حالة متماسكة

في الفيزياء ، وتحديدًا في ميكانيكا الكم ، تُعرف الحالة المتماسكة بأنها حالة كمومية خاصة بالمذبذب التوافقي الكمومي ، وغالبًا ما تُوصف بأنها حالة ذات ديناميكيات تُحاكي إلى حد كبير السلوك التذبذبي للمذبذب التوافقي الكلاسيكي . وكانت هذه الحالة أول مثال على الديناميكا الكمومية عندما اشتقها إرفين شرودنغر عام 1926، أثناء بحثه عن حلول لمعادلة شرودنغر تُحقق مبدأ التوافق . ^{[ 1 ]} يظهر المذبذب التوافقي الكمومي (وبالتالي الحالات المتماسكة) في النظرية الكمومية لمجموعة واسعة من الأنظمة الفيزيائية. ^{[ 2 ]} على سبيل المثال، تصف الحالة المتماسكة الحركة التذبذبية لجسيم محصور في بئر جهد تربيعي (للاطلاع على مرجع سابق، انظر على سبيل المثال كتاب شيف ^{[ 3 ]} ). تصف الحالة المتماسكة حالة في نظام ما يكون فيها حزمة الموجة في الحالة الأرضية مُزاحة عن مركز النظام. يمكن ربط هذه الحالة بالحلول الكلاسيكية من خلال جسيم يتذبذب بسعة تعادل الإزاحة.

تم تقديم هذه الحالات، التي تم التعبير عنها كمتجهات ذاتية لمؤثر التخفيض وتشكيل عائلة زائدة ، في الأوراق المبكرة لجون ر. كلاودر ، على سبيل المثال ^{[ 4 ]} في نظرية الكم للضوء ( الديناميكا الكهربائية الكمومية ) ونظريات المجال الكمومي البوزونية الأخرى ، تم تقديم الحالات المتماسكة من خلال عمل روي ج. جلاوبر في عام 1963 وتُعرف أيضًا باسم حالات جلاوبر .

لقد تم تجريد مفهوم الحالات المتماسكة بشكل كبير؛ وأصبح موضوعًا رئيسيًا في الفيزياء الرياضية والرياضيات التطبيقية ، مع تطبيقات تتراوح من التكميم إلى معالجة الإشارات ومعالجة الصور (انظر الحالات المتماسكة في الفيزياء الرياضية ). لهذا السبب، يُشار أحيانًا إلى الحالات المتماسكة المرتبطة بالمذبذب التوافقي الكمومي باسم الحالات المتماسكة المتعارف عليها (CCS)، أو الحالات المتماسكة القياسية ، أو الحالات الغاوسية ، أو حالات المذبذب.

في البصريات الكمومية، تشير الحالة المتماسكة إلى حالة المجال الكهرومغناطيسي الكمومي ، وما إلى ذلك ^{[ 2 ] [ 6 ] [ 7 ]} ، والتي تصف نوعًا أقصى من التماسك وسلوكًا كلاسيكيًا. وقد اشتقها إرفين شرودنغر عام 1926 على أنها حزمة موجية غاوسية "ذات حد أدنى من عدم اليقين " ، باحثًا عن حلول لمعادلة شرودنغر التي تحقق مبدأ التوافق . ^{[ 1 ]} وهي حالة ذات حد أدنى من عدم اليقين ، حيث يتم اختيار المعامل الحر الوحيد لجعل التشتت النسبي (الانحراف المعياري بوحدات طبيعية لا بُعدية) متساويًا للموقع والزخم، وكلاهما صغير بنفس القدر عند الطاقة العالية.

علاوة على ذلك، وعلى عكس حالات الطاقة الذاتية للنظام، يتركز التطور الزمني للحالة المتماسكة على طول المسارات الكلاسيكية . ينشأ المذبذب التوافقي الخطي الكمومي، وبالتالي الحالات المتماسكة، في النظرية الكمومية لمجموعة واسعة من الأنظمة الفيزيائية. وتظهر هذه الحالات في النظرية الكمومية للضوء ( الديناميكا الكهربائية الكمومية ) ونظريات الحقول الكمومية البوزونية الأخرى .

على الرغم من أن حزم الموجات الغاوسية ذات الحد الأدنى من عدم اليقين كانت معروفة جيدًا، إلا أنها لم تحظَ بالاهتمام الكامل حتى قدم روي ج. غلاوبر ، في عام 1963، وصفًا كميًا كاملًا للتماسك في المجال الكهرومغناطيسي. ^{[ 8 ]} وفي هذا الصدد، لا ينبغي إغفال المساهمة المتزامنة لـ ECG سودارشان ، ^{[ 9 ]} (مع ذلك، توجد ملاحظة في ورقة غلاوبر تنص على: "استخدامات هذه الحالات كدوال مولدة لـ${\displaystyle n}$مع ذلك، تم إنشاء حالات كمومية بواسطة ج. شوينجر ^{[ 10 ]} . وقد دفع هذا غلاوبر إلى القيام بذلك لتقديم وصف لتجربة هانبري-براون وتويس ، التي ولّدت أنماط تداخل ذات خط أساس واسع للغاية (مئات أو آلاف الأميال) والتي يمكن استخدامها لتحديد أقطار النجوم. وقد فتح هذا الباب أمام فهم أكثر شمولاً للتماسك. (للمزيد، انظر الوصف الميكانيكي الكمومي ).

