نظرية هيلبرت (الهندسة التفاضلية)

في الهندسة التفاضلية ، تنص نظرية هيلبرت (1901) على أنه لا يوجد سطح منتظم كامل${\displaystyle S}$انحناء غاوسي سالب ثابت${\displaystyle K}$منغمس في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$تُجيب هذه النظرية على السؤال المتعلق بالحالة السلبية لأي الأسطح في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يمكن الحصول عليها عن طريق غمر متعددات الشعب الكاملة ذات الانحناء الثابت بشكل متساوي القياس .

• تمت معالجة نظرية هيلبرت لأول مرة بواسطة ديفيد هيلبرت في "Über Flächen von konstanter Krümmung" ( Trans. Amer. Math. Soc. 2 (1901)، 87–99).
• تم تقديم دليل مختلف بعد فترة وجيزة من قبل E. Holmgren في "Sur les Surfaces à courbure Constante négative" (1902).
• وقد توصل نيكولاي إيفيموف إلى تعميم رائد للغاية في عام 1975. ^{[ 1 ]}

برهان نظرية هيلبرت معقد ويتطلب عدة ليمات . الفكرة هي إثبات عدم وجود غمر متساوي القياس

${\displaystyle \varphi =\psi \circ \exp _{p}:S'\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

طائرة${\displaystyle S'}$إلى الفضاء الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$هذا البرهان هو نفسه في الأساس كما ورد في ورقة هيلبرت، على الرغم من أنه يستند إلى كتب دو كارمو وسبيفاك .

ملاحظات : من أجل الحصول على علاج أكثر سهولة، ولكن دون فقدان العمومية ، يمكن اعتبار الانحناء مساوياً لسالب واحد.${\displaystyle K=-1}$لا يوجد فقدان للعمومية، حيث يتم التعامل مع الانحناءات الثابتة، وأوجه التشابه بين${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ضاعف${\displaystyle K}$بمقدار ثابت. الخريطة الأسية${\displaystyle \exp _{p}:T_{p}(S)\longrightarrow S}$هو تماثل موضعي (في الواقع، خريطة تغطية، وفقًا لنظرية كارتان-هادامارد)، وبالتالي، فإنه يُولِّد جداءً داخليًا في الفضاء المماسي لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle p}$:${\displaystyle T_{p}(S)}$. بالإضافة إلى،${\displaystyle S'}$يشير إلى السطح الهندسي${\displaystyle T_{p}(S)}$مع هذا المنتج الداخلي. إذا${\displaystyle \psi :S\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$هو غمر متساوي القياس، وينطبق الشيء نفسه على

${\displaystyle \varphi =\psi \circ \exp _{o}:S'\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$.

اللمة الأولى مستقلة عن اللمات الأخرى، وسيتم استخدامها في النهاية كعبارة مضادة لرفض النتائج المستخلصة من اللمات الأخرى.

اللمة 1 : مساحة${\displaystyle S'}$لانهائي. ملخص البرهان: تكمن فكرة البرهان في إنشاء تماثل هندسي شامل بين${\displaystyle H}$و${\displaystyle S'}$ثم، بما أن${\displaystyle H}$لها مساحة لا نهائية،${\displaystyle S'}$سيكون لديه ذلك أيضًا. حقيقة أن المستوى الزائدي${\displaystyle H}$يمكن الحصول على مساحة لانهائية بحساب التكامل السطحي باستخدام المعاملات المناظرة للصيغة الأساسية الأولى . وللحصول على هذه المعاملات، يمكن تعريف المستوى الزائدي بأنه المستوى الذي يحقق الجداء الداخلي التالي حول نقطة${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{2}}$مع الإحداثيات${\displaystyle (u,v)}$

$E = ∂/∂u, ∂/∂u⟩ = 1، F = ∂/∂u, ∂/∂v⟩ = ∂/∂v, ∂/∂u⟩ = 0، G = ∂/∂v, ∂/∂v⟩ = e^u$

بما أن المستوى الزائدي غير محدود، فإن حدود التكامل لا نهائية ، ويمكن حساب المساحة من خلال

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{u}dudv=\infty }$

بعد ذلك، يلزم إنشاء خريطة توضح إمكانية نقل المعلومات العالمية من المستوى الزائدي إلى السطح.${\displaystyle S'}$أي، أي تماثل عالمي.${\displaystyle \varphi :H\rightarrow S'}$ستكون الخريطة هي التي يكون نطاقها المستوى الزائدي وتصور التشعب ثنائي الأبعاد${\displaystyle S'}$، الذي ينقل المنتج الداخلي من السطح${\displaystyle S}$بانحناء سلبي.${\displaystyle \varphi }$سيتم تعريفها من خلال الخريطة الأسية، ومعكوسها، والتماثل الخطي بين فضاءاتهما المماسية،

${\displaystyle \psi :T_{p}(H)\rightarrow T_{p'}(S')}$.

إنه

${\displaystyle \varphi =\exp _{p'}\circ \psi \circ \exp _{p}^{-1}}$،

أين${\displaystyle p\in H,p'\in S'}$أي نقطة البداية${\displaystyle p\in H}$ينتقل إلى المستوى المماس من${\displaystyle H}$من خلال معكوس الدالة الأسية. ثم ينتقل من مستوى مماس إلى آخر عبر التناظر.${\displaystyle \psi }$ثم إلى السطح${\displaystyle S'}$مع خريطة أسية أخرى.

