قانون فاراداي للاستقراء

القوة الدافعة الكهربائية الحركية، الناتجة عن تحريك موصل عبر مجال مغناطيسي.

القوة الدافعة الكهربائية للمحول، الناتجة عن تغير المجال المغناطيسي.

في الكهرومغناطيسية ، يصف قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي كيف يمكن لمجال مغناطيسي متغير أن يحث تيارًا كهربائيًا في دائرة كهربائية . هذه الظاهرة، المعروفة بالحث الكهرومغناطيسي ، هي المبدأ التشغيلي الأساسي ^{للمحولات} والمحاثات وأنواع عديدة من المحركات الكهربائية والمولدات والملفات اللولبية . ^{[ 1 ]} [ ^{2 ]}

في الأدبيات، يُستخدم قانون فاراداي للإشارة إلى عبارتين مترابطتين ارتباطًا وثيقًا، لكنهما مختلفتان تقنيًا، ويمكن استخدام أي منهما لتفسير ظاهرة التيار المستحث الموصوفة أعلاه. ^{[ 3 ] [ 4 ]} إحداهما هي معادلة ماكسويل-فاراداي ، وهي إحدى معادلات ماكسويل ، التي تنص على أن المجال المغناطيسي المتغير مع الزمن يكون مصحوبًا دائمًا بمجال كهربائي دائري . ينطبق هذا القانون على المجالات نفسها ولا يتطلب وجود دائرة كهربائية.

أما القانون الآخر فهو قانون فاراداي للتدفق المغناطيسي ، أو قانون فاراداي-لينز ، الذي يربط القوة الدافعة الكهربائية حول حلقة موصلة مغلقة بمعدل تغير التدفق المغناطيسي عبر الحلقة مع الزمن. ويمكن اشتقاق هذا القانون من القانون الأول في سياق دائرة مغلقة. ويشرح قانون التدفق المغناطيسي آليتين لتوليد القوة الدافعة الكهربائية. ففي حالة القوة الدافعة الكهربائية الناتجة عن المحولات ، يُحدث مجال مغناطيسي متغير مع الزمن مجالًا كهربائيًا وفقًا لمعادلة ماكسويل-فاراداي، ويدفع هذا المجال الكهربائي تيارًا كهربائيًا حول الحلقة. أما في حالة القوة الدافعة الكهربائية الحركية ، فتتحرك الدائرة عبر مجال مغناطيسي، وتنشأ القوة الدافعة الكهربائية من المكون المغناطيسي لقوة لورنتز المؤثرة على الشحنات في الموصل.

تاريخياً، شكّلت التفسيرات المختلفة للقوة الدافعة الكهربائية الحركية والقوة الدافعة الكهربائية للمحولات مشكلة مفاهيمية، إذ يعتمد التيار المرصود فقط على الحركة النسبية، بينما تختلف التفسيرات الفيزيائية في الحالتين. في النسبية الخاصة ، يُفهم هذا التمييز على أنه يعتمد على الإطار المرجعي: فما يظهر كقوة مغناطيسية في إطار مرجعي قد يظهر كمجال كهربائي مستحث في إطار مرجعي آخر.

في عام 1820، أثبت هانز كريستيان أورستد أن التيار الكهربائي يُولّد مجالًا مغناطيسيًا، مُظهرًا أن إبرة البوصلة يُمكن أن تنحرف بفعل سلك قريب يحمل تيارًا كهربائيًا. دفع هذا الاكتشاف العلماء إلى التساؤل عما إذا كان العكس صحيحًا أيضًا، أي ما إذا كان المجال المغناطيسي يُمكن أن يُولّد تيارًا كهربائيًا. ^{[ 5 ]}

