متعدد السطوح منتظم

يمكن استبدال خاصية وجود ترتيب مماثل للوجوه حول كل رأس بأي من الشروط المكافئة التالية في التعريف:

• تقع جميع رؤوس المجسم المنتظم المحدب على كرة .
• جميع الزوايا ثنائية السطوح للمجسم متعدد السطوح متساوية
• جميع أشكال رؤوس المجسم متعدد السطوح هي مضلعات منتظمة .
• جميع الزوايا المجسمة للمجسم متطابقة. ^{[ 1 ]}

يحتوي المجسم المنتظم المحدب على ثلاث كرات مترابطة (تفتقر المجسمات الأخرى إلى نوع واحد على الأقل) تشترك في مركزه:

• كرة داخلية مماسية لجميع الأوجه.
• كرة بينية أو كرة وسطى ، مماسية لجميع الحواف.
• كرة محيطة ، مماسية لجميع الرؤوس.

تُعدّ المجسمات المنتظمة أكثر المجسمات تناظراً . وهي تقع ضمن ثلاث مجموعات تناظر فقط ، سُمّيت نسبةً إلى المجسمات الأفلاطونية:

• رباعي الأوجه
• ثماني الأوجه (أو مكعب)
• مجسم ذو عشرين وجهاً (أو مجسم ذو اثني عشر وجهاً)

أي شكل ذو تناظر عشريني الوجوه أو ثماني الوجوه سيحتوي أيضًا على تناظر رباعي الوجوه.

تتمتع الأجسام الأفلاطونية الخمسة بخاصية أويلر تساوي 2. وهذا يعكس ببساطة أن السطح عبارة عن كرة طوبولوجية ثنائية الأبعاد، وبالتالي ينطبق الأمر نفسه، على سبيل المثال، على أي متعدد السطوح على شكل نجمة بالنسبة لنقطة داخلية معينة.

إن مجموع المسافات من أي نقطة في داخل متعدد السطوح المنتظم إلى جوانبه مستقل عن موقع تلك النقطة (وهذا امتداد لنظرية فيفياني ). ومع ذلك، فإن العكس لا ينطبق، ولا حتى بالنسبة للرباعيات . ^{[ 2 ]}

عُثر في اسكتلندا على أحجار منحوتة بأشكال تُشبه عناقيد الكرات أو النتوءات ، ويُحتمل أن يعود تاريخها إلى 4000 عام. تُظهر بعض هذه الأحجار ليس فقط تناظرات المجسمات الأفلاطونية الخمسة، بل تُظهر أيضًا بعض علاقات الازدواجية فيما بينها (أي أن مراكز أوجه المكعب تُشكل رؤوس ثماني السطوح). تُعرض نماذج من هذه الأحجار في قاعة جون إيفانز بمتحف أشموليان في جامعة أكسفورد . يبقى سبب صنع هذه الأشياء، أو كيف استلهم صانعوها أفكارهم، لغزًا. ثمة شكوك حول التفسير الرياضي لهذه الأشياء، إذ أن العديد منها له أشكال غير أفلاطونية، وربما لم يُعثر إلا على شكل واحد فقط يُمثل عشريني السطوح حقيقيًا، وليس إعادة تفسير لثنائي عشريني السطوح، وهو اثني عشري السطوح. ^{[ 3 ]}

من الممكن أيضًا أن يكون الأتروسكان قد سبقوا الإغريق في إدراكهم لبعض الأشكال متعددة السطوح المنتظمة على الأقل، كما يتضح من الاكتشاف بالقرب من بادوا (في شمال إيطاليا ) في أواخر القرن التاسع عشر لمجسم اثني عشري مصنوع من حجر الصابون ، ويعود تاريخه إلى أكثر من 2500 عام (ليندمان، 1987).

تعود أقدم السجلات المكتوبة المعروفة للأجسام المحدبة المنتظمة إلى اليونان الكلاسيكية. لا يُعرف متى اكتُشفت هذه الأجسام ولا من اكتشفها، لكن ثييتيتوس ( الأثيني ) كان أول من قدم وصفًا رياضيًا للأجسام الخمسة جميعها (فان دير فاردن، 1954) (إقليدس، الكتاب الثالث عشر). وينسب إتش إس إم كوكسيتر (كوكسيتر، 1948، القسم 1.9) إلى أفلاطون (400 قبل الميلاد) وضع نماذج لها، ويذكر أن أحد الفيثاغوريين الأوائل ، طيماوس اللوكري ، استخدم الأجسام الخمسة جميعها في ربط بين المجسمات وطبيعة الكون كما كان يُنظر إليها آنذاك - وقد سُجل هذا الربط في حوار طيماوس لأفلاطون . وقد أدى إشارة إقليدس إلى أفلاطون إلى تسميتها الشائعة بالأجسام الأفلاطونية .

