الاستقراء

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعدّ الاستقراء نوعًا من التقدير ، يتجاوز نطاق الملاحظة الأصلي، لقيمة متغير ما بناءً على علاقته بمتغير آخر. وهو مشابه للاستيفاء ، الذي يُنتج تقديرات بين الملاحظات المعروفة، إلا أن الاستقراء أكثر عرضةً لعدم اليقين ، ويزيد من احتمالية الحصول على نتائج غير ذات معنى. وقد يعني الاستقراء أيضًا توسيع نطاق طريقة ما ، بافتراض إمكانية تطبيق طرق مماثلة. كما يُمكن تطبيق الاستقراء على الخبرة البشرية لإسقاط الخبرة المعروفة أو توسيعها أو نقلها إلى مجال غير معروف أو لم يُجرَّب سابقًا. وبذلك، يُفترض وجود المجهول [ 1 ] (على سبيل المثال، قد يستنبط السائق ظروف الطريق إلى ما هو أبعد مما هو مرئي حاليًا، وقد تكون هذه الاستقراءات صحيحة أو خاطئة). يُمكن تطبيق طريقة الاستقراء في مشكلة إعادة بناء البيئة الداخلية .

مثال توضيحي لمشكلة الاستقراء، والتي تتمثل في تحديد قيمة ذات معنى في المربع الأزرق، عندx=7{\displaystyle x=7}بالنظر إلى نقاط البيانات الحمراء

طريقة

يعتمد اختيار طريقة الاستقراء المناسبة على معرفة مسبقة بالعملية التي أنتجت نقاط البيانات الحالية. وقد اقترح بعض الخبراء استخدام العوامل السببية في تقييم طرق الاستقراء. [ 2 ] ومن الأسئلة المهمة، على سبيل المثال، ما إذا كان من الممكن افتراض أن البيانات متصلة، أو سلسة، أو ربما دورية، وما إلى ذلك.

خطي

درجة الحرارة العالمية 1942-2025 من موقع Our World In Data ، متوقعة حتى عام 2100.

الاستقراء الخطي يعني إنشاء خط مماس عند نهاية البيانات المعروفة وتمديده إلى ما بعد تلك النهاية. ولن يُعطي الاستقراء الخطي نتائج جيدة إلا عند استخدامه لتمديد رسم بياني لدالة خطية تقريبًا أو لمسافة لا تتجاوز البيانات المعروفة بكثير.

إذا كانت نقطتا البيانات الأقرب إلى النقطةx*{\displaystyle x_{*}}سيتم استقراء ما يلي(xك-1،yك-1){\displaystyle (x_{k-1},y_{k-1})}و(xك،yك){\displaystyle (x_{k},y_{k})}، ويعطي الاستقراء الخطي الدالة التالية:

y(x*)=yك-1+x*-xك-1xك-xك-1(yك-yك-1).{\displaystyle y(x_{*})=y_{k-1}+{\frac {x_{*}-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}(y_{k}-y_{k-1}).}

(وهو ما يتطابق مع الاستيفاء الخطي إذاxك-1<x*<xك{\displaystyle x_{k-1}<x_{*}<x_{k}}من الممكن تضمين أكثر من نقطتين، وحساب متوسط ​​ميل الخط التقريبي، باستخدام تقنيات مشابهة للانحدار ، على نقاط البيانات المختارة. وهذا يشبه التنبؤ الخطي .

متعدد الحدود

استقراءات لاغرانج للمتتالية 1،2،3. الاستقراء بمقدار 4 يؤدي إلى متعدد حدود من الدرجة الدنيا ( الخط السماوي ).

يمكن إنشاء منحنى متعدد الحدود عبر كامل البيانات المعروفة أو بالقرب من نهايتها (نقطتان للاستقراء الخطي، ثلاث نقاط للاستقراء التربيعي، وهكذا). ويمكن بعد ذلك تمديد المنحنى الناتج إلى ما بعد نهاية البيانات المعروفة. ويتم الاستقراء متعدد الحدود عادةً باستخدام استيفاء لاغرانج أو طريقة نيوتن للفروق المحدودة لإنشاء متسلسلة نيوتن التي تُطابق البيانات. ويمكن استخدام متعدد الحدود الناتج لاستقراء البيانات.

يجب استخدام استقراء كثيرات الحدود من الرتبة العليا بحذر شديد. ففي مجموعة البيانات والمثال الموضحين في الشكل أعلاه، قد ينتج عن أي استقراء من رتبة أعلى من 1 (الاستقراء الخطي) قيم غير قابلة للاستخدام؛ إذ يزداد تقدير الخطأ للقيمة المستقرأة مع ازدياد درجة استقراء كثير الحدود. ويرتبط هذا بظاهرة رونج .

مخروطي

يمكن إنشاء قطع مخروطي باستخدام خمس نقاط قرب نهاية البيانات المعروفة. إذا كان القطع المخروطي الناتج عبارة عن قطع ناقص أو دائرة ، فعند تمديده سيعود إلى نقطة البداية ويتصل بنفسه. أما القطع المكافئ أو الزائد الممتد فلن يعود إلى نقطة البداية، ولكنه قد ينحني للخلف بالنسبة للمحور السيني. يمكن إجراء هذا النوع من التمديد باستخدام قالب القطع المخروطي (على الورق) أو باستخدام الحاسوب.