أظهرت التجارب الأولية أن المجال المغناطيسي الثابت لا يؤثر على الدائرة الكهربائية المجاورة: فمجرد وضع مغناطيس بالقرب من حلقة سلكية لا يُنتج تيارًا كهربائيًا. ^{[ 5 ]} وجاء الإنجاز في عام 1831، عندما أثبت مايكل فاراداي أن المجال المغناطيسي المتغير قادر بالفعل على توليد تيار كهربائي في الدائرة. وبشكل مستقل، أجرى جوزيف هنري ملاحظات مماثلة في عام 1832، ^{[ 6 ]} مع أن فاراداي كان أول من نشر نتائجه. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

يصف دفتر ملاحظات فاراداي بتاريخ 29 أغسطس 1831 ^{[ 10 ]} تجربة عملية للحث الكهرومغناطيسي. ^{[ 11 ]} لفّ فاراداي ملفين من الأسلاك حول جانبين متقابلين لحلقة حديدية، مُشكلاً بذلك محولًا حلقيًا بدائيًا . وعندما وصل أحد الملفين ببطارية، لاحظ انحرافًا طفيفًا في الجلفانومتر الموصول بالملف الثاني. واستنتج أن تغير التيار في الملف الأول يُولّد مجالًا مغناطيسيًا متغيرًا في الحلقة، والذي بدوره يُحفّز تيارًا في الملف الثاني. ووصف فاراداي ذلك بأنه "موجة كهربائية" تنتشر عبر الحديد. ^{[ 12 ] : 182-183}

خلال الأشهر التالية، اكتشف فاراداي مظاهر أخرى للحث الكهرومغناطيسي. ^{[ 9 ]} لاحظ تيارات عابرة عند تحريك مغناطيس قضيب بسرعة داخل أو خارج ملف سلكي. كما صنع جهازًا، يُعرف الآن باسم قرص فاراداي أو مولد أحادي القطب، يُنتج تيارًا مستمرًا ( تيارًا مستمرًا ) عن طريق تدوير قرص نحاسي في وجود مغناطيس ثابت، باستخدام موصل كهربائي منزلق. ^{[ 12 ] : 191-195}

فسّر فاراداي هذه الظواهر باستخدام مفهوم خطوط القوة . ومع ذلك، قوبلت أفكاره النظرية بالتشكيك، لأنها لم تُصاغ رياضياً. ^{[ 12 ] : 510}

يصف قانون لينز ، الذي صاغه إميل لينز في عام 1834، ^{[ 13 ]} "التدفق عبر الدائرة"، ويعطي اتجاه القوة الدافعة الكهربائية والتيار الناتج عن الحث الكهرومغناطيسي (الموضح بالتفصيل في الأمثلة أدناه).

وضع فرانز إرنست نيومان قوانين الحث الكهرومغناطيسي في صيغة رياضية عام 1845. ^{[ 14 ] [ 15 ]} كما قدم فيلهلم إدوارد فيبر صياغةً لها في إطار الديناميكا الكهربائية لفيبر . ^{[ 16 ] [ 15 ]}

ابتداءً من عام 1851، أجرى ريكاردو فيليتشي العديد من التجارب على الاستقراء بناءً على نظرية نيومان. وقد توصل فيليتشي إلى قانون فيليتشي ، وهو صيغة من صيغ قانون الاستقراء. ^{[ 17 ]}

قام جيمس كلارك ماكسويل لاحقًا بإضفاء طابع رياضي على رؤى فاراداي، ودمجها في نظريته الكهرومغناطيسية الأوسع نطاقًا في أوائل ستينيات القرن التاسع عشر. ^{[ 12 ] : 510 [ 18 ] [ 19 ]} استشهد ماكسويل بأعمال فاراداي، ونيومان، وويبر، وفيليتشي. ^{[ 17 ]}

في أبحاث ماكسويل، يُعبَّر عن الجانب المتغير مع الزمن للحث الكهرومغناطيسي بمعادلة تفاضلية أشار إليها أوليفر هيفسايد باسم قانون فاراداي، على الرغم من اختلافها عن الصيغة الأصلية لقانون فاراداي، وعدم وصفها للقوة الدافعة الكهربائية الحركية . وتُعدّ صيغة هيفسايد من تسعينيات القرن التاسع عشر هي الصيغة المتعارف عليها اليوم في مجموعة المعادلات المعروفة باسم معادلات ماكسويل .