في البصريات الكلاسيكية ، يُنظر إلى الضوء على أنه موجات كهرومغناطيسية تنبعث من مصدر. وغالبًا ما يُنظر إلى ضوء الليزر المتماسك على أنه ضوء ينبعث من مصادر متعددة متوافقة في الطور . في الواقع، لا يصح تصور فوتون واحد متوافق الطور مع آخر في نظرية الكم. يُنتج إشعاع الليزر في تجويف رنيني ، حيث يكون تردد الرنين في التجويف هو نفسه التردد المرتبط بانتقالات الإلكترونات الذرية، مما يوفر تدفقًا للطاقة إلى المجال. ومع تراكم الطاقة في نمط الرنين، يزداد احتمال الانبعاث المحفز في هذا النمط فقط. هذه حلقة تغذية راجعة موجبة، حيث تزداد سعة نمط الرنين أُسّيًا حتى تحدّ منها بعض التأثيرات غير الخطية . كمثال مضاد، يُشع المصباح الكهربائي ضوءًا في سلسلة متصلة من الأنماط، ولا يوجد ما يُفضّل نمطًا على آخر. عملية الانبعاث عشوائية للغاية في المكان والزمان (انظر الضوء الحراري ). أما في الليزر ، فيُبعث الضوء في نمط رنيني، وهذا النمط شديد التماسك . لذا، يُفترض أن ضوء الليزر حالة متماسكة. (في الوصف التقليدي، نصف هذه الحالة بحقل كهربائي يتذبذب كموجة مستقرة. انظر الشكل 1).

إلى جانب وصف الليزر، تتصرف الحالات المتماسكة بطريقة ملائمة عند وصف التأثير الكمومي لمقسمات الحزم الضوئية : إذ تتحول حزمتان ضوئيتان متماسكتان عند المدخل إلى حزمتين متماسكتين عند المخرج بسعات جديدة تُحددها معادلات الموجات الكهرومغناطيسية الكلاسيكية؛ ^{[ 11 ]} ولا يحدث هذا السلوك البسيط مع حالات الإدخال الأخرى، بما في ذلك حالات الأعداد. وبالمثل، إذا تم امتصاص جزء من حزمة ضوئية متماسكة، فإن الجزء المتبقي يكون حالة متماسكة نقية بسعة أصغر، بينما ينتج عن الامتصاص الجزئي للضوء غير المتماسك حالة إحصائية مختلطة أكثر تعقيدًا . ^{[ 11 ]} ويمكن وصف الضوء الحراري بأنه مزيج إحصائي من الحالات المتماسكة، والطريقة المعتادة لتعريف الضوء غير الكلاسيكي هي أنه لا يمكن وصفه بأنه مزيج إحصائي بسيط من الحالات المتماسكة. ^{[ 11 ]}

تُعدّ حالات الطاقة الذاتية للمذبذب التوافقي الخطي (مثل الكتل المعلقة على نوابض، واهتزازات الشبكة في المواد الصلبة، والحركات الاهتزازية للنوى في الجزيئات، أو التذبذبات في المجال الكهرومغناطيسي) حالات كمومية ذات عدد ثابت من الجسيمات. تُعتبر حالة فوك (مثل الفوتون المفرد) الحالة الأكثر شبهاً بالجسيمات؛ إذ تحتوي على عدد ثابت من الجسيمات، ويكون طورها غير محدد. توزع الحالة المتماسكة عدم اليقين الكمومي بالتساوي بين الإحداثيات المترافقة المتعارف عليها ، وهما الموضع والزخم، ويكون عدم اليقين النسبي في الطور [المُعرّف تجريبياً ] والسعة متساوياً تقريباً، وصغيراً عند السعات العالية.

رياضياً، حالة متماسكة${\displaystyle |\alpha \rangle }$يُعرَّف بأنه الحالة الذاتية (الوحيدة) لمؤثر الإفناء â مع القيمة الذاتية المقابلة${\displaystyle \alpha }$. وبصيغة رسمية، يُقرأ هذا كالتالي:

${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ~.}$

بما أن â ليس هيرميتيًا ،${\displaystyle \alpha }$هو، بشكل عام، عدد مركب . كتابة${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{i\theta }}$،${\displaystyle |\alpha |}$ويُطلق على θ و θ اسم سعة وطور الحالة${\displaystyle |\alpha \rangle }$.

الدولة${\displaystyle |\alpha \rangle }$يُطلق عليه اسم الحالة المتماسكة الكلاسيكية في الأدبيات، نظرًا لوجود العديد من الأنواع الأخرى من الحالات المتماسكة، كما يمكن رؤيته في المقالة المصاحبة " الحالات المتماسكة في الفيزياء الرياضية" .