يمكن وصف التعريف اليوناني على النحو التالي:

• المضلع المنتظم هو شكل مستوٍ ( محدب ) تكون فيه جميع الحواف متساوية وجميع الزوايا متساوية.
• المجسم المنتظم هو شكل صلب (محدب) جميع وجوهه عبارة عن مضلعات منتظمة متطابقة، بنفس العدد مرتبة بشكل متساوٍ حول كل رأس.

يستبعد هذا التعريف، على سبيل المثال، الهرم المربع (لأنه على الرغم من أن جميع الأوجه منتظمة، إلا أن القاعدة المربعة لا تتطابق مع الأضلاع المثلثية)، أو الشكل المتكون من ضم اثنين من رباعيات الأوجه معًا (لأنه على الرغم من أن جميع أوجه هذا الهرم الثنائي المثلثي ستكون مثلثات متساوية الأضلاع، أي متطابقة ومنتظمة، إلا أن بعض الرؤوس تحتوي على 3 مثلثات والبعض الآخر يحتوي على 4).

ظل مفهوم المجسم المنتظم هذا دون منازع لما يقرب من 2000 عام.

كانت الأشكال النجمية المنتظمة، كالنجمة الخماسية ، معروفةً لدى الإغريق القدماء؛ فقد استخدمها الفيثاغوريون كرمز سري، لكنهم لم يستخدموها في بناء المجسمات متعددة الأوجه. ولم يدرك يوهانس كيبلر إمكانية استخدام النجوم الخماسية كأوجه للمجسمات النجمية المنتظمة إلا في أوائل القرن السابع عشر . ربما اكتشف آخرون بعض هذه المجسمات النجمية قبل كيبلر، لكن كيبلر كان أول من أدرك إمكانية اعتبارها "منتظمة" إذا ما أُزيل شرط أن تكون المجسمات المنتظمة محدبة. وبعد مئتي عام، سمح لويس بوينسو أيضًا بأشكال رؤوس النجوم (الدوائر حول كل زاوية)، مما مكّنه من اكتشاف مجسمين نجميين منتظمين جديدين، بالإضافة إلى إعادة اكتشاف مجسمات كيبلر. هذه المجسمات الأربعة هي المجسمات النجمية المنتظمة الوحيدة، وتُعرف باسم مجسمات كيبلر-بوينسو . لم يتم إطلاق أسمائها الإنجليزية الحديثة عليها إلا في منتصف القرن التاسع عشر، بعد عدة عقود من نشر بوينسوت: (كيبلر) المجسم النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهاً والمجسم النجمي الكبير ذو الاثني عشر وجهاً ، و(بوينسو) المجسم العشرين وجهاً الكبير والمجسم الاثني عشر وجهاً الكبير .

يمكن بناء متعددات وجوه كيبلر-بوانسو من المجسمات الأفلاطونية بعملية تُسمى التَّشَعُّق . وتُسمى العملية المعاكسة للتَّشَعُّق بالتَصَوُّق . كل تَّشَعُّق لأحد متعددات الوجوه هو ثنائي ، أو معكوس، لبعض التصَوُّق لمتعدد الوجوه الثنائي. كما يمكن الحصول على متعددات الوجوه النجمية المنتظمة عن طريق تصَوُّق المجسمات الأفلاطونية. وقد قام برتراند بذلك لأول مرة في نفس الوقت تقريبًا الذي أطلق فيه كايلي عليها هذا الاسم.

وبحلول نهاية القرن التاسع عشر، كان هناك تسعة أشكال متعددة السطوح منتظمة - خمسة محدبة وأربعة نجمية.

في العقود الأولى، سمح كوكسيتر وبيتري بوجود رؤوس "سرجية" ذات حواف ووديان متناوبة، مما مكّنهما من إنشاء ثلاثة أسطح مطوية لانهائية أطلقوا عليها اسم المجسمات المائلة المنتظمة . ^{[ 8 ]} وقدّم كوكسيتر رمز شلافلي معدّل {l,m|n} لهذه الأشكال، حيث يشير {l,m} إلى شكل الرأس ، مع m من المضلعات المنتظمة ذات الطول l حول الرأس. ويحدد n الثقوب ذات n مضلع . أشكال رؤوسهم هي مضلعات مائلة منتظمة ، رؤوسها متعرجة بين مستويين.

