تبليطات إقليدية بواسطة مضلعات منتظمة محدبة

مثال على التبليط الدوري
للبلاط المنتظم نوع واحد من الأوجه المنتظمة.	يحتوي التبليط شبه المنتظم أو الموحد على نوع واحد من الرؤوس ، ولكن على نوعين أو أكثر من الأوجه.
يحتوي التبليط المنتظم من النوع k على k نوع من الرؤوس، ونوعين أو أكثر من الوجوه المنتظمة.	يمكن أن تحتوي البلاطات غير المتصلة بالحواف على وجوه منتظمة بأحجام مختلفة.

استُخدمت تبليطات المستوى الإقليدي بواسطة المضلعات المنتظمة المحدبة على نطاق واسع منذ العصور القديمة. وكان أول معالجة رياضية منهجية لها هي تلك التي قدمها كبلر في كتابه "هارمونيس موندي" ( باللاتينية : هارموني أوف ذا وورلد ، 1619).

ترميز التبليط الإقليدي

تُسمى التبليطات الإقليدية عادةً وفقًا لترميز كاندي وروليت. ^{[ 1 ]} يُمثل هذا الترميز (أ) عدد الرؤوس، (ب) عدد المضلعات المحيطة بكل رأس (مرتبة باتجاه عقارب الساعة)، و(ج) عدد أضلاع كل مضلع من هذه المضلعات. على سبيل المثال: 3 ⁶ ; 3 ⁶ ; 3 ⁴ .6، يُشير إلى وجود 3 رؤوس من نوعين مختلفين، لذا يُصنف هذا التبليط على أنه تبليط "موحد ثلاثي (نوعان من الرؤوس)". وبالتحليل، 3 ⁶ ; 3 ⁶ (كلاهما من فئة تعدي مختلفة)، أو (3 ⁶ ) ² ، يُشير إلى وجود رأسين (يُشار إليهما بالرقم 2 في الأعلى)، لكل منهما 6 مضلعات متساوية الأضلاع (مثلثات). مع رأس نهائي 3 ⁴ .6، و4 مثلثات متساوية الأضلاع متجاورة أخرى وسداسي منتظم واحد.

مع ذلك، تعاني هذه الصيغة من مشكلتين رئيسيتين تتعلقان بالغموض في التكوين والتفرد. ^{[ 2 ]} أولًا، عند التعامل مع التبليطات المنتظمة من الرتبة k، لا توضح الصيغة العلاقات بين الرؤوس، مما يجعل من المستحيل توليد سطح مستوٍ مغطى بالاعتماد على الصيغة وحدها. ثانيًا، تتشابه بعض التبليطات في التسمية، فهي متقاربة جدًا، ولكن يمكن ملاحظة اختلاف المواضع النسبية للسداسيات. لذا، تكمن المشكلة الثانية في أن هذه التسمية ليست فريدة لكل تبليط.

لحل هذه المشكلات، تُعدّ صيغة غومجاو-هوغ ^{[ 3 ]} نسخةً مُعدّلة قليلاً من البحث والصيغة المُقدّمة عام 2012 ^{[ 2 ]} حول توليد وتسمية التبليطات والشبكات ثنائية الطبقات. يُتيح تطبيق Antwerp v3.0 ^{[ 4 ]} ، وهو تطبيق مجاني عبر الإنترنت، توليدًا لا نهائيًا لتبليطات المضلعات المنتظمة من خلال مجموعة من مراحل وضع الأشكال وعمليات التدوير والانعكاس التكرارية، المُستمدة مباشرةً من صيغة غومجاو-هوغ.

تبليط منتظم

استنادًا إلى غرونباوم وشيبارد (القسم 1.3)، يُقال إن التبليط منتظم إذا كانت مجموعة التناظر الخاصة به تؤثر بشكل متعدٍ على عناصره ، حيث يُمثل العنصر ثلاثيةً تتكون من رأس وحافة وبلاطة متجاورتين في التبليط. هذا يعني أنه لكل زوج من العناصر، توجد عملية تناظر تربط العنصر الأول بالثاني. وهذا يُكافئ كون التبليط تبليطًا من حافة إلى حافة بواسطة مضلعات منتظمة متطابقة . يجب أن يكون هناك ستة مثلثات متساوية الأضلاع ، أو أربعة مربعات ، أو ثلاثة سداسيات منتظمة عند كل رأس، مما يُنتج التبليطات المنتظمة الثلاثة .