فيزيائيًا، تعني هذه الصيغة أن الحالة المتماسكة تظل دون تغيير عند فناء إثارة المجال أو، على سبيل المثال، جسيم مشحون. يكون للحالة الذاتية لمؤثر الفناء توزيع أعداد بواسون عند التعبير عنها في أساس حالات الطاقة الذاتية، كما هو موضح أدناه. يُعد توزيع بواسون شرطًا ضروريًا وكافيًا لضمان استقلال جميع عمليات الكشف إحصائيًا. قارن هذا بحالة الجسيم الواحد (${\displaystyle |1\rangle }$حالة فوك ): بمجرد اكتشاف جسيم واحد، يكون احتمال اكتشاف جسيم آخر معدومًا.

سيعتمد اشتقاق هذا على استخدام مؤثرات لا بُعدية (مُعَيَّرة بطريقة غير تقليدية) ، X و P ، والتي تُسمى عادةً بمُكَوِّنات المجال في البصريات الكمومية. (انظر: اللا بُعدية ). ترتبط هذه المؤثرات بمؤثرات الموضع والزخم لكتلة m على نابض ثابت k .

${\displaystyle {P}={\sqrt {\frac {1}{2\hbar m\omega }}}\ {\hat {p}}{\text{,}}\quad {X}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\ {\hat {x}}{\text{,}}\quad \quad {\text{حيث ​​}}\omega \equiv {\sqrt {k/m}}~.}$

بالنسبة للحقل البصري ،

${\displaystyle ~E_{\rm {R}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\cos(\theta )X\qquad {\text{and}}\qquad ~E_{\rm {I}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\sin(\theta )X~}$

المكونات الحقيقية والخيالية لنمط المجال الكهربائي داخل تجويف حجمه${\displaystyle V}$[ ^{12 ]​}

باستخدام هذه المؤثرات (غير البعدية)، يصبح هاميلتوني أي من النظامين

${\displaystyle {H}=\hbar \omega \left({P}^{2}+{X}^{2}\right){\text{,}}\qquad {\text{مع}}\qquad \left[{X},{P}\right]\equiv {XP}-{PX}={\frac {i}{2}}\,{I}.}$

كان إرفين شرودنغر يبحث عن الحالات الأكثر شبهاً بالحالات الكلاسيكية عندما قدم لأول مرة حزم الموجات الغاوسية ذات الحد الأدنى من عدم اليقين. وتُحقق الحالة الكمومية للمذبذب التوافقي التي تُقلل من علاقة عدم اليقين، مع توزيع عدم اليقين بالتساوي بين X و P، المعادلة التالية:

${\displaystyle \left({X}-\langle {X}\rangle \right)\,|\alpha \rangle =-i\left({P}-\langle {P}\rangle \right)\,|\alpha \rangle {\text{,}}}$

أو، على نحو مماثل،

${\displaystyle \left({X}+i{P}\right)\,\left|\alpha \right\rangle =\left\langle {X}+i{P}\right\rangle \,\left|\alpha \right\rangle ~,}$

وبالتالي

${\displaystyle \langle \alpha \!\mid \left({X}-\langle X\rangle \right)^{2}+\left({P}-\langle P\rangle \right)^{2}\mid \!\alpha \rangle =1~.}$

وبالتالي، بالنظر إلى ( ∆X −∆P ) ^² ≥ 0 ، وجد شرودنغر أن حالات عدم اليقين الأدنى للمذبذب التوافقي الخطي هي الحالات الذاتية لـ ( X + iP ) . وبما أن â هي ( X + iP ) ، فيمكن اعتبارها حالة متماسكة وفقًا للتعريف المذكور أعلاه.

باستخدام الترميز الخاص بحالات الفوتونات المتعددة، وصف غلاوبر حالة التماسك الكامل لجميع الرتب في المجال الكهرومغناطيسي بأنها الحالة الذاتية لمؤثر الإفناء - وهي، من الناحية الرياضية، نفس الحالة التي وجدها شرودنغر. وقد شاع استخدام مصطلح " الحالة المتماسكة" بعد عمل غلاوبر.

إذا تم تقليل عدم اليقين إلى الحد الأدنى، ولكن ليس بالضرورة بشكل متساوٍ بين X و P ، فإن الحالة تسمى حالة متماسكة مضغوطة .

يقع موقع الحالة المتماسكة في المستوى المركب ( فضاء الطور ) عند موضع وزخم مذبذب كلاسيكي ذي طور θ وسعة | α | مُعطاة بالقيمة الذاتية α (أو قيمة المجال الكهربائي المركب نفسها لموجة كهرومغناطيسية). وكما هو موضح في الشكل 5، فإن عدم اليقين، المنتشر بالتساوي في جميع الاتجاهات، يُمثَّل بقرص قطره 1/2 . ومع تغير الطور، تدور الحالة المتماسكة حول نقطة الأصل، ولا يتشوه القرص ولا ينتشر. وهذا هو أقرب ما يمكن أن تكون عليه الحالة الكمومية لنقطة واحدة في فضاء الطور.

