ولاية فوك

في ميكانيكا الكم ، حالة فوك أو حالة العدد هي حالة كمومية تمثل عنصرًا من فضاء فوك بعدد محدد من الجسيمات (أو الكمات ). سُميت هذه الحالات نسبةً إلى الفيزيائي السوفيتي فلاديمير فوك . وتلعب حالات فوك دورًا هامًا في صياغة التكميم الثاني لميكانيكا الكم.

تمت معالجة تمثيل الجسيمات بالتفصيل لأول مرة من قبل بول ديراك للبوزونات، ومن قبل باسكوال جوردان ويوجين ويغنر للفيرميونات . [ 1 ] : 35 تخضع حالات ^{فوك للبوزونات والفيرميونات لعلاقات مفيدة} فيما يتعلق بمؤثرات إنشاء وإفناء فضاء فوك .

يُحدد المرء حالة متعددة الجسيمات مكونة من N جسيمًا متطابقًا غير متفاعل بكتابة الحالة كمجموع حاصل ضرب موتري لـ N حالة أحادية الجسيم. بالإضافة إلى ذلك، واعتمادًا على تكامل دوران الجسيمات ، يجب أن تكون حاصلات الضرب الموترية متناوبة (مضادة للتناظر) أو متناظرة لفضاءات هيلبرت الأساسية أحادية الجسيم . تحديدًا:

• تتوافق الفرميونات ، التي لها دوران نصف صحيح وتخضع لمبدأ استبعاد باولي ، مع منتجات الموتر المتناظرة.
• البوزونات التي تمتلك دورانًا صحيحًا (ولا تخضع لمبدأ الاستبعاد) تتوافق مع منتجات الموتر المتناظرة.

إذا كان عدد الجسيمات متغيراً، يُنشأ فضاء فوك كمجموع مباشر لفضاءات هيلبرت الناتجة عن ضرب الموتر لكل عدد من الجسيمات . في فضاء فوك، يمكن تحديد الحالة نفسها بصيغة جديدة، وهي صيغة عدد الإشغال، وذلك بتحديد عدد الجسيمات في كل حالة ممكنة لجسيم واحد.

يترك${\textstyle \left\{\mathbf {k} _{i}\right\}_{i\in I}}$ليكن أساسًا متعامدًا للحالات في فضاء هيلبرت الأساسي أحادي الجسيم. وهذا يُنشئ أساسًا مُناظرًا في فضاء فوك يُسمى "أساس عدد الإشغال". تُسمى الحالة الكمومية في فضاء فوك حالة فوك إذا كانت عنصرًا من عناصر أساس عدد الإشغال.

تُحقق حالة فوك معيارًا مهمًا: لكل i ، تكون الحالة حالة ذاتية لمؤثر عدد الجسيمات${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}$يتوافق ذلك مع الحالة الأولية رقم i ، k _{i . وتعطي} القيمة الذاتية المقابلة عدد الجسيمات في الحالة. يحدد هذا المعيار تقريبًا حالات فوك (يجب أيضًا اختيار عامل طور ).

يُرمز إلى حالة فوك معينة بـ${\displaystyle |n_{{\mathbf {k}}_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$في هذا التعبير،${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$يشير إلى عدد الجسيمات في الحالة i-th k _i ، ومعامل عدد الجسيمات للحالة i-th،${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}$، يؤثر على حالة فوك بالطريقة التالية:

$$$ } _ {i}}|n_ {{\mathbf {k}} _ {1}},n_ {{\mathbf {k} } _ {2}},..n_ {{\mathbf {k}} _ {i}}...\rangle }$

وبالتالي، فإن حالة فوك هي حالة ذاتية لمؤثر العدد بقيمة ذاتية${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$[ ^{2 ] : 478​}

تُشكّل حالات فوك في كثير من الأحيان الأساس الأنسب لفضاء فوك. أما عناصر فضاء فوك التي تُمثّل تراكبات لحالات ذات أعداد جسيمات مختلفة (وبالتالي ليست حالات ذاتية لمؤثر العدد) فلا تُعتبر حالات فوك. ولهذا السبب، لا يُشار إلى جميع عناصر فضاء فوك باسم "حالات فوك".

إذا قمنا بتعريف عامل عدد الجسيمات الإجمالي${\textstyle {\widehat {N}}}$مثل

${\displaystyle {\widehat {N}}=\sum _{i}{\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}},}$

يضمن تعريف حالة فوك أن يكون تباين القياس${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\widehat {N}}\right)=0}$أي أن قياس عدد الجسيمات في حالة فوك يعيد دائمًا قيمة محددة بدون أي تقلب.