التبليط المنتظم (3)
ص6م، *632		ص٤م، *٤٤٢

C&R: 3 ⁶ GJ-H: 3/m30/r(h2) ( t = 1, e = 1)	C&R: 6 ³ GJ-H: 6/m30/r(h1) ( t = 1, e = 1)	C&R: 4 ⁴ GJ-H: 4/m45/r(h1) ( t = 1, e = 1)

C&R: تدوين كاندي وروليه GJ-H: تدوين غومجاو-هوغ

بلاطات أرخميدية، أو موحدة، أو شبه منتظمة

تعني خاصية التعدي على الرؤوس أنه لكل زوج من الرؤوس توجد عملية تناظر تربط الرأس الأول بالرأس الثاني. ^{[ 5 ]}

إذا تم تخفيف شرط التعدي على الأعلام إلى شرط التعدي على الرؤوس، مع الإبقاء على شرط أن يكون التبليط من حافة إلى حافة، فستكون هناك ثمانية أنواع إضافية من التبليط ممكنة، تُعرف بالتبليط الأرخميدي أو المنتظم أو شبه المنتظم . تجدر الإشارة إلى وجود شكلين متطابقين (متماثلين أو كيراليين ) للتبليط 3 ⁴ .6 (سداسي الشكل)، أحدهما فقط موضح في الجدول التالي. جميع أنواع التبليط المنتظم وشبه المنتظم الأخرى غير كيرالية.

تبليط موحد (8)
ص6م، *632
C&R: 3.12 ² GJ-H: 12-3/m30/r(h3) ( t = 2, e = 2) t {6,3}	C&R: 3.4.6.4 GJ-H: 6-4-3/m30/r(c2) ( t = 3, e = 2) rr {3,6}	C&R: 4.6.12 GJ-H: 12-6,4/m30/r(c2) ( t = 3, e = 3) tr {3,6}	C&R: (3.6) ² GJ-H: 6-3-6/m30/r(v4) ( t = 2, e = 1) r {6,3}
C&R: 4.8 ² GJ-H: 8-4/m90/r(h4) ( t = 2, e = 2) t {4,4}	C&R: 3 ² .4.3.4 GJ-H: 4-3-3,4/r90/r(h2) ( t = 2, e = 2) s {4,4}	C&R: 3 ³ .4 ² GJ-H: 4-3/m90/r(h2) ( t = 2, e = 3) {3,6}: e	C&R: 3 ⁴ .6 GJ-H: 6-3-3/r60/r(h5) ( t = 3, e = 3 ) sr {3,6}

C&R: تدوين كاندي وروليه، GJ-H: تدوين جومجاو-هوغ . يميز غرونباوم وشيبارد بين وصف هذه التبليطات بأنها أرخميدية، حيث يشير ذلك فقط إلى الخاصية المحلية المتمثلة في تماثل ترتيب البلاطات حول كل رأس، وبين وصفها بأنها منتظمة، حيث يشير ذلك إلى الخاصية العامة المتمثلة في انتقالية الرؤوس. مع أن هذه التبليطات تُنتج نفس المجموعة في المستوى، إلا أن هناك تبليطات أرخميدية غير منتظمة في فضاءات أخرى.

تبليطات الرؤوس المستوية

توجد 17 تركيبة من المضلعات المحدبة المنتظمة تُشكل 21 نوعًا من تبليطات الرؤوس المستوية . ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} تلتقي المضلعات في هذه التبليطات عند نقطة واحدة دون أي فجوة أو تداخل. وبالنظر إلى عدد رؤوسها ، نجد أن أحدها يحتوي على 6 مضلعات، وثلاثة تحتوي على 5 مضلعات، وسبعة تحتوي على 4 مضلعات، وعشرة تحتوي على 3 مضلعات. ^{[ 8 ]}