وفقًا لألبرت أينشتاين ، فإن الكثير من العمل الأساسي واكتشاف نظريته النسبية الخاصة قد تم تقديمه من خلال قانون الاستقراء هذا بواسطة فاراداي في عام 1834. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

ينص قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي، المعروف أيضًا بقاعدة التدفق ، وقانون التدفق ، وقانون فاراداي - لينز ، ^{[ 22 ]} على أن القوة الدافعة الكهربائية حول دائرة مغلقة تساوي معدل التغير السالب للتدفق المغناطيسي عبر الدائرة. ينطبق هذا القانون على أي دائرة مصنوعة من سلك رفيع، ويفسر تغيرات التدفق الناتجة عن تغيرات المجال المغناطيسي ، أو حركة الدائرة، أو تشوه شكلها. ^{[ 23 ]} ويُحدد قانون لينز اتجاه القوة الدافعة الكهربائية المستحثة ، حيث ينص على أن التيار المستحث يتدفق بطريقة تعاكس فيها مجاله المغناطيسي التغير في التدفق المغناطيسي الأصلي. ^{[ 24 ]}

رياضياً، في وحدات النظام الدولي للوحدات ، يُعبَّر عن القانون على النحو التالي $${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}},}$$ أين${\displaystyle {\mathcal {E}}}$تمثل القوة الدافعة الكهربائية (emf)، و ΦB يمثل التدفق المغناطيسي عبر الدائرة. يُعرَّف التدفق المغناطيسي بأنه التكامل السطحي للمجال المغناطيسي B على سطح متغير _مع الزمن Σ( t ) ، والذي يمثل حلقة السلك حدوده .$${\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \,,}$$ حيث يمثل dA متجه مساحة متناهي الصغر عموديًا على السطح. ويمثل حاصل الضرب النقطي B · dA التدفق المغناطيسي عبر عنصر المساحة التفاضلي. وبصورة أوضح، يتناسب التدفق المغناطيسي طرديًا مع عدد خطوط المجال المغناطيسي التي تمر عبر الحلقة.

عندما يتغير التدفق المغناطيسي، تتولد قوة دافعة كهربائية حول الحلقة. هذه القوة الدافعة الكهربائية تعادل الطاقة اللازمة لكل وحدة شحنة لتحريكها دورة كاملة حول الحلقة. ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} في دائرة بسيطة ذات مقاومة${\displaystyle R}$، قوة دافعة كهربائية${\displaystyle {\mathcal {E}}}$يؤدي إلى نشوء تيار${\displaystyle I}$وفقًا لقانون أوم${\displaystyle {\mathcal {E}}=IR}$^{[ 28 ]} وبالمثل ، إذا تم قطع الحلقة لتشكيل دائرة مفتوحة وتم توصيل فولتميتر عبر الأطراف، فإن القوة الدافعة الكهربائية تساوي الجهد المقاس عبر الأطراف المفتوحة. ^{[ 29 ]}

بالنسبة لملف سلكي ملفوف بإحكام ، يتكون من N لفة متطابقة، تعبر خطوط المجال المغناطيسي نفسها السطح N مرة. في هذه الحالة، ينص قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي على ما يلي ^{[ 30 ] [ 31 ]}$${\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}$$ حيث N هو عدد لفات السلك و ^ΦB هو التدفق المغناطيسي عبر حلقة واحدة. يُعرف حاصل ضرب N ΦB _{بالتدفق} المرتبط . ^{[ 32} _]

يمكن أن يتغير التدفق إما بسبب حركة الحلقة أو تشوهها بمرور الوقت، أو بسبب تغير المجال نفسه بمرور الوقت. يتوافق هذان الاحتمالان مع الآليتين الموصوفتين في قاعدة التدفق: ^{[ 33 ]}

• القوة الدافعة الكهربائية الحركية : تتحرك الدائرة عبر مجال مغناطيسي ثابت ولكنه غير منتظم.
• القوة الدافعة الكهربائية للمحول : تبقى الدائرة ثابتة بينما يتغير المجال المغناطيسي بمرور الوقت.

