Rng (الجبر)

في الجبر المجرد ، الحلقة غير الوحدوية (rng ) أو شبه الحلقة هي بنية جبرية تحقق نفس خصائص الحلقة ، ولكن دون افتراض وجود عنصر محايد ضربي . يُقصد بمصطلح rng الإشارة إلى أنها حلقة بدون عنصر محايد ( i ) ، أي بدون اشتراط وجود عنصر محايد. ^{[ 1 ]}

لا يوجد إجماع في الأوساط العلمية حول ما إذا كان وجود عنصر محايد ضربي يُعدّ من بديهيات الحلقة (انظر الحلقة (الرياضيات) §  التاريخ ). وقد صِيغ مصطلح rng لتخفيف هذا الغموض عندما يرغب الباحثون في الإشارة صراحةً إلى حلقة لا تتضمن بديهية العنصر المحايد الضربي.

عدد من جبر الدوال التي يتم النظر فيها في التحليل ليست أحادية، على سبيل المثال جبر الدوال التي تتناقص إلى الصفر عند اللانهاية، وخاصة تلك التي لها دعم مضغوط على بعض الفضاء (غير المضغوط ).

تظهر الأرقام العشوائية في سلسلة تضمين الفئات التالية :

الحلقات ⊃ الحلقات ⊃ الحلقات التبادلية ⊃ المجالات التكاملية ⊃ المجالات المغلقة تكامليًا ⊃ مجالات القاسم المشترك الأكبر ⊃ مجالات التحليل الفريد ⊃ مجالات المثالي الرئيسي ⊃ المجالات الإقليدية ⊃ الحقول ⊃ الحقول المغلقة جبريًا

بصورة رسمية، فإن مولد الأرقام العشوائية هو مجموعة R تحتوي على عمليتين ثنائيتين (+، ·) تسمى الجمع والضرب بحيث

• ( R , +) هي زمرة تبديلية ،
• ( R , ·) هي شبه مجموعة ،
• تتوزع عملية الضرب على عملية الجمع.

التشاكل العشوائي هو دالة f  : R → S من عشوائي إلى آخر بحيث

• f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )
• f ( x · y ) = f ( x ) · f ( y )

لكل x و y في R.​

إذا كانت R و S حلقتين، فإن تماثل الحلقة R → S هو نفسه تماثل الحلقة R → S الذي يحول 1 إلى 1.

جميع الحلقات هي مولدات أعداد حقيقية. مثال بسيط على مولد أعداد حقيقية ليس حلقة هو مجموعة الأعداد الزوجية مع عمليتي الجمع والضرب العاديتين للأعداد الصحيحة. مثال آخر هو مجموعة جميع المصفوفات الحقيقية من الرتبة 3×3 التي يكون صفها السفلي صفرًا. كلا المثالين يؤكدان الحقيقة العامة القائلة بأن كل مثالي (من جانب واحد أو جانبين) هو مولد أعداد حقيقية.

يمكن تحويل أي زمرة أبيلية إلى زمرة عشوائية بتعريف عملية الضرب بحيث يكون xy = 0 لجميع قيم x و y . (انظر §  الزمرة العشوائية للمربع الصفري )

تظهر مولدات الأرقام العشوائية بشكل طبيعي في التحليل الوظيفي عند دراسة المؤثرات الخطية على فضاءات متجهة لا نهائية الأبعاد . لنأخذ على سبيل المثال أي فضاء متجه لا نهائي الأبعاد V، ولننظر إلى مجموعة جميع المؤثرات الخطية f : V → V ذات الرتبة المحدودة (أي dim f ( V ) < ∞ ). مع عمليتي الجمع والتركيب للمؤثرات ، تُشكل هذه المجموعة مولد أرقام عشوائية، ولكنها ليست حلقة. مثال آخر هو مولد الأرقام العشوائية لجميع المتتابعات الحقيقية التي تتقارب إلى الصفر، مع عمليات على مستوى كل عنصر. 