ثلاثة منهم يمكنهم عمل تبليط منتظم (6 ³ ، 4 ⁴ ، 3 ⁶ )، وثمانية آخرون يمكنهم عمل تبليط شبه منتظم أو أرخميدس (3.12 ² ، 4.6.12، 4.8 ² ، (3.6) ² ، 3.4.6.4، 3 ² .4.3.4، 3 ³ .4 ² ، 3 ⁴ .6). يمكن أن توجد أربعة منها في تبليطات منتظمة من الدرجة k الأعلى (3 ² .4.12، 3.4.3.12، 3 ² .6 ² ، 3.4 ² .6)، بينما لا يمكن استخدام ستة منها لتبليط المستوى بالكامل بمضلعات منتظمة دون فجوات أو تداخلات - فهي لا تبليط الفضاء بالكامل إلا عند تضمين مضلعات غير منتظمة (3.7.42، 3.8.24، 3.9.18، 3.10.15، 4.5.20، 5 ² .10). ^{[ 9 ]}

تبليطات الرؤوس المستوية
6	3 ⁶
5	3 ² .4.3.4	3 ³ .4 ²	3 ⁴ .6
4	3 ² .4.12	3.4.3.12	3 ² .6 ²	(3.6) ²	3.4 ² .6	3.4.6.4	4 ⁴
3	3.7.42	3.8.24	3.9.18	3.10.15	3.12 ²	4.5.20	4.6.12	4.8 ²	5 ² .10	6 ³

التبليطات المنتظمة من النوع k

يمكن تصنيف هذه التبليطات الدورية حسب عدد مدارات الرؤوس والحواف والبلاطات. إذا كان هناك $k$ مدارًا للرؤوس، يُعرف التبليط باسم $k-$ موحد أو $k-$ متساوي الزوايا؛ وإذا كان هناك $t$ مدارًا للبلاطات، يُعرف باسم $t-$ متساوي الأوجه؛ وإذا كان هناك $e$ مدارًا للحواف، يُعرف باسم $e-$ متساوي المحاور.

يمكن تحديد التبليطات المنتظمة من النوع k التي لها نفس أشكال الرؤوس بشكل أكبر من خلال تناظر مجموعة ورق الحائط الخاصة بها.

تتضمن التبليطات المنتظمة من الدرجة الأولى 3 تبليطات منتظمة، و8 تبليطات شبه منتظمة، ذات نوعين أو أكثر من أوجه المضلعات المنتظمة. يوجد 20 تبليطًا منتظمًا من الدرجة الثانية، و61 تبليطًا منتظمًا من الدرجة الثالثة، و151 تبليطًا منتظمًا من الدرجة الرابعة، و332 تبليطًا منتظمًا من الدرجة الخامسة، و673 تبليطًا منتظمًا من الدرجة السادسة. يمكن تجميع كل منها حسب عدد m من أشكال الرؤوس المميزة، والتي تُسمى أيضًا تبليطات أرخميدس من الدرجة m . ^{[ 10 ]}

أخيرًا، إذا كان عدد أنواع الرؤوس مساويًا لمعامل الانتظام ( m = k أدناه)، يُقال إن التبليط من نوع كروتينهيردت . عمومًا، يكون معامل الانتظام أكبر من أو يساوي عدد أنواع الرؤوس ( m ≥ k )، لأن أنواع الرؤوس المختلفة لها بالضرورة مدارات مختلفة، وليس العكس. بوضع m = n = k ، يوجد 11 تبليطًا من هذا النوع عندما n = 1؛ و20 تبليطًا عندما n = 2؛ و39 تبليطًا عندما n = 3؛ و33 تبليطًا عندما n = 4؛ و15 تبليطًا عندما n = 5؛ و10 تبليطات عندما n = 6؛ و7 تبليطات عندما n = 7.

فيما يلي مثال على تبليط ثلاثي الأشكال:

بلاط ملون ثلاثي الألوان موحد رقم 57 من 61
حسب الأضلاع، مثلثات صفراء، مربعات حمراء (حسب المضلعات)	بواسطة 4 مواقع متساوية الأوجه، 3 ألوان مظللة للمثلثات (بحسب المدارات)