القوة الدافعة الكهربائية الحركية

تُوضَّح الآلية الأساسية وراء القوة الدافعة الكهربائية الحركية بقضيب موصل يتحرك عبر مجال مغناطيسي عمودي على كلٍّ من القضيب واتجاه حركته. نتيجةً للحركة في المجال المغناطيسي، تتعرض الإلكترونات المتحركة في الموصل للمركبة المغناطيسية ( q v × B ) لقوة لورنتز التي تدفعها على طول القضيب. يؤدي هذا إلى فصل الشحنات بين طرفي القضيب. في حالة الاستقرار، يُعادل المجال الكهربائي الناتج عن الشحنة المتراكمة القوة المغناطيسية. ^{[ 34 ]}

إذا كان القضيب جزءًا من حلقة موصلة مغلقة تتحرك عبر مجال مغناطيسي غير منتظم، فإن التأثير نفسه يُمكن أن يُولّد تيارًا كهربائيًا في الدائرة. على سبيل المثال، لنفترض أن المجال المغناطيسي محصور في منطقة محدودة من الفضاء، وأن الحلقة تقع في البداية خارج هذه المنطقة. عندما تتحرك الحلقة داخل المجال، تزداد مساحة الحلقة التي تُحيط بالتدفق المغناطيسي، مما يُؤدي إلى توليد قوة دافعة كهربائية. من منظور قوة لورنتز، يعود ذلك إلى أن المجال يُؤثر بقوة مغناطيسية على حاملات الشحنة في أجزاء الحلقة التي تدخل المنطقة. بمجرد أن تستقر الحلقة بأكملها في مجال مغناطيسي منتظم وتستمر في الحركة بسرعة ثابتة، يظل التدفق المغناطيسي الكلي المحصور ثابتًا، وتتلاشى القوة الدافعة الكهربائية. في هذه الحالة، تتلاشى القوى المغناطيسية على جانبي الحلقة المتقابلين.

اتجاه التيار المستحث

يمكن تحديد اتجاه القوة الدافعة الكهربائية مباشرةً من قانون فاراداي، دون الحاجة إلى قانون لينز. ​​وتساعد قاعدة اليد اليسرى في ذلك، كما يلي: ^{[ 39 ] [ 40 ]}

• قم بمحاذاة الأصابع المنحنية لليد اليسرى مع الحلقة (الخط الأصفر).
• مد إبهامك. يشير الإبهام الممدود إلى اتجاه n (البني)، وهو العمودي على المنطقة المحصورة بالحلقة.
• أوجد إشارة ΔΦ _B ، وهو التغير في التدفق. حدد التدفقين الابتدائي والنهائي (الذي الفرق بينهما هو ΔΦ _B ) بالنسبة للعمودي n ، كما هو موضح بالإبهام الممدود.
• إذا كان التغير في التدفق، ΔΦ _B ، موجبًا، فإن الأصابع المنحنية تُظهر اتجاه القوة الدافعة الكهربائية (رؤوس الأسهم الصفراء).
• إذا كانت ΔΦ _B سالبة، فإن اتجاه القوة الدافعة الكهربائية يكون معاكساً لاتجاه الأصابع المنحنية (عكس رؤوس الأسهم الصفراء).