بما أن عدم اليقين (وبالتالي ضوضاء القياس) يظل ثابتًا عند 1/2 مع ازدياد سعة التذبذب، فإن الحالة تتصرف بشكل متزايد كموجة جيبية، كما هو موضح في الشكل 1. علاوة على ذلك، نظرًا لحالة الفراغ${\displaystyle |0\rangle }$إن الحالة المتماسكة التي يكون فيها α = 0 هي ببساطة الحالة المتماسكة، وجميع الحالات المتماسكة لها نفس عدم اليقين الذي يتمتع به الفراغ. لذلك، يمكن تفسير الضوضاء الكمومية للحالة المتماسكة على أنها ناتجة عن تقلبات الفراغ.

الترميز ${\displaystyle |\alpha \rangle }$لا يشير إلى حالة فوك . على سبيل المثال، عندما تكون α = 1 ، يجب عدم الخلط${\displaystyle |1\rangle }$بالنسبة لحالة فوك أحادية الفوتون، والتي يُشار إليها أيضًا بـ${\displaystyle |1\rangle }$في تدوينها الخاص. التعبير${\displaystyle |\alpha \rangle }$حيث α = 1 يمثل توزيع بواسون لعدد الحالات${\displaystyle |n\rangle }$بمتوسط ​​عدد فوتونات يساوي واحدًا.

الحل الرسمي لمعادلة القيم الذاتية هو حالة الفراغ المزاحة إلى موقع α في فضاء الطور، أي أنه يتم الحصول عليه من خلال السماح لمؤثر الإزاحة الوحدوي D ( α ) بالعمل على الفراغ.

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$،

حيث â = X + iP و â ^† = X - iP .

يمكن ملاحظة ذلك بسهولة، كما هو الحال بالنسبة لجميع النتائج التي تتضمن حالات متماسكة تقريبًا، باستخدام تمثيل الحالة المتماسكة في أساس حالات فوك.

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle ~,}$

أين${\displaystyle |n\rangle }$هي متجهات الطاقة (العددية) الذاتية للهاميلتوني

${\displaystyle H=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)~,}$

وتُستنتج المساواة النهائية من صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف . بالنسبة لتوزيع بواسون المقابل ، فإن احتمال اكتشاف n فوتون هو

${\displaystyle P(n)=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}=e^{-\langle n\rangle }{\frac {\langle n\rangle ^{n}}{n!}}~.}$

وبالمثل، فإن متوسط ​​عدد الفوتونات في حالة متماسكة هو

${\displaystyle ~\langle n\rangle =\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle =|\alpha |^{2}~}$

والتباين هو

${\displaystyle ~(\Delta n)^{2}={\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)=|\alpha |^{2}~}$.

أي أن الانحراف المعياري لعدد الاكتشافات يتناسب طرديًا مع الجذر التربيعي لعدد الاكتشافات. لذا، في حالة القيم الكبيرة لـ α ، تُصبح إحصائيات الاكتشاف هذه مُكافئة لإحصائيات الموجة المستقرة الكلاسيكية.

تنطبق هذه النتائج على نتائج الكشف عند كاشف واحد، وبالتالي فهي تتعلق بالتماسك من الدرجة الأولى (انظر درجة التماسك ). مع ذلك، بالنسبة للقياسات التي تربط بين عمليات الكشف عند كواشف متعددة، فإن التماسك من الرتب العليا يكون حاضرًا (مثل ارتباطات الشدة، والتماسك من الدرجة الثانية، عند كاشفين). يتضمن تعريف غلاوبر للتماسك الكمي دوال ارتباط من الرتبة n (التماسك من الرتبة n) لجميع قيم n . الحالة المتماسكة تمامًا يكون فيها جميع ارتباطات الرتب n مساوية لـ 1 (متماسكة). وهي متماسكة تمامًا من جميع الرتب.

معامل الارتباط من الدرجة الثانية${\displaystyle g^{2}(0)}$^{[ 13 ]} يوفر مقياسًا مباشرًا لدرجة تماسك حالات الفوتون من حيث تباين إحصائيات الفوتون في الحزمة قيد الدراسة.

${\displaystyle ~g^{2}(0)=1+{\frac {{\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)-\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle }{(\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle )^{2}}}=1+{\frac {{\rm {Var}}(n)-{\bar {n}}}{{\bar {n}}^{2}}}}$

في تطور غلاوبر، يُلاحظ أن الحالات المتماسكة تتوزع وفقًا لتوزيع بواسون . في حالة توزيع بواسون، يكون التباين مساويًا للمتوسط، أي

${\displaystyle {\rm {Var}}(n)={\bar {n}}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=1}$.

معامل الارتباط من الدرجة الثانية الذي يساوي 1 يعني أن الفوتونات في الحالات المتماسكة غير مترابطة.

درس هانبري براون وتويس سلوك الترابط للفوتونات المنبعثة من مصدر حراري غير متماسك، موصوف بإحصاءات بوز-أينشتاين . تباين توزيع بوز-أينشتاين هو

${\displaystyle {\rm {Var(n)}}={\bar {n}}+{\bar {n}}^{2}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=2}$.

