رقم الشكل

يستخدم مصطلح "العدد الشكلي" من قبل كتّاب مختلفين للإشارة إلى عناصر مجموعات أعداد متنوعة، بدءًا من الأعداد المثلثية وصولًا إلى أشكال مختلفة ( الأعداد المضلعة ) وأبعاد مختلفة (الأعداد متعددة السطوح). وقد درس علماء الرياضيات اليونانيون القدماء الأعداد المثلثية والمضلعة والرباعية السطوح والهرمية ، ^{[ 1} ] وأضاف علماء الرياضيات اللاحقون فئات أخرى من هذه ^{الأعداد} ، بما في ذلك الأعداد المعرفة من أنواع أخرى من متعددات السطوح ومن نظائرها في أبعاد أخرى.

تمت مناقشة بعض أنواع الأعداد التصويرية في القرنين السادس عشر والسابع عشر تحت اسم "الأعداد التصويرية". ^{[ 2 ]}

في الأعمال التاريخية المتعلقة بالرياضيات اليونانية، كان المصطلح المفضل هو العدد المرقم . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

في استخدام يعود إلى كتاب جاكوب برنولي " فن التخمين " ^{[ 1 ]} ، يُستخدم مصطلح " العدد الشكلي" للإشارة إلى الأعداد المثلثية المكونة من أعداد صحيحة متتالية ، والأعداد الرباعية الأوجه المكونة من أعداد مثلثية متتالية، وما إلى ذلك. وتُعرف هذه الأعداد بمعاملات ذات الحدين . في هذا السياق، لا تُعتبر الأعداد المربعة (4، 9، 16، 25، ...) أعدادًا شكلية عند تمثيلها في شكل مربع.

تستخدم العديد من المصادر الأخرى مصطلح " العدد الشكلي" كمرادف للأعداد المضلعة ، سواء كان ذلك النوع المعتاد أو كليهما بالإضافة إلى الأعداد المضلعة المركزية . ^{[ 5 ]}

يُقال إن الدراسة الرياضية للأعداد الشكلية بدأت مع فيثاغورس ، وربما استندت إلى أسلاف بابليين أو مصريين. كما يُنسب إليه توليد أي فئة من الأعداد الشكلية التي درسها الفيثاغوريون باستخدام المزولة . مع ذلك، لا يوجد مصدر موثوق لهذه الادعاءات، لأن جميع الكتابات الباقية عن الفيثاغوريين ^{[ 6 ]} تعود إلى قرون لاحقة. ^{[ 7 ]} يُعد سبيوسيبوس أقدم مصدر يُبين أن العدد عشرة، باعتباره العدد المثلثي الرابع، كان في الواقع التتراكتيس ، الذي يُفترض أنه ذو أهمية بالغة في الفيثاغورية . ^{[ 8 ]} كانت الأعداد الشكلية محور اهتمام في النظرة الفيثاغورية للعالم. كان من المفهوم جيدًا أن بعض الأعداد يمكن أن يكون لها أشكال متعددة، على سبيل المثال، العدد 36 هو مربع ومثلث، بالإضافة إلى أشكال مستطيلة مختلفة.

يعود تاريخ الدراسة الحديثة للأعداد الشكلية إلى بيير دي فيرما ، وتحديداً إلى نظرية فيرما للأعداد المضلعية . وفي وقت لاحق، أصبح هذا الموضوع ذا أهمية بالغة بالنسبة لأويلر ، الذي قدم صيغة صريحة لجميع الأعداد المثلثية التي هي أيضاً مربعات كاملة ، إلى جانب العديد من الاكتشافات الأخرى المتعلقة بالأعداد الشكلية.

لعبت الأعداد الشكلية دورًا هامًا في الرياضيات الترفيهية الحديثة. ^{[ 9 ]} في الرياضيات البحثية، تُدرس الأعداد الشكلية من خلال كثيرات حدود إيرهارت ، وهي كثيرات حدود تُستخدم لحساب عدد النقاط الصحيحة في مضلع أو متعدد السطوح عند توسيعه بمعامل معين. ^{[ 10 ]}

الأعداد المثلثية لـ n = 1، 2، 3، ... هي نتيجة تجاور الأعداد الخطية (المؤشرات الخطية) لـ n = 1، 2، 3، ... :

هذه هي معاملات ذات الحدين${\displaystyle \textstyle {\binom {n+1}{2}}}$. هذه هي الحالة r = 2 من حقيقة أن القطر r لمثلث باسكال لـ r ≥ 0 يتكون من أعداد الأشكال للنظائر r ذات الأبعاد للمثلثات ( البسيطات r ذات الأبعاد ).

الأعداد متعددة الأوجه التبسيطية لـ r = 1، 2، 3، 4، ... هي:

• ${\displaystyle P_{1}(n)={\frac {n}{1}}={\binom {n+0}{1}}={\binom {n}{1}}}$(الأعداد الخطية)،
• ${\displaystyle P_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}={\binom {n+1}{2}}}$( الأعداد المثلثية )،
• ${\displaystyle P_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\binom {n+2}{3}}}$( أعداد رباعية الأوجه )،
• ${\displaystyle P_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={\binom {n+3}{4}}}$(الأعداد الخماسية، الأعداد الخماسية الموضعية ، الأعداد الرباعية البسيطة)،

${\displaystyle \qquad \vdots }$

• ${\displaystyle P_{r}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1)}{r!}}={\binom {n+(r-1)}{r}}}$( أعداد الموضوع r ، أعداد السيمبلكس r ) .

يُشتق مصطلحا العدد المربع والعدد المكعب من تمثيلهما الهندسي كمربع أو مكعب . والفرق بين عددين مثلثيين موجبين هو عدد شبه منحرف .

الغنومون هو الجزء الذي يُضاف إلى عدد معين لتحويله إلى العدد الأكبر التالي.

على سبيل المثال، يكون عقرب المربع هو العدد الفردي ، على الصورة العامة 2n + 1 ، حيث n = 0، 1، 2، 3، ... . يبدو المربع المكون من 8 عقربات كما يلي:

${\displaystyle {\begin{matrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\2&2&3&4&5&6&7&8\\3&3&3&4&5&6&7&8\\4&4&4&4&5&6&7&8\\5&5&5&5&5&6&7&8\\6&6&6&6&6&6&7&8\\7&7&7&7&7&7&7&8\\8&8&8&8&8&8&8&8\end{matrix}}}$

لتحويل مربع من الرتبة n (المربع ذو الرتبة n ) إلى مربع من الرتبة ( n + 1) ، يُضاف 2n + 1 عنصرًا: عنصر واحد في نهاية كل صف ( n عنصرًا)، وعنصر واحد في نهاية كل عمود ( n عنصرًا)، وعنصر واحد في الزاوية. على سبيل المثال، عند تحويل المربع ذي الرتبة 7 إلى المربع ذي الرتبة 8، نضيف 15 عنصرًا؛ وهذه الإضافات هي الرتبة 8 في الشكل أعلاه.

توفر هذه التقنية الغنومونية أيضًا برهانًا رياضيًا على أن مجموع أول n عدد فردي هو n ² ؛ يوضح الشكل 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8 ² .

يوجد مؤشر مشابه بأرقام سداسية مركزية تتجمع لتشكل مكعبات من كل عدد صحيح.

• الأماكن القريبة : ديزا، ميشيل ماري (2012)، الأرقام الشكلية ، العالم العلمي ، ISBN 978-981-4355-48-3