متعددات السطوح المائلة المنتظمة اللانهائية في الفضاء ثلاثي الأبعاد (مرسومة جزئياً)
{4,6|4}	{6,4|4}	{6,6|3}

توجد متعددات السطوح المائلة المنتظمة المحدودة في الفضاء الرباعي. ويمكن اعتبار هذه متعددات السطوح المائلة المنتظمة المحدودة في الفضاء الرباعي مجموعةً جزئيةً من وجوه متعددات السطوح الرباعية المنتظمة . ولها وجوه مضلعة منتظمة مستوية ، ولكن رؤوسها مضلعة مائلة منتظمة .

يرتبط حلان مزدوجان بالخلية الخماسية ، ويرتبط حلان مزدوجان بالخلية الرباعية والعشرين ، وتولد مجموعة لانهائية من الموشورات المزدوجة الذاتية متعددة السطوح منتظمة مائلة على النحو {4، 4 | n}. في الحد اللانهائي، تقترب هذه من أسطوانة مزدوجة وتبدو مثل طارة في إسقاطاتها المجسمة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

المجسمات المتعددة السطوح المنتظمة المحدودة المائلة في الفضاء الرباعي

إسقاطات مستوى كوكسيتر المتعامد				الإسقاط المجسم
أ 4		F 4
{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}	{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}	{4, 4 | n}
30 {4} وجهًا، 60 ضلعًا ، 20 رأسًا	20 {6} وجهًا، 60 ضلعًا ، 30 رأسًا	288 {4} وجهًا ، 576 ضلعًا ، 144 رأسًا	144 {8} وجهًا، 576 حافة ، 288 رأسًا	n 2 {4} وجهًا ، 2 n 2 حافة ، n 2 رأسًا

أدت الدراسات التي أجريت على الفضاءات غير الإقليدية ( الزائدية والإهليلجية ) وغيرها من الفضاءات مثل الفضاءات المعقدة ، والتي تم اكتشافها خلال القرن السابق، إلى اكتشاف المزيد من المجسمات متعددة الأوجه الجديدة مثل المجسمات متعددة الأوجه المعقدة التي لا يمكن أن تتخذ إلا شكلاً هندسياً منتظماً في تلك الفضاءات.

المجسمات المنتظمة في الفضاء الزائدي

في الفضاء الزائدي ^H3 ، تمتلك خلايا النحل المنتظمة شبه المتراصة أوجه تبليط إقليدية وأشكال رؤوس تعمل كأشكال متعددة السطوح محدودة. تحتوي هذه التبليطات على نقص في الزاوية يمكن إغلاقه بالانحناء في أحد الاتجاهين. إذا تم تغيير مقياس التبليط بشكل صحيح، فإنه سيُغلق كحد تقاربي عند نقطة مثالية واحدة . يتم تضمين هذه التبليطات الإقليدية في كرة أفقية تمامًا كما يتم تضمين الأشكال متعددة السطوح في كرة (التي لا تحتوي على أي نقاط مثالية). يمتد التسلسل عندما تُستخدم التبليطات الزائدية نفسها كأوجه لتبليطات زائدية غير متراصة، كما هو الحال في خلية النحل ذات التبليط السباعي {7,3,3}؛ يتم تضمينها في سطح متساوي البعد ( دورة زائدية ثنائية )، والذي يحتوي على نقطتين مثاليتين.

تبليطات منتظمة للمستوى الإسقاطي الحقيقي

تضم مجموعة أخرى من المجسمات المنتظمة تبليطات المستوى الإسقاطي الحقيقي . وتشمل هذه المجموعة نصف المكعب ، ونصف ثماني السطوح ، ونصف اثني عشري السطوح ، ونصف عشريني السطوح . وهي مجسمات إسقاطية (بشكل عام) ، وتُعدّ النظائر الإسقاطية للمجسمات الأفلاطونية . أما رباعي السطوح، فلا يوجد له نظير إسقاطي، إذ لا يحتوي على أزواج من الأوجه المتوازية التي يمكن تحديدها، كما هو الحال في المجسمات الأفلاطونية الأربعة الأخرى.