المنحنى الفرنسي

يُعدّ استقراء المنحنى الفرنسي طريقةً مناسبةً لأي توزيع يميل إلى التوزيع الأسي، مع وجود عوامل تسارع أو تباطؤ. [ 3 ] وقد استُخدمت هذه الطريقة بنجاح في تقديم توقعات نمو فيروس نقص المناعة البشرية/الإيدز في المملكة المتحدة منذ عام 1987، ومرض كروتزفيلد جاكوب المتغير في المملكة المتحدة لعدة سنوات. كما أظهرت دراسة أخرى أن الاستقراء يُمكن أن يُنتج نتائج تنبؤية بنفس جودة استراتيجيات التنبؤ الأكثر تعقيدًا. [ 4 ]

الاستقراء الهندسي مع توقع الخطأ

يمكن إنشاء هذا النوع من الاستقراء باستخدام 3 نقاط من سلسلة زمنية و"اللحظة" أو "المؤشر"، ويتميز بدقة تنبؤ تصل إلى 100% في نسبة كبيرة من قواعد بيانات السلاسل الزمنية المعروفة (OEIS). [ 5 ]

مثال على الاستقراء مع توقع الخطأ  :

تسلسل=[1،2،3،5]{\displaystyle {\text{sequence}}=[1,2,3,5]}
و1(x،y)=xy{\displaystyle {f_{1}(x,y)={\frac {x}{y}}}}
د1=و1(3،2){\displaystyle d_{1}=f_{1}(3,2)}
د2=و1(5،3){\displaystyle {d_{2}=f_{1}(5,3)}}
م=تسلسل(5){\displaystyle m={\text{sequence}}(5)}
ن=تسلسل(3){\displaystyle n={\text{sequence}}(3)}
و(م،ن،د1،د2)=دائري((ن⋅د1-م)+(م⋅د2))=دائري((3×1.5-5)+(5×1.66))=8{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{f}}(m,n,d_{1},d_{2})&={\text{round}}\left((n\cdot d_{1}-m)+(m\cdot d_{2})\right)\\&={\text{round}}\left((3\times 1.5-5\right)+(5\times 1.66))=8\end{aligned}}}

جودة

عادةً ما تكون جودة أي طريقة استقراء محدودة بالافتراضات التي تستند إليها هذه الطريقة فيما يتعلق بالدالة. فإذا افترضت الطريقة أن البيانات سلسة، فإن استقراء دالة غير سلسة سيكون ضعيفاً.

فيما يتعلق بالسلاسل الزمنية المعقدة، اكتشف بعض الخبراء أن الاستقراء يكون أكثر دقة عند إجرائه من خلال تحليل القوى السببية. [ 6 ]

حتى مع افتراضات صحيحة حول الدالة، قد ينحرف الاستقراء بشكل كبير عن الدالة الأصلية. المثال الكلاسيكي هو تمثيلات متسلسلة القوى المقتطعة لدالة sin( x ) والدوال المثلثية ذات الصلة . على سبيل المثال، إذا اقتصرنا على البيانات القريبة من x  =  0، فقد نقدر أن الدالة تتصرف كـ sin( x )  ~ x . في جوار x = 0، يُعد هذا تقديرًا ممتازًا. أما بعيدًا عن x = 0، فيتحرك الاستقراء بشكل عشوائي بعيدًا عن محور x بينما تبقى دالة sin( x ) ضمن الفترة [ -1 , 1]. أي أن الخطأ يزداد بلا حدود.      

إن أخذ المزيد من الحدود في متسلسلة القوى لـ sin( x ) حول x  =  0 سيؤدي إلى توافق أفضل على مدى فترة أكبر بالقرب من x  =  0، ولكنه سيؤدي إلى استقراءات تتباعد في النهاية عن المحور x بشكل أسرع من التقريب الخطي.

يُعدّ هذا التباين سمةً مميزةً لأساليب الاستقراء، ولا يُمكن تجاوزه إلا عندما تُمثّل الصيغ الوظيفية التي يفترضها أسلوب الاستقراء (سواءً عن غير قصد أو عن قصد نتيجةً لمعلومات إضافية) طبيعة الدالة التي يتم استقراءها بدقة. في بعض المسائل، قد تتوفر هذه المعلومات الإضافية، ولكن في الحالة العامة، يستحيل تلبية جميع سلوكيات الدالة الممكنة بمجموعة صغيرة عملية من السلوكيات المحتملة.

