نظرية التدرج

لنفترض أن γ ⊂ R ² هو القوس الدائري الموجه عكس اتجاه عقارب الساعة من (5، 0) إلى (−4، 3) . باستخدام تعريف التكامل الخطي ،

$$\begin{aligned}\int_{\gamma}y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y&=\int_{0}^{\pi -\tan^{-1}\!\left(\frac{3}{4}}\right)}((5\sin t)(-5\sin t)+(5\cos t)(5\cos t))\,\mathrm{d}t\\&=\int_{0}^{\pi -\tan^{-1}\!\left(\frac{3}{4}}\right)}25\left(-\sin^{2}t+\cos^{2}t\right)\mathrm{d}t\\&=\int_{0}^{\pi -\tan^{-1}\!\left(\frac{3}{4}}\right)} {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\ =\ \left.{\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)}\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\ =\ -{\frac {25(3/4)}{(3/4)^{2}+1}}=-12.\end{aligned}}}$$

يمكن الحصول على هذه النتيجة ببساطة أكبر من خلال ملاحظة أن الدالة${\displaystyle f(x,y)=xy}$يحتوي على تدرج${\displaystyle \nabla f(x,y)=(y,x)}$وبناءً على نظرية التدرج:

$${\displaystyle \int _{\gamma} y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\ =\ xy\,|_ {(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.}$$

كمثال أكثر تجريدًا، لنفترض أن γ ⊂ R ⁿ لها نقطتا نهاية p و q ، مع اتجاه من p إلى q . بالنسبة لـ u في R ⁿ ، لنرمز بـ | u | إلى المعيار الإقليدي لـ u . إذا كان α ≥ 1 عددًا حقيقيًا، فإن

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}}$$

هنا، تأتي المساواة النهائية من خلال نظرية التدرج، لأن الدالة f ( x ) = | x | ^{α +1} قابلة للتفاضل على R ⁿ إذا كان α ≥ 1 .

إذا كانت α < 1، فستظل هذه المساواة صحيحة في معظم الحالات، ولكن يجب توخي الحذر إذا مرّت γ بنقطة الأصل أو أحاطت بها، لأن حقل متجه التكامل | x | ^{α − 1} x لن يكون مُعرّفًا هناك. مع ذلك، فإن الحالة α = −1 تختلف نوعًا ما؛ في هذه الحالة، يصبح التكامل | x | ^{− 2} x = ∇(log | x | ) ، وبالتالي تصبح المساواة النهائية log | q | − log | p | .

لاحظ أنه إذا كان n = 1 ، فإن هذا المثال هو مجرد شكل مختلف قليلاً من قاعدة القوة المألوفة من حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد.

لنفترض وجود n شحنة نقطية موزعة في فضاء ثلاثي الأبعاد، وأن الشحنة النقطية رقم _i تحمل الشحنة Q _i وتقع عند الموضع p_{_i} في الفضاء R^³. نريد حساب الشغل المبذول على جسيم يحمل الشحنة q أثناء انتقاله من النقطة a إلى النقطة b في الفضاء R^³ . باستخدام قانون كولوم ، يمكننا بسهولة تحديد أن القوة المؤثرة على الجسيم عند الموضع r ستكون

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}}$$

هنا | u | تشير إلى المعيار الإقليدي للمتجه u في R ³ ، و k = 1/(4 πε ₀ ) ، حيث ε ₀ هي سماحية الفراغ .

ليكن γ ⊂ R ³ − { p ₁ , ..., p _n } منحنى قابلًا للتفاضل من a إلى b . عندئذٍ يكون الشغل المبذول على الجسيم هو

$${\displaystyle W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)}$$

أما بالنسبة لكل قيمة لـ i ، فإن الحساب المباشر يُظهر أن

$${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.}$$

وبالتالي، بالاستمرار من الأعلى وباستخدام نظرية التدرج،

$${\displaystyle W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)}$$

انتهينا. بالطبع، كان بإمكاننا إتمام هذه الحسابات بسهولة باستخدام لغة الجهد الكهروستاتيكي أو طاقة الوضع الكهروستاتيكي (بالصيغة المعروفة W = −ΔU = −qΔV ) . مع ذلك، لم نُعرّف الجهد أو طاقة الوضع بعد ، لأن عكس نظرية التدرج مطلوب لإثبات أنهما دالتان مُعرّفتان جيدًا وقابلتان للتفاضل، وأن هذه الصيغ صحيحة ( انظر أدناه ). لذا، فقد حللنا هذه المسألة باستخدام قانون كولوم، وتعريف الشغل، ونظرية التدرج فقط.