يتوافق هذا مع قياسات الارتباط لهانبري براون وتويس، ويوضح أن الفوتونات في حالات بوز-أينشتاين غير المتماسكة تكون مترابطة أو متجمعة.

الكميات التي تخضع لإحصاءات فيرمي-ديراك تكون مترابطة عكسيًا. في هذه الحالة، يكون التباين هو

${\displaystyle {\rm {Var}}(n)={\bar {n}}-{\bar {n}}^{2}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=0}$.

تتميز العلاقة العكسية بمعامل ارتباط من الدرجة الثانية يساوي صفرًا.

استلهم روي ج. غلاوبر عمله من نتائج هانبري-براون وتويس، اللذين أنتجا أنماط تداخل من الدرجة الأولى بعيدة المدى (مئات أو آلاف الأميال) باستخدام تقلبات الشدة (انعدام التماسك من الدرجة الثانية)، مع مرشحات نطاق ضيق (تماسك جزئي من الدرجة الأولى) عند كل كاشف. (يمكن تخيل نمط تداخل شبه فوري من الكاشفين، نتيجة لمرشحات النطاق الضيق، يتذبذب عشوائيًا بسبب تغير فرق الطور النسبي، وذلك خلال فترات زمنية قصيرة جدًا. وباستخدام عداد التزامن، يصبح نمط التداخل المتذبذب أقوى عند زيادة الشدة [المشتركة بين الشعاعين]، ويكون هذا النمط أقوى من ضوضاء الخلفية). وقد انصب اهتمام معظم فروع علم البصريات على التماسك من الدرجة الأولى. دفعت نتائج هانبري-براون وتويس غلاوبر إلى دراسة التماسك من الرتب العليا، فتوصل إلى وصف كمي كامل للتماسك في جميع رتب المجال الكهرومغناطيسي (ووصف كمي للإشارة والضوضاء). وقد صاغ مصطلح " الحالة المتماسكة" وأظهر أنها تنشأ عندما يتفاعل تيار كهربائي كلاسيكي مع المجال الكهرومغناطيسي.

عند α ≫ 1 ، ومن الشكل 5، تُعطي الهندسة البسيطة Δθ | α | = 1/2. من هذا، يبدو أن هناك مفاضلة بين عدم اليقين العددي وعدم اليقين الطوري، Δθ Δn = 1/2، والتي تُفسَّر أحيانًا على أنها علاقة عدم يقين عددي-طوري؛ لكن هذه ليست علاقة عدم يقين رسمية صارمة: لا يوجد مُؤثِّر طوري مُعرَّف بشكل فريد في ميكانيكا الكم. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}

لإيجاد دالة الموجة للحالة المتماسكة، وهي حزمة موجات شرودنغر ذات الحد الأدنى من عدم اليقين، من الأسهل البدء بصورة هايزنبرغ للمذبذب التوافقي الكمومي للحالة المتماسكة.${\displaystyle |\alpha \rangle }$. لاحظ أن

${\displaystyle ~a(t)|\alpha \rangle =e^{-i\omega t}a(0)|\alpha \rangle }$

الحالة المتماسكة هي حالة ذاتية لمؤثر الإفناء في صورة هايزنبرغ .

من السهل ملاحظة أنه في صورة شرودنغر ، نفس القيمة الذاتية

${\displaystyle ~\alpha (t)=e^{-i\omega t}\alpha (0)~}$

يحدث،

${\displaystyle ~a|\alpha (t)\rangle =\alpha (t)|\alpha (t)\rangle }$.

في تمثيلات الإحداثيات الناتجة عن العمليات بواسطة${\displaystyle \langle x|}$وهذا يُعادل المعادلة التفاضلية ،

${\displaystyle ~{\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi ^{\alpha }(x,t)=\alpha (t)\psi ^{\alpha }(x,t)~,}$

والتي يمكن حلها بسهولة للحصول على

${\displaystyle ~\psi ^{(\alpha )}(x,t)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\Bigg (}-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(x-{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]\right)^{2}+i{\sqrt {\frac {2m\omega }{\hbar }}}\Im [\alpha (t)]x+i\theta (t){\Bigg )}~,}$

حيث أن θ(t) هي مرحلة لم يتم تحديدها بعد، والتي يتم تحديدها من خلال اشتراط أن الدالة الموجية تحقق معادلة شرودنغر.

ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle ~\theta (t)=-{\frac {\omega t}{2}}+{\frac {|\alpha (0)|^{2}\sin(2\omega t-2\sigma )}{2}}~,{\text{where}}\qquad \alpha (0)\equiv |\alpha (0)|\exp(i\sigma )~,}$

بحيث تكون σ هي المرحلة الأولية للقيمة الذاتية.