تُعدّ معادلة ماكسويل-فاراداي إحدى معادلات ماكسويل الأربع ، ولذا فهي تلعب دورًا أساسيًا في نظرية الكهرومغناطيسية الكلاسيكية . تنصّ هذه المعادلة على أن المجال المغناطيسي المتغير مع الزمن يُصاحب دائمًا مجالًا كهربائيًا متغيرًا مكانيًا وغير محافظ . ويمكن كتابتها في صيغتها التفاضلية وبوحدات النظام الدولي للوحدات (SI) على النحو التالي:

حيث ∇ × هو عامل الدوران ، وE ( r , t ) هو المجال الكهربائي ، و B ( r , t ) هو المجال المغناطيسي . ويمكن أن تكون هذه المجالات عمومًا دوالًا للموضع r والزمن t . ^{[ 41 ]}

ويمكن كتابتها أيضًا في شكل تكاملي بواسطة نظرية كلفن-ستوكس : ^{[ 42 ]}

حيث، كما هو موضح في الشكل، Σ سطح محصور بالحلقة المغلقة ∂Σ ، و dl عنصر متجه متناهي الصغر على طول تلك الحلقة. عنصر مساحة المتجه dA عمودي على السطح وموجه وفقًا لقاعدة اليد اليمنى : عندما يشير الإبهام إلى اتجاه dA ، تشير الأصابع الملتفة إلى اتجاه dl على طول الحد .

يمثل الطرف الأيسر من المعادلة دوران المجال الكهربائي حول الحلقة ∂Σ . ^{[ 43} ] ^{: الفصل 3.} بالنسبة للمجالات الكهربائية الساكنة، يكون الدوران معدومًا، إذ يمكن التعبير عن المجال كتدرج جهد قياسي. في المقابل، يُنتج المجال المغناطيسي المتغير مع الزمن مجالًا كهربائيًا غير محافظ ذي دوران غير معدوم. عندما يؤثر هذا المجال على حلقة موصلة، فإنه يُولّد تيارًا حول الحلقة.

إذا لم يتغير السطح Σ بمرور الوقت، فإن معادلة الجانب الأيمن تصبح المشتقة الزمنية للتدفق المغناطيسي Φ _B عبر السطح: $$$$ {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}.}$$إذا تم تحديد الجانب الأيسر من المعادلة على أنه العمل لكل وحدة شحنة يقوم به المجال الكهربائي على الشحنات في حلقة موصلة ثابتة، فإن هذه المعادلة تعيد إنتاج قاعدة التدفق في الحالة الخاصة للدائرة الثابتة.

في الحد غير النسبي، يمكن تقريب المكون اللولبي للمجال الكهربائي المستحث بواسطة التكامل الحجمي ^{[ 41 ] : 321}$$// {ص} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'} }$$يوضح هذا التعبير كيف تساهم التغيرات في المجال المغناطيسي عبر الفضاء في المجال الكهربائي المستحث عند نقطة معينة، مع ترجيح كل مساهمة بالمربع العكسي للمسافة.

تشكل معادلات ماكسويل الأربع ، بالإضافة إلى قانون قوة لورنتز، أساسًا متكاملًا للكهرومغناطيسية الكلاسيكية . ^{[ 43 ] [ 44 ]} ومنها يمكن اشتقاق قانون فاراداي مباشرةً. ^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]}