k- موحد، m- أرخميدس عدادات التبليط ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}
		م - أرخميدس
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	≥ 15	المجموع
k- موحد	1	11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	11
	2	0	20	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	20
	3	0	22	39	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	61
	4	0	33	85	33	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	151
	5	0	74	149	94	15	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	332
	6	0	100	284	187	92	10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	673
	7	0	175	572	426	218	74	7	0	0	0	0	0	0	0	0	1472
	8	0	298	1037	795	537	203	20	0	0	0	0	0	0	0	0	2850
	9	0	424	1992	1608	1278	570	80	8	0	0	0	0	0	0	0	5960
	10	0	663	3772	2979	2745	1468	212	27	0	0	0	0	0	0	0	11866
	11	0	1086	7171	5798	5993	3711	647	52	1	0	0	0	0	0	0	24459
	12	0	1607	13762	11006	12309	9230	1736	129	15	0	0	0	0	0	0	49794
	13	0	؟	؟	؟	؟	؟	؟	؟	؟	؟	0	0	0	0	0	103082
	14	0	؟	؟	؟	؟	؟	؟	؟	؟	؟	0	0	0	0	0	؟
	≥ 15	0	؟	؟	؟	؟	؟	؟	؟	؟	؟	؟	؟	؟	؟	0	؟
	المجموع	11	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	0	∞

2-بلاطات موحدة

يوجد عشرون (20) تبليطًا منتظمًا ثنائيًا للمستوى الإقليدي. (تُسمى أيضًا تبليطًا متساوي الزوايا ثنائيًا أو تبليطًا شبه منتظم ) ^{[ 5 ]}^{: 62-67}^{[ 14 ]}^{[ 15 ].} تُدرج أنواع الرؤوس لكل تبليط. إذا اشترك تبليطان في نفس نوعي الرؤوس، يُشار إليهما بالرمزين السفليين 1 و2.

2-تبليطات منتظمة (20)
ص6م، *632						ص٤م، *٤٤٢
[3 ⁶ ; 3 ² .4.3.4] 3-4-3/m30/r(c3) ( t = 3, e = 3)	[3.4.6.4; 3 ² .4.3.4] 6-4-3,3/m30/r(h1) ( t = 4, e = 4)	[3.4.6.4; 3 ³ .4 ² ] 6-4-3-3/m30/r(h5) ( t = 4, e = 4)	[3.4.6.4؛ 3.4 ² .6] 6-4-3,4-6/m30/r(c4) ( t = 5, e = 5)	[4.6.12؛ 3.4.6.4] 12-4,6-3/m30/r(c3) ( t = 4, e = 4)	[3 ⁶ ; 3 ² .4.12] 12-3,4-3/m30/r(c3) ( t = 4, e = 4)	[3.12.12; 3.4.3.12] 12-0,3,3-0,4/m45/m(h1) ( t = 3, e = 3)
ص6م، *632	ص6، 632	ص6، 632	سم، 2*22	pmm، *2222	سم، 2*22	pmm، *2222
[3 ⁶ ; 3 ² .6 ² ] 3-6/m30/r(c2) ( t = 2, e = 3)	[3 ⁶ ; 3 ⁴ .6] ₁ 6-3,3-3/m30/r(h1) ( t = 3, e = 3)	[3 ⁶ ; 3 ⁴ .6] ₂ 6-3-3,3-3/r60/r(h8) ( t = 5, e = 7)	[3 ² .6 ² ; 3 ⁴ .6] 6-3/m90/r(h1) ( t = 2, e = 4)	[3.6.3.6؛ 3 ² .6 ² ] 6-3,6/m90/r(h3) ( t = 2, e = 3)	[3.4 ² .6; 3.6.3.6] ₂ 6-3,4-6-3,4-6,4/m90/r(c6) ( t = 3, e = 4)	[3.4 ² .6; 3.6.3.6] ₁ 6-3,4/m90/r(h4) ( t = 4, e = 4)
ص4 غ، 4*2	pgg، 22×	سم، 2*22	سم، 2*22	pmm، *2222	سم، 2*22
[3 ³ .4 ² ; 3 ² .4.3.4] ₁ 4-3,3-4,3/r90/m(h3) ( t = 4, e = 5)	[3 ³ .4 ² ; 3 ² .4.3.4] ₂ 4-3,3,3-4,3/r(c2)/r(h13)/r(h45) ( t = 3, e = 6)	[4 ⁴ ; 3 ³ .4 ² ] ₁ 4-3/m(h4)/m(h3)/r(h2) ( t = 2, e = 4)	[4 ⁴ ; 3 ³ .4 ² ] ₂ 4-4-3-3/m90/r(h3) ( t = 3, e = 5)	[3 ⁶ ; 3 ³ .4 ² ] ₁ 4-3,4-3,3/m90/r(h3) ( t = 3, e = 4)	[3 ⁶ ; 3 ³ .4 ² ] ₂ 4-3-3-3/m90/r(h7)/r(h5) ( t = 4, e = 5)