كذلك، تتألف العديد من فضاءات دوال الاختبار في نظرية التوزيعات من دوال تتناقص إلى الصفر عند اللانهاية، مثل فضاء شوارتز . وبالتالي، لا يمكن أن توجد الدالة التي تساوي واحدًا في كل مكان، والتي ستكون العنصر المحايد الوحيد الممكن للضرب النقطي، في هذه الفضاءات، التي تُعدّ بالتالي حلقات عشوائية (للجمع والضرب النقطيين). على وجه الخصوص، تُشكّل الدوال الحقيقية المتصلة ذات الدعم المدمج ، والمُعرّفة على فضاء طوبولوجي ما ، مع الجمع والضرب النقطيين، حلقة عشوائية؛ وهذه ليست حلقة إلا إذا كان الفضاء الأساسي مدمجًا .

يمكن توسيع أي حلقة R إلى حلقة R ^ بإضافة عنصر محايد. إحدى الطرق العامة للقيام بذلك هي إضافة عنصر محايد 1، وجعل R ^ تتكون من تراكيب خطية صحيحة للعنصر 1 وعناصر من R ، بشرط ألا تتطابق أي من مضاعفاتها الصحيحة غير الصفرية مع عناصر R أو أن تكون محتواة فيها . أي أن عناصر R ^ تأخذ الشكل التالي:

حيث n عدد صحيح و r ∈ R. يُعرَّف الضرب بالخطية:

بصورة أكثر رسمية، كمجموعة، R ^ هو حاصل الضرب الديكارتي Z × R ، ويتم إعطاء جمعه وضربه بواسطة

العنصر المحايد الضربي لـ R ^ هو (1, 0) . يوجد تشاكل عشوائي طبيعي j  : R → R ^ معرف بالعلاقة j ( r ) = (0, r ) . يتمتع هذا التطبيق بالخاصية العامة التالية :

يمكن تعريف الخريطة g بواسطة g ( n , r ) = n · 1 _S + f ( r ) .

يوجد تشاكل حلقي شامل طبيعي R ^ → Z يُرسل ( n , r ) إلى n . نواة هذا التشاكل هي صورة R في R ^. بما أن j أحادي ، نرى أن R مُضمن كمثالي (ثنائي الجانب) في R ^ مع حلقة القسمة R ^/ R المتشاكلة مع Z. ويترتب على ذلك أن

لاحظ أن j ليس شاملاً أبدًا. لذا، حتى عندما تحتوي R بالفعل على عنصر محايد، ستكون الحلقة R ^ حلقة أكبر بعنصر محايد مختلف. تُسمى الحلقة R ^ غالبًا بامتداد دورو لـ R نسبةً إلى عالم الرياضيات الأمريكي جو لي دورو، الذي أنشأها لأول مرة. ^{[ 3 ]}

يمكن صياغة عملية إلحاق عنصر محايد بحلقة عشوائية (rng) بلغة نظرية الفئات . إذا رمزنا لفئة جميع الحلقات وتشاكلات الحلقات بـ Ring، ولفئة جميع الحلقات العشوائية وتشاكلات الحلقات العشوائية بـ Rng ، فإن Ring هي فئة فرعية (غير كاملة) من Rng . ينتج عن بناء R ^ المذكور أعلاه مُرافق يساري لدالة التضمين I  : Ring → Rng . لاحظ أن Ring ليست فئة فرعية انعكاسية من Rng لأن دالة التضمين ليست كاملة.

هناك العديد من الخصائص التي تم تناولها في الأدبيات والتي تُعتبر أضعف من امتلاك عنصر هوية، ولكنها ليست عامة. على سبيل المثال:

• الحلقات ذات العناصر المتساوية الكافية: يقال إن الحلقة R تحتوي على عدد كافٍ من العناصر المتساوية عندما توجد مجموعة جزئية E من R معطاة بعناصر متساوية متعامدة (أي ef = 0 لجميع e ≠ f في E ) (أي e ² = e لجميع e في E ) بحيث R = ⊕ _{e ∈ E} eR = ⊕ _{e ∈ E} Re .
• الحلقات ذات الوحدات المحلية: يقال إن الحلقة R ذات وحدات محلية في حالة أنه لكل مجموعة منتهية r ₁ ، r ₂ ، ... ، _rt في R يمكننا إيجاد e في R بحيث يكون e ² = e و er _i = r _i = r _i e لكل i .
• الحلقات أحادية الوحدة s : يقال إن الحلقة R هي أحادية الوحدة s في حالة أنه لكل مجموعة منتهية r ₁ ، r ₂ ، ... ، _rt في R يمكننا إيجاد s في R بحيث يكون sr _i = r _i = r _i s لكل i .
• الحلقات الثابتة: يقال إن الحلقة R ثابتة إذا كان التشاكل القانوني R ⊗ _R R → R المعطى بواسطة r ⊗ s ↦ rs هو تشاكل.
• الحلقات المتساوية القوة: يُقال عن حلقة R أنها متساوية القوة (أو حلقة متساوية القوة ) في حالة R ^∩ R ، أي _أنه لكل عنصر r من R، يمكننا إيجاد عنصرين rᵢ _و sᵢ في R بحيث${\textstyle r=\sum _{i}r_{i}s_{i}}$.

ليس من الصعب التحقق من أن كل خاصية من هذه الخصائص أضعف من وجود عنصر محايد وأضعف من الخاصية التي تسبقها.

• الحلقات هي حلقات تحتوي على عدد كافٍ من العناصر المتساوية القوة، باستخدام E = {1} . الحلقة التي تحتوي على عدد كافٍ من العناصر المتساوية القوة والتي لا تحتوي على عنصر محايد هي، على سبيل المثال، حلقة المصفوفات اللانهائية على حقل يحتوي على عدد محدود فقط من العناصر غير الصفرية. تُسمى المصفوفات التي تحتوي على 1 في عنصر واحد فقط من القطر الرئيسي و0 في جميع العناصر الأخرى بالعناصر المتساوية القوة المتعامدة.
• الحلقات التي تحتوي على عدد كافٍ من العناصر المتساوية القوة هي حلقات ذات وحدات محلية كما يمكن رؤيته من خلال أخذ مجموعات محدودة من العناصر المتساوية القوة المتعامدة لتحقيق التعريف.
• الحلقات ذات الوحدات المحلية هي على وجه الخصوص حلقات أحادية من النوع s ؛ الحلقات الأحادية من النوع s هي حلقات ثابتة والحلقات الثابتة هي حلقات متطابقة.

الحلقة الدائرية ذات المربع الصفري هي حلقة دائرية R بحيث يكون xy = 0 لجميع x و y في R. ^{[ 4 ]} يمكن تحويل أي زمرة تبديلية إلى حلقة دائرية ذات مربع صفري بتعريف عملية الضرب بحيث يكون xy = 0 لجميع x و y ؛ ^{[ 5 ]} وبالتالي، فإن كل زمرة تبديلية هي الزمرة الجمعية لحلقة دائرية ما. الحلقة الدائرية الوحيدة ذات المربع الصفري التي تحتوي على عنصر محايد ضربي هي الحلقة الصفرية {0}. ^{[ 5 ]}

أي زمرة جزئية جمعية لمدار دائري مربعه صفر هي مثالية . وبالتالي، يكون المدار الدائري المربع ذو الصفر بسيطًا إذا وفقط إذا كانت زمرته الجمعية زمرة تبديلية بسيطة، أي زمرة دورية من رتبة أولية. ^{[ 6 ]}

بفرض وجود جبرين أحاديين A و B ، فإن تماثل الجبر

تكون أحادية إذا كانت تربط العنصر المحايد لـ A بالعنصر المحايد لـ B.

إذا لم يكن الجبر الترابطي A على الحقل K أحاديًا، فيمكن إضافة عنصر محايد كما يلي: خذ A × K كفضاء متجهي K أساسي ، وعرّف الضرب ∗ بـ

لكل x و y في A و r و s في K ، فإن ∗ عملية تجميعية عنصرها المحايد (0، 1) . الجبر القديم A مُحتوى في الجبر الجديد، وفي الواقع A × K هو الجبر الأحادي "الأكثر عمومية" الذي يحتوي A ، بمعنى الإنشاءات الشاملة .

• شبه حلقي