يبدأ الاشتقاق بالنظر في المشتق الزمني للتدفق المغناطيسي عبر سطح Σ(t) الذي قد يتغير مع الزمن: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} .}$$ يمكن أن يتغير التدفق المغناطيسي لسببين: أولهما أن المجال المغناطيسي نفسه قد يتغير مع الزمن، وثانيهما أن السطح قد يتحرك أو يتغير شكله، محيطًا بمنطقة مختلفة من الفضاء. ويتم تمثيل كلا التأثيرين بواسطة الصيغة ثلاثية الأبعاد لقاعدة لايبنتز التكاملية ، والتي تُعرف أحيانًا باسم "نظرية التدفق": ^{[ 48 ] [ 28 ]}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+(\nabla \cdot \mathbf {B} )\mathbf {v} _{c}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}(\mathbf {v} _{c}\times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$$ هنا ،${\displaystyle \partial \Sigma (t)}$يمثل الحد المتحرك للسطح و${\displaystyle \mathbf {v} _{c}}$هي السرعة المحلية للحدود عند كل نقطة. وفقًا لقانون جاوس للمغناطيسية (${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$) ، يتلاشى الحد الثاني تحت التكامل المساحي. بتطبيق معادلة ماكسويل-فاراداي على الحد المتبقي، $${\displaystyle \iint _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =-\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} ,}$$ وبدمج التكاملين الخطيين نحصل على $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=-\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} _{c}\times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .}$$ هذه نتيجة دقيقة، مستمدة من معادلات ماكسويل وحساب المتجهات. ^{[ 28 ]}

ومع ذلك، فإن الكمية الموجودة داخل التكامل ليست قوة لورنتز الكاملة لكل وحدة شحنة، لأن السرعة${\displaystyle \mathbf {v} _{c}}$يمثل هذا حركة حدود الحلقة، وليس السرعة الفعلية لحاملات الشحنة. لاستعادة القوة الدافعة الكهربائية الفيزيائية، يجب التمييز بين هاتين السرعتين. لنختر مسار التكامل بحيث يتطابق مع الدائرة الفيزيائية. عندئذٍ، تُعطى سرعة حامل الشحنة في الموصل بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} _{c}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t),}$$ أين${\displaystyle \mathbf {v} _{c}}$هي سرعة الموصل (الأيونات الموجودة في المادة)، و${\displaystyle \mathbf {v} _{d}}$تمثل سرعة انجراف الإلكترونات بالنسبة للمادة. ويفترض هذا التحليل جمع السرعات بطريقة غير نسبية (جاليلية). ^{[ 28 ]}

القوة الدافعة الكهربائية${\displaystyle {\mathcal {E}}}$يُعرَّف الارتباط بقوة لورنتز على النحو التالي: $${\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .}$$

وباستبدال تعبير سرعة الناقل والنتيجة المذكورة أعلاه، نحصل على:

وبصورة مكافئة، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي $${\displaystyle {\mathcal {E}}=-\iint _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot {\rm {d}}\mathbf {A} +\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} ,}$$ حيث يمثل الحد الأول "القوة الدافعة الكهربائية للمحول" الناتجة عن مجال مغناطيسي متغير مع الزمن، ويمثل الحد الثاني "القوة الدافعة الكهربائية الحركية" الناتجة عن قوة لورنتز المغناطيسية بسبب حركة الشحنات في المجال المغناطيسي. ^{[ 28 ]}

في الدوائر المصنوعة من أسلاك رفيعة أحادية البعد، تكون سرعة الانجراف متوافقة مع السلك، وبالتالي مع عنصر التكامل .${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {l} }$في هذه الحالة، يكون حاصل الضرب الاتجاهي${\textstyle \mathbf {v} _{d}\times \mathbf {B} }$عمودي على${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {l} }$وبذلك يختفي الحد المتناسب مع سرعة الانجراف. وهذا يعيدنا إلى الشكل القياسي لقانون فاراداي: $${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}$$ في هذه الحالة، يمكن أيضًا التعبير عن القوة الدافعة الكهربائية كمجموع ^{[ 28 ]}$${\displaystyle {\mathcal {E}}=-\iint _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} _{c}\times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .}$$في الموصلات التي ليست أسلاكًا رفيعة، يكون مصطلح سرعة الانجراف${\textstyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} _{d}\times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$قد لا تختفي تمامًا. ومع ذلك، عادةً ما تنجرف الإلكترونات بسرعات من رتبة10⁻⁴ م/ث  ، وغالبًا ما يكون تأثيرها ضئيلاً مقارنةً بالتأثيرات الأخرى. ^{[ 49 ]} ويُعدّ تأثير هول استثناءً ملحوظًا ، حيث يكون مصطلح التدفق ^{المغناطيسي}${\textstyle \mathrm {d} \Phi _{B}/\mathrm {d} t}$يتلاشى، وينشأ جهد هول المرصود بالكامل من حد سرعة الانجراف. ^{[ 28 ]}