التبليطات المنتظمة ذات k الأعلى

تم حصر التبليطات المنتظمة من الرتبة k حتى 6. يوجد 673 تبليطًا منتظمًا من الرتبة 6 في المستوى الإقليدي. وقد أعاد بحث برايان غالباخ إنتاج قائمة كروتينهيردت التي تضم 10 تبليطات منتظمة من الرتبة 6 بستة أنواع رؤوس مختلفة، بالإضافة إلى العثور على 92 تبليطًا منها بخمسة أنواع رؤوس، و187 تبليطًا منها بأربعة أنواع رؤوس، و284 تبليطًا منها بثلاثة أنواع رؤوس، و100 تبليطًا منها بنوعين من الرؤوس.

تقسيم التبليطات المنتظمة من الرتبة k إلى تبليطات كسورية

توجد طرق عديدة لتوليد تبليطات منتظمة من الرتبة k جديدة من تبليطات منتظمة من الرتبة k قديمة . على سبيل المثال، لاحظ أن التبليط المنتظم من الرتبة 2 [3.12.12؛ 3.4.3.12] له شبكة مربعة، والتبليط المنتظم من الرتبة 4(3-1) [343.12؛ (3.12 ² )3] له شبكة مربعة مقطوعة، والتبليط المنتظم من الرتبة 5(3-1-1) [334.12؛ 343.12؛ (3.12.12)3] له شبكة مثلثية ممدودة. تستخدم هذه التبليطات المنتظمة ذات الرتبة الأعلى نفس الشبكة ولكنها تتميز بتعقيد أكبر. أساس التجزئة لهذه التبليطات هو كما يلي: ^{[ 16 ]}

	مثلث	مربع	مسدس	مضلع ذو اثني عشر ضلعًا
شكل
التجزئة

تتمدد أطوال الأضلاع بمعامل قدره $2+{\sqrt {3}}$ .

ويمكن القيام بذلك بالمثل باستخدام التبليط الثلاثي السداسي المقتطع كأساس، مع التمدد المقابل لـ $3+{\sqrt {3}}$ .

	مثلث	مربع	مسدس	مضلع ذو اثني عشر ضلعًا
شكل
التجزئة

أمثلة على التجزئة

	تبليط سداسي مقطوع	تبليط ثلاثي سداسي مقطوع
التجزئة

البلاطات التي لا تمتد من الحافة إلى الحافة

يمكن للمضلعات المنتظمة المحدبة أن تشكل تبليطات مستوية ليست متلاصقة الحواف. ويمكن اعتبار هذه التبليطات متلاصقة الحواف باعتبارها مضلعات غير منتظمة ذات حواف متوازية متجاورة.

توجد سبع مجموعات من الأشكال متساوية الزوايا ، لكل مجموعة منها مُعامل حقيقي يُحدد التداخل بين أضلاع البلاطات المتجاورة أو النسبة بين أطوال أضلاع البلاطات المختلفة. تُولّد مجموعتان من هذه المجموعات من مربعات مُزاحة، إما بشكل تدريجي أو متعرج. يُطلق غرونباوم وشيبارد على هذه التبليطات اسم "التبليطات المنتظمة" ، على الرغم من أن هذا يُخالف تعريف كوكسيتر للانتظام الذي يتطلب مضلعات منتظمة من الحافة إلى الحافة. ^{[ 17 ]} في الواقع، تُطابق هذه التبليطات متساوية الزوايا التبليطات المنتظمة من الناحية الطوبولوجية، مع اختلاف النسب الهندسية.

التبليط المتساوي الزوايا الدوري بواسطة مضلعات منتظمة محدبة غير متصلة الحواف
1	2	3	4	5	6	7
صفوف من المربعات ذات إزاحات أفقية		صفوف من المثلثات ذات إزاحات أفقية	تبليط بالمربعات	ثلاثة أشكال سداسية تحيط بكل مثلث	ستة مثلثات تحيط بكل شكل سداسي.	مثلثات بثلاثة أحجام
سم (2*22)	ص2 (2222)	سم (2*22)	p4m (*442)	ص6 (632)		ص3 (333)
تبليط سداسي		تبليط مربع	تبليط مربع مقطوع	تبليط سداسي مقطوع	تبليط سداسي	التبليط ثلاثي سداسي