متوسط ​​موضع وزخم "حزمة موجات شرودنغر الدنيا" هذه${\displaystyle \psi ^{(\alpha )}}$وبالتالي فهي تتذبذب تمامًا مثل النظام الكلاسيكي ،

تبقى دالة الكثافة الاحتمالية دالة غاوسية متمركزة حول هذا المتوسط ​​المتذبذب،

${\displaystyle |\psi ^{(\alpha )}(x,t)|^{2}={\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}e^{-{\frac {m\omega }{\hbar }}\left(x-\langle {\hat {x}}(t)\rangle \right)^{2}}.}$

تتمتع الحالات المتماسكة المتعارف عليها والموصوفة حتى الآن بثلاث خصائص متكافئة فيما بينها، حيث أن كل منها يحدد الحالة بشكل كامل${\displaystyle |\alpha \rangle }$أي

1. إنها متجهات ذاتية لمؤثر الإفناء : ${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,}$.
2. يتم الحصول عليها من الفراغ عن طريق تطبيق عامل إزاحة وحدوي : ${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle \,}$.
3. إنها حالات من عدم اليقين (المتوازن) الأدنى: ${\displaystyle \Delta X=\Delta P={\sqrt {\frac {\hbar }{2}}}\,}$.

قد تؤدي كل خاصية من هذه الخصائص إلى تعميمات، تختلف عمومًا عن بعضها البعض (انظر مقال " الحالات المتماسكة في الفيزياء الرياضية " للاطلاع على بعض هذه التعميمات). نؤكد أن للحالات المتماسكة سمات رياضية تختلف اختلافًا كبيرًا عن سمات حالة فوك ؛ فعلى سبيل المثال، لا تكون حالتان متماسكتان مختلفتان متعامدتين.

${\displaystyle \langle \beta |\alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta )}$

(مرتبط بحقيقة أنها متجهات ذاتية لمؤثر الإفناء غير الذاتي المرافق â ).

وبالتالي، إذا كان المذبذب في الحالة الكمومية${\displaystyle |\alpha \rangle }$كما أن احتمالية حدوث ذلك في الحالة الكمومية الأخرى غير صفرية. ${\displaystyle |\beta \rangle }$(لكن كلما تباعدت الحالات في فضاء الطور، انخفض الاحتمال). مع ذلك، ولأنها تخضع لعلاقة إغلاق، يمكن تحليل أي حالة على مجموعة الحالات المتماسكة. وبالتالي، تُشكّل هذه الحالات أساسًا مكتملًا ، يُمكن من خلاله تحليل أي حالة قطريًا. هذه هي الفرضية الأساسية لتمثيل Glauber–Sudarshan P.

يمكن التعبير عن علاقة الإغلاق هذه من خلال تحليل عامل الهوية I في فضاء المتجهات للحالات الكمومية،

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |d^{2}\alpha =I\qquad d^{2}\alpha \equiv d\Re (\alpha )\,d\Im (\alpha )~.}$

يرتبط حل الهوية هذا ارتباطًا وثيقًا بتحويل سيغال-بارغمان .

ومن الخصائص الغريبة الأخرى أن${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$لا يمتلك متجهًا ذاتيًا (بينما لا يمتلك متجهًا ذاتيًا â ). المساواة التالية هي أقرب بديل رسمي، وتبين أنها مفيدة للحسابات التقنية، ^{[ 22 ]}

${\displaystyle a^{\dagger }|\alpha \rangle \langle \alpha |=\left({\partial \over \partial \alpha }+\alpha ^{*}\right)|\alpha \rangle \langle \alpha |~.}$

تُعرف هذه الحالة الأخيرة باسم "حالة أغاروال" أو الحالة المتماسكة المضافة بالفوتون، ويُرمز لها بـ${\displaystyle |\alpha ,1\rangle .}$

يمكن التعبير عن حالات أغاروال المعيارية من الرتبة n على النحو التالي:${\displaystyle |\alpha ,n\rangle =[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle /\|[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle \|~.}$^{[ 23 ]}

يمكن اشتقاق الحل المذكور أعلاه للهوية (مع الاقتصار على بُعد مكاني واحد للتبسيط) عن طريق أخذ عناصر المصفوفة بين الحالات الذاتية للموضع،${\displaystyle \langle x|\cdots |y\rangle }$، على جانبي المعادلة. في الجانب الأيمن، نحصل مباشرةً على δ(xy) . وفي الجانب الأيسر، نحصل على النتيجة نفسها بإدخال

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x,t)=\langle x|\alpha (t)\rangle }$

من القسم السابق (الوقت اختياري)، ثم التكامل على ${\displaystyle \Im (\alpha )}$باستخدام تمثيل فورييه لدالة دلتا ، ثم إجراء تكامل غاوسي على${\displaystyle \Re (\alpha )}$.