لأي حالة نهائية${\displaystyle |f\rangle }$أي حالة فوك لجسيمين متطابقين معطاة بواسطة${\displaystyle |1_{\mathbf {k} _{1}},1_ {\mathbf {k} _{2}}\rangle }$وأي مشغل${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$لدينا الشرط التالي لعدم التمييز : ^{[ 3 ] : 191}

${\displaystyle \left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \right|^{2}=\left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \right|^{2}}$.

إذن، يجب أن يكون لدينا${\displaystyle \left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =e^{i\delta }\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_ {\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$

أين${\displaystyle e^{i\delta }=+1}$للبوزونات و​${\displaystyle -1}$بالنسبة للفيرميونات . بما أن${\displaystyle \langle f|}$و${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$يمكننا القول إنها اعتباطية.

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =+\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$للبوزونات و

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =-\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$بالنسبة للفيرميونات. ^{[ 3 ] : 191}

لاحظ أن عامل العدد لا يميز بين البوزونات والفيرميونات؛ بل إنه ببساطة يحسب الجسيمات دون النظر إلى نوع تناظرها. ولإدراك أي فرق بينهما، نحتاج إلى عوامل أخرى، وهي عوامل الإنشاء والإفناء .

تخضع البوزونات ، وهي جسيمات ذات لف مغزلي صحيح، لقاعدة بسيطة: حالتها الذاتية المركبة متناظرة ^{[ 4 ]} عند تطبيق عامل التبادل عليها . على سبيل المثال، في نظام مكون من جسيمين في تمثيل الضرب الموتري، لدينا${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }$.

عوامل إنشاء وإفناء البوزونات

ينبغي أن نكون قادرين على التعبير عن نفس خاصية التناظر في هذا التمثيل الجديد لفضاء فوك. ولتحقيق ذلك، نقدم مؤثرات الإنشاء والإفناء البوزونية غير الهرميتية ، ^{[ 4 ]} ويرمز لها بـ${\displaystyle b^{\dagger }}$و${\displaystyle b}$على التوالي. ويُعطى تأثير هذه المؤثرات على حالة فوك بالمعادلتين التاليتين:

• مشغل الإنشاء${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$:

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^{[ 4 ]}

• عامل الإبادة${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$:

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$^{[ 4 ]}

عدم هرمتية عوامل الإنشاء والإفناء

إن عوامل إنشاء وإفناء حالة فوك البوزونية ليست عوامل هيرميتية . ^{[ 4 ]}

دليل على أن عوامل الإنشاء والإفناء ليست هيرميتية.

بالنسبة لدولة فوك،${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \rangle }$، $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle &={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \\[6pt]\left(\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \right)^{*}&=\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}+1}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}+1\dots \right\rangle \end{aligned}}}$$

لذلك، من الواضح أن المرافق لمؤثر الإنشاء (الإفناء) لا ينعكس على نفسه. ومن ثم، فهما ليسا مؤثرين هيرميتيين.

لكنّ مرافق عامل الإنشاء (الإفناء) هو عامل الإفناء (الإنشاء). ^{[ 5 ] : 45}

هويات المشغلين

علاقات التبادل بين عوامل الإنشاء والإفناء في نظام بوزوني هي

${\displaystyle \left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\right]\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }-b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$^{[ 4 ]}

${\displaystyle \left[b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\right]=\left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\right]=0,}$^{[ 4 ]}

أين${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$هو المبدل و${\displaystyle \delta _{ij}}$هي دلتا كرونكر .

N حالات أساسية بوزونية

عدد الجسيمات (N)	حالات الأساس البوزونية [ 6 ] : 11
0	${\displaystyle |0,0,0...\rangle }$
1	${\displaystyle |1,0,0...\rangle }$،${\displaystyle |0,1,0...\rangle }$،${\displaystyle |0,0,1...\rangle }$...
2	${\displaystyle |2,0,0...\rangle }$،${\displaystyle |1,1,0...\rangle }$،${\displaystyle |0,2,0...\rangle }$...
${\displaystyle n}$	${\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

في نظرية التكميم الثاني ، تُعطى دالة كثافة الهاميلتوني بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)}$^{[ 3 ] : 189}

يُعطى الهاميلتوني الكلي بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\therefore {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}}$

في نظرية شرودنغر الحرة، ^{[ 3 ] : 189}

${\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

و

${\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}}$

و

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$،

أين${\displaystyle a_{n}}$هو عامل الإفناء.

${\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

ينطبق هذا فقط على الجسيمات غير المتفاعلة${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$و${\displaystyle a_{n}}$تتبادل؛ عموماً لا تتبادل. بالنسبة للجسيمات غير المتفاعلة،

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}}$

إذا لم تكن هذه الحالات تبادلية، فلن يكون للهاميلتوني الصيغة المذكورة أعلاه. لذلك، بشكل عام، لا تُعتبر حالات فوك حالات طاقة ذاتية للنظام.