انظر أيضاً

مراجع

↑ كندي، إتش إم؛ روليت، إيه بي (1981). النماذج الرياضية؛ . سترادبروك (المملكة المتحدة): منشورات تاركوين.
1 2 غوميز-جاوريغي، فالنتين وآخرون؛ أوتيرو، سيزار؛ وآخرون (2012). "توليد وتسمية التبليطات والشبكات ثنائية الطبقات" . مجلة الهندسة الإنشائية . 138 (7): 843-852 . doi : 10.1061/(ASCE)ST.1943-541X.0000532 . hdl : 10902/5869 .
↑ غوميز-جاوريغي، فالنتين؛ هوغ، هاريسون؛ وآخرون (2021). "ترميز غومجاو-هوغ للتوليد التلقائي للتقسيمات المنتظمة من الرتبة k باستخدام برنامج ANTWERP الإصدار 3.0" . التناظر . 13 (12): 2376. Bibcode : 2021Symm...13.2376G . doi : 10.3390/sym13122376 . hdl : 10902/23907 .
^ هوج ، هاريسون. جوميز جوريجوي، فالنتين. < "أنتويرب 3.0" .
1 2 كريتشلو، ك. (1969). النظام في الفضاء: كتاب مرجعي للتصميم . لندن: تيمز وهدسون. ص 60-61 .
↑ دالاس، إلمسلي ويليام (1855)، عناصر الهندسة العملية المستوية، إلخ ، جون دبليو باركر وأبناؤه، ص 134
↑ التبليط والأنماط ، الشكل 2.1.1، صفحة 60
↑ التبليط والأنماط ، ص 58-69
↑ "تعبئة الخماسي-العشري" . الجمعية الرياضية الأمريكية . AMS . تم الاسترجاع في 7 مارس 2022 .
↑ تبليطات منتظمة من النوع k بواسطة مضلعات منتظمة. مؤرشف في 30 يونيو 2015 على موقع Wayback Machine. نيلز لينغرين، 2009
↑ "البلاطات الموحدة" . موقع probabilitysports.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21-06-2019 .
↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A068599 (عدد التبليطات المنتظمة من الرتبة n)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS . تاريخ الاسترجاع: 7 يناير 2023 .
↑ "تعداد التبليطات الأرخميدية المنتظمة من الرتبة n" . zenorogue.github.io/tes-catalog/?c= . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24-08-2024 .
↑Tilings and patterns, Grünbaum and Shephard 1986, pp. 65-67
↑"In Search of Demiregular Tilings"(PDF). Archived from the original(PDF) on 2016-05-07. Retrieved 2015-06-04.
↑Chavey, Darrah (2014). "TILINGS BY REGULAR POLYGONS III: DODECAGON-DENSE TILINGS". Symmetry-Culture and Science. 25 (3): 193–210. S2CID 33928615.
↑"Tilings by regular polygons"(PDF). p. 236. Archived from the original(PDF) on 2016-03-03.

Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1977). "Tilings by regular polygons". Math. Mag. 50 (5): 227–247. doi:10.2307/2689529. JSTOR 2689529.
Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1978). "The ninety-one types of isogonal tilings in the plane". Trans. Am. Math. Soc. 252: 335–353. doi:10.1090/S0002-9947-1978-0496813-3. MR 0496813.
Debroey, I.; Landuyt, F. (1981). "Equitransitive edge-to-edge tilings". Geometriae Dedicata. 11 (1): 47–60. doi:10.1007/BF00183189. S2CID 122636363.
Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.
Ren, Ding; Reay, John R. (1987). "The boundary characteristic and Pick's theorem in the Archimedean planar tilings". J. Comb. Theory A. 44 (1): 110–119. doi:10.1016/0097-3165(87)90063-X.
Chavey, D. (1989). "Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings". Computers & Mathematics with Applications. 17: 147–165. doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.
Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, 1970 ISBN 978-0-670-52830-1
Sommerville, Duncan MacLaren Young (1958). An Introduction to the Geometry of n Dimensions. Dover Publications. Chapter X: The Regular Polytopes
بريا، ب. (1997). "متواليات المسافة وعتبات الترشيح في تبليطات أرخميدس". النمذجة الرياضية والحاسوبية . 26 ( 8-10 ): 317-320 . doi : 10.1016/S0895-7177(97)00216-1 .
كوفيتش، يوري (2011). "الرسوم البيانية من نوع التناظر للأجسام الأفلاطونية والأرخميدية" . مجلة الاتصالات الرياضية 16 (2): 491-507 .
بيليسر، دانيال؛ ويليامز، جوردون (2012). "أغطية بسيطة لتبليطات أرخميدس، الجزء 1" . المجلة الإلكترونية للتوافقية . 19 (3): #P6. doi : 10.37236/2512 .
ديل سيمور وجيل بريتون ، مقدمة في التبليط ، 1989، رقم ISBN 978-0866514613، الصفحات 50-57