على وجه الخصوص، تستنتج حالة حزمة الموجة الغاوسية لشرودنغر من القيمة الصريحة

${\displaystyle \langle x|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi ^{1/4}}}{e^{-{\frac {1}{2}}{(x-{\sqrt {2}}\Re (\alpha ))^{2}}+ix{\sqrt {2}}\Im (\alpha )-i\Re (\alpha )\Im (\alpha )}}~.}$

يمكن أيضًا التعبير عن حل المتطابقة بدلالة موضع الجسيم وزخمه. لكل بُعد إحداثي (باستخدام تدوين مُعدَّل ذي معنى جديد لـ${\displaystyle x}$)

${\displaystyle |\alpha \rangle \equiv |x,p\rangle \qquad \qquad x\equiv \langle {\hat {x}}\rangle \qquad \qquad p\equiv \langle {\hat {p}}\rangle }$

تنص علاقة الإغلاق بين الحالات المتماسكة على ما يلي:

${\displaystyle I=\int |x,p\rangle \,\langle x,p|~{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} p}{2\pi \hbar }}~.}$

يمكن إدراج هذا في أي قيمة توقعية في ميكانيكا الكم، وربطها بتكامل فضاء الطور شبه الكلاسيكي، وشرح، على وجه الخصوص، أصل عوامل التطبيع.${\displaystyle (2\pi \hbar )^{-1}}$بالنسبة لدوال التقسيم الكلاسيكية ، بما يتوافق مع ميكانيكا الكم.

إضافةً إلى كونها حالة ذاتية دقيقة لمؤثرات الإفناء، فإن الحالة المتماسكة هي حالة ذاتية مشتركة تقريبية لموضع الجسيم وزخمه. وبالتقييد إلى بُعد واحد مرة أخرى،

${\displaystyle {\hat {x}}|x,p\rangle \approx x|x,p\rangle \qquad \qquad {\hat {p}}|x,p\rangle \approx p|x,p\rangle }$

يُقاس الخطأ في هذه التقريبات بعدم اليقين في الموضع والزخم،

${\displaystyle \langle x,p|\left({\hat {x}}-x\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta x\right)^{2}\qquad \qquad \langle x,p|\left({\hat {p}}-p\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta p\right)^{2}~.}$

• مكثف بوز-أينشتاين ( BEC) هو مجموعة من ذرات البوزونات التي تتواجد جميعها في نفس الحالة الكمومية. ^{[ 24 ]} في نظام ديناميكي حراري، تُشغل الحالة الأرضية على المستوى العياني تحت درجة حرارة حرجة - تقريبًا عندما  يكون طول موجة دي برولي الحرارية أطول من المسافة بين الذرات. يُعتقد أن الميوعة الفائقة في الهيليوم-4 السائل مرتبطة بتكثيف بوز-أينشتاين في غاز مثالي. لكن ^{الهيليوم-4} يتميز بتفاعلات قوية، ويلعب عامل بنية السائل (إحصائية من الرتبة الثانية) دورًا هامًا. وقد وفر استخدام حالة متماسكة لتمثيل مكون الميوعة الفائقة في الهيليوم ^-4 تقديرًا جيدًا لنسبة المكثف إلى غير المكثف في الميوعة الفائقة، بما يتوافق مع نتائج تشتت النيوترونات البطيئة. ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} تنشأ معظم خصائص الميوعة الفائقة المميزة مباشرةً من استخدام حالة متماسكة لتمثيل مكون الميوعة الفائقة ، والتي تعمل كحالة جسم واحد مشغولة على المستوى العياني، ذات سعة وطور محددين جيدًا على كامل الحجم. (ينتقل مكون الميوعة الفائقة للهيليوم ^-4 من الصفر عند درجة حرارة الانتقال إلى 100% عند الصفر المطلق. لكن نسبة التكثيف تبلغ حوالي 6% ^{[ 28 ]} عند درجة حرارة الصفر المطلق، T=0K).
• في بدايات دراسة الميوعة الفائقة، اقترح أوليفر بنروز ولارس أونساجر مقياسًا ("معامل الترتيب") للميوعة الفائقة. ^{[ 29 ]} وقد تم تمثيله بمكون مُعامل عياني (قيمة ذاتية عيانية) في مصفوفة الكثافة المختزلة من الرتبة الأولى. لاحقًا، اقترح سي إن يانغ ^{[ 30 ]} مقياسًا أكثر عمومية للتماسك الكمي العياني، يُسمى الترتيب بعيد المدى خارج القطر (ODLRO)، ^{[ 30 ]} والذي يشمل أنظمة الفرميونات والبوزونات. يوجد ODLRO كلما وُجد مكون مُعامل كبير عيانيًا (قيمة ذاتية) في مصفوفة كثافة مختزلة من أي رتبة. تتوافق الميوعة الفائقة مع وجود مكون مُعامل كبير في مصفوفة الكثافة المختزلة من الرتبة الأولى. (وتتصرف جميع مصفوفات الكثافة المختزلة ذات الرتب الأعلى بشكل مشابه). تتضمن الموصلية الفائقة وجود مكون مُعامل كبير في مصفوفة الكثافة المختزلة من الرتبة الثانية (" زوج إلكترونات كوبر ").
• تُعدّ مصفوفات الكثافة المُختزلة المستخدمة لوصف التماسك الكمومي العياني في الموائع الفائقة، من الناحية الشكلية، مُطابقةً لدوال الارتباط المستخدمة لوصف رتب التماسك في الإشعاع. وكلاهما مثالان على التماسك الكمومي العياني. ويُعتبر المُكوّن المتماسك الكبير عيانيًا، بالإضافة إلى الضوضاء، في المجال الكهرومغناطيسي، كما هو مُبيّن في وصف غلاوبر للإشارة والضوضاء، مُطابقًا من الناحية الشكلية للمُكوّن الكبير عيانيًا للمائع الفائق بالإضافة إلى مُكوّن المائع العادي في نموذج المائعين للميوعة الفائقة.
• يُعدّ الإشعاع الكهرومغناطيسي اليومي، مثل موجات الراديو والتلفزيون، مثالاً على حالات شبه متماسكة (التماسك الكمومي العياني). وهذا يستدعي إعادة النظر في التمييز التقليدي بين الكمومي والكلاسيكي.
• لا ينبغي أن يُعزى التماسك في الميوعة الفائقة إلى أي مجموعة فرعية من ذرات الهيليوم؛ إنه نوع من الظواهر الجماعية التي تشارك فيها جميع الذرات (على غرار اقتران كوبر في الموصلية الفائقة، كما هو موضح في القسم التالي).