لنفترض أن U مجموعة جزئية مفتوحة ومتصلة مساريًا من Rⁿ ^، وأن F  : U → Rⁿ حقل متجهي متصل وغير مرتبط بالمسار. لنثبت عنصرًا ما a من U ^، ولنعرف f :  U → R كما يلي :$${\displaystyle f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }$$هنا ، γ [ a , x ] هو أي منحنى (قابل للتفاضل) في U يبدأ عند a وينتهي عند x . ونعلم أن f معرفة جيدًا لأن F مستقلة عن المسار.

ليكن v أي متجه غير صفري في R ⁿ . بحسب تعريف المشتقة الاتجاهية ،$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}}$$لحساب التكامل ضمن النهاية النهائية، يجب علينا تحديد معلمات γ [ x , x + t v ] . بما أن F مستقلة عن المسار، وU مفتوحة، و t تقترب من الصفر، يمكننا افتراض أن هذا المسار خط مستقيم، وتحديد معلماته كـ u ( s ) = x + s v لـ 0 < s < t . الآن، بما أن u' ( s ) = v ، تصبح النهاية$${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg |}_{t=0}=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }$$حيث أن المساواة الأولى مستمدة من تعريف المشتقة مع حقيقة أن التكامل يساوي صفرًا عند t = 0، والمساواة الثانية مستمدة من النظرية الأساسية الأولى في حساب التفاضل والتكامل . وبالتالي _، لدينا صيغة لـ ∂vf (إحدى طرق تمثيل المشتقة الاتجاهية ) حيث v قيمة اختيارية؛ لـ${\displaystyle f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }$(انظر تعريفها الكامل أعلاه)، مشتقها الاتجاهي بالنسبة إلى v هو$${\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }$$حيث تُظهر المعادلتان الأوليان تمثيلات مختلفة للمشتقة الاتجاهية. وفقًا لتعريف تدرج الدالة العددية f ،${\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )}$وبالتالي، فقد وجدنا دالة ذات قيمة عددية f يكون تدرجها هو حقل المتجهات F المستقل عن المسار (أي أن F هو حقل متجهات محافظ)، كما هو مطلوب. ^{[ 3 ]}

لتوضيح قوة هذا المبدأ العكسي، نذكر مثالاً له تبعات فيزيائية هامة. في الكهرومغناطيسية الكلاسيكية ، القوة الكهربائية قوة مستقلة عن المسار؛ أي أن الشغل المبذول على جسيم عاد إلى موضعه الأصلي داخل مجال كهربائي يساوي صفرًا (بافتراض عدم وجود مجالات مغناطيسية متغيرة).

^{لذا، تشير} النظرية السابقة إلى أن مجال القوة الكهربائية Fe : _S → R³ هو مجال  محافظ (حيث S هي مجموعة جزئية مفتوحة ومتصلة مساريًا من R³ تحتوي على توزيع للشحنة ). وباتباع أفكار البرهان السابق، يمكننا تحديد نقطة مرجعية a في S ، وتعريف دالة U _e : S → R كما يلي ^:

$${\displaystyle U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} }$$

باستخدام البرهان السابق، نعلم أن U_{_e} مُعرَّفة جيدًا وقابلة للتفاضل، وأن F _{_e} = −∇_Ue (ومن هذه الصيغة، يمكننا استخدام نظرية التدرج لاستنتاج الصيغة المعروفة لحساب الشغل المبذول بواسطة القوى المحافظة: W = −ΔU ) . غالبًا ما يُشار إلى هذه الدالة U_{_e} باسم طاقة الوضع الكهروستاتيكية لنظام الشحنات في S (بالنسبة إلى نقطة الصفر a ). في كثير من الحالات، يُفترض أن المجال S غير محدود ، وتُعتبر النقطة المرجعية a "لانهائية"، وهو ما يمكن جعله دقيقًا باستخدام تقنيات التقريب. تُعد هذه الدالة U_{_e} أداة لا غنى عنها في تحليل العديد من الأنظمة الفيزيائية.