روابط خارجية

التبليطات المنتظمة من الرتبة n ، بريان غيلباخ
داتش، ستيف. "البلاط الموحد" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 9 سبتمبر 2006. تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 سبتمبر 2006 .
ميتشل، ك. "البلاط شبه المنتظم" . تم الاسترجاع في 2006-09-09 .
وايسشتاين، إريك دبليو. "التجزئة" . عالم الرياضيات .
وايسشتاين، إريك دبليو. "التبليط شبه المنتظم" . عالم الرياضيات .
وايسشتاين، إريك دبليو. "التجزئة شبه المنتظمة" . عالم الرياضيات .

[1] كندي، إتش إم؛ روليت، إيه بي (1981). النماذج الرياضية؛ . سترادبروك (المملكة المتحدة): منشورات تاركوين.

[Gomez-Jauregui_2012-2] 1 2 غوميز-جاوريغي، فالنتين وآخرون؛ أوتيرو، سيزار؛ وآخرون (2012). "توليد وتسمية التبليطات والشبكات ثنائية الطبقات" . مجلة الهندسة الإنشائية . 138 (7): 843-852 . doi : 10.1061/(ASCE)ST.1943-541X.0000532 . hdl : 10902/5869 .

[3] غوميز-جاوريغي، فالنتين؛ هوغ، هاريسون؛ وآخرون (2021). "ترميز غومجاو-هوغ للتوليد التلقائي للتقسيمات المنتظمة من الرتبة k باستخدام برنامج ANTWERP الإصدار 3.0" . التناظر . 13 (12): 2376. Bibcode : 2021Symm...13.2376G . doi : 10.3390/sym13122376 . hdl : 10902/23907 .

[4] هوج ، هاريسون. جوميز جوريجوي، فالنتين. < "أنتويرب 3.0" .

[Critchlow_1969-5] 1 2 كريتشلو، ك. (1969). النظام في الفضاء: كتاب مرجعي للتصميم . لندن: تيمز وهدسون. ص 60-61 .

[6] دالاس، إلمسلي ويليام (1855)، عناصر الهندسة العملية المستوية، إلخ ، جون دبليو باركر وأبناؤه، ص 134

[7] التبليط والأنماط ، الشكل 2.1.1، صفحة 60

[8] التبليط والأنماط ، ص 58-69

[9] "تعبئة الخماسي-العشري" . الجمعية الرياضية الأمريكية . AMS . تم الاسترجاع في 7 مارس 2022 .

[10] تبليطات منتظمة من النوع k بواسطة مضلعات منتظمة. مؤرشف في 30 يونيو 2015 على موقع Wayback Machine. نيلز لينغرين، 2009

[11] "البلاطات الموحدة" . موقع probabilitysports.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21-06-2019 .

[12] سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A068599 (عدد التبليطات المنتظمة من الرتبة n)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS . تاريخ الاسترجاع: 7 يناير 2023 .

[13] "تعداد التبليطات الأرخميدية المنتظمة من الرتبة n" . zenorogue.github.io/tes-catalog/?c= . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24-08-2024 .

[14] Tilings and patterns, Grünbaum and Shephard 1986, pp. 65-67

[15] "In Search of Demiregular Tilings"(PDF). Archived from the original(PDF) on 2016-05-07. Retrieved 2015-06-04.

[16] Chavey, Darrah (2014). "TILINGS BY REGULAR POLYGONS III: DODECAGON-DENSE TILINGS". Symmetry-Culture and Science. 25 (3): 193–210. S2CID 33928615.

[17] "Tilings by regular polygons"(PDF). p. 236. Archived from the original(PDF) on 2016-03-03.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ].

[ 16 ]

[ 17 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