في المستوى المركب

في التحليل المركب ، يمكن تحويل مشكلة الاستقراء إلى مشكلة استيفاء عن طريق تغيير المتغيرz^=1/z{\displaystyle {\hat {z}}=1/z}يُبدّل هذا التحويل الجزء من المستوى المركب داخل دائرة الوحدة مع الجزء خارجها. وعلى وجه الخصوص، تُنقل نقطة التراص عند اللانهاية إلى نقطة الأصل والعكس صحيح. مع ذلك، يجب توخي الحذر عند استخدام هذا التحويل، إذ قد تحتوي الدالة الأصلية على "خصائص" عند اللانهاية، كالأقطاب وغيرها من النقاط الشاذة ، والتي لم تكن واضحة من البيانات المأخوذة.

ثمة مشكلة أخرى في الاستقراء ترتبط بشكل غير مباشر بمشكلة الاستمرار التحليلي ، حيث يتم (عادةً) توسيع تمثيل متسلسلة القوى لدالة ما عند إحدى نقاط تقاربها لإنتاج متسلسلة قوى ذات نصف قطر تقارب أكبر . بمعنى آخر، تُستخدم مجموعة بيانات من منطقة صغيرة لاستقراء دالة ما على منطقة أكبر.

مرة أخرى، يمكن إحباط الاستمرار التحليلي بسبب خصائص الوظيفة التي لم تكن واضحة من البيانات الأولية.

كذلك، يمكن استخدام تحويلات المتتابعات، مثل تقريبات باديه وتحويلات متتابعات ليفين، كطرق استقراء تؤدي إلى جمع متسلسلات قوى متباعدة خارج نصف قطر التقارب الأصلي . في هذه الحالة، غالباً ما نحصل على تقريبات نسبية .

حجج الاستقراء

تُعدّ حجج الاستقراء حججًا غير رسمية وغير كمية، تُؤكد صحة أمرٍ ما على الأرجح خارج نطاق القيم المعروفة بصحته. على سبيل المثال، نؤمن بواقعية ما نراه من خلال العدسات المكبرة لأنه يتوافق مع ما نراه بالعين المجردة، ولكنه يتجاوزه؛ ونؤمن بما نراه من خلال المجاهر الضوئية لأنه يتوافق مع ما نراه من خلال العدسات المكبرة، ولكنه يتجاوزه؛ وينطبق الأمر نفسه على المجاهر الإلكترونية. تُستخدم هذه الحجج على نطاق واسع في علم الأحياء لاستقراء النتائج من الدراسات الحيوانية إلى البشر، ومن الدراسات التجريبية إلى شريحة أوسع من السكان. [ 7 ]

على غرار حجج المنحدر الزلق ، قد تكون حجج الاستقراء قوية أو ضعيفة اعتمادًا على عوامل مثل مدى تجاوز الاستقراء للنطاق المعروف. [ 8 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ الاستقراء ، مدخل في قاموس ميريام-ويبستر
  2. ↑ ج. سكوت أرمسترونغ؛ فريد كولوبي (1993). "القوى السببية: هيكلة المعرفة لاستقراء السلاسل الزمنية" . مجلة التنبؤ . 12 (2): 103-115 . CiteSeerX 10.1.1.42.40 . doi : 10.1002/for.3980120205 . S2CID 3233162. تاريخ الاسترجاع : 10 يناير 2012 .  
  3. ↑ الفهرس الرئيسي لموقع AIDSCJDUK.info
  4. ↑ ج. سكوت أرمسترونغ (1984). "التنبؤ بالاستقراء: استنتاجات من خمسة وعشرين عامًا من البحث" . Interfaces . 14 (6): 52–66 . CiteSeerX 10.1.1.715.6481 . doi : 10.1287/inte.14.6.52 . S2CID 5805521. تاريخ الاسترجاع: 10 يناير 2012 .  
  5. ↑ ف. نوس (2021). "Probnet: الاستقراء الهندسي لمتتاليات الأعداد الصحيحة مع توقع الخطأ" . تم الاسترجاع في 14 مارس 2023 .
  6. ↑ ج. سكوت أرمسترونغ؛ فريد كولوبي؛ ج. توماس يوكوم (2004). "التحليل باستخدام القوى السببية: إجراء للتنبؤ بالسلاسل الزمنية المعقدة" . المجلة الدولية للتنبؤ . 21 : 25-36 . doi : 10.1016/j.ijforecast.2004.05.001 . S2CID 8816023 . 
  7. ↑ ستيل، دانيال (2007). عبر الحدود: الاستقراء في علم الأحياء والعلوم الاجتماعية . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 9780195331448.
  8. ↑ فرانكلين، جيمس (2013). "الحجج التي تعتمد قوتها على التغير المستمر" . المنطق غير الرسمي . 33 (1): 33-56 . doi : 10.22329/il.v33i1.3610 . تاريخ الاسترجاع: 29 يونيو 2021 .

مراجع

  • أساليب الاستقراء. النظرية والتطبيق بقلم سي. بريزينسكي وم. ريديفو زاجليا ، نورث هولاند، 1991.
  • أفرام سيدي: "طرق الاستقراء العملية: النظرية والتطبيقات"، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-66159-5 (2003).
  • كلود بريزينسكي وميشيلا ريديفو-زاجليا  : "الاستقراء والتقريب العقلاني"، سبرينغر نيتشر، سويسرا، ISBN 9783030584177، (2020).