قد يميل البعض إلى تعميم قانون فاراداي ليقول: إذا كان ∂Σ أي مسار مغلق عشوائي في الفضاء، فإن المشتق الزمني الكلي للتدفق المغناطيسي عبر Σ يساوي القوة الدافعة الكهربائية حول ∂Σ . إلا أن هذه العبارة ليست صحيحة دائمًا. فكما ذُكر في القسم السابق، لا يُضمن صحة قانون فاراداي إلا إذا تطابقت سرعة المنحنى المجرد ∂Σ مع السرعة الفعلية للمادة الموصلة للكهرباء. ^{[ 50 ]} وإذا لم يكن الموصل سلكًا رقيقًا للغاية، فقد يتعين أيضًا مراعاة سرعة الشحنات بالنسبة للمادة. ^{[ 28 ]} يوضح المثالان التاليان أنه غالبًا ما نحصل على نتائج غير صحيحة عند تطبيق قانون فاراداي بشكل واسع جدًا. ^{[ 43 ]}

• 
  مولد فاراداي أحادي القطب . يدور القرص بسرعة زاوية ω ، كاسحًا نصف القطر الموصل بشكل دائري في المجال المغناطيسي الساكن B (الذي يكون اتجاهه موازيًا للعمود المقام على سطح القرص). تدفع قوة لورنتز المغناطيسية v × B تيارًا كهربائيًا على طول نصف القطر الموصل إلى الحافة الموصلة، ومن هناك تكتمل الدائرة عبر الفرشاة السفلية والمحور الذي يدعم القرص. يُولّد هذا الجهاز قوة دافعة كهربائية وتيارًا كهربائيًا، على الرغم من أن شكل "الدائرة" ثابت، وبالتالي فإن التدفق المغناطيسي عبر الدائرة لا يتغير مع الزمن.
• 
  يُوصل سلك (خطوط حمراء متصلة) بين لوحين معدنيين متلامسين (فضيين) لتشكيل دائرة كهربائية. يقع النظام بأكمله في مجال مغناطيسي منتظم، عمودي على الصفحة. إذا اتبع المسار المجرد ∂Σ المسار الرئيسي لتدفق التيار (المُحدد باللون الأحمر)، فإن التدفق المغناطيسي عبر هذا المسار يتغير بشكل كبير عند دوران اللوحين، ومع ذلك فإن القوة الدافعة الكهربائية تكاد تكون معدومة. (مقتبس من محاضرات فاينمان في الفيزياء ^{[ 43 ] : الفصل 17 )}

يمكن تحليل أمثلة كهذه مع مراعاة أن المسار ∂Σ يتحرك بنفس سرعة المادة. ^{[ 50 ]} ويمكن دائمًا حساب القوة الدافعة الكهربائية بدقة من خلال دمج قانون قوة لورنتز مع معادلة ماكسويل-فاراداي: ^{[ 43 ] : الفصل 17}$${\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-\int _{\partial \Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot {\rm {d}}\mathbf {A} +\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {l} ,}$$ حيث v هي سرعة الموصل في الإطار المرجعي الذي يُوصف فيه المجال المغناطيسي B. لا يمكن عمومًا إخراج المشتق الزمني من التكامل لأن موضع الحلقة أو شكلها قد يكون دالةً للزمن. ^{[ 51 ]}