حالة الفراغ أو${\displaystyle |0\rangle }$هي حالة أدنى طاقة والقيم المتوقعة لـ${\displaystyle a}$و${\displaystyle a^{\dagger }}$يختفي في هذه الحالة:

${\displaystyle \langle 0|a|0\rangle =\langle 0|a^{\dagger }|0\rangle =0}$

تتشابه الأشكال العامة للمجالات الكهربائية والمغناطيسية والجهد المتجهي في توسيع الأنماط:

${\displaystyle F\left({\vec {r}},t\right)=\varepsilon ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t}+\varepsilon a^{\dagger }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t}}$

تتلاشى القيم المتوقعة لمؤثرات المجال هذه في حالة الفراغ:

${\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0}$

مع ذلك، فإن القيم المتوقعة لمربعات هذه المؤثرات الحقلية لا تساوي الصفر: فهناك تقلبات حقلية في حالة الفراغ. وتُعزى هذه التقلبات الفراغية إلى العديد من الظواهر المهمة، بما في ذلك انزياح لامب في البصريات الكمومية .

في حقل متعدد الأنماط، يعمل كل عامل إنشاء وإفناء على نمطه الخاص.${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}}$و${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }}$سيعمل فقط على${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{l}}\right\rangle }$بما أن المؤثرات المقابلة للأنماط المختلفة تعمل في فضاءات فرعية مختلفة من فضاء هيلبرت، فإن الحقل بأكمله هو نتاج مباشر لـ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{l}}\rangle }$في جميع الأوضاع:

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{3}}\right\rangle \ldots \equiv \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \equiv \left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

تعمل عوامل الإنشاء والإفناء على حالة الوضع المتعدد عن طريق رفع أو خفض حالة الرقم الخاصة بوضعها فقط:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle \\a_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle \end{aligned}}}$

كما نحدد عامل العدد الإجمالي للحقل وهو مجموع عوامل العدد لكل نمط:

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }=\sum {\hat {n}}_{\mathbf {k} _{l}}}$

حالة فوك متعددة الأنماط هي متجه ذاتي لمؤثر العدد الكلي، وقيمته الذاتية هي العدد الكلي لشغل جميع الأنماط.

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle =\left(\sum n_{\mathbf {k} _{l}}\right)|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle }$

في حالة الجسيمات غير المتفاعلة، يتبادل كل من عامل العدد والهاميلتوني، وبالتالي تصبح حالات فوك متعددة الأنماط حالات ذاتية للهاميلتوني متعدد الأنماط

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle =\left(\sum \hbar \omega \left(n_{\mathbf {k} _{l}}+{\frac {1}{2}}\right)\right)\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

يتم توليد الفوتونات المفردة بشكل روتيني باستخدام مصادر باعثة مفردة (ذرات، أيونات، جزيئات، مركز النيتروجين-الفراغ ، ^{[ 8 ]} نقطة كمومية ^{[ 9 ]} ). ومع ذلك، فإن هذه المصادر ليست فعالة دائمًا، وغالبًا ما يكون احتمال الحصول على فوتون مفرد عند الطلب منخفضًا ؛ وغالبًا ما تكون معقدة وغير مناسبة للاستخدام خارج بيئة المختبر.

تُستخدم مصادر أخرى بشكل شائع للتغلب على هذه المشكلات، ولكن على حساب سلوك غير حتمي. تُعد مصادر الفوتون المفرد المُعلن عنها مصادر احتمالية لفوتونين، حيث ينفصل الزوج، ويشير اكتشاف أحد الفوتونين إلى وجود الفوتون الآخر. تعتمد هذه المصادر عادةً على اللاخطية البصرية لبعض المواد، مثل نيوبات الليثيوم المستقطب دوريًا ( التحويل البارامتري التلقائي للترددات المنخفضة )، أو السيليكون ( الخلط التلقائي لأربع موجات )، على سبيل المثال.

يُظهر تمثيل غلاوبر -سودارشان P لحالات فوك أن هذه الحالات هي حالات ميكانيكية كمومية بحتة وليس لها نظير كلاسيكي.${\displaystyle \scriptstyle \varphi (\alpha )\,}$إن تمثيل هذه الدول هو${\displaystyle 2n}$المشتقة من الدرجة ' لدالة ديراك دلتا وبالتالي ليس توزيع احتمالي كلاسيكي .

• حالات متماسكة
• حد هايزنبرغ
• ضوء غير كلاسيكي

• استخدم فلادان فوليتيتش من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا مجموعة من الذرات لإنتاج مصدر حالة فوك (المعروف أيضًا باسم الفوتون المفرد) مؤرشف في 15 يونيو 2023 في Wayback Machine (PDF)
• قم بإنتاج وقياس حالة فوتون واحد (حالة فوك) باستخدام تجربة تفاعلية في مختبر الكم