• الإلكترونات هي فرميونات، ولكن عندما تتزاوج لتشكل أزواج كوبر ، فإنها تتصرف كبوزونات، وبالتالي يمكنها أن تُشكّل مجتمعةً حالةً متماسكةً عند درجات حرارة منخفضة. هذا التزاوج ليس في الواقع بين الإلكترونات نفسها، بل في الحالات المتاحة للإلكترونات التي تتحرك من وإلى تلك الحالات. ^{[ 31 ]} يشير مصطلح تزاوج كوبر إلى النموذج الأول للموصلية الفائقة. ^{[ 32 ]}
• تُعد هذه الحالات المتماسكة جزءًا من تفسير التأثيرات مثل تأثير هول الكمي في أشباه الموصلات فائقة التوصيل ذات درجة الحرارة المنخفضة .

• بالنسبة لنظام كمومي ذي مؤثر زخم زاوي${\displaystyle \mathbf {J} =(J_{x},J_{y},J_{z})}$والعدد الكمي للزخم الزاوي${\displaystyle j,}$يمكن تعريف الحالات المتماسكة ذات الزخم الزاوي بأنها تلك الحالات التي تقلل الكمية$${\displaystyle (\Delta J_{x})^{2}+(\Delta J_{y}^{2})+(\Delta J_{z})^{2}~,}$$أي مجموع عدم اليقين في المكونات الكارتيزية الثلاثة للزخم الزاوي. ^{[ 33 ]} حالة${\displaystyle |\psi \rangle }$يُقلل هذا المقدار إذا وفقط إذا وُجد متجه وحدة${\displaystyle \mathbf {n} }$بحيث$${\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} )|\psi \rangle =\hbar j|\psi \rangle ~.}$$

• بحسب جيلمور وبيريلوموف، اللذين أثبتا ذلك بشكل مستقل، يُمكن اعتبار بناء الحالات المتماسكة مشكلةً في نظرية الزمر ، وبالتالي يُمكن ربط الحالات المتماسكة بزمر مختلفة عن زمرة هايزنبرغ ، مما يؤدي إلى الحالات المتماسكة المتعارف عليها المذكورة أعلاه. ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]} علاوة على ذلك، يُمكن تعميم هذه الحالات المتماسكة لتشمل الزمر الكمومية . تُناقش هذه المواضيع، مع الإشارة إلى الأعمال الأصلية، بالتفصيل في كتاب " الحالات المتماسكة في الفيزياء الرياضية" .

• في نظرية المجال الكمومي ونظرية الأوتار ، يتم تعميم الحالات المتماسكة إلى الحالة التي يتم فيها استخدام عدد لا نهائي من درجات الحرية لتحديد حالة فراغ ذات قيمة توقع فراغ مختلفة عن الفراغ الأصلي.
• في الأنظمة الكمومية أحادية البعد متعددة الأجسام ذات درجات حرية فرميونية، يمكن تقريب حالات الإثارة منخفضة الطاقة كحالات متماسكة لمؤثر حقل بوزوني يُنشئ إثارات جسيم-ثقب. يُطلق على هذا النهج اسم "البوزنة" .
• يمكن تعميم الحالات المتماسكة الغاوسية لميكانيكا الكم غير النسبية لتشمل الحالات المتماسكة النسبية لجسيمات كلاين-غوردون وديراك. ^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}
• وقد ظهرت الحالات المتماسكة أيضاً في أعمال تتعلق بجاذبية الكم الحلقية أو في بناء النسبية العامة الكمومية الكلاسيكية (شبه) الكلاسيكية. ^{[ 41 ] [ 42 ]}

• الحالات المتماسكة في الفيزياء الرياضية
• نظرية الحقل الكمومي
• البصريات الكمومية
• مضخم الكم
• المجال الكهرومغناطيسي
• درجة التماسك
• نظرية غلاوبر للتشتت المتعدد

• الحالات الكمومية لحقل الضوء
• حالات غلاوبر: حالات متماسكة للمذبذب التوافقي الكمي
• قياس حالة التماسك باستخدام إحصائيات الفوتون التفاعلية