نصف مكعب {4,3}

نصف ثماني الأوجه {3,4}

نصف اثني عشر وجهًا {3،5}

نصف عشريني الوجوه {5,3}

تظهر هذه الأشكال على هيئة أزواج ثنائية بنفس طريقة ظهور المجسمات الأفلاطونية الأصلية. جميع خصائصها وفقًا لمعيار أويلر تساوي 1.

بحلول ذلك الوقت، أصبح مفهوم المجسمات متعددة الأوجه راسخًا كأمثلة ثلاثية الأبعاد لمجسمات متعددة الأوجه أكثر عمومية في أي عدد من الأبعاد. شهد النصف الثاني من القرن تطور أفكار جبرية مجردة، مثل التوافقية متعددة الأوجه ، والتي بلغت ذروتها في فكرة المجسم متعدد الأوجه المجرد كمجموعة مرتبة جزئيًا (مجموعة جزئية مرتبة) من العناصر. عناصر المجسم متعدد الأوجه المجرد هي جسمه (العنصر الأقصى)، ووجوهه، وحوافه، ورؤوسه، والمجسم الصفري أو المجموعة الفارغة. يمكن تمثيل هذه العناصر المجردة في الفضاء العادي أو تجسيدها كأشكال هندسية. بعض المجسمات متعددة الأوجه المجردة لها تجسيدات دقيقة أو مطابقة ، بينما لا يمتلك البعض الآخر ذلك. العلم هو مجموعة متصلة من عناصر كل بُعد - بالنسبة للمجسم متعدد الأوجه، فهو الجسم، ووجه، وحافة الوجه، ورأس الحافة، والمجسم الصفري. يُقال عن متعدد السطوح المجرد أنه منتظم إذا كانت تناظراته التوافقية متعدية على أعلامه - أي أنه يمكن إسقاط أي علم على أي علم آخر وفقًا لتناظر متعدد السطوح. ولا تزال متعددات السطوح المنتظمة المجردة مجالًا نشطًا للبحث.

حدد إتش إس إم كوكسيتر خمسة أشكال متعددة السطوح منتظمة مجردة، لا يمكن تمثيلها بدقة، في كتابه " الأشكال متعددة السطوح المنتظمة " (1977)، ثم حددها جيه إم ويلز في بحثه "الأشكال متعددة السطوح المنتظمة توافقيًا ذات المؤشر 2" (1987). تتمتع جميعها بتناظر C2 _× S5 _، ولكن لا يمكن تمثيلها إلا بنصف هذا التناظر، أي C2 _× A5 _أو التناظر العشري الوجوه. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} وهي جميعًا مكافئة طوبولوجيًا للأشكال الحلقية . ويمكن تكرار بنائها، بترتيب n وجهًا حول كل رأس، إلى ما لا نهاية كتبليط للمستوى الزائدي . في الرسوم البيانية أدناه، تتطابق ألوان صور التبليط الزائدي مع ألوان صور الأشكال متعددة السطوح.

متعدد الأوجه	مجسم ثلاثي الأضلاع معيني وسطي	مجسم ذو اثني عشر وجهًا	مجسم عشريني الوجوه ثلاثي الأضلاع متوسط	مجسم ثنائي الأضلاع ذو اثني عشر وجهًا.	مجسم ذو اثني عشر وجهاً تم استخراجه
يكتب	ثنائي {5،4} 6	{5,4} 6	ثنائي {5،6} 4	{5,6} 4	6,6​
( v , e , f )	(24،60،30)	(30,60,24)	(24,60,20)	(20،60،24)	(20,60,20)
شكل الرأس	{5}، {5/2}	(5.5/2) 2	{5}، {5/2}	(5.5/3) 3
وجوه	30 معينًا	12 شكلًا خماسيًا 12 نجمة خماسية	20 شكل سداسي	12 شكلًا خماسيًا 12 نجمة خماسية	20 شكلًا سداسيًا
تبليط	{4، 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5، 6}	{6, 6}
χ	-6	-6	-16	-16	-20

بيتري ديوال

إن ثنائي بيتري لمتعدد السطوح المنتظم هو خريطة منتظمة تتوافق رؤوسها وحوافها مع رؤوس وحواف متعدد السطوح الأصلي، ووجوهها هي مجموعة مضلعات بيتري المائلة . ^{[ 12 ]}