تاريخيًا، شكّلت الآليتان المتميزتان اللتان يشملهما قانون التدفق، وهما القوة الدافعة الكهربائية الحركية والقوة الدافعة الكهربائية للمحولات، تحديًا مفاهيميًا. ^{[ 52 ]} وقد أدرك جيمس كلارك ماكسويل بالفعل أن الحث الكهرومغناطيسي يمكن أن ينشأ من خلال عمليات فيزيائية مختلفة، على الرغم من أن القوة الدافعة الكهربائية المستحثة تخضع لتعبير رياضي واحد. وفي بحثه المنشور عام 1861 بعنوان " حول خطوط القوة الفيزيائية " ، ^{[ 53 ]} قدّم تفسيرات فيزيائية منفصلة لكل حالة.

في عام ١٩٠٥، سلّط ألبرت أينشتاين الضوء على هذا التباين في الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية في بحثه " في الديناميكا الكهربائية للأجسام المتحركة" . ^{[ ٥٤ ]} وأشار إلى أن النتيجة الفيزيائية، مثل التيار المستحث، تعتمد فقط على الحركة النسبية بين الموصل والمغناطيس، ومع ذلك، قدمت النظرية الكلاسيكية تفسيرات مختلفة تبعًا للجسم الذي يُعتبر متحركًا. وقد أوحى هذا التناقض بغياب إطار مرجعي مفضل، وساهم في تحفيز تطوير النسبية الخاصة . ^{[ ٥٥ ]}

في المصطلحات الحديثة، يُفهم المجالان الكهربائي والمغناطيسي على أنهما مكونان لموتر مجال كهرومغناطيسي واحد . عند تغيير الإطار المرجعي العطالي ، يتحول المجالان إلى بعضهما البعض. ^{[ 56 ]}

• داريغول، أوليفييه (2000). الديناميكا الكهربائية من أمبير إلى أينشتاين . أكسفورد؛ نيويورك: مطبعة كلارندون. ISBN 0-19-850594-9.
• فاينمان، ريتشارد فيليبس ؛ لايتون، روبرت ب.؛ ساندز، ماثيو ل. (2006). محاضرات فاينمان في الفيزياء . المجلد  2. بيرسون / أديسون-ويسلي. ISBN 0-8053-9047-2.
• غريفيث، ديفيد ج. (2023). مقدمة في الديناميكا الكهربائية . مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/9781009397735 . ISBN 978-1-009-39773-5.
• بورسل، إدوارد م.؛ مورين، ديفيد ج. (2013). الكهرباء والمغناطيسية . مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/cbo9781139012973 . ISBN 978-1-139-01297-3.
• ساديكو، ماثيو نو (2018). عناصر الكهرومغناطيسية (  الطبعة السابعة). نيويورك/أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-069861-4. إل سي سي إن 2017046497 . 
• زانغويل، أندرو (2013). الديناميكا الكهربائية الحديثة . مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/CBO9781139034777 . ISBN 978-0-521-89697-9.

• كلارك ماكسويل، جيمس (1954) [نُشر لأول مرة عام 1881]. رسالة في الكهرباء والمغناطيسية، المجلد الثاني . أكسفورد: مطبعة كلارندون. الفصل  الثالث، القسم  530، صفحة  178. ISBN 0-486-60637-6.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

• الوسائط المتعلقة بقانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي على ويكيميديا ​​كومنز
• برنامج تعليمي تفاعلي بسيط حول الحث الكهرومغناطيسي (انقر واسحب المغناطيس ذهابًا وإيابًا) - المختبر الوطني للمجالات المغناطيسية العالية
• روبرتو فيغا. الاستقراء: قانون فاراداي وقانون لينز - محاضرة تفاعلية للغاية، مع مؤثرات صوتية ، صفحة مقرر الكهرباء والمغناطيسية
• ملاحظات من قسم الفيزياء وعلم الفلك في جامعة ولاية جورجيا
• تانكرسلي وموسكا: تقديم قانون فاراداي
• محاكاة مجانية للقوة الدافعة الكهربائية الحركية