نظرية فالتينغز

تُعدّ نظرية فالتينغز نتيجةً في الهندسة الحسابية ، وتنص على أن المنحنى الجبري غير المنفرد من رتبة أكبر من 1 على الحقل${\displaystyle \mathbb {Q} }$تحتوي مجموعة الأعداد النسبية على عدد محدود فقط من النقاط النسبية . وقد افترض لويس مورديل ذلك في عام 1922 ، ^{[ 1 ]} وعُرف باسم حدسية مورديل حتى برهان جيرد فالتينجز في عام 1983. ^{[ 2 ]} وقد عُممت الحدسية لاحقًا باستبدال${\displaystyle \mathbb {Q} }$بواسطة أي حقل رقمي .

يترك${\displaystyle C}$ليكن منحنى جبريًا غير منفرد من النوع${\displaystyle g}$زيادة${\displaystyle \mathbb {Q} }$ثم مجموعة النقاط العقلانية على${\displaystyle C}$يمكن تحديد ذلك على النحو التالي:

• متى${\displaystyle g=0}$إما أن لا توجد نقاط أو أن يكون هناك عدد لا نهائي منها. في مثل هذه الحالات،${\displaystyle C}$يمكن التعامل معها كقطع مخروطي .
• متى${\displaystyle g=1}$إذا كانت هناك أي نقاط، فـ${\displaystyle C}$هي منحنى إهليلجي، وتشكل نقاطها النسبية زمرة أبيلية مولدة نهائياً . (هذه هي نظرية مورديل ، التي عُممت لاحقاً إلى نظرية مورديل-ويل ). علاوة على ذلك، تقيد نظرية مازور للالتواء بنية الزمرة الفرعية للالتواء.
• متى${\displaystyle g>1}$وفقًا لنظرية فالتينغز،${\displaystyle C}$لا يحتوي إلا على عدد محدود من النقاط العقلانية.

افترض إيغور شافاريفيتش أن هناك عددًا محدودًا فقط من فئات التشاكل للأصناف الأبيلية ذات البعد الثابت ودرجة الاستقطاب الثابتة على حقل عددي ثابت مع اختزال جيد خارج مجموعة محدودة ثابتة من المواضع . ^{[ 3 ]} بيّن أليكسي بارشين أن فرضية شافاريفيتش حول محدودية العدد تستلزم فرضية مورديل، باستخدام ما يُعرف الآن بحيلة بارشين. ^{[ 4 ]}

أثبت جيرد فالتينغز حدسية شافاريفيتش حول التناهي باستخدام اختزال معروف إلى حالة من حدسية تيت ، بالإضافة إلى أدوات من الهندسة الجبرية ، بما في ذلك نظرية نماذج نيرون . ^{[ 5 ]} الفكرة الرئيسية لبرهان فالتينغز هي مقارنة ارتفاعات فالتينغز والارتفاعات البسيطة عبر أصناف سيجل المعيارية . ^{[ أ ]}

أسفرت ورقة فالتينغز البحثية لعام 1983 عن عدد من التصريحات التي تم التكهن بها سابقاً:

• تخمين مورديل أن منحنى من جنس أكبر من 1 على حقل عددي له عدد محدود فقط من النقاط العقلانية؛
• تنص نظرية تيت للتماثل على أن الأصناف الأبيلية ذات وحدات تيت المتماثلة (مثل${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$الوحدات النمطية ذات تأثير غالوا متماثلة .

من الأمثلة على تطبيقات نظرية فالتينغز تطبيقها على شكل ضعيف من نظرية فيرما الأخيرة : لأي قيمة ثابتة${\displaystyle n\geq 4}$يوجد على الأكثر عدد محدود من الحلول الأولية للأعداد الصحيحة ( الحلول الأولية فيما بينها) لـ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$، لأنه بالنسبة لمثل هذا${\displaystyle n}$منحنى فيرما${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$له جنس أكبر من 1.

بسبب نظرية مورديل-ويل ، يمكن إعادة صياغة نظرية فالتينغز كعبارة حول تقاطع منحنى${\displaystyle C}$مع مجموعة فرعية مولدة بشكل نهائي${\displaystyle \Gamma }$من نوع أبيلي${\displaystyle A}$التعميم عن طريق الاستبدال${\displaystyle A}$بواسطة نوع شبه أبيلي ،${\displaystyle C}$بواسطة نوع فرعي عشوائي من${\displaystyle A}$، و${\displaystyle \Gamma }$بواسطة مجموعة فرعية ذات رتبة منتهية عشوائية من${\displaystyle A}$يؤدي إلى حدسية مورديل-لانغ ، والتي تم إثباتها في عام 1995 بواسطة ماكويلان ^{[ 9 ]} بعد عمل لوران، وراينو ، وهيندري، وفوجتا ، وفالتينغز .

ومن التعميمات الأخرى ذات الأبعاد الأعلى لنظرية فالتينغز حدسية بومبيري-لانغ التي تنص على أنه إذا${\displaystyle X}$هو نوع شبه قانوني (أي نوع من النوع العام) على حقل عددي${\displaystyle k}$، ثم${\displaystyle X(k)}$ليس زاريسكي كثيفًا في${\displaystyle X}$وقد طرح بول فوجتا تخمينات أكثر عمومية .

أثبت يوري إيفانوفيتش مانين ^{[ 10 ]} وهانز غراورت ^{[ 11 ]} حدسية مورديل لحقول الدوال . وفي عام 1990، اكتشف روبرت ف. كولمان ثغرة في برهان مانين وقام بتصحيحها ^{[ 12 ] .}

• منحت الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب جائزة أبيل لعام 2026 للسير جيرد فالتينجز