسك لجهد السرعةφ{\displaystyle \varphi }كما هو موضح أعلاه، يتم تطبيق هذه الشروط الحدية . علاوة على ذلك، في المعادلات الناتجة، لا يتم استخدام سوى الحدود الخطية والتربيعية بالنسبة إلىη{\displaystyle \eta }وuب{\displaystyle u_{b}}يتم الاحتفاظ بها (معuب=∂φب/∂x{\displaystyle u_{b}=\partial \varphi _{b}/\partial x}السرعة الأفقية عند قاع البحرz=-ح{\displaystyle z=-h}يُفترض إهمال الحدود التكعيبية وما فوقها. عندئذٍ ، نحصل على المعادلات التفاضلية الجزئية التالية:

المجموعة أ – بوسينسق (1872)، المعادلة (25)
∂η∂ت+∂∂x[(ح+η)uب]=16ح3∂3uب∂x3،∂uب∂ت+uب∂uب∂x+ز∂η∂x=12ح2∂3uب∂ت∂x2.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,{\frac {\partial }{\partial x}}\,\left[\left(h+\eta \right)\,u_{b}\right]\,=\,{\frac {1}{6}}\,h^{3}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial x^{3}}},\\{\frac {\partial u_{b}}{\partial t}}\,&+\,u_{b}\,{\frac {\partial u_{b}}{\partial x}}\,+\,g\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,=\,{\frac {1}{2}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial t\,\partial x^{2}}}.\end{aligned}}}

تم اشتقاق هذه المجموعة من المعادلات لقاع أفقي مسطح، أي متوسط ​​العمقح{\displaystyle h}ثابت مستقل عن الموضعx{\displaystyle x}عندما يتم ضبط الجانب الأيمن من المعادلات أعلاه على الصفر، فإنها تتحول إلى معادلات المياه الضحلة .

في ظل بعض التقريبات الإضافية، ولكن بنفس مستوى الدقة، يمكن اختزال المجموعة A المذكورة أعلاه إلى معادلة تفاضلية جزئية واحدة لارتفاع السطح الحر .η{\displaystyle \eta }:

المجموعة ب – بوسينسق (1872)، المعادلة (26)
∂2η∂ت2-زح∂2η∂x2-زح∂2∂x2(32η2ح+13ح2∂2η∂x2)=0.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}\,-\,gh\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}\,-\,gh\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left({\frac {3}{2}}\,{\frac {\eta ^{2}}{h}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}\right)\,=\,0.}

من خلال الحدود بين القوسين، يمكن التعبير عن أهمية اللاخطية في المعادلة بدلالة عدد أورسيل . في الكميات غير البعدية ، باستخدام عمق الماءح{\displaystyle h}والتسارع الجاذبيز{\displaystyle g}بالنسبة للتحويل إلى صيغة غير بُعدية، تصبح هذه المعادلة بعد التطبيع كالتالي : [ 4 ]

∂2ψ∂τ2-∂2ψ∂ξ2-∂2∂ξ2(3ψ2+∂2ψ∂ξ2)=0،{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \tau ^{2}}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}\left(\,3\,\psi ^{2}\,+\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}\,\right)\,=\,0,}

مع:

ψ=12ηح{\displaystyle \psi \,=\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {\eta }{h}}}: ارتفاع السطح غير البُعدي،
τ=3تزح{\displaystyle \tau \,=\,{\sqrt {3}}\,t\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}}الزمن غير البُعدي، و
ξ=3xح{\displaystyle \xi \,=\,{\sqrt {3}}\,{\frac {x}{h}}}: الوضع الأفقي غير البُعدي.
مربع سرعة الطور الخطيج2/(زح){\displaystyle c^{2}/(gh)}كدالة للعدد الموجي النسبيكح{\displaystyle kh}أ = بوسينسك (1872)، المعادلة (25)، ب = بوسينسك (1872)، المعادلة (26)، ج = نظرية الموجة الخطية الكاملة، انظر التشتت (موجات الماء)

تشتت التردد الخطي

تنتقل موجات الماء ذات الأطوال الموجية المختلفة بسرعات طورية متباينة ، وهي ظاهرة تُعرف بتشتت التردد . في حالة سعة الموجة المتناهية الصغر ، يُطلق عليها مصطلح تشتت التردد الخطي . يمكن استخدام خصائص تشتت التردد لمعادلة من نوع بوسينسك لتحديد نطاق الأطوال الموجية التي تُعدّ هذه المعادلة تقريبًا صالحًا لها .

خصائص تشتت التردد الخطي لمجموعة المعادلات A المذكورة أعلاه هي: [ 5 ]

ج2=زح1+16ك2ح21+12ك2ح2،{\displaystyle c^{2}\,=\;gh\,{\frac {1\,+\,{\frac {1}{6}}\,k^{2}h^{2}}{1\,+\,{\frac {1}{2}}\,k^{2}h^{2}}},}

مع:

  • ج{\displaystyle c}سرعة الطور ،
  • ك{\displaystyle k}رقم الموجة (ك=2π/λ{\displaystyle k=2\pi /\lambda }، معλ{\displaystyle \lambda }( طول الموجة ).

الخطأ النسبي في سرعة الطورج{\displaystyle c}بالنسبة للمجموعة A ، بالمقارنة مع النظرية الخطية لأمواج الماء ، فإن النسبة أقل من 4% بالنسبة لعدد الموجة النسبيكح<π/2{\displaystyle kh<\pi /2}لذا، في التطبيقات الهندسية ، تكون المجموعة أ صالحة للأطوال الموجيةλ{\displaystyle \lambda }أكبر من أربعة أضعاف عمق الماءح{\displaystyle h}.