تتضمن الخطوة التالية استخدام الإحداثيات القطبية ،${\displaystyle (\rho ,\theta )}$و${\displaystyle (\rho ',\theta ')}$، حول${\displaystyle p}$و${\displaystyle p'}$على التوالي. سيكون الشرط هو أن يتم ربط المحاور ببعضها البعض، أي${\displaystyle \theta =0}$يذهب إلى${\displaystyle \theta '=0}$. ثم${\displaystyle \varphi }$يحافظ على الشكل الأساسي الأول. في نظام قطبي جيوديسي، يكون انحناء غاوس${\displaystyle K}$يمكن التعبير عنها على النحو التالي

${\displaystyle K=-{\frac {({\sqrt {G}})_{\rho \rho }}{\sqrt {G}}}}$.

بالإضافة إلى ذلك، فإن K ثابت ويحقق المعادلة التفاضلية التالية

${\displaystyle ({\sqrt {G}})_{\rho \rho }+K\cdot {\sqrt {G}}=0}$

منذ${\displaystyle H}$و${\displaystyle S'}$إذا كان للسطحين نفس الانحناء الغاوسي الثابت، فإنهما متساويان القياس محليًا ( نظرية ميندينغ ). وهذا يعني أن${\displaystyle \varphi }$هو تماثل موضعي بين${\displaystyle H}$و${\displaystyle S'}$علاوة على ذلك، يترتب على نظرية هادامارد ما يلي:${\displaystyle \varphi }$وهي أيضاً خريطة تغطية. بما أن${\displaystyle S'}$الأمر بسيط ومتصل،${\displaystyle \varphi }$هو تماثل شكلي ، وبالتالي، هو تماثل قياس (عالمي). لذلك،${\displaystyle H}$و${\displaystyle S'}$متساوية القياس عالميًا، ولأن${\displaystyle H}$إذا كانت مساحتها لا نهائية،${\displaystyle S'=T_{p}(S)}$كما أن لها مساحة لا نهائية.${\displaystyle \square }$

اللمة 2 : لكل${\displaystyle p\in S'}$توجد معلمات${\displaystyle x:U\subset \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S',\qquad p\in x(U)}$بحيث تكون منحنيات الإحداثيات لـ${\displaystyle x}$هي منحنيات تقاربية لـ${\displaystyle x(U)=V'}$وتشكل شبكة تشيبيشيف.

اللمة 3 : ليكن${\displaystyle V'\subset S'}$أن تكون منطقة إحداثيات لـ${\displaystyle S'}$بحيث تكون منحنيات الإحداثيات منحنيات تقاربية في${\displaystyle V'}$إذن، تكون مساحة أي شكل رباعي يتكون من منحنيات الإحداثيات أصغر من${\displaystyle 2\pi }$.

الهدف التالي هو إظهار ذلك${\displaystyle x}$هي معلمات لـ${\displaystyle S'}$.

اللمة 4 : لـ ثابت${\displaystyle t}$المنحنى${\displaystyle x(s,t),-\infty <s<+\infty }$، هو منحنى تقاربي مع${\displaystyle s}$كطول قوس .

ستُثبت اللمتان التاليتان بالإضافة إلى اللمة 8 وجودَ تمثيلٍ مُعاملي.${\displaystyle x:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S'}$

اللمة 5 :${\displaystyle x}$هو تحويل تماثلي محلي.

اللمة 6 :${\displaystyle x}$هو شامل .

اللمة 7 : حول${\displaystyle S'}$يوجد حقلان متجهان مستقلان خطيًا وقابلان للتفاضل، وهما مماسان للمنحنيات التقاربية لـ${\displaystyle S'}$.

اللمة 8 :${\displaystyle x}$هو حقني .

برهان نظرية هيلبرت: أولًا، سنفترض أن الغمر المتساوي القياس من سطح كامل${\displaystyle S}$يوجد انحناء سلبي:${\displaystyle \psi :S\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

كما ورد في الملاحظات، المستوى المماس${\displaystyle T_{p}(S)}$يتم تزويدها بالمقياس الناتج عن الخريطة الأسية${\displaystyle \exp _{p}:T_{p}(S)\longrightarrow S}$. علاوة على ذلك،${\displaystyle \varphi =\psi \circ \exp _{p}:S'\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$هو غمر متساوي القياس، وتُظهر اللمات 5 و6 و8 وجود معلمات${\displaystyle x:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S'}$من الكل${\displaystyle S'}$بحيث تكون منحنيات الإحداثيات لـ${\displaystyle x}$هي المنحنيات التقاربية لـ${\displaystyle S'}$وقد تم التوصل إلى هذه النتيجة من خلال المبرهنة الرابعة. لذلك،${\displaystyle S'}$يمكن تغطيتها باتحاد من الأشكال الرباعية "الإحداثية"${\displaystyle Q_{n}}$مع${\displaystyle Q_{n}\subset Q_{n+1}}$بحسب اللمة 3، فإن مساحة كل شكل رباعي أصغر من${\displaystyle 2\pi }$من ناحية أخرى، وبحسب اللمة 1، فإن مساحة${\displaystyle S'}$بما أن العدد لانهائي، فإنه بالتالي ليس له حدود. وهذا تناقض، وبذلك يكتمل البرهان.${\displaystyle \square }$

• تنص نظرية تضمين ناش على أنه يمكن تضمين كل مشعب ريماني بشكل متساوي القياس في فضاء إقليدي ما.

• مانفريدو دو كارمو ، الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح ، برنتيس هول، 1976.
• سبيفاك، مايكل ، مقدمة شاملة في الهندسة التفاضلية ، النشر أو الفناء، 1999.