البتلات العادية

اسم	رباعي الأوجه البتلي	مكعب بتريال	ثماني السطوح البتلي	مجسم ذو اثني عشر وجهًا بتليًا	مجسم عشروني الوجوه بتريل
رمز	{3,3} π	{4,3} π	{3,4} π	{5,3} π	{3,5} π
( v , e , f ), χ	(4,6,3)، χ = 1	(8,12,4)، χ = 0	(6,12,4)، χ = −2	(20,30,6)، χ = −4	(12,30,6)، χ = −12
وجوه	3 مربعات مائلة	4 سداسيات مائلة		6 أشكال عشرية مائلة
صورة
الرسوم المتحركة
شخصيات ذات صلة	{4,3} 3 = {4,3}/2 = {4,3} (2,0)	{6,3} 3 = {6,3} (2,0)	{6,4} 3 = {6,4} (4,0)	{10,3} 5	{10,5} 3

يمكن أيضًا تمثيل الأشكال متعددة السطوح الخمسة المنتظمة المعتادة على شكل تبليط كروي (تبليط الكرة ) :

رباعي الأوجه {3,3}

مكعب {4،3}

ثماني السطوح {3،4}

مجسم ذو اثني عشر وجهًا {5،3}

مجسم ذو عشرين وجهاً {3,5}

مجسم نجمي صغير ذو اثني عشر وجهًا {5/2,5}

مجسم ذو اثني عشر وجهًا كبيرًا {5,5/2}

مجسم نجمي كبير ذو اثني عشر وجهًا {5/2,3}

مجسم عشروني الوجوه عظيم {3,5/2}

المجسمات المنتظمة التي لا يمكن أن توجد إلا كمجسمات كروية

بالنسبة لمجسم متعدد السطوح منتظم رمزه Schläfli هو { m , n }، يمكن إيجاد عدد الأوجه المضلعة من خلال: 

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}}$

تُعد المجسمات الأفلاطونية المعروفة في العصور القديمة الحلول الصحيحة الوحيدة لـ m ≥ 3 و n ≥ 3. ويفرض الشرط m ≥ 3 أن يكون للوجوه المضلعة ثلاثة أضلاع على الأقل.

عند اعتبار المجسمات متعددة الأوجه بمثابة تبليط كروي ، يمكن تخفيف هذا القيد، إذ يمكن تمثيل المضلعات الثنائية (ذات المضلعين) كأهلة كروية ذات مساحة غير صفرية . يسمح السماح بقيمة m = 2 بظهور فئة لانهائية جديدة من المجسمات المنتظمة، وهي المجسمات متعددة الأوجه . على سطح كروي، يُمثَّل المجسم المنتظم {2, n } بـ n أهلة متجاورة، بزوايا داخلية مقدارها 2π / n . تشترك جميع هذه الأهلة في رأسين مشتركين. ^{[ 13 ]} 

يمكن اعتبار ثنائي السطوح المنتظم ، { n ,  2} ^{[ 13 ]} (ثنائي السطوح) في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، منشورًا متدهورًا يتكون من مضلعين (مستويين) ذوي n ضلعًا متصلين " ظهرًا لظهر"، بحيث يكون الشكل الناتج بلا عمق، على غرار كيفية إنشاء ثنائي السطوح باستخدام قطعتين مستقيمتين . مع ذلك، كبلاط كروي ، يمكن أن يوجد ثنائي السطوح في شكل غير متدهور، بوجهين ذوي n ضلعًا يغطيان الكرة، كل وجه منهما نصف كرة ، ورؤوسه حول دائرة عظمى . ويكون منتظمًا إذا كانت الرؤوس متساوية التباعد.

ثنائي السطوح ثنائي القطر {2,2}	ثنائي السطوح المثلثي {3,2}	ثنائي السطوح المربع {4,2}	ثنائي السطوح الخماسي {5,2}	ثنائي السطوح سداسي {6,2}	...	{ n ,2}
مجسم ثنائي الوجه {2,2}	مجسم ثلاثي الأوجه {2,3}	مجسم مربع ذو وجهين {2,4}	مجسم خماسي الأضلاع {2,5}	مجسم سداسي الأوجه {2,6}	...	{2، ن }

المجسم ذو الوجه الواحد {2, n } هو ثنائي المجسم ثنائي الوجه { n , 2}. لاحظ أنه عندما n = 2، نحصل على متعدد السطوح {2, 2}، وهو مجسم ذو وجه واحد وثنائي الوجه في آن واحد. جميع هذه المجسمات لها خاصية أويلر 2.