خصائص تشتت التردد الخطي للمعادلة B هي: [ 5 ]

ج2=زح(1-13ك2ح2).{\displaystyle c^{2}\,=\,gh\,\left(1\,-\,{\frac {1}{3}}\,k^{2}h^{2}\right).}

الخطأ النسبي في سرعة الطور للمعادلة B أقل من 4% لـكح<2π/7{\displaystyle kh<2\pi /7}، بما يعادل أطوال الموجاتλ{\displaystyle \lambda }أطول من سبعة أضعاف عمق الماءح{\displaystyle h}وتسمى هذه الموجات بالموجات الطويلة نسبياً . [ 6 ]

للموجات القصيرة معك2ح2>3{\displaystyle k^{2}h^{2}>3}تصبح المعادلة B بلا معنى فيزيائي، لأنه لم يعد هناك حلول حقيقية لسرعة الطور . أما المجموعة الأصلية المكونة من معادلتين تفاضليتين جزئيتين (بوسينسك، 1872، المعادلة 25، انظر المجموعة A أعلاه) فلا تعاني من هذا القصور.

تتميز معادلات المياه الضحلة بخطأ نسبي في سرعة الطور أقل من 4% لأطوال الموجات.λ{\displaystyle \lambda }أكثر من 13 ضعف عمق الماءح{\displaystyle h}.

المعادلات والامتدادات من نوع بوسينسك

يوجد عدد هائل من النماذج الرياضية التي يُشار إليها بمعادلات بوسينسك. قد يُؤدي هذا بسهولة إلى التباس، إذ يُشار إليها غالبًا بشكل عام بمعادلات بوسينسك، بينما في الواقع يُنظر إلى أحد أشكالها المختلفة. لذا، من الأنسب تسميتها معادلات من نوع بوسينسك . وبالمعنى الدقيق، فإن معادلات بوسينسك هي المجموعة B المذكورة أعلاه ، لأنها تُستخدم في التحليل الوارد في بقية بحثه المنشور عام 1872.

بعض الاتجاهات التي تم توسيع معادلات بوسينسك إليها هي:

مزيد من التقريبات لانتشار الموجات في اتجاه واحد

على الرغم من أن معادلات بوسينسك تسمح بانتقال الموجات في اتجاهين متعاكسين في آن واحد، إلا أنه من المفيد غالبًا الاقتصار على دراسة الموجات التي تنتقل في اتجاه واحد فقط. وبافتراضات إضافية بسيطة، تُختزل معادلات بوسينسك إلى:

إلى جانب حلول الموجات المنفردة، تمتلك معادلة كورتيغ-دي فريس حلولاً دورية ودقيقة، تُسمى الموجات الجيبية . وهذه حلول تقريبية لمعادلة بوسينسك.

النماذج العددية

محاكاة باستخدام نموذج موجي من نوع بوسينسك للأمواج القريبة من الشاطئ المتجهة نحو مدخل الميناء. تتم المحاكاة باستخدام وحدة BOUSS-2D من برنامج SMS .
محاكاة أسرع من الوقت الحقيقي باستخدام وحدة بوسينسك في برنامج سيليريس، تُظهر تكسر الأمواج وانكسارها بالقرب من الشاطئ. يوفر النموذج بيئة تفاعلية.

لمحاكاة حركة الأمواج قرب السواحل والموانئ، توجد نماذج عددية - تجارية وأكاديمية - تستخدم معادلات من نوع بوسينسك. من الأمثلة التجارية وحدات الأمواج من نوع بوسينسك في برنامجي MIKE 21 و SMS . ومن نماذج بوسينسك المجانية Celeris [ 7 ] وCOULWAVE [ 8 ] وFUNWAVE [ 9 ] . تستخدم معظم النماذج العددية تقنيات الفروق المحدودة ، أو الحجوم المحدودة ، أو العناصر المحدودة لتقسيم معادلات النموذج. من المراجعات العلمية والمقارنات بين العديد من معادلات بوسينسك، وتقريبها العددي، وأدائها، على سبيل المثال Kirby (2003) ، وDingemans (1997 ، الجزء 2، الفصل 5) ، و Hamm وMadsen و Peregrine (1993) .

ملحوظات

  1. ↑ تبدأ هذه الورقة (Boussinesq, 1872) بـ: "Tous les ingénieurs connaissent les belles expériences de J. Scott Russell et M. Basin sur la production et la Propagation des ondes solitaires" ( "يعرف جميع المهندسين التجارب الجميلة التي أجراها J. Scott Russell وM. Basin حول توليد وانتشار الموجات المنفردة" ).
  2. ↑ دينغمانز (1997)، ص 477.
  3. ↑ دينغمانز (1997)، ص 475.
  4. ↑ جونسون (1997)، ص 219
  5. 1 2 دينغمانز (1997)، ص. 521.
  6. ^ دينجمانز (1997)، ص. 473 و 516.
  7. ^ "Celeria.org - نموذج موجة سيليريس بوسينسك" . Celeria.org - نموذج موجة سيليريس بوسنيسك .
  8. ^ "ISEC – النماذج" . isec.nacse.org .
  9. ↑ "جيمس تي. كيربي، برنامج فانويف" . www1.udel.edu .

مراجع